当前位置：文档之家 › (完整版)1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(2)

(完整版)1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(2)

  • 格式：ppt
  • 大小：3.11 MB
  • 文档页数：19

下载文档原格式

  / 19

合集下载

“杨辉三角”与二项式系数的性质

“杨辉三角”与二项式系数的性质
0 8
C C C C C C C C C
0 8 4 8 2 8 3 6 4 8 2 4 6 8 1 2
8 8
=1107
240 例7. ( x 3x 2) 的展开式中 x 的系数是 ___________
2 5
解：原式化为[(x2 2) 3x]5
其通项公式为 Tr 1 C ( x 2) (3x)
3(r 1) 2(20 r ) 2(21 r ) 3r
37 42 r 5 5
r 8
所以当 r 8时，系数绝对值最大的项为
T9 C 3 2 x y
8 20 12 8 12
8
例题点评
解决系数最大问题，通常设第 r 1项是系数最 大的项，则有
Tr 1 Tr Tr 1 Tr 2
1.3.2 “杨辉三角”与 二项式系数的性质
新课引入
二项定理: 一般地，对于n N*有
(a b) C a C a
n 0 n n 1 n
n 1
bC a
2 n
n 2
b
2
r n r r Cn a b
n n Cn b
二项展开式中的二项式系数指的是那些？共 有多少个？
计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表
20 ( 3 x 2 y ) 例 5 在 的展开式中，系数绝对值最大的项
解：设系数绝对值最大的项是第r+1项，则
C 3 2 C 3 2 r 20r r r 1 21 r r 1 C 20 3 2 C 20 3 2
r 20 20 r r r 1 20 19 r r 1
2 6 析: Cn Cn n 2 6 8

杨辉三角及二项式系数的性质

杨辉三角及二项式系数的性质

1 2 二项展开式中各二项式系数的和等于 2n，即 C0 n＋Cn＋Cn＋„
二项式
n ＋Cn n＝ 2 .
系数的和 奇数项的二项式系数之和等于 偶数 项的二项式系数之和，都
3 5 2 4 6 n－1 . 等于2n－1，即 C1 n＋Cn＋Cn＋„＝Cn＋Cn＋Cn＋„ ＝ 2
课堂小结
对称性 (1)二项式系数的三个性质 增减性与最大值 各二项式系数的和
D
系数相等，而且最大， 则n等于
A、11 C、9 B、10 D、8
例：已知a b 展开式中第 5项和第6项的二项式

C
合作探究
第0 行 第1 行 第2 行 第3行 第4行 第5 行 第6行 第7行 第n-1行 第n 行
1 1 1 1 2 1 + 1 3 3 1 1 4 6+ 4 1 1 5 10+ 10 5 1 + 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1
1 C 2
6 8
8 6
x0 7
课堂练习
1 10 1.求 (1 x ) (1 ) 展开式中的常数项_________. x
10
2.求( x 2)( x 2 1) 展开式中含 x 10 项的系数为＿＿＿＿. 3.求 (1 x x 2 )(1 x )10展开式中含x项的系数_________.
10 20 10 10 10 20 10 10 10
2系数绝对值最大的项；
r 20r 20 r r 1 21r 20
例2：在(3x 2 y) 的展开式中，求：
20
设系数绝对值最大的项 是第r 1项， 221 r 3r C 3 2 C 3 2 即 则 r 20r r r 1 19r r 1 3 r 1 2 20 r C 3 2 C 3 2 20 20

课件2：1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质

课件2：1.3.2 杨辉三角与二项式系数的性质
第一章 计数原理
§1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质
高中数学选修2-3·同步课件
一、新课引入
二项定理:
一般地，对于n N*有
( a b )n C n0 a n C n1 a n 1b C n2 a n 2 b 2
C nr a n r b r
C nn b n
思考：
1 − 2 7 展开式中求|1 | + |2 | + |3 |+. . . +|7 |
小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和,可以先赋值，然后
解方程组整体求解
练习: 1. （1 + + 2 + 3 ）4 的展开式中奇次项系数和是____.
设() = 1 + + 2 + 3
a1 a2 ... a7 ( a0 a1
f (1) f (0) 1 1 2
a7 ) a0
a7
൫3)1 + 3 + 5 + 7 ; ൫4)0 + 2 + 4 + 6
解 : 设f ( x ) (1 2 x ) 7
(3)
( a b) 4
6
4 1
1 4
5
( a b)
1 5 10 10 5 1
( a b) 6 1 6 15 20 15 6 1
0
上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)
二项式系数的性质
(1)对称性:
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这就是组合数的性质1： = −
(2)递推性:
是{0,1,2,…,n},对于确定的n,可以画出它的图像。

课件3：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

课件3：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

杨辉三角
《
九
章
算
杨
术
辉
》
杨辉三角 《 详 解 九 章 算 法 》 中 记 载 的 表
杨辉三角
1．“杨辉三角”的来历及规律
(a b)n展开式中的二项式系数，当时，如下表所示：
(a b)1 (a b)2 (a b)3 (a b)4 (a b)5
11 121 13 31 14 6 41 1 5 10 10 5 1
本节内容结束
更多精彩内容请登录：
思考1求证:
(C
0 n
)2
(Cn1
)2
(C
2 n
)2
(Cnn )2
C
n 2n
.
略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的 系数得：
Cn0C
n n
Cn1C
n1 n
C
n2C
n2 n
Cnn1Cn1
CnnC
0 n
C2nn
再由 Cnm
C nm n
得
(Cn0 )2
(C
1 n
)2
(Cn2
所以当r=8时，系数绝对值最大的项为
T9 C280 312 28 x12 y8
（3）因为系数为正的项为奇数项，故可设第2r-1项
系数最大。（以下同2）
r=5.
小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合 数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意 “系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只 有二项式系数最大的才是中间项，而系数最大的不 一定是中间项，尤其要理解和掌握“取特值”法， 它是解决有关二项展开式系数的问题的重要手段。
由： n k 1 1 k n 1

1[1].3.2“杨辉三角”与二次项系数的性质

1[1].3.2“杨辉三角”与二次项系数的性质


k
1)

Ck 1 n

n
k k
1
所以C
k n
相对于C
k n
1的增减情况由
n
k k
1
决定．
由
n
k k

1

1

k

n
2
1
可得：当k

n
2
1
时
二项式系数逐渐增大,由对称性可知它的
后半部分是逐渐减小的,中间项的取值最大.
二项式系数的性质
（2）增减性与最大值 先增后减 1 1
n是偶数时，中间的一项（第
7、已知(1-2x)n的展开式中,奇数项的二项式系数之和 为32,则该二项式展开式的中间项是_________.
巩固练习
8.在二项式(a-b)2n+1的展开式中,下列结论正确的是( ) A.中间一项的二项式系数最大. B.中间两项的二项式系数相等且最小. C.中间两项的二项式系数相等且最大. D.中间两项的二项式系数是互为相反数.
9.如果 (x3
Байду номын сангаас
1 x3
)n
的展开式中,只有第6项的系数最大,
那么常数项是( )
A.462 B.252
C.210 D.10
典型例题
（2 x 1)100 a0 a1x a2 x 2 a100 x100
(1)求a0;
(2)求 a1 a2 a3 a100 ;
)

C
r n
定义域{0,1,2, … ,n}
当n=6时，其图象是7个孤立点
二项式系数的性质
（1）对称性

课件5： 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

课件5： 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

[问题1] 你从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？ [提示1] 在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系 数相等；在相邻的两行中，除1以外的其余各数都等于它“肩上”两 个数字之和． [问题2] 计算每一行的系数和，你又看出什么规律？ [提示2] 2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n.
B．第7项
C．第9项
D．第10项
【解析】由组合数性质知 C312＋C912 ，故与第3项二项式系数相同的
项是第9项．故选C. 【答案】C
2．在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n等于( )
A．8
B．9
C．10
D．11
【解析】只有x5的系数最大，x5是展开式的第6项，第6项为中间项，展开式 共有11项，故n＝10.
小结
1.二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出. 2.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值， 赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定.一般地对字母赋 的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握. 3.注意以下两点： (1)区分开二项式系数与项的系数. (2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中r∈{0,1,2，…，n}的 范围.
【答案】 (1) 2
(2)2n－1
二项展开式系数和问题
已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7.求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)a0＋a2＋a4＋a6； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.
解：令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1， ①
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质

2 3 2 2 6 3 T3＝C2 ( x ) (3 x ) ＝ 90 x ， 5 2 22 2 2 3 3 T4＝C3 ( x ) (3 x ) ＝270x 3 . 5
(2分)
(4分)
由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中
(6 分)
(2)展开式的通项公式为 假设
2 ＋ r r Tr＋1＝C53 ·x3(5 2r)．
3
[规范解答] (1)令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1 ＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题 意知，4n－2n＝992. ∴(2n)2－2n－992＝0， ∴(2n＋31)(2n－32)＝0， ∴2n＝－31(舍)，或2n＝32， ∴n＝5. 间两项，它们分别是
性质
(3)增减性与最大值.
增减性的实质是比较
C 与C
k n
k 1 n 的大小.
从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后 又逐渐减小. n! n k 1 n! n k 1 k 1 k Cn Cn k ! (n k )! k (k 1)! (n k 1)! k
[思路探索] 本题关键是观察数列的特征，数列的 每一项在杨辉三角中的位置，把各项还原为二项 展开式的二项式系数，再利用组合数求解．
【变式1】如图，在由二项式系数所构成的杨辉 三角中，第________行中从左到右第14与 第15个数的比为2∶3.
【 例 2】 已知(1－2x)2015＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2015x2015， 求下列各式的值． (1)a1＋a2＋…＋a2015； (2)a1＋a3＋a5＋a2015； (3)a0＋a2＋a4＋a2014； (4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2015|.

1.3.2杨辉三角和二项式系数的性质


因此，当n为偶数时，中间一项的二项式
n
系数 C
2 n
取得最大值；
n 1
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 C n 2 、
n 1
C
2 n
相等，且同时取得最大值。
精品课件
二项式系数的性质
（3）各二项式系数的和
在二项式定理中，令 ab1，则：
C 0 n C 1 n C n 2 C n n2 n
这就是说，(a b)n的展开式的各二项式系
数的和等于：2 n
同时由于C0n 1，上式还可以写成： C 1 n C 2 n C 3 n C n n 2 n 1
这是组合总数公式．精品课件
例1 证明在 (a b)n的展开式中，奇 数项的二项式系数的和等于偶数项的二 项式系数的和．
精品课件
例2
已知 (3 x 2 )n 的展开式中，第
x
4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系 数的7倍，求展开式中x的一次项．
精品课件
内容小结
二项展开式中的二项式系数都是一些特 殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握 好，同时要注意“系数”与“二项式系数” 的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项， 尤其要理解和掌握“取特值”法，它是解决 有关二项展开式系数的问题的重要手段。
1.3.2杨辉三角和二项式系数性 质
精品课件
杨辉三角
《
九
章
杨
算
辉
术
》
精品课件
杨辉三角
《
详
解
九
章
算
法
》
中
记
载
的
表
精品课件
杨辉三角

课件8：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质



题型二 求展开式的系数和 典例 设(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 016·x2 016(x∈R)． (1)求 a0＋a1＋a2＋…＋a2 016 的值． (2)求 a1＋a3＋a5＋…＋a2 015 的值． (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 016|的值．
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
新知初探
1．杨辉三角的特点 (1)在同一行中，每行两端都是 1，与这两个 1 等距离的项的系 数相等 ． (2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两个数 的和 ，即 Crn＋1＝ Crn－1＋Crn ． 2．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离 ”的两个二项式系数相等(即 Cmn ＝ Cnn－m)．
8
4 3
k
，
令 8－43k＝0，得 k＝6，故常数项为第 7 项，且 T7
＝(－1)6·122·C68＝7．
类题通法 二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质 对(a＋b)n 中的 n 进行讨论．
(1)当 n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大． (2)当 n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
类题通法 二项展开式中系数和的求法
(1)对形如(ax＋b)n, (ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈ N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令 x＝1 即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式 子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可．
(2)一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 则 f(x)展开式中各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1， 偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1．

高中数学选修2(新课标)课件1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

解析：根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质 知：二项式系数之和为 2n，故 A 正确；当 n 为偶数时，二项式系数 最大的项是中间一项，故 B 正确，C 错误；D 也是正确的，因为展 开式中第 6 项的系数是负数，所以是系数中最小的．
答案：C
2．已知(a＋b)n 展开式中只有第 5 项的二项式系数最大，则 n 等于( )
－1，可解出 a0＋a2＋a4＋…＋a12. (2)令 x＝1，由各项系数和先求出 n，再求常数项．
方法归纳
二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的 式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可； 对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只 需令 x＝y＝1 即可． (2)一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)展开式中 各项系数之和为 f(1)， 奇数项系数之和为 a0＋a2＋a4＋…＝f1＋2f－1， 偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝f1－2f－1.
解析：(1)令 x＝1，
得 a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝(－1)2 018＝1. (2)令 x＝－1，得
a0－a1＋a2－…－a2 017＋a2 018＝32 018. ①＋②得
2(a0＋a2＋a4＋…＋a2 018)＝1＋32 018，
所以
a0＋a22.
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
知识点一 杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是____1____，与这两个 1 等距离的 数___相__等___．
(2)在相邻的两行中，除 1 以外的每一个数都等于它“肩上”两 个数的____和____，即 Cnr＋1＝Crn－1＋Crn.
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

C0 500
7499
Байду номын сангаас
L
C 499 500
2499
C 500 500
2500
即：过31000 天与过2500 天后的星期几相同.
2500 4 2498 4 8166 4 7 1 166
4
C0 166
7166
C1 166
7165
L
C 165 166
7
C 166 166
7 4
你学会了吗?
※对自己说，你有什么收获？ ※对同学说，你有什么提示？ ※对老师说，你有什么疑惑？
2020年4月8日星期三
一般地，a bn 展开式的二项式系数Cn0,Cn1,L ,Cnn有如下性质 :
(1)Cnm
C nm n
(2)Cnr1
C r1 n
C
r n
(3)当r
n 2
1时，Cnr
C r1 n
【解】设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10(*)， 各项系数和即为 a0＋a1＋…＋a10， 奇数项系数和为 a0＋a2＋…＋a10， 偶数项系数和为 a1＋a3＋a5＋…＋a9， x 的奇次项系数和为 a1＋a3＋a5＋…＋a9， x 的偶次项系数和为 a0＋a2＋a4＋…＋a10. 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和． (1)二项式系数和为 C010＋C110＋…＋C1100＝210. (2)令 x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
解:C133＋C233＋…＋C3333＝233－1＝(23)11－1＝811－1 ＝(9－1)11－1＝C011·911－C111·910＋C211·99－…＋C1110·9－1－1 ＝C011·911－C111·910＋C211·99－…＋C1110·9－2. 可见,上式被 9 除余－2,即余 7,故余数为 7.
(2)由(①－②)÷2，得 a1＋a3＋a5＋a7－12－37＝－1 094. (3)由(①＋②)÷2，得 a0＋a2＋a4＋a6－12＋37＝1 093.
(4)方法一：(1 2x)7的展开式中，a0,a2,a4,a6大于零， 而a1,a3 ,a5 ,a7 小于零， ∴ a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 ＝(a0 a2 a4 a6 ) (a1 a3 a5 a7 )
(3)奇数项的二项式系数和为 C010＋C210＋…＋C1100＝29. 偶数项的二项式系数和为 C110＋C310＋…＋C910＝29. (4)设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10， 令 x＝y＝1， 得到 a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1① 令 x＝1，y＝－1(或 x＝－1，y＝1)得 a0－a1＋a2－a3＋… ＋a10＝510② ①＋②得 2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，
(4) |a0|+ |a1|+|a2|+|a3|+…+|a7|=__2_1_8_7__
【解析】令 x＝1，则 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1① 令 x＝－1，则 a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝ 37 ② (1)∵a0＝Cn0＝1， ∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.
以外其余各项都能被
7
整除．
又因为 251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1
＝ C107
717
C117
716
L
C 16 17
71
C 17 17
1
＝7( C107
716
C117
715
L
C16 17
)
显然能被 7 整除,所以 5151－1 能被 7 整除．
求 C133＋C233＋C333＋…＋C3333除以 9 所得的余数．
∴奇数项的系数和为1＋510； 2
①－②得 2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510， ∴偶数项的系数和为1－2510. (5)x 的奇次项系数和为 a1＋a3＋a5＋…＋a9＝1－2510； x 的偶次项系数和为 a0＋a2＋a4＋…＋a10＝1＋2510.
1
,其中不含
49,而问题是证被 7 整除．故可将 251 变形为 817＝(7＋1)17.再借助
二项展开式求解．
【解】 因为 5151－1＝(49＋2)51－1
＝ C501 4951 C511 4950 2 L
C 50 51
49
250
C 51 51
251
1
,
易知除
C 51 51
251
1
类型3：运用二项式定理破解整除性问题 【例】求证:5151－1能被7整除．
抓信息 破难点 (1)要想整除,应把 5151－1 表示为 7 的倍数,因 51＝49＋2 利用二 项式定理展开,可知含 49 的项都能被 7 整除．
(2)因
5151－1＝(49＋2)51－1
展开后必定有
C 51 51
251
＝1 093＋1 094＝2 187.
方法二：∵ a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 是
(1＋2x)7 展开式中各项的系数和．
∴ a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 ＝37＝2 187.
若已知(1+2x)200= a0+ a1(x-1) + a2(x-1)2 + …+ a200(x-1)200 求a1+a3+a5+a7+…+a199的值。
C0 166
7165
L
C 165 166
4
余数是4， 所以是星期二
类型1：求展开式的系数和
赋值法
【例】已知(1-2x)7=a0+ a1x + a2x2 + …+ a7x7 ,则
(1)a1+a2+a3+…+a7=__-_2____
(2)a1+a3+a5+a7 =__-_1_0_9__4__
(3)a0+a2+a4+a6 =__1__0_9_3___
C1909071
C11
0 0
0 0
（7 C1000799 C19090） 1
余数是1， 所以是星期六
31000 32 500 9500 (7 2)500
C
0 500
7500
C1 500
7499
21
C2 500
7498
22
L
C
499 500
7
2499
C 500 500
2500
7
当r
n 2
1
时，C
r n
C r1 n
(4)Cn0 Cn1 Cn2 Cnn 2n
2020年4月8日 1次
必做题:《教材》 P37 B组 第1题 选做题:《基础训练》 知能检测 第11题
【预习】课本P44-P45《离散型随机变量》
11．在(2x－3y)10 的展开式中，求： (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和； (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和； (4)奇数项系数和与偶数项系数和； (5)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和．
边城高级中学 张秀洲
1、使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉， 并探索其中的规律． 2、掌握二项式系数的性质及其应用． 3、掌握“赋值法”并会灵活运用.
例、今天是星期五，那么 8100 天后的这
一天是星期几？
那么31000 天后
8100 （7 1）100
是星期几？
C10007100 C1100799 C1r007100r