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函数最值、值域、恒成立问题一、函数最值定义1.（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≤；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。
就称M 是函数()y f x =的最大值。
（2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≥；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。
就称M 是函数()y f x =的最小值。
2.【注】（1）函数的最值指的是函数值（y 值）的最大值和最小值。
求函数的最值，既要求函数的最大值也要求函数的最小值。
【注】（2）从函数图象上看，函数的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应函数图象最低点的纵坐标。
二、单调函数的最值1.单调函数的最值在闭区间的端点处取得。
（1）单调递增函数在闭区间的左端点取得最小值，在右端点取得最大值。
（2）单调递减函数在闭区间的左端点取得最大值，在右端点取得最小值。
【注】单调函数在开区间上无最值，即既无最大值，也无最小值。
2.函数值域闭区间的左端点是函数值的最小值，右端点是函数值的最大值。
求函数的值域，往往要求函数的最大值和最小值。
三、分段函数的最值1.分段函数的最大值，是各段函数值最大值中的最大值；2.分段函数的最小值，是各段函数值最小值中的最小值。
四、函数最值的求解方法函数求最值的方法一般有：配方法、换元法、数形结合法（图象法）、结合函数的单调性法等。
五、函数的值域问题函数值域中的最小值往往是函数值的最小值，函数值域中的最大值往往是函数值中的最大值，所以求函数的值域往往需要先求出函数的最大值和最小值。
六、恒成立问题假设()g x 为已知函数，求()f a 的取值范围，则有以下两种情况：（1）()()f a g x ≤恒成立()()min f a g x ⇔≤；（2）()()f a g x ≥恒成立()()max f a g x ⇔≥。
高一数学重要知识点【函数的值域与最值】高一数学学习对大家来说很重要，想要取得好成绩必须要掌握好课本上的知识点，为了帮助大家掌握高一数学知识点，下面为大家带来高一数学重要知识点【函数的值域与最值】，希望对大家掌握数学知识有所帮助。
1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b[a，b(0，+)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件一正二定三相等有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用△0求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是(0，16]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是(-，-2][2，+)，但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为工程造价最低，利润最大或面积(体积)最大(最小)等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.为大家带来了高一数学重要知识点【函数的值域与最值】，希望大家能够熟记这些数学知识点，更多的高一数学知识点请查阅。
函数的值域知识点总结一、函数的值域的概念和含义1. 函数的值域定义函数的值域指的是函数在定义域内可以取得的所有可能的输出值的集合。
它是函数所有可能输出的值的集合，可以用集合的形式或者区间的形式进行表示。
例如，对于函数f(x) =x^2，其值域为非负实数的集合，即R+ = {y | y ≥ 0}。
2. 值域的含义值域可以帮助我们了解函数在定义域内的输出情况，它描述了函数所有可能的输出值。
通过求解函数的值域，我们可以确定函数的变化范围，找到函数的最大值和最小值，以及理解函数的性质和行为。
函数的值域在数学分析、微积分、代数等领域都有着重要的应用。
二、函数值域的求解方法1. 代数方法对于一些简单的函数，我们可以通过代数方法来求解函数的值域。
例如，对于线性函数f(x) = ax + b，其值域为整个实数集合R；对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过公式法求解其最值，从而确定其值域范围。
2. 图像法对于一些复杂的函数，我们可以通过绘制函数的图像来观察函数的变化趋势，从而求解函数的值域。
通过分析函数的图像，我们可以找到函数的最值点，从而确定函数的值域范围。
3. 极限方法对于一些较复杂的函数，我们可以通过求函数的极限来确定函数的值域。
通过求解函数在无穷远处的极限值，我们可以得到函数的最大值和最小值，从而确定函数的值域。
4. 排除法有时候，我们可以通过排除法来确定函数的值域。
通过观察函数的定义域和性质，我们可以排除一些无法取得的值，从而确定函数的值域范围。
三、常见函数的值域1. 线性函数对于线性函数 f(x) = ax + b，其值域为整个实数集合R。
线性函数的图像是一条直线，可以取得任意的实数值。
对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过公式法求解其最值，从而确定其值域范围。
当a > 0时，函数的最小值为f(-b/2a)，值域为[f(-b/2a), +∞)；当a < 0时，函数的最大值为f(-b/2a)，值域为(-∞, f(-b/2a)]。
函数的值域与最值1．函数值和函数值域的看法(1)函数值与函数值域是两个相关看法，函数值是一个局部看法，函数值域是一个整体看法．函数值域是函数值的会集 . (2)确定函数值域取决于这一函数的定义域和对应法那么．2．函数的最值(1)定义〔见教材必修 1 30 页〕 (2)对最值的理解①从图象上看，函数的最大值就是图象上最高处点的纵坐标；函数的最小值就是图象上最低处点的纵坐标．函数y＝ f(x) 的图象以以下图．②从定义中可以看出函数的最大值是函数值域中的最大者，函数的最小值是函数值域中的最小者．③极值与最值极值是函数的局部性质，极大 (小 )值是函数在某一区间上的最大 (小 )值，而最大值与最小值那么分别是函数在整个定义域内的最大的函数值和最小的函数值．〔其实不是所有的函数都有最大值与最小值．〕根本初等函数的值域：3．函数值域〔最值〕的求法(1)列举法即直接依照函数的定义域与对应法那么将函数值一一求出来写成会集形式．这种方法只适于值域 B 中元素为有限或诚然是无量但倒是与自然数相关的会集．(2) 逐层求值域法：逐层求值域法就是依照x 的取值范围一层一层地去求函数的值域．比方：求函数f(x) ＝1，x∈ [2,5] 的值域．1－ 2xcx＋d(3)分别常数法形如 y＝ax＋b(a≠ 0)的函数(4)配方法是求“二次函数类〞值域的根本方法，形如 F( x)＝ a[ f 2(x)＋ bf(x)＋ c]的函数的值域问题。
(5)换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y＝ ax＋ b± cx＋ d(a、 b、 c、d 均为常数，且 a≠ 0)的函数常用此法求解．在用换元法求值域时必然要注意新元的范围对值域的影响．(6)利用函数的有界性形如 sinα＝f(y)，x2＝ g(y)，a x＝h(y)等，因为 |sinα|≤ 1，x2≥0， a x＞0 可解出 y 的范围，从而求出其值域或最值．(7)数形结合法假设函数的剖析式的几何意义较明显，诸如距离、斜率等(8)重要不等式 (绝对值不等式 )利用均值不等式：a＋ b≥2a＋ b222ab， ab≤， a ＋ b ≥ 2ab.2用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等〞(9) 利用函数的单调性①单调函数在端点处有定义，那么函数在端点处取最值． 若是函数在端点处没有定义，那么不可以能在端点处获取最值．②关于自变量 x 的一次根式， 如 y ＝ ax ＋ b ＋ dx ＋ c ，假设 ad ＞ 0，那么用单调性求值域或最值；假设 ad ＜0，那么用换元法．③形如 y ＝ x ＋kx 的函数．(10) 导数法：利用导函数求最值．4． 条件最值所谓条件最值， 即函数在必然条件下才能获取最值，也许说函数的最值碰到某种条件的限制和影响． 因此，在求条件最值时， 必然要注意所求最值可否吻合条件；特别是实质应用题，要检查所求最值可否吻合实质意义．如 x 2＋ y 2＝ x ，求 u ＝ 3x 2＋ 1y 2 的最值．2配方法 换元法例 1 (1)函数f(x)＝ x 2＋ x － 2，其定义域分别为：① R ， ②[ －2，＋ ∞ )，③ [2,4] ，那么对应的值域依次是① ________， ② ________， ③ ________.(2) 求以下函数的最值①②yx 2 2x 21y2x x2例 2 : 求以下函数的最值〔1〕y 2x 4 1 x( 2) y x 1 x 2练习：求以下函数的最值：(1)y ＝ 2x ＋ 1－ 2x ；(2) y ＝x ＋ 4＋ 9－ x 2；分别常数法、有界性法例：求以下函数的最值：(1)y＝x－ 22x＋ 1；(2)y＝x－ 1；x＋ 12练习：求以下函数的值域(1)y＝5x－ 11x2 4x， x∈ [ － 3，－ 1]；( 2) y2＋ 21x不等式法、单调性法练习：求以下函数的值域例：求以下函数的值域(1) y4( x0)〔1〕 y log 1 4 x2 x2 x(2) y(1 )x 2(2) y x25x242〔〕log3x log x 31 3 y导数法例1： a为实数， f ( x) ( x 24)( x a).〔1〕假设 f / ( 1) 0, 求 f (x)在[ 2,2]上的最值；〔2〕假设 f (x)在 ( , 2]和[2, )上都是递加的，求a的取值范围数形结合法例：求以下函数的最值(1) y(x 3)216( x 5)242 sin x(2) y3cos x条件最值设 x，y≥0,2 x＋ y＝6，求 Z＝4x2＋3xy＋ y2－6x－3y 的最值．。
函数的极值与最值知识点函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
在函数中，经常会遇到极值与最值的问题。
本文将介绍与函数的极值与最值相关的知识点。
一、函数的极值函数的极值指的是在函数曲线上存在的最高点或最低点。
根据函数的定义域和值域，可以分为两种极值：最大值和最小值。
1. 定义域与值域在讨论函数的极值之前，首先需要明确函数的定义域和值域。
定义域是指函数的自变量的取值范围，而值域则是函数的因变量的取值范围。
2. 局部极值对于实数域上的函数，如果在某个区间内存在一个点，使得这个点左右两侧的函数值都比它小（或都比它大），那么这个点就是函数在该区间内的局部最小值（或最大值）。
3. 单调性与极值单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
如果函数在某个区间内单调递增，那么在这个区间内，函数的最小值一定在区间的起点上；如果函数在某个区间内单调递减，那么在这个区间内，函数的最大值一定在区间的终点上。
二、函数的最值函数的最值指的是函数在定义域内可能取得的最大值或最小值。
1. 最大值与最小值对于连续函数，在有限闭区间上一定存在最大值和最小值。
根据最值的性质，最大值是函数图像上的“最高点”，最小值是函数图像上的“最低点”。
2. 最值的求解方法为了找到函数的最值，可以使用以下方法：（1）导数法：通过求函数的导数，找到导数为零的点，并且通过二阶导数的符号判断这些点是极值点还是驻点。
（2）边界法：当函数定义域为闭区间时，极值可能出现在端点上。
三、综合例题为了更好的理解函数的极值与最值，下面给出一个综合例题：例题：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求其在定义域[-2,2]上的最大值和最小值。
解答：首先，将函数f(x)对x求导，得到f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
令f'(x) = 0，解得x = 1/3。
然后，计算f''(1/3) = 4，由于f''(1/3)大于0，所以x = 1/3是函数f(x)的一个局部最小值点。
函数的最值与值域【考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值. 【知识网络】【考点梳理】考点一、函数最值的定义1.最大值：如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，存在0x D ∈，使得0()()f x f x ≤成立，则称0()f x 是函数()f x 的最大值．注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，都有()f x M ≤，则称M 是函数()f x 的最大值．2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．2.判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0∆≥（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值．3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．4.不等式法：利用均值不等式求最值．5.利用函数的性质求函数的最值6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法7.利用导数求函数的最值。
要点诠释：(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题:()f x A >在区间D 上恒成立⇔函数min ()()f x A x D >∈函数的最值与值域 函数的值域函数的最大值函数的最小值()f x B <在区间D 上恒成立⇔函数max ()()f x B x D <∈在区间D 上存在实数x 使()f x B <⇔函数min ()()f x B x D <∈ 在区间D 上存在实数x 使()f x A >⇔函数max ()()f x A x D >∈ 【典型例题】类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值 例1.求函数22()xx x f x e me e -=-+-x me -的最值．【解析】22()()xx x x f x ee m e e --=+-+2()()2xx xxe e m e e --=+-+-令x xt e e -=+（注意t 的范围），这样所求函数就变为二次函数．【总结升华】当式子中同时出现22x x -+和1x x -±时，都可以化为二次式． 举一反三：【变式】求函数13y x x =-++的值域．【解析】平方再开方，得42(1)(3),[3,1]y x x x =+-+∈-[2,22]y ∴∈类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值 例2. 求下列函数值域： (1)2-12x y x =+； 1)x ∈[5，10]； 2)x ∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x 2-2x+3； 1)x ∈[-1，1]； 2)x ∈[-2，2]. 【解析】(1)2(2)-5-5-522x y y x x x+===++Q +2可看作是由左移2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，919[(5),(10)][,]712y f f ∈即； 2)1(-,(1))((-3),)(-)(7)3y f f ∈∞⋃+∞∞⋃+∞即，，； (2)画出草图1)y ∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]； 2)[(1),(-2)][2,11]y f f ∈即. 举一反三：【变式】已知函数13xf (x)13x+=-.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x ∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.【解析】(1)13x (3x 1)22f (x)113x 13x 3x 1+--++===----- 1f (x)(-)3∴∞在，上单调递增，在1(,)3+∞上单调递增；(2)1[1,3](,)3⊆+∞故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值5f (3)4=-∴x ∈[1，3]时f(x)的值域为5[2,]4--. 类型三、含参类函数的最值与值域问题例3（2016 北京高考）设函数33,()2,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩.①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 【答案】2，(,1)-∞-.【解析】如图先作出函数3()3g x x x =-与直线2y x =-的图象，它们的交点是(1,2)A -，(0,0)O ，(1,2)B -，由2'()33g x x =-，知1x =是函数()g x 的极大值点，①当0a =时，33,0()2,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，因此()f x 的最大值是(1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时，()f x 有最大值是(1)2f -=；只有当1a <-时，由332a a a -<-，因此()f x 无最大值，∴所求a 的范围是(,1)-∞-，故填：2，(,1)-∞-．.举一反三：【变式】（2014 甘肃一模）若不等式2229t t a t t +≤≤+在(]0,2t ∈上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A. 1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 2,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 14,613⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 1,26⎡⎢⎣ 【答案】B 【解析】Q 函数22212t y t t t+==+，在(]0,2t ∈上为减函数 ∴当2t =时，22t t +的最小值为1; 又2219629t t t ≤=+Q，当且仅当3t =时等号成立 所以函数29ty t =+在区间(]0,2上为增函数 可得2t =时，29t t +的最大值为213.因为不等式2229t t a t t+≤≤+在(]0,2t ∈上恒成立所以22max min 29t t a t t +⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即2113a ≤≤可得a 的取值范围是2,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 类型四、抽象函数的最值与值域问题例4.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]3【答案】B【解析】令()t f x =，则1[,3]2t ∈，110()[2,]3F x t t =+∈ 举一反三：【变式】设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1()(2)f f 的值为（ ） A ．1516B ．2716-C ．89D ．18【答案】A【解析】∵2(2)2224f =+-=，∴211115()()1()(2)4416f f f ==-=. 类型五：解析几何在最值方面的综合应用例5．设A （0，0），B （4，0），C （t+4，4），D （t ，4）（t ∈R ）．记N （t ）为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数N （t ）的值域为（ ）A ．{9，10，11}B ．{9，10，12}C ．{9，11，12}D ．{10，11，12}【解析】当t ≠0时，直线AD 的方程为4y x t=， 分别与直线y=1，y=2，y=3交于点1(,1)4t M ，2(,2)2t M 33(,3)4M t 。
同理直线BC 的方程为4(4)y x t=-分别与直线y=1，y=2，y3交于点 1(4,1)4t N +，2(4,2)2t N +，33(4,3)4N t +。
此时当3014t <<时，直线y=1，y=2，y=3在平等四边形ABCD 内部的线段上各有4个整点，故此时N （t ）=12； 当314t =时，直线y=1，y=2在平行四边形ABCD 内部的线段上各有4个整点， 而直线y=3在平行四边形ABCD 内部的线段上只有3个整点， 此时N （t ）=11。
同理可得当31()4k k k t<<+∈Z 时，N （t ）=12； 当31()4t k k =+∈Z 时，N （t ）=11。
综上得 9, 044()12, (1)33411, (1)3t N t k t k t k ⎧⎪=⎪⎪=<<+⎨⎪⎪=+⎪⎩，其中k ∈Z ）。
故选C 。
【答案】C 当t=0时，平行四边形ABCD 为正方形，不含边界的整点个数为9个。
【变式2】设直线x=t 与函数2()f x x =，()ln g x x =的图像分别交于点M ，N ，则当|MN|达到最小时t 的值为（ ）A ．1B ．12C ．52D ．22【答案】D 如图，2||ln MN t t =-，令2()ln (0)h t t t t =->，∵2121'()2t h t t t t -=-=，∴易知202t <<时，'()0h t <；22t >时，'()0h t >。
于是可判断当22t =时，|MN|取得小值。
【巩固练习】1．已知A （2，5），B （4，1）.若点P （x ，y ）在线段AB 上，则2x −y 的最大值为（A ）−1 （B ）3 （C ）7 （D ）82.直线y a =分别与曲线()21y x =+，ln y x x =+交于A 、B,则AB 的最小值为（）A.3B.2C.32D. 3243．已知不等式222(cos 5)4sin 0m m θθ+-+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.04m ≤≤ B. 14m ≤≤ C ．4m ≤或0m ≤ D. 1m ≤或0m ≤ 4. 已知函数()x f x a -=,()log (0,1)a g x x a a =>≠,若f(2)·g(2)<0，则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是（ ）A B C D5．设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ）A ．0<b 且0>cB ．0>b 且0<cC ．0<b 且0=cD ．0≥b 且0=c6．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，2()f x x =。
若对任意的x ∈[t ，t+2]，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A．)+∞ B ．[2，+∞）C ．（0，2] D．[1]-U 7．（2016 潍坊一中二模）函数1(x)a 2(a 0,a 1)x f -=->≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx-my-1=0上，其中m>0,n>0,则12m n+的最小值为（ ） A 4 B 5 C 6D 3+8.已知()f x 是奇函数，当(0,1)x ∈时1()lg 1f x x=+，那么当(1,0)x ∈-时()f x 的表达式是_____． 9. 记1010101111112212221S =++++++-L ，则S 与1的大小关系是 . 10.（2015 浙江高考）已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()()2f f -= ，()f x 的最小值是 . 11.实数,x y 满足xx y y=-,则x 的取值范围是__________. 12.设不等式221(1)x m x ->-对满足22m -≤≤的一切实数m 的值都成立，则实数x 的取值范围 。
