一元二次不等式及其解法知识梳理及典型练习题

一元二次不等式及其解法

1.一元一次不等式解法

任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式.

当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为.

2.一元二次不等式及其解法

(1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为__________不等式.

(2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的________.

(3)一元二次不等式的解：

(1)化分式不等式为标准型.方法：移项，通分，右边化为0，左边化为

f （x ）

g （x ）

的形式. (2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：

f （x ）

g （x ）＞0 ⇔ f (x )g (x )＞0； f （x ）

g （x ）

＜0 ⇔ f (x )g (x )＜0； f （x ）g （x ）≥0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≥0，g （x ）≠0； f （x ）

g （x ）≤0 ⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）g （x ）≤0，g （x ）≠0.

(2014·课标Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2

－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A.[－2，－1] B.[－1，2) C.[－1，1]

D.[1，2)

解：∵A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤－1}＝[－2，－1].故选A .

设f (x )＝x 2

＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )>0的解集为( ) A.{x |x ∈R } B.{x |x ≠1，x ∈R } C.{x |x ≥1}

D.{x |x ≤1}

解：f (－1)＝1－b ＋1＝2－b ，f (3)＝9＋3b ＋1＝10＋3b ， 由f (－1)＝f (3)，得2－b ＝10＋3b ，

解出b ＝－2，代入原函数，f (x )>0即x 2

－2x ＋1>0，x 的取值范围是x ≠1.故选B. 已知－12<1

x

<2，则x 的取值范围是( )

A.－2

B.－1

2

<－1

2

或x >2 <－2或x >1

2

解：当x >0时，x >1

2；当x <0时，x <－2.

所以x 的取值范围是x <－2或x >1

2，故选D.

不等式1－2x

x ＋1

＞0的解集是 .

解：不等式1－2x

x ＋1>0等价于(1－2x )(x ＋1)＞0，

也就是⎝ ⎛⎭

⎪⎫x －12(x ＋1)＜0，所以－1＜x ＜12. 故填⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |－1＜x ＜1

2，x ∈R .

(2014·武汉调研)若一元二次不等式2kx 2

＋kx －38＜0对一切实数x 都成立，则k 的取

值范围为________.

解：显然k ≠0.若k ＞0，则只须(2x 2＋x )max ＜38k ，解得k ∈∅；若k ＜0，则只须38k ＜(2x

2

＋x )min ，解得k ∈(－3，0).故k 的取值范围是(－3，0).故填(－3，0).

类型一 一元一次不等式的解法

已知关于x 的不等式(a ＋b )x ＋2a －3b ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13，求关于x 的不等式

(a －3b )x ＋b －2a ＞0的解集.

解：由(a ＋b )x ＜3b －2a 的解集为⎝

⎛⎭⎪⎫－∞，－13，

得a ＋b ＞0，且3b －2a a ＋b ＝－1

3

，

从而a ＝2b ，则a ＋b ＝3b ＞0，即b ＞0， 将a ＝2b 代入(a －3b )x ＋b －2a ＞0，

得－bx －3b ＞0，x ＜－3，故所求解集为(－∞，－3). 点拨：

一般地，一元一次不等式都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式.挖掘隐含条件a ＋b ＞0且3b －2a a ＋b ＝－1

3

是解本题的关键.

解关于x 的不等式：(m 2

－4)x ＜m ＋2. 解：(1)当m 2

－4＝0即m ＝－2或m ＝2时， ①当m ＝－2时，原不等式的解集为∅，不符合 ②当m ＝2时，原不等式的解集为R ,符合

(2)当m 2

－4＞0即m ＜－2或m ＞2时，x ＜

1

m －2

. (3)当m 2

－4＜0即－2＜m ＜2时，x ＞

1m －2

. 类型二 一元二次不等式的解法

解下列不等式：

(1)x 2

－7x ＋12＞0; (2)－x 2

－2x ＋3≥0； (3)x 2

－2x ＋1＜0; (4)x 2

－2x ＋2＞0. 解：(1){x |x ＜3或x ＞4}. (2){x |－3≤x ≤1}.

(3)∅.

(4)因为Δ＜0，可得原不等式的解集为R .

(2013·金华十校联考)已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，

x －1，x ≥0， 则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋

1)≤1的解集是( )

A.{x |－1≤x ≤2－1}

B.{x |x ≤1}

C.{x |x ≤2－1}

D.{x |－2－1≤x ≤2－1} 解：由题意得不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于①

⎩

⎪⎨⎪⎧x ＋1＜0，

x ＋（x ＋1）[－（x ＋1）＋1]≤1 或 ②⎩⎪⎨

⎪

⎧x ＋1≥0，x ＋（x ＋1）[（x ＋1）－1]≤1，

解不等式组①得x ＜－1；解不等式组②得－1≤x ≤2－1. 故原不等式的解集是{x |x ≤2－1}.故选C.

类型三 二次不等式、二次函数及二次方程的关系

已知关于x 的不等式x 2

－bx ＋c ≤0的解集是{x |－5≤x ≤1}，求实数b ，c 的值. 解：∵不等式x 2

－bx ＋c ≤0的解集是{x |－5≤x ≤1}， ∴x 1＝－5，x 2＝1是x 2

－bx ＋c ＝0的两个实数根，

∴由韦达定理知⎩

⎪⎨⎪⎧－5＋1＝b ，－5×1＝c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，

c ＝－5. 已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，求不等式cx 2

－bx ＋a ＞0的解集. 解：∵不等式ax 2

＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，

∴a ＜0，且2和3是方程ax 2

＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系得