一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法基础知识1．一元二次不等式的解法步骤 (1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0). 在不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)中，如果二次项系数a <0，可根据不等式的性质，将其转化为正数. (2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表二、常用结论1．一元二次不等式恒成立问题(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a >0且Δ<0； (2)不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a <0且Δ<0； (3)若a 可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a ＝0的情形． 2．简单分式不等式(1)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0，g (x )≠0；(2)f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0. 考点一 一元二次不等式的解法 考法(一) 不含参数的一元二次不等式[典例] 解下列不等式：(1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2)0＜x 2－x －2≤4；[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为}342|{≤≤-x x .(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. 考法(二) 含参数的一元二次不等式[典例] 解不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． [解] 原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a )1(ax -(x －1)＜0. 所以当a ＞1，即1a <1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1，即1a >1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为}11|{ax x <<； 当a ＝1时，不等式的解集为∅； 当a ＞1时，不等式的解集为}11|{<<x ax . [题组训练]1．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.}291|{≥-≤x x x 或 B.}291|{≤≤-x x C.}129|{≥-≤x x x 或D.}129|{≤≤-x x 解析：选D 不等式(x ＋5)(3－2x )≥6可化为2x 2＋7x －9≤0，所以(2x ＋9)(x －1)≤0，解得－92≤x ≤1.所以不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是}129|{≤≤-x x .故选D. 2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是]31,21[--，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.)21,31( D.)31,(-∞∪),21(+∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，所以由根与系数的关系得⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．3．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )的解集．解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0， 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为)4,(a--∞∪),3(+∞a ； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为)3,(a --∞∪),4(+∞-a. 考点二 一元二次不等式恒成立问题 考法(一) 在R 上的恒成立问题[典例] 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[)2,2(-C ．(－2,2]D ．(－∞，－2) [解析] 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0，对一切x ∈R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a 2<4，解得－2<a <2. ∴实数a 的取值范围是(－2,2]． [答案] C解题技法] 一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.考法(二) 在给定区间上的恒成立问题[典例] 若对任意的x ∈[)2,1(-，都有x 2－2x ＋a ≤0(a 为常数)，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．(－∞，0] C ．),1[+∞[ D DD D ．]1,(-∞(解析] 法一：令f (x )＝x 2－2x ＋a ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝(－1)2－2×(－1)＋a ≤0，f (2)＝22－2×2＋a ≤0，解得a ≤－3，故选A.法二：当x ∈[)2,1(-]时，不等式x 2－2x ＋a ≤0恒成立等价于a ≤－x 2＋2x 恒成立，则由题意，得a ≤(－x 2＋2x )min (x ∈[)2,1(-])．而－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，则当x ＝－1时，(－x 2＋2x )min ＝－3，所以a ≤－3，故选A. 答案] A [解题技法]一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )>0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)． (2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a . 考法(三) 给定参数范围求x 范围的恒成立问题[典例] 求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0(|a |≤1)恒成立的x 的取值范围． 解] 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4，综上可知，使原不等式恒成立的x 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)． [解题技法]给定参数范围求x 范围的恒成立问题的解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． [题组训练]1．(2018·忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．[－3,0)D ．[－4，＋∞)解析：选A x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，令f (x )＝x 2－4x ，∵f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，∴f (x )在(0,1]上单调递减，∴当x ＝1时，f (x )取到最小值，为－3，∴实数m 的取值范围是(－∞，－3]，故选A. 2．若不等式x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1<0，2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 答案：)0,22(-3．不等式(a －3)x 2＜(4a －2)x 对a ∈(0,1)恒成立，则x 的取值范围是________．解析：由题意知(a －3)x 2＜(4a －2)x 对a ∈(0,1)恒成立等价于(x 2－4x )a －3x 2＋2x ＜0对a ∈(0,1)恒成立．令g (a )＝(x 2－4x )a －3x 2＋2x ，当x ＝0时，g (a )＝0，不满足题意．当x ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝－3x 2＋2x ≤0，g (1)＝(x 2－4x )－3x 2＋2x ≤0，得x ≤－1或x ≥23.答案：(－∞，－1]∪),32[+∞ [课时跟踪检测]1．(2019·石家庄模拟)若集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{x ||x |≤1}，则A ∩B ＝( )A ．[－1,0)B ．[－1,2)C ．(0,1]D ．[1,2)解析：选C 由x 2－2x <0得0<x <2，所以A ＝{x |0<x <2}，由|x |≤1得－1≤x ≤1，所以集合B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}，故选C. 2．不等式3x －1x －2≤0的解集为( )A.}231|{≤≤x x B.}312|{≤>x x x 或 C.}231|{<≤x x D ．{x |x <2} 解析：选C 不等式3x －1x －2≤0等价于(3x －1)(x －2)≤0，且x －2≠0，解得13≤x <2.故选C.3．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( ) A.}231021|{<≤≤<-x x x 或 B ．{x |x ≤0或x ≥1} C.}2321|{<<-x x D.}2321|{≥-≤x x x 或 解析：选A 不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x (x －1)≥0，4x 2－4x －3<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32，所以－12<x ≤0或1≤x <32.4．(2019·广州模拟)已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <－2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集为( ) A.}3121|{-<<-x x B.}2131|{-<->x x x 或 C ．{x |－3<x <2} D ．{x |x <－3或x >2} 解析：选A 由题意得⎩⎨⎧5a＝－3－2，ba ＝－3×(－2)，解得a ＝－1，b ＝－6，所以不等式bx 2－5x ＋a >0为－6x 2－5x－1>0，即(3x ＋1)(2x ＋1)<0，所以解集为}3121|{-<<-x x ，故选A. 5．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．[]2,(-∞)B B ． (－∞，－6]]C ． ]2,6[-D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)解析：选D 由关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，得对应方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，解得a ≥2或a ≤－6，所以a 的取值范围是 (－∞，－6]∪[2，＋∞)．故选D.6．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]， 依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16， 所以每件销售价应为12元到16元之间．7．存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m 的最大值为( )A ．1 B.14 C.12D ．－1解析：选C 若对于任意x ∈[－1,1]，不等式x 2＋mx －3m <0恒成立，则由函数f (x )＝x 2＋mx －3m 的图象可知⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1－m －3m <0，f (1)＝1＋m －3m <0，解得m >12.所以若存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m ≤12，所以m的最大值为12.故选C.8．(2018·北京东城区期末)设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆]3,1[，则a 的取值范围为( )A.]511,1(- B.)511,1( C.)511,2( D ．[)3,1( 解析：选A 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[]3,1[]， 所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4(a ＋2)≥0，f (1)≥0，f (3)≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3，所以2≤a ≤115.综上，a 的取值范围为]511,1(-，故选A. 9．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2，故不等式的解集为{x |0<x <2}． 答案：{x |0<x <2}10．若a <0，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ax －a 2<0，x 2－ax －2a 2<0的解集为________． 解析：因为a <0，所以由ax －a 2＝a (x －a )<0，得x >a ，由x 2－ax －2a 2＝(x －2a )(x ＋a )<0，得2a <x <－a .所以原不等式组的解集为(a ，－a )． 答案：(a ，－a )11．若关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，则实数a 的取值范围是________．解析：关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，所以a >0，解不等式得x 2≤a5，所以－a5≤x ≤ a5，所以3≤ a 5<4，所以9≤a5<16，即45≤a <80， 所以实数a 的取值范围是[45,80)． 答案：[45,80)12．不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4. 答案：[－8,4]13．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)因为函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立， 当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)因为f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，所以a ＝12， 所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，所以不等式的解集为)23,21(-。

一元二次不等式及其解法
一元二次不等式是指形如ax^2 + bx + c > 0（或 < 0）的不
等式，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。

解一元二次不等式的方法如下：
1. 将不等式转化为二次函数的形式，也就是a(x - h)^2 + k > 0（或 < 0），其中(h, k)是二次函数的顶点坐标。

2. 找到二次函数的顶点坐标(h, k)。

3. 根据二次函数的开口方向（a的正负）来确定不等式的解集。

a) 当a > 0时，二次函数开口向上，解集为函数上半部分的区间。

b) 当a < 0时，二次函数开口向下，解集为函数下半部分的区间。

4. 根据二次函数与x轴的交点来确定不等式的解集。

a) 当k > 0时，二次函数与x轴的交点分别为x1 = h +
√(k/a)和x2 = h - √(k/a)，解集为这两个交点之间的区间（即
x1 < x < x2）。

b) 当k < 0时，二次函数与x轴没有交点，解集为空集。

c) 当k = 0时，二次函数与x轴只有一个交点x = h，解集为{x = h}。

通过以上步骤，可以找到一元二次不等式的解集。

根据具体的
系数和常数，解集可能是一个区间、两个区间的并集、或者为空集。

2021年新高考数学总复习第七章《不等式》一元二次不等式及其解法一元二次不等式的解集判别式Δ＝b2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象方程ax2＋bx＋c＝0 (a>0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠－b2a{x|x∈R} ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1< x<x2} ∅∅概念方法微思考1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集与其对应的函数y＝ax2＋bx＋c的图象有什么关系？提示ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集就是其对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围．2．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件是什么？提示显然a≠0.ax2＋bx＋c>0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a>0，Δ<0；ax2＋bx＋c<0恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a<0，Δ<0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( √ )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( √ )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( × ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( × )(5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( √ )题组二 教材改编2．已知集合A ＝{x |x 2－x －6>0}，则∁R A 等于( )A ．{x |－2<x <3}B ．{x |－2≤x ≤3}C ．{x |x <－2}∪{x |x >3}D ．{x |x ≤－2}∪{x |x ≥3}答案 B解析 ∵x 2－x －6>0，∴(x ＋2)(x －3)>0，∴x >3或x <－2，即A ＝{x |x >3或x <－2}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{x |－2≤x ≤3}．故选B.3． y ＝log 2(3x 2－2x －2)的定义域是________________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞ 解析 由题意，得3x 2－2x －2>0，令3x 2－2x －2＝0，得x 1＝1－73，x 2＝1＋73， ∴3x 2－2x －2>0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－73∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋73，＋∞. 题组三 易错自纠4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)答案 (－4，1)。

3.2.1 一元二次不等式及其解法1.一元二次不等式的概念我们把只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式．破疑点：(1)在一元二次不等式的表达式中，一定有条件a≠0，即二次项的系数不为零．(2)对于ax2＋bx＋c>0(或<0)的形式，如果不指明是二次不等式，那么它也可能是一次不等式，应特别注意分类讨论．练习：判断下列不等式中哪些是一元二次不等式．①x2>0；②－x2－x≤5；③x3＋5x－6>0；④mx2－5y<0(m为常数)；⑤ax2＋bx＋c>0.[解析]①②是．③不是，因为x3的最高次数是3，不符合定义．④不是．当m＝0时，它是一元一次不等式，当m≠0，它含有两个未知数x，y.⑤不一定是．当a＝0时，它不符合一元二次不等式的定义；当a≠0时，是．2．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．破疑点：(1)解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式．(2)一元二次不等式解集的形式是在a>0的条件下给出的，若a<0，应将不等式两边同乘以－1转化为二次项系数为正的形式，再求解．练习：画出函数y＝x2－2x－3的图象，观察图象．回答问题：(1)x∈________时，y＝0，方程x2－2x－3＝0的根为________．(2)x∈________时，y>0，∴不等式x2－2x－3>0的解集为________；(3)x∈________时，y<0，∴不等式x2－2x－3<0的解集为________．[答案](1){－1,3}x1＝－1，x2＝3(2){x|x<－1或x>3}{x|x<－1或x>3} (3){x|－1<x<3}{x|－1<x<3}[解析]方程x2－2x－3＝0的两根分别是x1＝－1，x2＝3，函数y＝x2－2x －3的图象如图所示．由图象可知，当x∈{－1,3}时，y＝0，方程x2－2x－3＝0的根为x1＝－1，x2＝3.当x∈{x|x<－1或x>3}时，y>0，∴不等式x2－2x－3>0的解集为{x|x<－1或x>3}．当x∈{x|－1<x<3}时，y<0，∴不等式x2－2x－3<0的解集为{x|－1<x<3}．3．一元二次不等式的解法．一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式：(1)ax2＋bx＋c＞0(a＞0)；(2)ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax2＋bx＋c＝0的根确定．设△＝b2－4ac，则：①△＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x1、x2，设x1＜x2，则不等式(1)的解集为{x|x＜x1或x＞x2}，不等式(2)的解集为{x|x1＜x＜x2}；②△＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的根，即x1＝x2＝－b2a，此时不等式(1)的解集为{x∈R|x≠－b2a}，不等式(2)的解集为∅；③△＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式(1)的解集为R；不等式(2)的解集为∅.对于二次项系数是负数(即a＜0)的不等式，可以先依据不等式的性质把二次项系数化成正数，再参照上述两种形式求解．也可以直接参照a＞0的情形画出图象，对比图象上的正负值区间写出解集．练习：解不等式6x－2－3x2>0.[解析]原不等式可化为3x2－6x＋2<0，∵Δ＝36－4×3×2＝12>0，∴方程3x2－6x＋2＝0的两实根分别为x1＝1－33，x2＝1＋33，∴原不等式的解集为{x|1－33<x<1＋33}．考点一：简单的一元二次不等式的解法例1、解下列不等式：(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－3x＋5>0；(3)－6x2－x＋2≥0；(4)－4x2≥1－4x；(5)2x2－4x＋7<0.[解析](1)∵Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0，∴方程2x2－3x－2＝0有两个不同实根，分别是－12，2，∴原不等式的解集为{x|x>2，或x<－1 2}．(2)∵Δ＝(－3)2－4×5＝9－20<0，∴x2－3x＋5>0的解集为R.(3)原不等式可化为6x2＋x－2≤0，∵Δ＝12－4×6×(－2)＝49>0，∴方程6x2＋x－2＝0有两个不同实根，分别是－23，12，∴原不等式的解集为{x|－23≤x≤12}．(4)原不等式可化为4x2－4x＋1≤0，即(2x－1)2≤0.∴原不等式的解集是{x|x＝1 2}．(5)∵Δ＝(－4)2－4×2×7＝－40<0，∴不等式2x2－4x＋7<0的解集为∅.跟踪练习：不等式x2－4x＋5＜0的解集为________．[答案]∅[解析]∵Δ＝16－20＝－4<0，∴方程x2－4x＋5＝0无实根，∴原不等式的解集为∅.考点二：一元二次不等式的实际应用例2、某热带风暴中心B位于海港城市A东偏南30°的方向，与A市相距400 km.该热带风暴中心B以40km/h的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？[解析]如图，以A市为原点，正东方向为x轴建立直角坐标系．∵AB＝400，∠BAx＝30°，∴台风中心B的坐标为(2003，－200)，x h后台风中心B到达点P(2003，40x－200)处．由已知，A市受台风影响时，有|AP|≤350，即(2003)2＋(40x－200)2≤3502，整理得16x2－160x＋375≤0，解这个不等式得，3.75≤x≤6.25，A市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5.故在3.75h后，A市会受到台风的影响，时间长达2.5h.跟踪练习：汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素，在一个限速40km/h以内的弯道上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场测得甲车的刹车略超过12m，乙车的刹车略超过10m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.问：超速行驶应负主要责任的是谁？[解析]要分清谁是应付主要责任者，就需分析行车速度，要弄清速度问题，就要利用刹车距离函数与实测数据，构建数学模型，由题意列出不等式甲：0.1x＋0.01x2＞12，乙：0.05x＋0.005x2＞10，∵x＞0，∴解得x甲＞30 km/h，x乙＞40 km/h，经比较知乙车超过限速，应付主要责任.考点三：“三个二次”关系的应用例3、若不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是{x|－13≤x≤2}，求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[解析]解法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|－13≤x≤2}，知a<0，又(－13)×2＝ca<0，则c>0.又－13，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴－ba＝53. ∴ba＝－53.又ca＝－23，∴b＝－53a，c＝－23a.∴不等式cx2＋bx＋a<0化为(－23a)x2＋(－53a)x＋a<0，即2ax2＋5ax－3a>0.又∵a<0，∴2x2＋5x－3<0⇔(2x－1)(x＋3)<0.∴不等式cx2＋bx＋a<0的解集为{x|－3<x<1 2}．跟踪练习：已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－12和2.(1)求a、b的值；(2)解不等式ax2＋bx－1>0.[解析](1)∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－12和2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－12＋2＝－b a ，－12×2＝2a .解得a ＝－2，b ＝3.(2)由(1)知，ax 2＋bx －1>0化为－2x 2＋3x －1>0，即2x 2－3x ＋1<0，解得12<x <1. ∴不等式ax 2＋bx －1>0的解集为{x |12<x <1}．例 4 设f (x )、g (x )都是R 上的奇函数，关于x 的不等式f (x )>0的解集为{x |4<x <10}，g (x )>0的解集为{x |2<x <5}，则关于x 的不等式f (x )·g (x )>0的解集为( )A ．{x |2<x <10}B ．{x |4<x <5}C ．{x |－10<x <－2或2<x <10}D ．{x |－5<x <－4或4<x <5} [错解] 选B.[辨析] f (x )g (x )>0⇔⎩⎨⎧ f (x )>0g (x )>0或⎩⎨⎧f (x )<0g (x )<0.误选B ，是忽视了f (x )<0且g (x )<0的情况．[正解] 选D.∵f (x )、g (x )都是R 上的奇函数， ∴f (x )·g (x )为偶函数，f (x )>0且g (x )>0的解集为{x |4<x <10}∩{x |2<x <5}＝{x |4<x <5}． 由偶函数的对称性知f (x )<0且g (x )<0的解集为{x |－5<x <－4}，故选D.3.2.2 含参数一元二次不等式的解法1.含参数的一元二次不等式的解法解答含参数的不等式时，一般需对参数进行讨论，常见的有以下几种情况： (1)二次项系数含参数时，根据二次不等式化标准形式需要化二次项系数为正，所以要对参数符号进行讨论．(2)解“Δ”的过程中，若“Δ”表达式含有参数且参数的取值影响“Δ”符号，这时根据“Δ”符号确定的需要，要对参数进行讨论．(3)方程的两根表达式中如果有参数，必须对参数讨论才能确定根的大小，这时要对参数进行讨论．总之，参数讨论有三个方面：①二次项系数；②“Δ”；③根．但未必在这三个地方都进行讨论，是否讨论要根据需要而定．练习：解关于x 的不等式56x 2＋ax －a 2＜0.[解析] 原不等式化为(7x ＋a )(8x －a )＜0，方程(7x ＋a )(8x －a )＝0的两根为x 1＝－a 7，x 2＝a 8，∴a ＞0时，解集为{x |－a 7＜x ＜a8}； a ＝0时，解集为∅；a ＜0时，解集为{x |a 8＜x ＜－a7}． 2．分式不等式的解法(1)分式不等式：分母中含有未知数，且分子、分母都是关于x 的多项式的不等式称为分式不等式．(2)等价转化法解分式不等式：解分式不等式的基本方法是将其转化为与之同解的整式 不等式(组)．具体情况见下表：练习：解下列不等式：(1)4－x 2x ＋3≤0； (2)x ＋12－x ≥3. [解析] (1)4－x 2x ＋3≤0⇔x －42x ＋3≥0⇔⎩⎨⎧(x －4)(2x ＋3)≥02x ＋3≠0⇔{x |x ≥4或x <－32}． ∴原不等式的解集为{x |x <－32或x ≥4}．(2)x ＋12－x ≥3⇔x ＋12－x －3≥0 ⇔4x －52－x ≥0 ⇔4x －5x －2≤0，⇔⎩⎨⎧(4x －5)(x －2)≤0x －2≠0， ⇔{x |54≤x <2}．∴原不等式的解集为{x |54≤x <2}． 3．简单的高次不等式的解法 (1)高次不等式不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式． (2)穿根法解高次不等式的步骤 ①将f (x )最高次项系数化为正数；②将f (x )分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根既穿又过)；④观察曲线显现出的f (x )的值的符号变化规律，写出不等式的解集． 练习：解不等式：(x ＋2)(x ＋1)(x －1)(x －2)≤0. [解析] 设y ＝(x ＋2)(x ＋1)(x －1)(x －2)， 则y ＝0的根分别是－2，－1,1,2，将其分别标在数轴上，并画出如图所示的示意图：所以原不等式的解集是{x |－2≤x ≤－1，或1≤x ≤2}．[点评] (1)大于0的不等式的解，对应着曲线在x 轴上方部分的实数x 的取值集合；反之，对应着x 轴下方部分的实数x 的取值集合．注意端点处值是否取到．(2)穿根法可形象地称为“穿根引线法”，这样的“线”可看成是函数的图象草图，只不过不画y 轴而已．考点一：含参数的一元二次不等式的解法例1、 解关于x 的不等式：x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＜0.[解析] 解法一：∵方程x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0的解为x 1＝m ，x 2＝m ＋1，且知m ＜m ＋1.∴二次函数y ＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m 的图象开口向上，且与x 轴有两个交点． ∴不等式的解集为{x |m ＜x ＜m ＋1}．解法二：注意到m 2＋m ＝m (m ＋1)，及m ＋(m ＋1)＝2m ＋1，可先因式分解，化为(x －m )(x －m －1)＜0， ∵m ＜m ＋1，∴m ＜x ＜m ＋1. ∴不等式的解集为{x |m <x <m ＋1}．跟踪练习：当a >0时，解关于x 的不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0. [解析] 不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0可化为(ax －1)(x －1)<0， ∵a >0，∴不等式(ax －1)(x －1)<0，可化为(x －1a )(x －1)<0， 当a ＝1时，不等式无解； 当0<a <1时，1<x <1a ； 当a >1时，1a <x <1.综上可知，当0<a <1时，原不等式的解集为{x |1<x <1a }；当a ＝1时，原不等式的解集为空集；当a >1时，原不等式的解集为{x |1a <x <1}.考点二：分式不等式的解法例2、 (1)不等式x －1x ≥2的解集为( ) A ．[－1,0) B ．[－1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．(－∞，－1]∪(0，＋∞)(2)不等式2x －13－4x ＞1的解集为________．[答案] (1)A (2){x |23<x <34}[解析] (1)x －1x －2≥0∴－x －1x ≥0，∴⎩⎨⎧x (x ＋1)≤0x ≠0，∴－1≤x ＜0.(2)原不等式化为：6x －44x －3＜0， ∴(6x －4)(4x －3)＜0，∴23＜x ＜34，∴原不等式的解集为{x |23＜x ＜34}．跟踪练习：不等式3x －12－x≥1的解集是( ) A ．{x |34≤x ≤2} B ．{x |x ≤34或x ＞2}C ．{x |34≤x ＜2}D ．{x |x ＜2}[答案] C[解析] 不等式3x －12－x≥1，化为：4x －32－x≥0，∴34≤x ＜2. 考点三：简单高次不等式解法例3、 不等式x (x ＋2)x －3＜0的解集为( ) A ．{x |x ＜－2，或0＜x ＜3} B ．{x |－2＜x ＜2，或x ＞3}C ．{x |x ＜－2，或x ＞0}D ．{x |x ＜0，或x ＜3}[答案] A[解析] 原不等式等价于x (x ＋2)(x －3)＜0.结合数轴穿根法(如图)可知：x ＜－2或0＜x ＜3.跟踪练习：解不等式：x (x －1)2(x ＋1)3(x －2)>0.[解析] 原不等式可化为⎩⎨⎧ x (x ＋1)(x －2)>0x －1≠0 ⇔⎩⎨⎧－1<x <0，或x >2x ≠1⇔－1<x <0，或x >2.∴原不等式的解集为{x |－1<x <0，或x >2}.考点四：不等式恒成立的问题例4、 关于x 的不等式(1＋m )x 2＋mx ＋m <x 2＋1对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．[解析] 原不等式等价于mx 2＋mx ＋m －1<0对x ∈R 恒成立，当m ＝0时，0·x 2＋0·x －1<0对x ∈R 恒成立．当m ≠0时，由题意，得⎩⎨⎧ m <0Δ＝m 2－4m (m －1)<0⇔⎩⎨⎧ m <03m 2－4m >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m <0m <0，或m >43⇔m <0. 综上，m 的取值范围为m ≤0.跟踪练习：已知不等式ax 2＋(a －1)x ＋a －1<0对于所有的实数x 都成立，求a 的取值范围．[解析] 若a ＝0，则原不等式为－x －1<0，即x >－1，不合题意．故a ≠0.令f (x )＝ax 2＋(a －1)x ＋a －1，∵原不等式对任意x ∈R 都成立．∴二次函数f (x )的图象在x 轴的下方．∴a <0且Δ＝(a －1)2－4a (a －1)<0.即⎩⎨⎧a <0(a －1)(3a ＋1)>0，∴a <－13. 故a 的取值范围为(－∞，－13)．例5、 若函数y ＝kx 2－6kx ＋(k ＋8)的定义域为R ，则k 的取值范围是________．[错解] 0<k ≤1由题意知kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0恒成立，∴⎩⎨⎧ k >0Δ＝36k 2－4k (k ＋8)≤0，∴0<k ≤1，即k 的取值范围是0<k ≤1. [辨析] 错解忽视了k ＝0时，kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0也成立，考虑问题不全面导致错[正解] 0≤k ≤1由题意kx 2－6kx ＋(k ＋8)≥0恒成立．当k ＝0时满足，当k ≠0时⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0△＝36k 2－4k (k ＋8)≤0 ，∴0＜k ≤1，综上得0≤k ≤1.。

解法编辑解法一当△=b²-4ac≥0时，一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实根，那么ax²+bx+c可分解为如a(x-x1)(x-x2)的形式。

这样，解一元二次不等式就可归结为解两个一元一次不等式组。

一元二次不等式的解集就是这两个一元一次不等式组的解集的交集。

举例：试解一元二次不等式解：利用十字相乘法：2x -3x-2得（2x-3)(x-2)<0然后，分两种情况讨论。

口诀同一元一次不等式的“数轴法”：大大取大，小小取小；大小小大取中间，小小大大没有解。

1）2x-3<0，x-2>0得x<1.5且x>2（不成立）2）2x-3>0，x-2<0得x>1.5且x<2。

得最终不等式的解集为：解法二此外，亦可用配方法解一元二次不等式。

如上例题中：2x²-7x+6=2(x²-3.5x)+6=2(x²-3.5x+3.0625-3.0625)+6=2(x²-3.5x+3.0625)-6.125+6=2(x-1.75)²-0.125<02(x-1.75)²<0.125(x-1.75)²<0.0625两边开平方，得：x-1.75<0.25且x-1.75>-0.25x<2且x>1.5得不等式的解集为解法三一元二次不等式也可通过一元二次函数图象进行求解。

通过看图象可知，二次函数图象与X轴的两个交点，然后根据题中所需求"<0"或">0"而推出答案。

求一元二次不等式的解集实际上是将这个一元二次不等式的所有项移到不等式一侧并进行因式分解分类讨论求出解集。

解一元二次不等式，可将一元二次方程不等式转化成二次函数的形式，求出函数与X轴的交点，将一元二次不等式，二次函数，一元二次方程联系起来，并利用图象法进行解题，使得问题简化。

§15.3 一元二次不等式及其解法一.一元一次不等式的解法一元一次不等式（组）是解其他不等式（组）的基础，熟练掌握逻辑联结词“或”“且”的运用以及集合的“并”“交”运算是解不等式组的关键.二.一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.如果两个不等式的解集相同，那么这两个不等式叫做同解不等式.如果一个不等式变形为另一个不等式时，这两个不等式是同解不等式，那么这种变形叫做不等式的同解变形.解不等式的过程就是将不等式进行同解变形，化为最简形式的同解不等式的过程. 三.一元二次不等式的解集,)x∅121.对不等式变形，将代数式移项至不等号的左边，使不等号的右边等于0，且二次项系数大于0；2.计算相应方程的判别式；∆≥时，求出相应的一元二次方程的根；3.当04.根据二次函数的图象写出一元二次不等式的解集.【例1】求不等式2230x x -+-> 的解集.【解析1】2230x x -+-> 2230x x ⇒-+<.2(2)4380∆=--⨯=-< ，∴方程2230x x -+= 无解，∴ 不等式2230x x -+< 无解. 即不等式2230x x -+-> 无解.【解析2】因为223x x -+-2(21)2x x =--+- 22(1)20x =---< ，所以不等式2230x x -+-> 无解. 【解析3】MathematicaIn[1]:= Reduce[−x 2+2x −3>0,x] Out[1]= False【例2】解不等式2340x x --≥ .【解析1】2(3)4(4)250∆=--⨯-=> ，方程2340x x --= 的两个根为1,4- ，所以不等式2340x x --≥ 的解集为(,1][4,)-∞-+∞ .【解析2】2340x x --≥ (1)(4)0x x ⇒+-≥ 1x ⇒≤- 或4x ≥ . 所以不等式2340x x --≥ 的解集为(,1][4,)-∞-+∞ .【解析3】Mathematica 法In[1]:=Reduce[x 2−3x −4≥0,x] Out[1]= x ≤−1||x ≥4【练习1】解下列不等式：（1）(4)5x x -≤ ； （2）2420x x -+> ； （3）(3)(2)1x x x x ->++ .四.含参数的一元二次不等式的解法1.已知参数的范围，求不等式的解集.对字母系数分类讨论时，要注意确定分类的标准，而且分类时要不重不漏.一般方法： （1）当二次项系数不确定时，按二次项系数大于零、等于零、小于零三种情况进行分类.（2）判别式大于零时，还需要讨论两根的大小.（3）判别式不确定时，按判别式大于零、等于零、小于零三种情况讨论.结合方程的根、函数的图象得到解集.【例3】解关于x 的不等式2(1)2a x x +≥ . 【解析1】分类讨论法原不等式可化为220ax x a -+≥ .对a 分类讨论.（1）当0a = 时，不等式化为20x -≥ ，解得0x ≤ . （2）当0a > 时，22444(1)a a ∆=-=- .○1当01a << 时，0∆> ，此时方程220ax x a -+= 有两根，1x = ，2x =x ≤ 或x ≥ . ○2当1a = 时，不等式化为2(1)0x -≥ ，此时x R ∈ . ○3当1a > 时，0∆< ，此时x R ∈ . （3）当0a < 时，22444(1)a a ∆=-=- .○1当10a -<< 时，0∆> ，此时方程220ax x a -+= 有两根，1x = ，2x =x ≤≤ . ○2当1a =- 时，不等式化为2(1)0x -+≥ ，此时1x =- . ○3当1a <- 时，0∆< ，此时x ∈∅ . 综上可知：当1a <- 时，不等式的解集为∅ .当1a =- 时，不等式的解集为{|1}x x =- .当10a -<< 时，不等式的解集为{|x x ≤≤ .当0a = 时，不等式的解集为{|0}x x ≤ .当01a << 时，不等式的解集为{ |x x x ≤≥ .当1a ≥ 时，不等式的解集为R .【解析2】Mathematica 法In[1]:= Reduce[a(x 2+1)≥2x,x,Reals]Out[1]= (a ==−1&&x ==−1)||(−1<a <0&&1a −√1−a 2a 2≤x ≤1a +√1−a 2a 2)||(a ==0&&x ≤0)||(0<a <1&&(x ≤1a −√1−a 2a 2||x ≥1a +√1−a 2a 2))||a ≥1【练习2】解关于x 的不等式：2(1)10ax a x +--> .2.求满足不等式的解集的参数的取值范围.【例4】若不等式220ax bx +-< 的解集为1{|2}4x x -<< ，求ab 的值.【解析1】因为不等式220ax bx +-< 的解集为1{|2}4x x -<< ，所以0a > ，方程220ax bx +-= 的两根分别为12,4-，根据韦达定理有1224a --⨯= ，124ba -+=- ，解得4a = ，7b = ，所以28ab = .【解析2】Mathematica 法In[1]:= f[x_]=ax 2+bx −2;Solve[{f[−2]==0,f[14]==0},{a,b}] Out[1]= {{a →4,b →7}}【练习3】已知函数2()f x x ax b =++ （,a b R ∈ ）的值域为[0,)+∞ ，若关于x 的不等式()f x c < 的解集为(,6)m m + ，求实数c 的值.五.不等式恒成立问题1.一元二次不等式的恒成立问题（1）20ax bx c ++> 对任意实数x 都成立0,0;a >⎧⇔⎨∆<⎩20ax bx c ++< 对任意实数x 都成立0,0.a <⎧⇔⎨∆<⎩（2）若20ax bx c ++< 或20ax bx c ++> （0a ≠ ）在12[,]x x x ∈ 时均成立，可利用根的分布求解.【例5】已知函数2()3f x x ax =++ .（1）当x R ∈ 时，()f x a ≥ 恒成立，求a 的范围； （2）当[2,2]x ∈- 时，()f x a ≥ 恒成立，求a 的范围；【解析1】（1）()f x a ≥ 恒成立，即230x ax a ++-≥ 恒成立，必须且只需24(3)0a a ∆=--≤ ，即24120a a +-≤ ，所以62a -≤≤ .（2）2()3f x x ax =++ 22()324a a x =++- .○1当22a-<- ，即4a > 时，min ()(2)27f x f a =-=-+ ，由27a a -+≥ ，得73a ≤，所以a ∈∅ . ○2当222a -≤-≤ ，即44a -≤≤ 时，2min ()34a f x =- ，由234a a -≥ ，得62a -≤≤ ，所以42a -≤≤ . ○3当22a -> ，即4a <- 时，min ()(2)27f x f a ==+ ，由27a a +≥ ，得7a ≥- ，所以74a -≤<- .综上可得72a -≤≤ .【解析2】Mathematica 法（1）In[1]:= Reduce[ForAll[x,x 2+ax +3≥a],a,Reals] Out[1]= −6≤a ≤2（2）In[2]:= Reduce[ForAll[x,−2≤x ≤2,x 2+ax +3≥a],a,Reals] Out[2]= −7≤a ≤2【练习4】已知不等式244x mx x m +>+- .（1）若对一切实数x 不等式恒成立，求实数m 的取值范围；（2）若对于04m ≤≤ 的所有实数m ，不等式恒成立，求实数x 的取值范围.2.含参数的不等式的恒成立问题.通过分离参数，把参数的范围转化为函数的最值问题.()a f x > 恒成立max ()a f x ⇔> ；()a f x < 恒成立min ()a f x ⇔< .【例6】若不等式210x kx k -+-> 对(1,2)x ∈ 恒成立，求实数k 的取值范围. 【解析1】因为210x kx k -+-> ，所以21(1)x k x ->- .又因为1x > ，所以2111x k x x -<=+- .因为12x << ，所以213x <+< .因为不等式210x kx k -+-> 对(1,2)x ∈ 恒成立，所以2k ≤ . 【解析2】Mathematica 法In[1]:= Reduce[ForAll[x,1<x <2,x 2−kx +k −1>0],k] Out[1]= k ≤2【练习】1.解下列不等式：（1）22150x x +-> ； （2）221x x >- ； （3）222x x <- .2.已知实数a 满足不等式33a -<< ，解关于x 的不等式：()(1)0x a x -+> .3.已知0a ≠ ，解关于x 的不等式2(2)20ax a x +++> .4.已知函数22()log (3)f x m mx =++ 的定义域为R ，求实数m 的取值范围.5.若函数y =（k 为常数）的定义域为R ，求实数k 的取值范围.6.解关于x 的不等式(2)(2)0x ax --> .7.设函数2()1f x mx mx =-- .（1）若对于一切实数x ，()0f x < 恒成立，求m 的取值范围. （2）若对于[1,3]x ∈ ，()5f x m <-+ 恒成立，求m 的取值范围.作者：曹亚云Email ：cyy82@ 更多资源：。

一元二次不等式及其解法3.2 一元二次不等式及其解法本课时的研究目标如下：1.掌握一元二次不等式的解法（重点）。

2.能够根据“三个二次”之间的关系解决简单问题（难点）。

基础·初探】1.一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。

2.一元二次不等式的一般形式1) ax^2 + bx + c。

0 (a ≠ 0)。

2) ax^2 + bx + c ≥ 0 (a ≠ 0)。

3) ax^2 + bx + c < 0 (a ≠ 0)。

4) ax^2 + bx + c ≤ 0 (a ≠ 0)。

3.一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集。

判断（正确的打“√”，错误的打“×”）1) mx^2 - 5x < 0 是一元二次不等式。

（×）解析：当 m = 0 时，是一元一次不等式；当m ≠ 0 时，它是一元二次不等式。

2) 若 a。

0，则一元二次不等式 ax^2 + 1.0 无解。

（×）解析：因为 a。

0，所以不等式 ax^2 + 1.0 恒成立，即原不等式的解集为 R。

3) x^2 - x。

0 为一元二次不等式。

（×）解析：因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有 x，故该说法错误。

答案】(1) × (2) × (3) ×二次函数与一元二次不等式的关系】考虑一元二次不等式 f(x)。

0（或 f(x)。

0）。

1.判别式Δ = b^2 - 4ac。

2.求出方程 f(x) = 0 的解集 {x | x1 < x < x2}，其中 x1 和x2 分别是 f(x) = 0 的两个实根。

3.画出函数 y = f(x) 的图像。

4.根据 f(x)。

0（或 f(x) < 0）的条件，得到一元二次不等式的解集。