线面积分的计算

9线面积分一、曲线积分、曲面积分的计算公式1. 对弧长的曲线积分«Skip Record If...»的计算公式:«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»为一段光滑的平面曲线，其参数方程为«Skip Record If...»«Skip Record If...»为定义在曲线«Skip Record If...»上的一连续函数.为熟练掌握计算公式，关键是把握以下两点：1)积分变量«Skip Record If...»在曲线«Skip Record If...»上，故«Skip Record If...»满足曲线«Skip Record If...»的方程；2)«Skip Record If...»是曲线«Skip Record If...»的弧长的微分，故«Skip Record If...».所以有如下的计算公式:«Skip Record If...».对«Skip Record If...»是空间曲线段的情况，有类似的公式.设«Skip Record If...»的方程为«Skip Record If...»«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，则对弧长的曲线积分«Skip Record If...».弧微元«Skip Record If...»2. 对坐标的曲线积分«Skip Record If...»在«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为起点，以«Skip Record If...»为终点，参数方程为«Skip Record If...»的平面曲线，«Skip Record If...»点的坐标为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»点的坐标为«Skip Record If...».物理意义：变力«Skip Record If...»沿曲线«Skip Record If...»所做的功«Skip Record If...»其中«Skip Record If...»为熟练掌握该积分的计算公式，关键是把握以下两点：1) 积分变量（«Skip Record If...»）在«Skip Record If...»上，故满足曲线方程«Skip Record If...»；2) «Skip Record If...».对坐标的曲线积分的计算公式为«Skip Record If...».«Skip Record If...»分别对应于«Skip Record If...»点的参数«Skip Record If...»的值，可能«Skip Record If...»也可能«Skip Record If...»«Skip Record If...».类似地，对于空间曲线«Skip Record If...»，也有类似的计算公式.设«Skip Record If...»是以«Skip Record If...»为起点，以«Skip Record If...»为终点，参数方程为«Skip Record If...»的空间曲线，«Skip Record If...»点的坐标为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»点的坐标为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»在曲线«Skip Record If...»上连续，则«Skip Record If...»«Skip Record If...».●两类曲线积分之间的关系。

一.第一类线面积分的简化充分利用积分曲线与曲面的方程与对称性.例.求(22LI x x y ds ⎡⎤=++⎣⎦⎰ ,其中()22:11L x y +-=.解.(((22222LLLI y ds yds ds π⎤=+=+=+=+⎦⎰⎰⎰. 例.求()I xy z ds Γ=+⎰ ,其中2221:0x y z x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩. 解.()()()1233I xyds x y ds xy yz zx ds x y z ds ΓΓΓΓ=-+=++-++=⎰⎰⎰⎰ ()()22221110663x y z x y z ds ds πΓΓ⎡⎤++-++-=-=-⎣⎦⎰⎰ . 注.求()23I x y z ds Γ=++⎰ ,其中2221:0x y z x y ⎧++=Γ⎨+=⎩. 解.()()32333002I x y z ds xds zds x y ds ΓΓΓΓ=++=+=++=⎰⎰⎰⎰ . 例.求()2I x dS ∑=⎰⎰ ,其中222:2x y z y ∑++=.解.()()()222222222342222I x y z dS x y dS x y z dS ∑∑∑=++=+=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰()441416ydS y dS dS π∑∑∑=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ .二.第二类线面积分的估值例.设()33cos :02sin x a t L t y a t π⎧=≤≤⎨=⎩,逆时针方向,()()222L ydx xdy F a x xy y -=++⎰ , 证明:()lim 0a aF a →+∞=. 解.设()222yP xxy y=++,()222xQ xxy y-=++,则()LF a Pdx Qdy =+=⎰(),max 6n LLLP Q e ds ds a ⋅≤≤=⋅⎰⎰⎰,而22222x y x xy y +++≥()3322222432a x xy y x y =≤≤+++,故 ()2192F a a ≤,因此()lim 0a aF a →+∞=.例.设∑为圆柱体()()()2200413x x y y z -+-≤≤≤的外表面,证明:()()22cos sin 2x y dydz xy dzdx dxdy ∑+++≤⎰⎰ . 证.()n n A dS A e dS A e dS A dS dS ∑∑∑∑∑⋅=⋅≤⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,证毕.注.第二类线面积分的估值除了转化为第一类线面积分,也可以 用格林公式和高斯公式转化为重积分.例.设22:0L x y x y +++=,逆时针,证明:22cos sin Lx y dy y x dx -≤⎰证.左式()()2222cos sin cos sin 2DDy x d x x d πσσ=+=+≤⎰⎰⎰⎰,证毕.例.设22:1L x y +=,逆时针,证明:sin sin 222545y x Lxe dy ye dx x y π--≥+⎰. 证.左式sin sin sin sin sin sin 222254545y x y x y xL D D xe ye e e e e dy dx d y x y x σ---⎛⎫+=-=+≥= ⎪-+-+⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ ()sin sin 122555x xD D e e d d σσπ-+≥=⎰⎰⎰⎰,即得,证毕. 三.第二类线积分的计算 例.求224Lxdy ydxI x y-=+⎰,其中L 从()1,0A -沿y =到()1,0B ,然后 再沿直线到()1,2D -的有向曲线.解一. cos :sin x tAB y t=⎧⎨=⎩,:0t π-→,:1BD y x =-+,:11x →-,故12221374cos sin 521288dt dx I t t x x ππππ---=+=+=+-+⎰⎰; 解二.由于Q Px y ∂∂=∂∂,故取()1,1C --,()1,1E -,()1,2F ,则 ACCEEBBFFDI =++++⎰⎰⎰⎰⎰;解三.除原点,Q Px y ∂∂=∂∂,取222:4C x y r +=,逆时针,则L DA DAI +=-=⎰⎰ 222222241172488CDAx y r xdy ydx dy dxdy r r y πππ+≤---=-=-=+⎰⎰⎰⎰⎰. 注.若在区域D 内Q Px y ∂∂=∂∂,则(1)当D 单连通时,0CPdx Qdy +=⎰ ; (2)当D 内有洞时,对所有绕洞的闭曲线C ,CPdx Qdy +=⎰ 常数.例.求()()()()22222222222222L y y x xI dx dy x y x y x y x y ⎡⎤⎡⎤-+=++-⎢⎥⎢⎥-+++-+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰ , 其中22:9L x y +=,取逆时针方向.解.取()2221:2L x y r -+=,()2222:2L x y r ++=,均为逆时针方向,则12L L I =+⎰⎰ ,而()()112222222222222r L L B y y x x dx dy d r r r x y x y σπ⎡⎤⎡⎤-+-=++-==-⎢⎥⎢++++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰ , 类似地,22L π=-⎰ ,故224I πππ=--=-.例.求x y z dx y z x dy z x y dz I +-++-++-=,其中的Γ为曲线22211x y z x y z ⎧++=⎨++=⎩上逆时针从()1,0,0A 到()0,0,1B 的一段弧.解一.2221:1x y z x y z ⎧++=Γ⎨++=⎩在xOy 上的投影为22:0x xy y x y 'Γ++--=,22223x y x xy y ξηξηξη=-⎧⎨=+⎩++=+,故2222032x xy y x y ξηξ++--=⇒+-=2211333ξη⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,令11cos 3311cos 1133cos 33121cos 33x t t t y t t tz x y tξη⎧=+-⎪⎧⎪=+⎪⎪⎪⇒=++⎨⎨⎪⎪=⎪⎪⎩=--=-⎪⎩,又:013z t ππ→⇒=-→,故3I dt ππ==⎰. 解二.()()()12121212BABAI z dx x dy y dz I I ΓΓ+=-+-+-=-=-⎰⎰⎰,其中()11,1,1rot 12,12,12121212n ijkI z x y e dS x y z z x y∑∑∂∂∂=---⋅==∂∂∂---⎰⎰⎰⎰()11,1,12122,2,23332I dS ππ∑∑⎡⎤⎛⎫=---==--⎥ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎦⎰⎰, ()()()112001211221I x dx d x x dx =--+-=-=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰,故I =.注.∑是边长为的等边三角形的外接圆减去一个小圆缺. 解三.代入1z x y =--,则()()221I x y dx x y dy 'Γ=+---=⎰()()1042216216196D OAOA x dx d x dx σπ'Γ+⎛⎫--=---=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ . 注.求()()()22222223I y z dx z x dy x y dz Γ=-+-+-⎰,其中1:2x y x y z ⎧+=Γ⎨++=⎩,从z 轴正向看为逆时针方向.解.代入2z x y =--,则()()2222223242I x y z dx x y z dy 'Γ=-+-+-++=⎰()12221224xyxyD D x y d d σσ--+=-=-⎰⎰⎰⎰.例.求()22222ydx xdy z x y dzI x y Γ--+=+⎰,其中22221:1x y a b x y z ⎧+=⎪Γ⎨⎪++=⎩,从z 轴正向 看逆时针. 解.2222rot ,,20y xz x y x y ⎛⎫-=⎪++⎝⎭,但是Γ张成的曲面均与z 轴有交点, 故不能直接用斯托克斯公式,注意到对所有逆时针围绕z 轴的1Γ,Γ与1-Γ均张成一个围绕z 轴的曲面,故()111I Γ+-Γ-ΓΓ=-=⎰⎰⎰ ,于是取2211:0x y z ⎧+=Γ⎨=⎩,则122DI ydx xdy d σπΓ=-=-=-⎰⎰⎰ . 四.第二类面积分的计算注.若12∑=∑+∑关于xOy 面对称,1∑与2∑在xOy 面上的投影相反, 则当()(),,,,R x y z R x y z -=时,(),,0R x y z dxdy ∑=⎰⎰;当()(),,,,R x y z R x y z -=-时,()()1,,2,,R x y z dxdy R x y z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰.例.求()()()I y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑=-+-+-⎰⎰,其中∑为半球面z =222x y x +=截下部分的上侧.解.由于∑关于xOz 面对称,故()()I y z dydz x y dxdy ∑=-+-⎰⎰,又22222424220x x y x zz x x y z x z y zz z +=⎧-++=⇒⇒=⎨+=⎩,y yz z -=,故 ()()()22,0,,,1x y x I y z x y dxdy y z x y dxdy z z z ∑∑---⎛⎫⎡⎤=--⋅--=-+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰⎰(()22222xy D x y x y x y d d σσπ+≤⎡⎤+-=⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰.例.求2222cos cos cos dydz dzdx dxdyI x x y z z∑=+-⎰⎰,其中2222:x y z R ∑++=外侧. 解.()222,,211,,cos cos cos x y z I dS x x y z z R ∑⎛⎫=-⋅=⎪⎝⎭⎰⎰ 2222221211211cos cos cos cos cos cos y dSdS dS R x y z R x z R z∑∑∑⎛⎫⎛⎫+-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰22224tan x y R R π+≤=⎰⎰.例.求()32222xdydz ydzdx zdxdyI xy z∑++=++⎰⎰,其中()()()22211:1025167x y z z --∑++=≥ 上侧.解.取1:z ∑=()()22222211:0,12516x y z x y r ⎛⎫--∑=+≥+≤ ⎪ ⎪⎝⎭,均取下侧,则12121312I xdydz ydzdx zdxdy r π∑+∑+∑∑∑-∑=--=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ . 注.若()22:212z x y z ∑=+--≤≤外侧,可取()221:24z x y ∑=+≤上侧,()222:11z x y ∑=-+≤下侧,22223:x y z r ∑++=外侧,则 ()121231231=I xdydz ydzdx zdxdy r ∑+∑+∑∑∑∑∑∑=--=++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰换曲面,再用高斯公式.。

（同学们认真做好笔记，将方法进行补充完整，其中，L 为平面曲线，Γ为空间曲线）（线面积分）计算方法总结：1.第一类曲线积分：.),,(;),(dS z y x f dS y x P L ⎰⎰Γ方法：计算公式191P （1-1）（1-2）（1-3）及推广2.方法①：197P 计算公式（2-1）方法②：y P ≠∂∂林公式非闭：补充曲线后用格闭合：L dxdy y P x Q I L D ⎰⎰∂∂-∂∂=)(y P =∂∂⎰+==),(,1100I 0I y x y x Qdy Pdx L L ）（非闭：闭合：（此时，I 与路径无关，（00,y x ）为起点，（11,y x ）为终点）方法①：199P 计算公式（2-1）的推广方法②：240P 斯托克斯公式（转化为第二类曲面积分）（若方法②使得计算复杂，则不用，一般用方法①）3.第一类曲面积分：dSz y x f ⎰∑),,(方法①：220P 公式（4-2）3种情形.解题步骤：①根据曲面∑选好投影面②确定投影域，曲面∑的显函数形式，并求出dS③将②中三者代入公式，化为二重积分计算.方法②：高斯公式）（'23216P -转为三重积分。

4.第二类曲面积分：⎰⎰∑++RdxdyQdzdx Pdydz 格林公式方法①：228P 计算公式））（）（）（（5545'3535----解题步骤：①代②投③定号（注意曲面的侧定号）方法②：两类曲面积分的联系公式（5P230)cos cos cos (γβαdxdy dzdx dydz dS ===方法③：高斯公式）（16P 232-转化为三重积分三.对面积的曲面积分的计算法思想：化为二重积分就按按照曲面积分的不同情况分为以下三类：（1）若曲面][),(Z xy D xoy y x Z 面，投影区域投影到将：∑∑=（3）若曲面])[,(yz D yoz z y x x 面，投影区域投影到将：∑∑=总结解题步骤：1.应根据曲面∑选好投影面.2.确定投影域并写出曲面∑的显函数形式，并求出dS .3.将曲面∑的显函数形式和dS 代入被积函数，化为二重积分进行计算.小结：与路径无关的四个等价命题条件在单连通区域D上),(),(yxQyxP，具有连续的一阶偏导数，则以下四个命题成立等价命题（1）在D内⎰+LQdyPdx与路径无关（2）⎰=+C,0QdyPdx闭曲线DC⊂（3）在D内存在),,(yxu使QdyPdxdu+=（4）在D内，xQyP∂∂=∂∂感谢高数老师大人的总结！！！。