高中数学第一章空间向量与立体几何1.4.1.1空间向量与平行关系含解析第一册

第一章 1.4.1空间向量的应用1.掌握空点、、面的向量表示间线.线与义会数2.理解直的方向向量平面的法向量的意；用待定系法求平面的法向量.证线与线线与与问3.能用向量法明直直、直平面、平面平面的平行题.知识点一　直线的方向向量与平面的法向量怎样来线间思考　用向量表示点、直、平面在空中的位置？(2)直：线①直的方向向量：和直平行或共的非零向量线这条线线.②于直对线l 上的任一点P ，存在实数t ，使得AP ―→＝t AB ―→，此方程直称为线的向量方程参数.答案 (1)点：在空中，我取一定点间们O 作基点，那空中任意一点为么间P 的位置就可以用向量OP ―→表示来.我把向量们OP ―→点称为P 的位置向量.(3)平面：①空中平面间α的位置可以由α不共向量确定内两个线.于平面对α上的任一点P ，a ，b 是平面α不共向量内两个线，存在有序则实数对(x ，y )，使得OP ―→＝x a ＋y b .②空中平面间α的位置可以用垂直于平面的直的方向向量表示还线.梳理　(1)直的方向向量和平面的法向量线直的方线向向量能平移到直上的线_____向量，叫做直的一方向向线个量平面的法向量直线l ⊥α，取直线l 的____________，叫做平面α的法向量非零方向向量n(2)空中平行系的向量表示间关直设线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为μ，v ，则平行线线l ∥m ⇔_____⇔a ＝k b (k ∈R )面平行线l ∥α⇔a ⊥μ⇔_____＝0面面平行α∥β⇔μ∥v ⇔____________垂直线线l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔_______面垂直线l ⊥α⇔a ∥μ⇔___________面面垂直α⊥β⇔μ⊥v ⇔________a ∥b a ·μμ＝k v (k ∈R )a ·b ＝0a ＝k μ(k ∈R )μ·v ＝0知识点二　利用空间向量处理平行问题思考　(1)设v1＝(a1，b1，c1)，v2＝(a2，b2，c2)分是直别线l1，l2的方向向量.若直线l1∥l2，向量则v1，v2足什系应满么关.答案　由直方向向量的定知若直线义线l1∥l2，直则线l1，l2的方向向量共，即线l1∥l2⇔v1∥v2⇔v1＝λv2(λ∈R).(2)若已知平面外一直的方向向量和平面的法向量，向量足线则这两满哪条说线与些件可明直平面平行？线与进线答案　可探究直的方向向量平面的法向量是否垂直，而确定面是否平行.处间两关键么(3)用向量法理空中平面平行的是什？关键两个来说两.答案　是找到平面的法向量，利用法向量平行明平面平行类型一　利用方向向量和法向量判定线面的位置关系例1 (1)设a，b分是不重合的直别线l1，l2的方向向量，根据下列件判条断l1，l2的位置系：关①a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)；②a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)；解　①∵a＝(4,6，－2)，b＝(－2，－3,1)，∴a＝－2b，∴a∥b，∴l1∥l2.②∵a＝(5,0,2)，b＝(0,1,0)，∴a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2.∴μ·v ＝－3＋2＋1＝0，∴μ⊥v ，∴α⊥β.②∵μ＝(3,0,0)，v ＝(－2,0,0)，∴μ＝－32v ，∴μ∥v ，∴α∥β.(2)设μ，v 分是不同的平面别α，β的法向量，根据下列件判条断α，β的位置系：关①μ＝(－1,1，－2)，v ＝(3,2，－12)； ②μ＝(3,0,0)，v ＝(－2,0,0)；解①∵μ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，2，－12，(3)设μ是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据下列件判平条断面α与l 的位置系：关①μ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)；②μ＝(2，－3,0)，a ＝(8，－12,0).解　①∵μ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4)，∴μ·a ＝－12＋16－4＝0，∴μ⊥a ，∴l ⊂α或l ∥α.②∵μ＝(2，－3,0)，a ＝(8，－∴μ＝14a ，∴μ∥a ，∴l ⊥α.跟踪训练1　根据下列件，判相的、面位置系：条断应线关(1)直线l 1与l 2的方向向量分是别a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)；解　∵a ＝(2,3，－1)，b ＝(－6，－9,3)∴a ＝－13b ，∴a ∥b ，∴l 1∥l 2.(2)直线l1与l2的方向向量分是别a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)；解　∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)，∴a·b≠0且a≠k b(k∈R)，∴a，b不共也不垂直，既线即l1与l2相交或面，但不垂直异.别μ＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)；(3)平面α与β的法向量分是解　∵μ＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，∴μ·v≠0且μ≠k v(k∈R)，既线α和β相交但不垂直.∴μ与v不共也不垂直，即(4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分是别a ＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3).解　∵a ＝(0，－8,12)，μ＝(0,2，－3)， ∴μ＝－14a ，∴μ∥a ，即l ⊥α.类型二　求平面的法向量例2 如，图ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝12，求平面SCD 平面与SBA 的法向量.平面设SCD 的法向量n ＝(1，λ，u )，解 ∵AD 、AB 、AS 是三垂直的段，条两两线∴以A 原点，以为AD ―→、AB ―→、AS ―→的方向分别为x ，轴y ，轴z 轴的正方向建立坐系，标则A (0,0,0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，0，C (1,1,0)，S (0,0,1)，AD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，0是平面SAB 的法向量，则n ·DC ―→＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，1，0＝12＋λ＝0，∴λ＝－12. n ·DS ―→＝(1，λ，u )·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，0，1＝－12＋u ＝0， ∴u ＝12，∴n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，－12，12. 上，综平面SCD 的方向量为n ＝(1，－12，12)，平面SBA 的法向量为AD ―→＝(12，0,0).跟踪训练2 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证DB 1―→是平面ACD 1的一法向量个.证明　正方体的设棱长为1，同理DB 1⊥AD 1，又AC ∩AD 1＝A ，所以DB 1⊥平面ACD 1， 分以别DA ―→，DC ―→，DD 1―→位正交基底建立如所示的空直角坐系，为单图间标 则DB 1―→＝(1,1,1)，AC ―→＝(－1,1,0)，AD 1―→＝(－1,0,1)，于是有DB 1―→·AC ―→＝0， 所以DB 1―→⊥AC ―→，即DB 1⊥AC ，而从DB ―→是平面ACD 的一法向量个.类型三　利用空间向量证明平行关系例3 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E、F分是别BB1、DD1的中点，求：证(1)FC1∥平面ADE；证明　建立如所示空直角坐系图间标Dxyz ，有则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2,2,2)，所以FC ―→1＝(0,2,1)，DA ―→＝(2,0,0)，AE ―→＝(0,2,1).设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量，则n 1⊥DA ―→，n 1⊥AE ―→，即⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DA ―→＝2x 1＝0，n 1·AE ―→＝2y 1＋z 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝－2y 1，令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2).因为FC ―→1·n 1＝－2＋2＝0，所以FC ―→1⊥n 1.又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，因为n 1＝n 2，证明 因为C 1B ―→1＝(2,0,0)，设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一法向量个.由n 2⊥FC ―→1，n 2⊥C 1B ―→1，得⎩⎪⎨⎪⎧n 2·FC ―→1＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C1B ―→1＝2x 2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，z 2＝－2y 2.跟踪训练3　如，四图棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，PB 底与面成的角为45°，底面ABCD 直角梯形，为∠ABC ＝∠BAD ＝90°，P A ＝BC ＝ AD ＝1，在问棱PD 上是否存在一点E ，使CE ∥平面P AB ？若存在，求出E 点的位置；若不存在，明理由说.12解　分以别AB ，AD ，AP 为x ，轴y ，轴z 建立空直角坐系，轴间标∴P (0,0,1)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，∴存在E 点，点当E 为PD 中点，时CE ∥平面设E (0，y ，z )，则PE ―→＝(0，y ，z －1)，PD ―→＝(0,2，－1)，∵PE ―→∥PD ―→，∴y (－1)－2(z －1)＝0， ①∵AD ―→＝(0,2,0)是平面P AB 的法向量，又CE ―→＝(－1，y －1，z )，CE ∥平面P AB ， ∴CE ―→⊥AD ―→，∴(－1，y －1，z )·(0,2,0)＝0.∴y ＝1，代入①得z ＝12，∴E 是PD 的中点，1.若A (－1,0,1)，B (1,4,7)在直线l 上，直则线l 的一方向向量个为( )A.(1,2,3)B.(1,3,2)C.(2,1,3)D.(3,2,1)A 解析 因为AB ―→＝(2,4,6)，所以与AB ―→共的非零向量都可以作直线为线l 的方向向量.2.已知直线l 1的方向向量a ＝(2，－3,5)，直线l 2的方向向量b ＝(－4，x ，y )，若直两线l 1∥l 2，则x ，y 的分是值别( )A.6和－10B.－6和10C.－6和－10D.6和10解析　由直两线l 1∥l 2，得向量两a ，b 平行，A 即2－4＝－3x ＝5y ，所以x ，y 的值分是别6和－10.解析　能作平面为α的法向量的向量与μ＝(2，－3,1)共，线(－2,3，－1)＝－μ.D 3.若μ＝(2，－3,1)是平面α的一法向量，下列向量中能作平面个则为α的法向量的是( )A.(0，－3,1) B.(2,0,1)C.(－2，－3,1)D.(－2,3，－1)C 4.若直线l ∥α，且l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12，2，则m 为( )A.－4B.－6C.－8D.8解析 ∵l ∥α，平面α的法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12，2，∴(2，m,1)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1，12，2＝0.∴2＋12m ＋2＝0.∴m ＝－8.解析　不妨正方体的设棱长为1，建立空直角坐系，间标各点坐：则标为A (1,0,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，平面设ACD 1的一法向量个a ＝(x ，y ，z )，5.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，平面ACD 1的一法向量个为________.则a ·AC ―→＝0, a ·AD ―→1＝0.因为AC ―→＝(－1,1,0)，AD ―→1＝(－1,0,1)，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧ (－1)·x ＋1·y ＋0·z ＝0，(－1)·x ＋0·y ＋1·z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －z ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＝z ，不妨取x ＝1，a ＝(1,1,1).(注：答案不唯一，只要与所给答案共线都对)规律与方法(1)空中一直的方向向量有无间条线数个.(2)方向向量在判、面位置系起到重要的作用断线线线关时.(4)利用待定系法求平面的法向量，求出向量的、、坐是具有数横纵竖标某系的，而不是具体的，可定某坐常，再表示其他坐种关值设个标为数标.(3)段中点的向量表式：于线达对AP ―→＝t AB ―→，当t ＝12，我就得到段中时们线点的向量表式达.点设M 是段线AB 的中点，则OM ―→＝12(OA ―→＋OB ―→)，就是这段线AB 中点的向量表式达.(5)明面平行的方法证线个v是直线l的方向向量，则v⊥n且l上①设n是平面α的一法向量，至少有一点A∉α，则l∥α.线与内条线线“如果平面外直平面的一直平行，②根据面平行的判定定理：么这条线这个”，要明一直和一平面平行，也可证条线个那直和平面平行内个与线线.以在平面找一向量已知直的方向向量是共向量个两个线③根据共面向量定理可知，如果一向量和不共的向量是共面向么这个与这两个线证量，那向量不共向量确定的平面必定平行，因此要明平面外一直和一平面平行，只要明直的方向向量能条线个证这条线够内两个线线.用平面不共向量性表示即可(6)明面面平行的方法证证转为线证个内两条①面面平行的明可化面平行的明，即如果一平面的线别么这两个.相交直分平行于另一平面，那平面平行②利用平面的法向量，明面面平行，即如果证a⊥平面α，b⊥平面β，且a∥b，那么α∥β.第一章 1.4.2空间向量的应用断简单线线线关.1.能用向量法判一些、面、面面垂直系语线与线线与与2.能用向量言表述直直、直平面、平面平面的垂直关.系证间线关关.3.能用向量方法明空面垂直系的有定理知识点一　向量法判断线线垂直思考　若直线l 1的方向向量为μ1＝(1,3,2)，直线l 2的方向向量为μ2＝(1，－1,1)，那直是否垂直？用向量法判直垂直的一般方法么两线断两条线是什？么答案　l 1与l 2垂直，因为μ1·μ2＝1－3＋2＝0，所以μ1⊥μ2，又μ1，μ2是直的方向向量，所以两线l 1与l 2垂直.(2)判直的方向向量的量是否零，若量零，直垂断两线数积为数积为则两线直，否不垂直则.判直是否垂直的方法：断两条线(1)在直上分取点两线别两A 、B 与C 、D ，计算向量AB ―→与CD ―→的坐，若标AB ―→·CD ―→＝0，直垂直，否不垂直则两线则.知识点二　向量法判断线面垂直梳理　直设线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ⇔____＝0⇔__________________a·b a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0思考 若直线l 的方向向量为μ1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，43，1，平面α的法向量为μ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，2，32，直则线l 平面与α的位置系是的？如何用向量法判直平面的位置关怎样断线与系？关判直平面的位置系的方法：断线与关(1)直的方向向量平面的法向量共线与线⇒l ⊥α.(2)直的方向向量平面的法向量垂直线与⇒直平面平行或直在平面线与线内.(3)直的方向向量平面的相交直的方向向量垂直线与内两线⇒l ⊥α 答案 垂直，因为μ1＝23μ2，所以μ1∥μ2，即直的方向向量平面的法向量线与平行，所以直线l 平面与α垂直.梳理　直设线l的方向向量a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量μ＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔a∥μ⇔____________.a＝kμ(k∈R)知识点三　向量法判断面面垂直思考　平面α，β的法向量分别为μ1＝(x1，y1，z1)，μ2＝(x2，y2，z 2)，用向量坐法表示平面标两α，β垂直的系式是什？关么答案　x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.梳理　若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ·ν＝0⇔__________________.a1a2＋b1b2＋c1c2＝0类型一　证明线线垂直例1 已知正三柱棱ABC —A 1B 1C 1的各都棱长为1，M 是底面上BC 的边中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝14CC 1.求：证AB 1⊥MN .证明　设AB 中点为O ，作OO 1∥AA 1.以O 坐原点，为标OB 为x ，轴OC 为y ，轴OO 1为z 建立如所示的空直角坐系轴图间标. ∵M 为BC 中点，由已知得A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，0，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，32，0， N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，32，14，B 1⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12，0，1，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫14，34，0. ∴MN ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－14，34，14，AB ―→1＝(1,0,1)，∴MN ―→·AB ―→1＝－14＋0＋14＝0. ∴MN ―→⊥AB ―→1，∴AB 1⊥MN .跟踪训练1　已知如，在直三柱图棱ABC—A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，AA 1＝4，求：证AC ⊥BC 1.证明　∵直三柱棱ABC －A 1B 1C 1底面三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，∴AC 、BC 、C 1C 垂直两两.如，以图C 坐原点，为标CA 、CB 、CC 1所在直分线别为x 、轴y 、轴z 建立空直角坐系轴间标.则C (0,0,0)，A (3,0,0)，C 1(0,0,4)，B (0,4,0)，∵AC ―→＝(－3,0,0)，BC ―→1＝(0，－4,4)，∴AC ―→·BC ―→1＝0.∴AC ⊥BC 1.类型二　证明线面垂直例2 如所示，在正方体图ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点.求：证A1O⊥平面GBD.证明　方法一　如以图D 坐原点，为标DA 、DC 、DD 1所在的直分线别为x ，轴y ，轴z 建立空直角坐系轴间标.正方体设棱长为2，则O (1,1，0)，A 1(2,0,2)，G (0,2,1)，B (2,2,0)，D (0,0,0)，∴OA 1⊥平面GBD . ∴OA ―→1＝(1，－1,2)，OB ―→＝(1,1,0)，BG ―→＝(－2,0,1)，而OA ―→1·OB ―→＝1－1＋0＝0，OA ―→1·BG ―→＝－2＋0＋2＝0.∴OA ―→1⊥OB ―→，OA ―→1⊥BG ―→，即OA 1⊥OB ，OA 1⊥BG ，而OB ∩BG ＝B ，平面设GBD 的一法向量个为n ＝(x ，y ，z )，令x ＝1，得z ＝2，y ＝－1，∴平面GBD 的一法向量个为(1，－1,2)， ∴A 1O ―→∥n ，∴A 1O ⊥平面GBD .方法二 同方法一建系后，BG ―→＝(－2,0,1)，BD ―→＝(－2，－2,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ BG ―→·n ＝0，BD ―→·n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋z ＝0，－2x －2y ＝0，然显A 1O ―→＝(－1,1，－2)＝－n ，跟踪训练2　如，方体图长ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点.求：直证线PB1⊥平面P AC.证明 如建系，图C (1,0,0)，A (0,1,0)，P (0,0,1)，B 1(1,1,2)，PC ―→＝(1,0，－1)，P A ―→＝(0,1，－1)，PB ―→1＝(1,1,1)，B 1C ―→＝(0，－1，－2)，B 1A ―→＝(－1,0，－2).PB ―→1·PC ―→＝(1,1,1)·(1,0，－1)＝0，所以PB ―→1⊥PC ―→，即PB 1⊥PC .又PB ―→1·PA ―→＝(1,1,1)·(0,1，－1)＝0，所以PB ―→1⊥P A ―→，即PB 1⊥P A .又P A ∩PC ＝P ，所以PB 1⊥平面P AC .类型三　证明面面垂直例3 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝证90°，∠ADB＝30°，E、F分是别AC、AD的中点，求：平面BEF⊥平面ABC.证明　以B 原点建立如所示的空直角坐系，为图间标平面设ABC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，设A (0,0，a )，易得则B (0,0，0)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32a ，32a ，0，D (0，3a,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34a ，34a ，a 2，F (0，32a ，a 2)， 故AB ―→＝(0,0，－a )，BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32a ，32a ，0.则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AB ―→＝0，n 1·BC ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －az 1＝0，x 1＋y 1＝0，设n2＝(x2，y2，z2)平面为BEF的一法向量，个取x1＝1，∴n1＝(1，－1,0)平面为ABC的一法向量个.同理可得n2＝(1,1，－3).∵n1·n2＝(1，－1,0)·(1,1，－3)＝0，∴平面BEF⊥平面ABC.。