人教版九年级数学下册黄金分割同步练习

27.1.2 黄金分割基础训练知识点1 比例中项1.若x是2,18的比例中项,则x=___________.2.若线段a=6 cm,b=3 cm,且c是a,b的比例中项,则线段c的长度为( )A.3错误!未找到引用源。

cmB.±3错误!未找到引用源。

cmC.±18 cmD.18 cm3.如果a∶b=3∶2,且b是a,c的比例中项,那么b∶c等于( )A.4∶3B.3∶2C.2∶3D.3∶44.如图,有三个直角三角形,其中OA=AB=BC=CD=1,则线段OA,OD的比例中项线段的长度为( )A.错误!未找到引用源。

B.错误!未找到引用源。

C.±错误!未找到引用源。

D.错误!未找到引用源。

知识点2 黄金分割5.如果点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC),则下列比例式正确的是( )A.AB∶AC=AC∶BCB.AB∶BC=BC∶ACC.AC∶BC=BC∶ABD.AC∶AB=AB∶BC6.若点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,则①AB=错误!未找到引用源。

AC;②AC=错误!未找到引用源。

AB;③AB∶AC=AC∶CB;④AC≈0.618AB.其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个7.从美学角度来说,人的上身长与下身长之比为黄金比例,可以给人一种协调的美感.某女老师上身长约61.80 cm,下身长约93.00 cm,她要穿约___________cm的高跟鞋才能达到黄金比的美感效果(精确到1 cm).提升训练考查角度1 利用比例性质求解比例中项问题8.已知线段a,b,c满足错误!未找到引用源。

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,且a+2b+c=26.(1)求a,b,c的值;(2)若线段x是线段a,b的比例中项,求x.考查角度2 利用黄金分割的定义找黄金分割点(计算法、定义法)9.以长为2的线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.(1)求MA,DM的长;(2)求证:AM2=AD·DM.(3)根据(2)的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗?考查角度3 利用黄金分割的定义证明黄金矩形(计算法、定义法)10.宽与长的比是错误!未找到引用源。

专题27.13 黄金分割（基础篇）（专项练习）一、单选题1．大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为AB的黄金分割点（AP>PB），如果AB的长度为8cm，那么BP的长度是（）A．125-C．454D．54 -B．9452．已知点C是线段AB的黄金分割点，且2<，则AC长是（）AB=，AC BCA51-B51C．35D3523．把2米的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（）A．35B51C．15D．354．已知2AB=，点P是线段AB上的黄金分割点，且AP BP>，则AP的长为（）A51B51-C35D．3525．下列说法正确的是（）A．每条线段有且仅有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BCD．以上说法都不对6．下列说法正确的是（）A．每一条线段有且只有一个黄金分割点B．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段是这条线段的0.618倍C．若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项D．黄金分割点分一条线段为两段，其中较短的一段与较长的一段的比值约为0.6187．下列命题正确的是（）A．任意两个等腰三角形一定相似B．任意两个正方形一定相似C ．如果C 点是线段AB 的黄金分割点，那么51AC AB -=D ．相似图形就是位似图形8．如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(且11AP BP <)，点2P 是线段1AP 的黄金分割点（212AP PP <），点3P 是线段3AP 的黄金分割点()323,,AP P P <依此类推，则线段2020AP 的长度是（ ）A ．202051-⎝⎭B ．202151-⎝⎭C ．202035-⎝⎭D ．202135-⎝⎭9．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC 、BC ，且AC BC >，下列说法错误的是（ ） A ．如果AC BCAB AC=，那么线段AB 被点C 黄金分割 B ．如果2AC AB BC =⋅，那么线段AB 被点C 黄金分割C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么BC 与AB 的比叫做黄金比D ．0.618是黄金比的近似值10．等腰△ABC 中，AB=AC ，△A=36°，D 是AC 上的一点，AD=BD ，则以下结论中正确的有（ ）△△BCD 是等腰三角形；△点D 是线段AC 的黄金分割点；△△BCD△△ABC ；△BD 平分△ABC ． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在△ABC 中，△A=36°，AB=AC ，BD 是△ABC 的角平分线，下列结论： △△ABD ，△BCD 都是等腰三角形； △AD=BD=BC ； △BC 2=CD•CA ； △D 是AC 的黄金分割点 其中正确的是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题12．在线段AB 上，点C 把线AB 分成两条线段AC 和BC ，若AC BCAB AC=，则点C 叫做线段AB 的黄金分割点．若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），当1MN =时，PM 的长是__________．13．勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C 分线段AB 近似于黄金分割，已知AB =10 cm ，AC ＞BC ，那么AC 的长约为____________cm （结果精确到0.1 cm ）． 14．把2米长的线段进行黄金分割，则分成的较长的线段长为__________.15．古希腊时期，51-（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”5 2.236≈，则黄金分割比例约为______________．（精确到0.01）16．已知AB=2,点C 是线段AB 的黄金分割点（AC>BC ），则AC= . 17．把长度为4cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm ．18．已知线段4AB =，点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），那么线段AP =______.（结果保留根号）19．已知线段AB 长为2cm ，P 是AB 的黄金分割点，则较长线段PA ＝ ___；PB ＝______． 20510.61803398-=…，将这个分割比保留4个有效数字的近似数是 ．21．若点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC ＜BC ，若AB ＝10，则BC ＝_____． 22．若点P 是线段AB 的黄金分割点，AB=10cm ，则较长线段AP 的长是_____cm ．三、解答题23．已知C 、D 是线段AB 上的点，CD ＝(√5﹣2)AB ，AC ＝BD ，则C 、D 是黄金分割点吗？为什么？24．已知线段MN = 1，在MN 上有一点A ，如果AN =，求证：点A 是MN 的黄金分割点.25．（1）对于实数a 、b ，定义运算“⊕”如下：2a b a b ⊕=-．若(1)(2)8x x +⊕-=，求: 2(2)(23)x x x -⊕-的值；（2）已知点C 是线段AB 的黄金分割点（AC ＜BC ），若AB ＝4，求AC 的长．26．（1）我们知道，将一条线段AB 分割成大小两条线段AP 、PB ，使AP ＞PB ，点P 把线段AB 分成两条线段AP 和BP ，且=AP BP AB AP ，点P 就是线段AB 的黄金分割点，此时PAAB的值为 （填一个实数）：（2）如图，Rt△ABC 中，△B=90°，AB=2BC ，现以C 为圆心、CB 长为半径画弧交边AC 于D ，再以A 为圆心、AD 长为半径画弧交边AB 于E ． 求证：点E 是线段AB 的黄金分割点．27．某校要设计一座2m 高的雕像(如图)，使雕像的点C (肚脐)为线段AB (全身)的黄金分割点，上部AC (肚脐以上)与下部BC (肚脐以下)的高度比为黄金比．则雕像下部设计的高度应该为______(结果精确到0.001)米． 5 2. 236=，结果精确到0.001)．28．在等边三角形ABC中，点D，E分别在BC，AC上，且DC=AE，AD与BE交于点P，连接PC．(1)证明：ΔABE△ΔCAD．(2)若CE=CP，求证△CPD=△PBD．(3)在(2)的条件下，证明：点D是BC的黄金分割点.参考答案1．A【分析】根据黄金分割的定义得到AP 51-AB ，然后把AP 的长度代入可求出AB 的长． 【详解】解：△P 为AB 的黄金分割点（AP ＞PB ）， △AP 51-AB ， △AB 的长度为8cm ， △AP 51-×8=454（cm ）， △BP =AB -AP =8-（454）=125- 故选：A ．【点拨】本题考查了黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC =AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC 51-AB ． 2．C 【分析】利用黄金分割比的定义即可求解. 【详解】由黄金分割比的定义可知 5151251BC AB --=== △2(51)35AC AB BC =-=-= 故选C【点拨】本题主要考查黄金分割比，掌握黄金分割比是解题的关键. 3．A 【分析】根据黄金分割的定义列式进行计算即可得解. 【详解】解: 较短的线段长=2⨯ (15-1=255 故选A.【点拨】本题考查了黄金分割的概念, 熟记黄金分割的比值5-1是解题的关键.4．A 【分析】根据黄金分割点的定义和AP BP>得出51AP AB-=，代入数据即可得出AP的长度．【详解】解：由于P为线段AB＝2的黄金分割点，且AP BP>，则5151251ABAP--===．故选：A．352，51-．5．B【分析】根据黄金分割的定义分别进行解答即可．【详解】A．每条线段有两个黄金分割点，故本选项错误；B．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618倍，正确；C．若点C把线段AB黄金分割，则AC2＝AB•BC，不正确，有可能BC2＝AB•AC．故选B．【点拨】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．6．D【分析】根据比例中项和黄金分割的概念分析各个说法.【详解】解：A、每一条线段有两个黄金分割点，错误；B、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段是这条线段的0.618倍，错误；C、若点C把线段AB黄金分割，则AC是AB和BC的比例中项，错误；D、黄金分割点分一条线段为两段，其中较长的一段与这条线段的比值约为0.618，正确；故选D．【点拨】此题考查黄金分割问题，理解比例中项、黄金分割的概念，是解题的关键． 7．B 【分析】根据相似多边形的概念、黄金分割点及位似可直接进行排除选项． 【详解】解：A 、任意两个等腰三角形的底角或顶角相等，则这两个等腰三角形相似，故原命题错误； B 、任意两个正方形一定相似，故原命题正确；C 、如果C 点是线段AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），那么51AC AB -=D 、相似图形不一定是位似图形，故原命题错误； 故选B ．【点拨】本题主要考查相似多边形的概念、黄金分割点及位似，熟练掌握相似多边形的概念、黄金分割点及位似是解题的关键． 8．C 【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线51-叫做黄金比进行解答即可． 【详解】解：根据黄金比的比值，151BP -= 则151351AP --==23233535,,AP AP --==⎝⎭⎝⎭…依此类推，则线段2020202035AP -=⎝⎭，故选C ．【点拨】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 9．C 【解析】【分析】根据黄金分割的定义判断即可.【详解】根据黄金分割的定义可知A、B、D正确;C.如果线段AB被点C黄金分割（AC>BC）,那么AC与AB的比叫做黄金比,所以C错误.所以C选项是正确的.【点拨】本题考查了黄金分割的概念:把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC）,且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB 的黄金分割点.注意线段AB的黄金分割点有两个.10．D【详解】△AB=AC，△△ABC=△C=12（180°-△A）=12（180°-36°）=72°，△AD=BD，△△DBA=△A=36°，△△BDC=2△A=72°，△△BDC=△C，△△BCD为等腰三角形，所以△正确；△△DBC=△ABC-△ABD=36°，△△ABD=△DBC，△BD平分△ABC，所以△正确；△△DBC=△A，△BCD=△ACB，△△BCD△△ABC，所以△正确；△BD：AC=CD：BD，而AD=BD，△AD：AC=CD：AD，△点D是线段AC的黄金分割点，所以△正确．故选D.11．D【解析】试题分析：在△ABC，AB=AC，△A=36°，BD平分△ABC交AC于点D，可推出△BCD，△ABD 为等腰三角形，可得AD=BD=BC，利用三角形相似解题．解：如图，△AB=AC，△A=36°，△△ABC=△C=72°，△BD平分△ABC交AC于点D，△△ABD=△CBD=△ABC=36°=△A，△AD=BD，△BDC=△ABD+△A=72°=△C ， △BC=BD ，△△ABD ，△BCD 都是等腰三角形，故△正确； △BC=BD=AD ，故△正确； △△A=△CBD ，△C=△C ， △△BCD△△ACB ， △，即BC 2=CD•AC ，故△正确； △AD=BD=BC ，△AD 2=AC•CD=（AD+CD ）•CD ， △AD=CD ，△D 是AC 的黄金分割点．故△正确， 故选D ．考点：相似三角形的判定与性质；黄金分割． 1251- 【分析】根据若点P 是线段MN 的黄金分割点（PM PN >），则PM MN 51-计算即可． 【详解】当PM ＞PN 时，51-51-， 51-． 51-是解题的关键． 13．6.2 【分析】黄金分割又称黄金率，是指事物各部分间一定的数学比例关系，即将整体一分为二，较大部分与较小部分之比等于整体与较大部分之比，其比值为1：0.618或1.618：1，即长段为全段的0.618，0.618被公认为最具有审美意义的比例数字．上述比例是最能引起人的美感的比例，因此被称为黄金分割．【详解】由题意知AC :AB =BC :AC ，△AC :AB ≈0.618，△AC =0.618×10cm ≈6.2(结果精确到0.1cm )故答案为6.2.【点拨】本题考查黄金分割，解题关键是掌握黄金分割定理.14．51-米 【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分51-叫做黄金比． 【详解】解：△将长度为2米的线段进行黄金分割，△较长的线段=2⨯51-51- 51-米.51-是解的关键． 15．0.62【分析】把黄金分割比例按要求进行计算即可．【详解】解：51-5 2.236≈， 51-≈2.23612-≈0.62， 故答案为：0.62． 【点拨】本题考查了求一个数的近似值，有理数的除法，正确计算是解题的关键． 1651 【解析】51251AC -==17．()252cm ．【解析】根据黄金分割的定义得到较长线段的长=×4，然后进行二次根式的运算即可． 解：较长线段的长=×4=（2）cm ．故答案为（2）cm ． 18．52 【分析】51-计算即可. 【详解】 解：△点P 是线段AB 的黄金分割点（AP>BP ） △51AP 252AB -== 故答案为：252.【点拨】本题考查的知识点是黄金分割，熟记黄金分割点的比值是解题的关键.19．)51cm (35cm 【分析】根据黄金分割的概念得到较长线段51-AB ，则PB=AB -352AB ，然后把AB=2cm 代入计算即可．【详解】解：△P 是AB 的黄金分割点， △较长线段51-AB ， △PB=AB -352AB ， 而AB=2cm ， △PA=)51cm ，PB=(35cm ． 故答案为：)51cm ；(35cm ．【点拨】本题考查了黄金分割的概念：一个点把一条线段分成两段，其中较长线段是较短线段与整个线段的比例中项，那么就说这条线段被这点黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分51-倍． 20．0.6180【解析】根据有效数字的定义，运用四舍五入法保留4个有效数字，需观察第五位有效数字，由于第五位有效数字是，不需往前面进一位．所以0.61803398…≈0.618021．555【分析】根据黄金分割点的定义，知BC 为较长线段；则BC 51-AB ，代入数据即可得出AC 的值．【详解】解：由于C 为线段AB ＝10的黄金分割点，且AC ＜BC ，BC 为较长线段；则BC ＝51-＝55． 故答案为：555．【点拨】本题考查黄金分割：把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即AB ：AC=AC ：BC ），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点．其中51-AB≈0.618AB ，并且线段AB 的黄金分割点有两个． 22．555【解析】△P 是线段AB 的黄金分割点，AP ＞BP ，51-AB ， △AB=10cm ， △AP=5110555-=. 故答案为555．点睛：若点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP>BP ，则AP 2=BP·AB ，即51-AB. 23．C 、D 是黄金分割点.【解析】【分析】 根据题意求出AC 与AB 的关系，计算出AD 与AB 的关系，根据黄金比值进行判断即可．【详解】解：C 、D 是黄金分割点，△AC+CD+BD ＝AB ，CD ＝(√5﹣2)AB ，AC ＝BD ，△AC ＝3−√52AB ， AD ＝AC+CD ＝3−√52AB+(√5﹣2)AB ＝√5−12AB ， △D 是AB 的黄金分割点，同理C 也是AB 的黄金分割点．【点拨】本题考查黄金分割，关键是掌握黄金分割的概念和黄金比.24．见解析 【解析】试题分析：先求得AM=√5−12，即可得到AM MN =AN AM =√5−12，结论得证。

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！中考数学复习难题训练：黄金分割专题训练一、选择题1.若P是线段AB的黄金分割点(PA>PB)，设AB=1，则PA的长约为()A. 0.191B. 0.382C. 0.5D.0.6182.上海东方明珠电视塔高468m.其上球体位于塔身的黄金分割点，那么它到塔底部的距离大约是()A. 289.2mB. 178.8mC. 110.4mD. 468m3.如果把一条线段分为两部分，使其中较长的一段与整条线段的长度比是黄金比，那么较短一段与较长一段的长度比也是黄金比．由此，假设整条线段长为1，较长的一段为x，可以列出的方程为()A. 1−xx =x1B. 1−x1=1xC. x1−x=1−x1D. 1−xx=x√54.已知点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC)，AB=4，则线段AC的长是()A. 2√5−2B. 6−2√5C. √5−1D. 3−√55.一条线段的黄金分割点有()个A. 1B. 2C. 3D. 无数个6.在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E，连结BE，延长DA至点F，使得EF=BE，以AF为边作正方形AFGH，则H即是线段AB的黄金分割点．若记正方形AFGH的面积为S1，矩形BCIH的面积为S2，则S1与S2的大小关系是()A. S1>S2B. S1<S2C. S1=S2D. 不能确定7.已知点C把线段AB分成两条线段AC、BC，且AC>BC，下列说法错误的是()A. 如果ACAB =BCAC，那么线段AB被点C黄金分割B. 如果AC2=AB⋅BC，那么线段AB被点C黄金分割C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比D. 0.618是黄金比的近似值8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=108°，AD、AE将∠BAC三等分交边BC于点D，点E，则下列结论中错误的是()A. 点D是线段BC的黄金分割点B. 点E是线段BC的黄金分割点C. 点E是线段CD的黄金分割点D. EDBE =√5−12二、填空题9.据有关测定，当气温处于人体正常体温(37℃)的黄金比值时，人体感到最舒适，则这个气温约为_________℃(结果保留整数)．10.如果线段AB=10cm，P是线段AB的黄金分割点，那么线段BP=________cm．11.如图是一种贝壳的俯视图，点C分线段AB近似于黄金分割(BC<AC).已知AB=4cm，则BC的长约为________cm.(结果精确到0.1)12.在自然界中，蝴蝶的身长与双翅展开后的长度的比接近于0.618.若双翅展开后的长度约为5.62cm，则其身长约为_______cm(保留两位小数)13.美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女模特身高165cm，下半身长x(cm)与身高l(cm)的比值是0.60.为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为____．14.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm，则宽约为________(精确到1cm)．15.已知点C为线段AB的黄金分割点，且AC>BC，若P点为线段AB上的任意一点，则P点出现在线段AC上的概率为________．三、解答题16.拥有一个完美的身材是很多人的梦想，世界著名的雕像“维纳斯”就被认为是最美的身材。

北师大版九年级数学上册第四章4.4.4黄金分割 同步测试题一、选择题1．已知点C 把线段AB 分成两条线段AC ，BC ，下列说法错误的是( )A ．如果AC AB ＝BCAC ，那么线段AB 被点C 黄金分割B ．如果AC 2＝AB ·BC ，那么线段AB 被点C 黄金分割C ．如果线段AB 被点C 黄金分割，那么AC 与AB 的比叫做黄金比D ．一条线段有两个黄金分割点2．已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列各式中正确的是( )A ．AB 2＝AC ·BC B ．BC 2＝AC ·AB C ．AC 2＝BC ·ABD ．AC 2＝2AB ·BC3．已知AB ＝2 cm ，C 为AB 上的黄金分割点，且AC ＞BC ，则AC 的值为( )A ．(5－1)cmB ．0.618 cmC ．(3－5)cmD.3－52cm4．若点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，则下列说法正确的有( )①AB ＝5＋12AC ；②AC ＝3－52AB ；③AB ∶AC ＝AC ∶BC ；④AC ≈0.618AB. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.我们把宽与长的比值等于黄金比5－12的矩形称为黄金矩形．如图，在黄金矩形ABCD(AB ＞BC)的边AB 上取一点E ，使得BE ＝BC ，连接DE ，则AEAD等于( )A.22B.5－12C.3－52D.5＋12二、填空题6.已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的正方形的面积为S1，以PB，AB为边的矩形的面积为S1与S2的关系是S1＝S2．7．相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20 cm，那么相邻一条边的边长等于(105－10)cm.8．已知线段AB＝4 cm，C为AB的黄金分割点，则AC的长为(25－2)cm或(6－25)cm．9．宽与长的比是5－12(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：如图，作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，FD的长为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中是黄金矩形的是矩形DCGH．10．如图，△ABC是顶角为36°的等腰三角形，若△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形(底与腰的比为5－12的三角形是黄金三角形)．已知AB＝4，则DE＝6－25．11．乐器上一根弦AB长80 cm，两个端点A，B固定在乐器板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则CD的长为(805－160)cm.9．如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR.图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为5－1 2.若AB＝5－12，则MN＝5－2．三、解答题12．如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC的中点，点F在BC的延长线上，且EF＝DE，以CF为边作正方形CFGH，点H在CD边上．试说明点H是线段CD的黄金分割点．13.如图，以长为2 cm的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，在BA的延长线上取点F，使PF＝PD，以AF为边作正方形AFEM，点M落在AD上．(1)试求AM，DM的长；(2)点M是线段AD的黄金分割点吗？请说明理由．14．如图，在△ABC中，AC＝BC，在边AB上截取AD＝AC，连接CD，若点D恰好是线段AB 的一个黄金分割点，且有AD＞BD，求∠A的度数．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由．参考答案1-5、CCACB6、S1＝S2．7、(105－10)cm.8、(25－2)cm或(6－25)cm．9、矩形DCGH．10、6－25．11、5－2．12、解：∵点E是BC的中点，∴EC＝1.∴EF＝DE＝22＋12＝ 5. ∴CF＝5－1.∵四边形CFGH是正方形，∴CH＝CF＝5－1.∴CHCD＝5－12.∴点H是线段CD的黄金分割点．13、解：(1)在Rt△APD中，AP＝1 cm，AD＝2 cm，由勾股定理，得PD＝AD2＋AP2＝ 5 cm.∴AM＝AF＝PF－AP＝PD－AP＝(5－1)cm.∴DM＝AD－AM＝(3－5)cm.(2)点M是线段AD的黄金分割点，理由如下：∵AM2＝(5－1)2＝6－25，AD·DM＝2×(3－5)＝6－25，∴AM2＝AD·DM.∴点M是线段AD的黄金分割点．14、解：∵点D是线段AB的一个黄金分割点，且AD＞BD，∴AD2＝BD·AB.∵AD＝AC＝BC，∴BC2＝BD·AB，即BC∶BD＝AB∶BC.∵∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC.∴∠A＝∠BCD.设∠A＝x，则∠B＝x，∠BCD＝x，∴∠ADC＝∠BCD＋∠B＝2x.∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝2x.在△ABC中，x＋(2x＋x)＋x＝180°，解得x＝36°，∴∠A＝36°.15、解：点E是线段AB的黄金分割点．理由如下：连接EC.∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC.又∵AE＝BC，∴EC＝BC.∴∠BEC＝∠B.∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B.∴∠BEC＝∠ACB.又∵∠B＝∠B，∴△CEB∽△ACB.∴BEBC＝BCAB，即BC2＝BE·AB，又∵AE＝BC，∴AE2＝BE·AB.∴点E是线段AB的黄金分割点1、在最软入的时候，你会想起谁。

4.2 黄金分割 同步练习◆基础训练一、选择题1．若3a=4b ，则（a-b ）：（a+b ）的值是（ ）．A ．17B ．C ．-17D ．-7 2．已知P 是线段AB 上一点，且AP ：PB=2：5，则AB ：PB 等于（ ）．A ．7：5B ．5：2C ．2：7D ．5：73．已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP>BP ，设以AP 为边的正方形的面积为S 1，•以PB 、AB 为边的矩形面积为S 2，则S 1与S 2的关系是（ ）．A ．S 1>S 2B ．S 1<S 2C ．S 1=S 2D ．S 1≥S 2二、填空题4．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC>BC ，则______,AB BC AC AB==_______． 5．等边△ABC 中，AD ⊥BC ，AB=4，则高AD 与边长AB 的比是______．三、解答题6．求下列各式中的x ：（1）7：4=11：x ； （2）2：3=（5-x ）：x ．7．已知a b =112,a c c b a b c-+=-求证:．◆能力提高一、填空题8．在线段AB上取一点P，使AP：PB=1：3，则AP：AB=______，BC：PB=______．9．如图，已知3,(1)2AB AC BC CEAD AE DE AE===则:=______，（2）若BD=10cm，则AD=______；（3）若△ADE的周长为16cm，则△ABC的周长为_______．二、解答题10．已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，那么第三个数是多少？11．在相同时刻的物高和影长成比例．已知上午9点时，高为1.5m的测杆的影长为2.5m，此时一古塔在地面的影长是50m，求古塔的高．如果上午10点时，1.5m•高的测杆的影长为2m，中午12点时，1.5m高的测杆的影长为1m，求古塔的影长是20m的时刻．◆拓展训练12．用厘米作为长度单位量一下几何作业本，求出长与宽的比．•如果你来设计作业本的大小，你能利用所学的知识设计一种既美观又实用的“黄金作业本”吗？答案:1．A 2．A 3．C 4．1344,2 6.(1)227（2）x=3 7．由已知得ac-ab=ab-bc ，∴ac+bc=2ab ，∴2112a b ab c a b c+=+=即． 8．1：4，4：3 9．（1）52 （2）4cm （3）24cm10．2或16或±．30m ，中午12点 12．略.。

如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB，近似值为0.618.1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的；2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的；3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数；4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”.例：点C是AB的黄金分割点，AB＝4，则线段AC的长为　．【解答】22或6﹣2【解析】①当AC＞BC时，∵点C是线段AB的黄金分割点，∴AC＝AB＝2﹣2；②当AC＜BC时，∵点C是线段AB的黄金分割点，∴BC＝AB＝2﹣2，∴AC＝AB﹣BC＝6﹣2综上所述，线段AC的长为22或6﹣2故答案为22或6﹣2一．选择题1．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10，那么AP的长是（ ）A．5B．5C．1D【解答】A【解析】由于P为线段AB＝10的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝―5．故选A．2．如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（ ）A B C D 【解答】A【解析】如图，设AB＝1，∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，∴AE＝GF∴BE＝FH＝AB﹣AE∴S3：S2＝（GF•FH）：（BC•BE）：（1故选A ．3．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G 将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的一段GN 的比例中项，即满足MGMN =GNMG =“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则△ADE 的面积为（ ）A B ．―5C D 【解答】A【解析】作AH ⊥BC 于H ，如图，∵AB ＝AC ，∴BH ＝CH =12BC ＝2，在Rt △ABH 中，AH ∵D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，∴BE ＝2―1）＝―2，∴HE ＝BE ﹣BH ＝―2﹣2＝―4，∴DE ＝2HE ＝8∴S △ADE =12×（8）=故选A ．4．21）的值（ ）A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间【解答】B又∵2―1）＝―2，∴4＜5，∴2＜2＜3，∴21）的值在2和3之间；故选B．5．已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，则AC长是（ ）A B―1C．3―D【解答】C【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝2，AC＜BC，BC2＝AC•AB（2﹣AC）2＝2ACAC2﹣6AC+4＝0解得AC＝3+3则AC长是3―故选C．6．如果一个矩形的宽与长的比等于黄金比，则称该矩形为黄金矩形．如图，已知矩形ABCD是黄金矩形，且AD＞AB，AD＝2，点E是AD上一点，点G是CD上一点，将△ABE沿直线BE折叠，使点A落在BC边上的点F处，再将△DEG沿直线EG折叠，使点D落在EF上的点H处，则FH的长为（ ）A1B C．3―D．4【解答】D【解析】∵矩形ABCD 是黄金矩形，且AD ＞AB ，AD ＝2，∴AB =―1，∵△ABE 沿直线BE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，∴AB ＝BF 1，∠BFE ＝∠A ＝90°，∴四边形ABFE 为正方形，∴AE ＝EF ＝AB =―1，同理可得四边形DEHG 为正方形，∴EH ＝DE ＝AD ﹣AE ―1）＝3∴HF ＝EF ﹣EH =―1﹣（34．故选D ．7．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加美感，按此比例，如果雕像的身高为3米，设雕像的上部为x 米，根据其比例关系可得其方程应为（ ）A ．x 2﹣9x +9＝0B ．x 2﹣3x +9＝0C ．x 2+9x ﹣9＝0D ．x 2﹣6x +9＝0【解答】A【解析】根据题意得x ：（3﹣x ）＝（3﹣x ）：3，整理得x 2﹣9x +9＝0．故选A ．8．已知，P 是线段AB 上的点，且AP 2＝BP •AB ，那么AP ：AB 的值是（ ）A B C D 【解答】A【解析】设AB 为1，AP 为x ，则BP 为1﹣x ，∵AP 2＝BP •AB ，∴x 2＝（1﹣x ）×1解得x 1x 2．∴AP ：AB 故选A ．9．如图，Rt △OAB 的直角边OA ＝2，AB ＝1，OA 在数轴上，在OB 上截取BC ＝BA ，以原点O 为圆心，OC 为半径画弧，交数轴于点P ，则OP 的中点D 对应的实数是（ ）A B C 1D 1【解答】A【解析】在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，AB ＝1，OA ＝2，由勾股定理得：OB =∵BC ＝AB ，AB ＝1，∴BC ＝1，∴OC ＝OB ﹣BC =―1，即OP =―1，∵OP 的中点是D ，∴OD =12OP =12×―1）即点D 故选A ．10．点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段，如果AP 是PB 和AB 的比例中项，那么下列式子成立的是（ ）A ．PBAP =B ．APPB C ．PBAB D ．APAB 【解答】D【解析】∵点P 把线段AB 分割成AP 和PB 两段，AP 是PB 和AB 的比例中项，∴根据线段黄金分割的定义得：APAB =故选D ．11．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及实数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c ＝a +x （b ﹣a ），这里x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得b ac a=c ab c ，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于（ ）A ．12B C D【解答】D【解析】∵c﹣a＝x（b﹣a），b﹣c＝（b﹣a）﹣x（b﹣a），b ac a =c ab c，∴[x（b﹣a）]2＝（b﹣a）2﹣x（b﹣a）2，∴x2+x﹣1＝0，解得x∵0＜x＜1，∴x=故选D．12．下列说法：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；x＝﹣4或1；④数4和9的比例中项是6；⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝―5．其中正确的说法的个数是（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】C【解析】①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0，当a、c异号时，方程一定有实数根；正确，此时△＞0；②关于x的方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4＝0有一个根是x＝0，则a＝±2；正确；x＝﹣4或1；错误，x＝﹣4不符合题意，不是最简二次根式；④数4和9的比例中项是6；错误，数4和9的比例中项是±6，⑤若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5．错误，若点C是线段AB的黄金分割点，且AB＝10，则AC＝5或BC＝5．故选C．二．填空题130.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐27cm，则其身高大约是 cm．（结果保留整数）【解答】185．【解析】设咽喉至肚脐的长度为xcm，肚脐至足底的长度为ycm，由题意得，27x≈0.618，解得，x≈43.7，∴人体的头顶至肚脐的长度为：27+43.7＝70.7，∴70.7y≈0.618，解得，y≈114.4，其身高＝114.4+70.7≈185（cm），故答案为185．14．如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，设以AP为边长的正方形面积为S1，以PB为宽，以AB为长的矩形面积为S2，S1 S2（填“＞”或“＝”或“＜”）．【解答】＝【解析】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，∴AP2＝BP×AB，又∵S1＝AP2，S2＝PB×AB，∴S1＝S2．故答案为＝．15．如图，C、D是线段AB的两个黄金分割点，且CD＝1，则线段AB的长为　．【解答】2+【解析】∵线段AB＝x，点C是AB黄金分割点，∴较小线段AD＝BC=，则CD＝AB﹣AD﹣BC＝x﹣2×=1，解得：x＝2+故答案为2+16．点P在线段AB上，且BPAP =APAB．设AB＝4cm，则BP＝ cm．【解答】【解析】∵BPAP =APAB．∴P点为AB的黄金分割点，∴AP4＝2，∴BP＝4﹣（2cm．．17．已知点P是线段AB上的一点，且BP2＝AP•AB，如果AB＝10cm，那么BP＝ cm．【解答】（5）【解析】∵点P是线段AB上的一点∴AP＝AB﹣BP＝10﹣BP，∵BP2＝AP•AB，AB＝10cm，BP2＝（10﹣BP）×10，解得BP＝―5．故答案为（5）．18．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 cm．【解答】（5）【解析】∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），∴AP10＝―5（cm），故答案为（5）19．电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20米，主持人现站在A处，请问主持人应走到离A点至少多少米处才最自然得体？（结果精确到0.1米） ．【解答】7.6米【解析】根据黄金比得：20×（1﹣0.618）≈7.6米，∵黄金分割点有2个，∴20﹣7.6＝12.4，由于7.6＜12.4米∴主持人应走到离A点至少7.6米处才最自然得体．故答案为7.6米．20．如图，以边长为4的等边三角形AOB的顶点O为坐标原点，边OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点B在第一象限，在边OB上有一点P为OB的黄金分割点（PO＞PB），那么点P的坐标是 ．【解答】（4，【解析】如图，作BD⊥OA，PE⊥OA于点D、E，∵△ABC为边长为+4的等边三角形，∴∠OBD＝∠ODE＝30°，设OE＝x，则OP＝2x，PE，则PB＝+4﹣2x，∵点P为OB的黄金分割点（PO＞PB），根据黄金分割定义，得OP2＝OB•PB4x2＝（4）（4﹣2x）解得x＝4，＝所以P点坐标为（4，．故答案为（4，．21．把长为10cm的线段黄金分割后，其中较短的线段长度是 cm．【解答】5（3―【解析】由题意知，则较短线段＝10×（15（3―．故本题答案为：5（3―．三．解答题22．如图，在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DC＝AC，已知∠ACE＝108°，BC＝2．（1）求∠B的度数；（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；②求AD的长．【解答】（1）∠B的度数为36°；（2）①△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形；②3―【解析】（1）设∠B＝x，∵BD＝DC，∴∠DCB＝∠B＝x，∴∠ADC＝∠B+∠DCB＝2x，∵AC＝DC，∴∠A＝∠ADC＝2x，∵∠ACE＝∠B+∠A，∴x+2x＝108°，解得x＝36°，即∠B的度数为36°；（2）①△ABC、△DBC、△CAD都是黄金三角形．理由如下：∵DB＝DC，∠B＝36°，∴△DBC为黄金三角形；∵∠BCA＝180°﹣∠ACE＝72°，而∠A＝2×36°＝72°，∴∠A＝∠ACB，而∠B＝36°，∴△ABC为黄金三角形；∵∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB＝72°﹣36°＝36°，而CA＝CD，∴△CAD为黄金三角形；②∵△BAC为黄金三角形，=∴ACBC而BC＝2，∴AC=―1，∴CD＝CA1，∴BD＝CD1，∴AD＝AB﹣BD1）＝3―23ABCD剪掉一个正方形ADFE后，剩余的矩形BCFE（BC＞BE）是黄金矩形，则原矩形ABCD是否为黄金矩形？请说明理由．【解答】见解析【解析】原矩形ABCD是为黄金矩形．理由如下：设矩形BCFE的长BC为x，∵四边形BCFE为黄金矩形，∴宽FC，∵四边形AEFD是正方形，∴AB＝x，则BCAB∴原矩形ABCD是为黄金矩形．24．（1）已知ab =35，求（2）已知点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，求PA、PB的长．【解答】（1）85；（2）PA―1，PB=3―【解析】（1）∵ab =35，∴可设a＝3k，则b＝5k，∴a bb =3k5k5k=85；（2）∵点P是线段AB的黄金分割点，PA＞PB，AB＝2，∴PA=―1，PB＝3―25．如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB．类似的，在AB上折出点M使AM＝AF．则M是AB的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由．【解答】见解析【解答】证明：∵正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，∴BE＝1∴AE=∵EF＝BE＝1，∴AF＝AE﹣EF=―1，∴AM＝AF1，∴AM：AB1）：2，∴点M是线段AB的黄金分割点．26．如图，点C将线段AB分成两部分，若AC2＝BC•AB（AC＞BC），则称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行抛物线课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金抛物线”，类似地给出“黄金抛物线”的定义：若抛物线y＝ax2+bx+c，满足b2＝ac（b≠0），则称此抛物线为黄金抛物线．（1）若某黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，且与y轴交于点（0，8），求y的最小值；（2）若黄金抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点P为（1，3），把它向下平移后与x轴交于A+3，0），B（x，0），判断原点是否是线段AB的黄金分割点，并说明理由．【解答】（1）6；（2）见解析【解析】（1）∵黄金抛物线的对称轴是直线x＝2，=2，∴―b2a∴b＝﹣4a，又b2＝ac∴16a2＝ac．且与y轴交于点（0，8），∴c＝8．∴a =12，b ＝﹣2．∴y =12x 2﹣2x +8=12（x ﹣2）2+6，∵12＞0，∴y 有最小值为6．答：y 的最小值为6．（2）原点是线段AB 的黄金分割点．理由如下：∵黄金抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ＞0）的顶点P 为（1，3），把它向下平移后与x 轴交于A 3，0），B （x 0，0），∴x 0＝﹣1∴OA ＝3OB ＝1+AB ＝OA 2＝（32＝OB •AB ＝（1+）（∴OA 2＝OB •AB ．答：原点是线段AB 的黄金分割点．27．如图，要设计一座高为2米的人体雕像AB ，使雕像的上部AC （腰点C 以上）与下部（腰点C 以下）的高度之比等于下部BC 与全部AB （身高）的高度之比，雕像的下部BC 的长应设计为多少米？【解答】（﹣1+【解析】设下部应设计为x 米，则上部的长度为（2﹣x ）米，根据题意得，2x x =x 2，整理得，x 2+2x ﹣4＝0，解得，x 1＝﹣1+x 2＝﹣1―，所以，雕像的下部应设计为（﹣1+28．如图1，点B 在线段AC 上的黄金分割点，且AB ＞BC ．（1）设AC ＝2，①求AB 的长；填空：设AB ＝x ，则BC ＝2﹣x∵点B 在线段AC 上的黄金分割点，且AB ＞BC ，∴ ，可列方程为 ，解得方程的根为 ，于是，AB 的长为 ．②在线段AC （如图1）上利用三角板和圆规画出点B 的位置（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若m 、n 为正实数，t 是关于x 的方程x 2+2mx ＝n 2的一正实数根，①求证：（t +m ）2＝m 2+n 2；②若两条线段的长分别为m 、n （如图2），请画出一条长为t 的线段（保留作图痕迹，不写作法）．【解答】（1）①AB AC =BC AB ，x 2=2x x ，x 1＝﹣1x 2＝﹣1+（2）①见解析，②见解析【解析】（1）①设AB ＝x ，则BC ＝2﹣x∵点B 在线段AC 上的黄金分割点，且AB ＞BC ，∴AB AC =BC AB ，可列方程为：x 2=2x x ，解得：x 1＝﹣1+x 2＝﹣1―∴AB 的长为：﹣1故答案为AB AC =BC AB ，x 2=2x x ，x 1＝﹣1x 2＝﹣1②作图见下图1：（2）①证明：解关于x的方程x2+2mx＝n2：x2+2mx+m2＝m2+n2（x+m）2═m2+n2，∵t是关于x的方程x2+2mx＝n2的一正实数根，∴（t+m）2＝m2+n2；②作图见下图。

黄金分割同步练习（典型题汇总）【学习目标】1．知道黄金分割的定义；会找一条线段的黄金分割点；会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点．2．通过找一条线段的黄金分割点，培养学生的理解与动手能力．3．理解黄金分割的现实意义，并能动手找到和制作黄金分割点和图形，让学生认识数学与人类生活的密切联系．【学习重点】了解黄金分割的意义并能运用．【学习难点】找出黄金分割点和作黄金矩形．情景导入生成问题形是( B )A．△ EFB B．△ DEFC．△ CFB D．△ EFB 和△ DEF2．如图，在边长为 1 的正方形网格中有点P，A，B， C ，则图中所形成的三角形中，相似三角形是△APB∽△ CPA．自学互研生成能力知识模块黄金分割的有关概念先阅读教材P95－96 页的内容，然后解答下列问题：1. 黄金分割的意义：如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC＝BC，那么称线段AB被点C黄AB AC金分割，其中点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，近似数为0.618．2．黄金分割点的作法：如图所示，已知线段AB.1．如图，在矩形ABCD 中， E 在AD 上，E F⊥BE，交CD 于F，连接BF，则图中与△ ABE 一定相似的三角1(1) 过 B 作 BD ⊥AB 使 BD ＝2AB ； (2) 连接 AD ，在 DA 上截取 DE ＝DB ；(3) 在 AB 上截取 AC ＝AE ，则点 C 即为线段 AB 的黄金分割点．1．动手量一量，五角星图案中，线段 AC 、 BC 的长度，然后计算 A AB C 与B AC C ，它们的值相等吗？教学说明： 学生亲自动手操作，得到黄金比并加深对黄金分割的理解．2．计算黄金比：见教材 P 96 页例 4. 3．探究教材 P 96 页 “想一想 ”．归纳结论： 在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ，如果A AB C ＝ BC， AC，那么称线段 AB 被点 C 黄 金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点， AC 与 AB 的比叫做黄金比．内容：古希腊时的巴台农神庙，将图中的虚线表示的矩形画成如图中的矩形 ABCD ，以矩形 ABCD 的宽为边在其内部作正方形 AEFD ，那么，我们可以惊奇的发现BC ＝AB. BE ＝BC .提出问题：点 E 是 AB 的黄金分割点吗？矩形 ABCD 宽与长的比是黄金比吗？观看多媒体演示的内容，观察 与思考、交流、讨论、解决问题．问题解决：由 B B E C ＝A B B C ，可以得到 A B B C ＝B B E C 即A AB E ＝A BE E .所以点 E 是 AB 的黄金分割点． 对应练习：1．已知点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且 AC >BC ，则下列等式成立的是 ( C ) A ．AB 2＝AC ·CB B ． CB 2＝AC ·ABC ．AC 2＝ CB ·ABD ．AC 2＝2AB ·BC2．如图，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC ，如果AC ＝BC ，那么称线段 AB 被点 C 黄金分割， AC 与AB ACAB 的比叫做黄金比，其比值是 ( AA. 52－1B.3－2 5)C. 5＋ 12D.3＋2 53．已知 C 是线段 AB 的一个黄金分割点，则 AC ∶AB 为( D ) A. 52－1 B.3－2 5 C. 52＋ 1D. 52－1或3－2 5交流展示 生成新知1．将阅读教材时 “生成的问题 ”和通过 “自主探究、合作探究 ”得出的 “结论 ”展示在各小组的小黑板上．并将疑 难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将 “问题和结论 ”展示在黑板上，通过交流 “生成新知 ”．知识模块 黄金分割的有关概念检测反馈 达成目标1．下列说法正确的是 ( B ) A ．每条线段有且仅有一个黄金分割点 B ．黄金分割点分一条线段为两条线段，其中较长的线段约是这条线段的0.618 倍C ．若点 C 把线段 AB 黄金分割，则 AC 2＝AB ·BCD ．以上说法都不对 2．在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为 ( A )3．如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 BC 上的黄金分割点，且 BE > CE ，AE 与 BD 相交于点 F.那么 BF ∶ FD 的值为 52－ 1．4．五角星是我们常见的图形，如图是AB ＝20cm ，求 EC ＋CD 的长．解：∵点 D 为线段 AB 的黄金分割点 (AD >BD)，∴ AD ＝ 52－1，AB ＝(10 5－10)cm.∵EC ＋CD ＝AC ＋CD ＝AD ，∴ EC ＋CD ＝（10 5－10）cm.课后反思 查漏补缺1．收获： 2．存在困惑：黄金分割同步练习(典型题汇总)、选择题 :A ． 12.36cmB ．13.6cmC ． 32.36cmD ．C ，D 分别是线段 AB 的黄金分割点，AC BC1.如图,点C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果,那么下列说法错误的是 ( )AB AC4. 黄金分割比是 (AC 5.如图,点C 是AB 的黄金分割点 ,那么 AC 与AB BC二、填空题 :1. 点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC,如果 _____ , 那么称线段 AB 被点 C?黄金分割 , 点 C 叫做线段 AB 的 _______ ,AC 与AB 的比叫做 _______ .2. _______________________________________________如图,若点 C 是AB 的黄金分割点 ,AB=1,则AC= ________________________________________________,BC= _____ .A C BAC5 1 AC3. _________________________________________________________ 已知点 C 是AB 的黄金分割点 ,即 AC = 5 1,那么 AC = _________________________________________________ .AB 2 CB4. 如图,点C 是AB 的黄金分割点 ,AB=4,则AC 2=5. 宽与长的比等于 _______ 的矩形叫做黄金矩形6. 已知黄金矩形的长等于 6, 则这个黄金矩形的宽等于 ________ 三、计算题 : 1.已知线段 AB 长 6厘米,点P 是 AB 的黄金分割点 ,且AP>BP,求AP 和BP 的长.A. 线段 AB 被点 C 黄金分割 ; C.AB 与 AC 的比叫做黄金比 ;B. 点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点 AD.AC 与 AB 的比叫做黄金 2. 如图的五角星中 , AC 与 BC AB 的关系是 ( )ACA. 相等;B. AC >BC ABACC.AC <BC; D.AC AB不能确定3. 一条线段的黄金分割点有 A.1 个 B.2个 C.3D.无数个A. 5 1B.2512C.51 2D.0.618ACAC的值分别是A. 5 1, 5 1A. 2 , 2B. 5 1, 5 1; C. B. , 2; C.21; D.5126.如图,若点 C 是 AB 的黄金分割点 ,AB=2, 则 AC= CBA. 5 1B. 5 122C. 5 1D.51BCB2. 仿照课本上“做一做”的方法,画出线段AB的黄金分割点.12 23. 请你在实际生活中搜集一个与黄金分割有关的资料五、已知线段 AB=1,C 为 AB 的黄金分割点 ,且 AC>BC 求, AC-BC 的值.六、如图的五角星中 ,AD=BC,且 C 、D 两点都是 AB 的黄金分割点 ,AB=1,求 CD 的长.七、已知 C 、D 是线段 AB上的两点 , 且 CD=( 5 -2)AB,AC=BD,不难证明当 AB=1时,C 、 D 是线段 AB 的黄金分割 点,试探究当 AB 任意长时 ,C 、D 是否是线段 AB 的黄金分割点 ?为什么 ?四、已知一个等腰三角形如果腰与底边的比是黄金比 出一个黄金三角形 .,? 那么这样的等腰三角形称为黄金三角形 . 请你设法作, 并与同伴相互交流B答案:1.C2.A3.B4.B5.B6.C、 1. AC BC ; 黄金分割点 ; 黄金比 2. AB AC3. 5 14.24-8 55. 黄金比6.3 5 -32三、 1.因为点 P 是 AB 的黄金分割点 ,且 AP>BP,AP= 52 1×AB= 52 1×6=3 5-3, BP=AB-AP=9-3 512. (1) 过点 B 作 BD ⊥AB 且 BD= AB,连接 AD2(2) 以 D 为圆心 BD 为半径作圆弧交 AD 于 E(3) 以 A 为圆心 AE 为半径作圆弧交 AB 于 C,则 C 为 AB 的黄金分割点 3. 查阅资料四、先做出线段 AB,及其黄金分割点 C(AC>BC 分) 别以 A 、B 为圆心 ,AC 为半径作圆弧 ,交点为 P,则△ PAB 就是 黄金三角形 五、根据 C 为 AB 的黄金分割点 ,AC>BC 得 AC = 5 1,AB 2 因为 AB=1,所以 AC= 5 1 BC=AB-AC=1- 5 1= 3 5 ,?2 所以 AC-BC= 5 1-3 5= 5-2.22六、根据 C 、 D 都是 AB 的黄金分割点得因为 AB=1,所以 AC= 5 1,BD= 5 所以 AD=AB-BD=1- 5 1=3 5 ,225 1; 3 52 ; 2所以AP ABPB= 5 1AP = 222 AC= 5 1, BD = 5 1AB 2 AB 2因此CD=AC-AD= 5 1- 3 5 = 5-2 22七、C、D 是线段AB的黄金分割点.122。

4.4 探索三角形相似的条件课时4 黄金分割题型1 黄金分割的定义1、已知P为线段AB的黄金分割点，且AP<PB，则（）A.AP2=AB∙PBB.AP2=AB∙PBC.PB2=AP∙ABD.AP2+ BP2=AB22、如果C是线段AB的黄金分割点，并且AC>CB，AB=1，那么AC的长度为（）A.23 B.12C.√5−12D.3−√523、已知点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，则BC的长为（ ）A.(3√5−3)cmB.(9−3√5)cmC.(3√5−3)cm或(9−3√5)cmD. (9−3√5)cm或(6√5−6)cm4、宽与长的比是√5−12（约0.618）的矩形叫黄金矩形，矩形的长与宽分别为a和b，下列数据能构成黄金矩形的是（ ）A.a=4，b=√5+2B.a=4，b=√5−2C.a=2，b=√5+1D.a=2，b=√5−15、定义：如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC⋅AB,则称点C为线段AB的黄金分割点。

如图2,在△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2)求出线段AD的长。

题型2 黄金分割的应用6、主持人主持节目时,站在舞台的黄金分割点处最自然得体。

如图所示,如果舞台AB的长为12米,一名主持人现在站在A处,则她要到达最理想的位置至少走（ ）A.(18−6√5)米B.(6√5−6)米C. (6√5+6)米D. (18−6√5)米或(6√5−6)米7、某种乐器的弦AB长为120cm,点A、B固定在乐器面板上,弦AB之间有一个支撑点C,且点C是AB的黄金分割点(AC>BC),则AC的长为( )A.(120−30√5)cmB.(160−60√5)cmC.(60√5−120)cmD.(60√5−60)cm8、宽与长的比是√5−1（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调2和匀称的美感。

图形的相似（填空题：一般）1、：的比值是（___________）；把4 : 0.8化为最简单的整数比是（___________）。

2、在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20 cm，则它的宽约为．3、如果=k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=_____．4、已知线段AB的长为10厘米，点P是线段AB的黄金分割点，那么较长的线段AP的长等于_______厘米．（结果保留根号）5、已知是线段的黄金分割点，若，则_________。

6、已知，则＝________．7、已知：点P是线段MN的黄金分割点，(PM>PN),MN=4cm,则MP= .8、已知线段AB=20cm，点C是线段AB的黄金分割点，则较长线段AC的长为______cm．9、若，则的值为_________.10、已知点是线段的一个黄金分割点，且，则长为___________ .11、已知，则=________．12、如果，那么=__________．13、若，则=________________．14、配置一种盐水，盐和水的质量比是1:2，盐是盐水质量的________.15、如图,上体育课,甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时,乙的影子恰好在甲的影子里边,已知甲,乙同学相距1米．甲身高1.8米,乙身高1.5米,则甲的影长是米．16、如图，在△ABC与△ADE中，，要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件可以是__________．17、如图，在△ABC中，点D为AC上一点，且，过点D作DE∥BC交AB于点E，连接CE，过点D作DF∥CE交AB于点F．若AB=15，则EF=___________．18、将一个矩形沿着一条对称轴翻折，如果所得到的矩形与这个矩形相似，那么我们就将这样的矩形定义为“白银矩形”．事实上，“白银矩形”在日常生活中随处可见，如：我们常见的A4纸就是一个“白银矩形”．请根据上述信息求A4纸的较长边与较短边的比值，这个比值是________．19、如果，那么__________。

专题27.14 黄金分割（巩固篇）（专项练习）一、单选题1．生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C 将线段AB 分成AC 、CB 两部分，且AC ＞BC ，如果AB AC AC CB=，那么称点C 为线段AB 的黄金分割点．若C 是线段AB 的黄金分割点，AB ＝2，则分割后较短线段长为（ ）A 51B ．35C ．253D 522．世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割”，如成都广播电视塔同样蕴含着“黄金分割”，如图，塔高AB 为339米，观光区P 为塔AB 的黄金分割点(AP ＞PB)，那么AP 的高度大约为（ ）米．A ．200B ．210C ．300D ．1303．点C 是线段AB 的黄金分割点，且6AB cm =，则BC 的长为（ ）A ．()353cmB ．(935cm -C ．()353cm 或(935cm -D ．(935cm -或()656cm 4．已知点P 是线段AB 的黄金分割点，AP PB >，则:AP PB 的值为（ ）A 51-B 51+C ．0.618D 515．如图，线段AB ＝1，点P 1是线段AB 的黄金分割点(且AP 1＜BP 1，即P 1B 2＝AP 1•AB )，点P 2是线段AP 1的黄金分割点(AP 2＜P 1P 2)，点P 3是线段AP 2的黄金分割点(AP 3＜P 2P 3)，…，依此类推，则线段AP 2017的长度是( )A ．(3−√52)2017B ．(√5−12)2017C ．(12)2017D ．(√5﹣2)1008 6．古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN 分为两线段MG ，GN ，使得其中较长的一段MG 是全长MN 与较短的段GN 的比例中项，即满足51MG GN MN MG -==51-这个数称为“黄金分割”数，把点G 称为线段MN 的“黄金分割”点．如图，在ABC 中，已知3AB AC ==，4BC =，若D ，E 是边BC 的两个“黄金分割”点，则ADE 的面积为（ ）A ．105-B ．355C 525-D ．2085-7．有以下命题： ①如果线段d 是线段a ，b ，c 的第四比例项，则有a c b d=； ①如果点C 是线段AB 的中点，那么AC 是AB 、BC 的比例中项；①如果点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，那么AC 是AB 与BC 的比例中项； ①如果点C 是线段AB 的黄金分割点，AC BC >，且2AB =，则51AC =．其中正确的判断有（ ）A ．①①B ．①①①①C ．①①①D ．①①①8．采用如下方法可以得到线段的黄金分割点：如图，设AB 是已知线段，经过点B 做BD ①AB ，使12BD AB =；连接DA ，在DA 上取DE ＝DB ，在AB 上截取AC ＝AE ．点C 即为线段AB 的黄金分割点，若BD ＝2，则BC 的长为（ ）A 51-B ．65-C 51-D ．52951-510.618-≈，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美51-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是（ ）A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm二、填空题 10．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AP 的长度为8cm ，那么AB 的长度是______cm ．1151-这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设51a -=，51b +=则1ab =，记11111S a b =+++，2221111S a b =+++，…，1010101111S a b =+++．则1210S S S +++=____．12．点P 是线段AB 的黄金分割点，AP BP >，若5BP =，则AP =__．13．如图，线段AB ＝1，点P 1是线段AB 的黄金分割点（AP 1<BP 1），点P 2是线段AP 1的黄金分割点（AP 2<P 1P 2），点P 3是线段AP 2的黄金分割点（AP 3<P 2P 3），…，依次类推，则AP n 的长度是______．14．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是_____________．15．已知线段=AB 6，点c 是线段AB 的黄金分割点，AC BC >．那么AC BC -=________． 16．“黄金分割”被视为最美丽的几何学比率，在建筑、艺术和日常生活中处处可见．如图，D 、E 是①ABC 中边BC 的两个“黄金分割”点，则①ADE 与①ABC 的面积之比是_____．17．若线段5AB cm =，C 是AB 的黄金分割点，且AC BC >，则55________AC =．（判断对错） 18．已知点C 为线段AB 的黄金分割点，且1AC cm =，则线段AB 的长为________． 19．点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC ＞BC ），若 AC ＝2则AB ⋅BC ＝______．20．（如图1），点P 将线段AB 分成一条较小线段AP 和一条较大线段BP ，如果，那么称点P 为线段AB 的黄金分割点，设=k ，则k 就是黄金比，并且k≈0.618．（1）以图1中的AP 为底，BP 为腰得到等腰①APB （如图2），等腰①APB 即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义： ；（2）如图1，设AB=1，请你说明为什么k约为0.618；（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果，那么称直线l为该矩形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是①ABC的黄金分割线吗？请说明理由；（4）图3中的①ABC的黄金分割线有几条？21．如图，正五边形ABCDE的各条对角线的交点为M，N，P，Q，R，它们分别是各条对角线的黄金分割点．若AB＝2，则MN的长为__．三、解答题22．如图1所示，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB =BCAC，那么点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1、S2，如果S1S =S2S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线.(1)研究小组猜想：在①ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点，如图2所示，则直线CD 是①ABC的黄金分割线，你认为对吗？说说你的理由；(2)请你说明：三角形的中线是否是该三角形的黄金分割线.23．如图①，点C将线段AB分成两部分，如果AC BCAB AC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l 将一个面积为S 的图形分成两部分，这两部分的面积分别为1S ，2S ，如果121S S S S =，那么称直线l 为该图形的黄金分割线． （1）研究小组猜想：在ABC 中，若点D 为AB 边上的黄金分割点（如图①），则直线CD 是ABC 的黄金分割线．你认为对吗？为什么？（2）请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？（3）在（1）中的ABC 中，研究小组在进一步探究中发现：过点C 任作一条直线交AB 于点E ，再过点D 作直线//DF CE ，交AC 于点F ，连接EF （如图①），则直线EF 也是ABC 的黄金分割线．请你说明理由；（4）如图①，点E 是平行四边形ABCD 的边AB 的黄金分割点，过点E 作//EF AD ，交DC 于点F ，显然直线EF 是平行四边形ABCD 的黄金分割线．请你画一条平行四边形ABCD 的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD 各边黄金分割点．24．一般地，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC BC AB AC=，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．请计算黄金比．25．阅读与思考黄金分割黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论．后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，其《几何原本》成为最早的有关黄金分割的论著．黄金分割指的是把一条线段分成两部分，使其中较长部分与线段总长之比等于较短部分与较长部分之比．黄金分割在美学、艺术、建筑和日常生活方面有看广泛的应用．如埃及的金字塔、印度的泰姬陵等，都可发现与黄金比有联系的数据.20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就如图1的作法是由《几何原本》中给出：（1）以线段AB为边作正方形ABCD．（2）取AD的中点E，连接BE．（3）在DA的延长线上取点F，使FE EB=．（4）以线段AF为边作正方形AFGH．点H就是线段AB的黄金分割点．以下是证明点H是线段AB的黄金分割点的部分过程．证明：设正方形ABCD的边长为1，则1AB AD==．①点E是AD的中点，①1122 AE AD==．在Rt ABE△中，由勾股定理得：2221512BE AE AB⎛⎫=++=⎪⎝⎭…任务：（1）请根据上面的操作步骤，将上述证明过程补充完整．（2）如图2，点C，D是线段AB的两个黄金分割点，且252AC=，则AB=_____，BC= _____．参考答案1．B【分析】根据黄金分割点的概念进行计算，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较5-1解：根据黄金分割点的概念得：5-15-1251 AB=①BC=AB-AC=2(51)35-=故选：B．【点拨】本题考查了黄金分割点的概念，熟悉黄金比的值是解题的关键．2．B【分析】根据黄金分割比代入求值即可．【详解】由题意知：51BPPA-=，①AB=339，①BP=AB-PA=339-PA，代入得：33951PAPA--=解得：210PA≈，故选：B．【点拨】此题考查黄金分割比的定义及比值，难度一般．3．C【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分51-，据此进行解答即可得答案.【详解】①点C是线段AB的黄金分割点，且AB=6cm，51-51-53，或BC=651-AB=9-5故选C．【点拨】本题考查了黄金分割点的概念，熟记黄金比的值是解题的关键. 4．B根据黄金分割比求出AP ，PB 计算即可；【详解】①点P 是线段AB 的黄金分割点，AP PB >，①51AP AB -= 令AB x =， ①51AP x -=， 51352PB x x x --=-=， ①515135AP PB -+==-； 故答案选B ．【点拨】本题主要考查了黄金分割的知识点，准确计算是解题的关键． 5．A【分析】根据黄金分割的定义的BP 1=√5−12AB ，则AP 1=AB -BP 1=3−√52AB=3−√52，利用同样的方法可得到AP 2=3−√52AP 1=(3−√52)2，AP 3=(3−√52)3，按此规律易得AP n 的长度=(3−√52)n【详解】解答：解：①线段AB=1，点P 1是线段AB 的黄金分割点（AP 1＜BP 1）， ①BP 1=√5−12AB ①AP 1=AB -BP 1=3−√52AB=3−√52， ①点P 2是线段AP 1的黄金分割点（AP 2＜P 1P 2），①P 1P 2=√5−12AP 1 ①AP 2=AP 1-P 1P 2=(3−√52)2同理可得AP 3=(3−√52)3①AP 2017=(3−√52)2017 故选A.【点拨】此题重点考察学生对黄金分割的理解，理解黄金分割点是解题的关键.6．A【分析】作AF①BC ，根据等腰三角形ABC 的性质求出AF 的长，再根据黄金分割点的定义求出BE 、CD 的长度，得到ADE 中DE 的长，利用三角形面积公式即可解题.【详解】解：过点A 作AF①BC ，①AB=AC ，①BF=12BC=2，在Rt ABF 2222325AB BF --①D 是边BC 的两个“黄金分割”点，①51CD BC -=即514CD -= 解得CD=52，同理BE=52，①CE=BC -BE=4-(252)=6-25①DE=CD -58， ①S①ABC=12DE AF ⨯⨯=()145852⨯1045- 故选：A.【点拨】本题考查了“黄金分割比”的定义、等腰三角形的性质、勾股定理的应用以及三角形的面积公式，求出DE 和AF 的长是解题的关键。