函数的最值与值域知识梳理

函数最值、值域、恒成立问题一、函数最值定义1.（1）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≤；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。

就称M 是函数()y f x =的最大值。

（2）一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①x I ∀∈，都有()f x M ≥；②0x I ∃∈，使得()0f x M =。

就称M 是函数()y f x =的最小值。

2.【注】（1）函数的最值指的是函数值（y 值）的最大值和最小值。

求函数的最值，既要求函数的最大值也要求函数的最小值。

【注】（2）从函数图象上看，函数的最大值对应函数图象最高点的纵坐标；函数的最小值对应函数图象最低点的纵坐标。

二、单调函数的最值1.单调函数的最值在闭区间的端点处取得。

（1）单调递增函数在闭区间的左端点取得最小值，在右端点取得最大值。

（2）单调递减函数在闭区间的左端点取得最大值，在右端点取得最小值。

【注】单调函数在开区间上无最值，即既无最大值，也无最小值。

2.函数值域闭区间的左端点是函数值的最小值，右端点是函数值的最大值。

求函数的值域，往往要求函数的最大值和最小值。

三、分段函数的最值1.分段函数的最大值，是各段函数值最大值中的最大值；2.分段函数的最小值，是各段函数值最小值中的最小值。

四、函数最值的求解方法函数求最值的方法一般有：配方法、换元法、数形结合法（图象法）、结合函数的单调性法等。

五、函数的值域问题函数值域中的最小值往往是函数值的最小值，函数值域中的最大值往往是函数值中的最大值，所以求函数的值域往往需要先求出函数的最大值和最小值。

六、恒成立问题假设()g x 为已知函数，求()f a 的取值范围，则有以下两种情况：（1）()()f a g x ≤恒成立()()min f a g x ⇔≤；（2）()()f a g x ≥恒成立()()max f a g x ⇔≥。

(2)由
⇒ab>0.

①0<a<b时，由(1)可知：x∈(0，＋∞)时，
f(x)max＝f(1)＝2，所以

≤2⇒a≥1，
即1≤a<b，由(1)可知：x∈[a，b]时f(x)递 减，

3x－x3＝ ⇒x4－3x2＋2＝0⇒x1＝1；x2 ＝ ，所以a＝1，b＝ .

②a<b<0时，由(1)可知：x∈(－∞，0)时 f(x)递增，
5 2
使用此法求解，该函数的值域为[ , ＋
∞) ．

8．求导法——当一个函数在定义域上可 导时，可根据其导数求最值，如y＝x3－
x，x∈[0,2]的值域为

．

9．数形结合法——当一个函数图象可作 [0，＋∞)
时，通过图象可求其值域和最值；或利 用函数所表示的几何意义，借助于几何




解析：本小题主要考 查正六棱柱的概念与 性质，以及函数的相 关知识，考查考生运 用导数知识解决实际 问题的能力． 设被切去的全等四边 形的一边为x，如图 所示，则正六棱柱的 底面边长为1－2x， 高为 x，


所以正六棱柱的体积
V＝6×
(1－2x)2×
x(0<x<
)，
化简得V＝ (4x3－4x2＋x)． 又V′＝ (12x2－8x＋1)， 或 x＝ .


3．当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数 的值域由函数的定义域及其对应法则唯 一确定． 4．当函数由实际问题给出时，函数的值 域由问题的实际意义确定．



四、求函数的值域是高中数学的难点， 它没有固定的方法和模式．常用的方法 有： [2，＋∞) 1．直接法——从自变量x的范围出发，推 出y＝f(x)的取值范围，如y＝(x≥3)的值域 为 ． (0，＋∞) 2．配方法——配方法是求“二次函数类” 值域的基本方法，形如F(x)＝af 2(x)＋ bf(x)＋c的函数的值域问题，均可使用配 方法，如y＝4x＋2x的值域为 ．

高一数学重要知识点【函数的值域与最值】高一数学学习对大家来说很重要，想要取得好成绩必须要掌握好课本上的知识点，为了帮助大家掌握高一数学知识点，下面为大家带来高一数学重要知识点【函数的值域与最值】，希望对大家掌握数学知识有所帮助。

1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域.(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元.(3)反函数法：利用函数f(x)与其反函数f-1(x)的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如(a0)的函数值域可采用此法求得.(4)配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法.(5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b[a，b(0，+)]可以求某些函数的值域，不过应注意条件一正二定三相等有时需用到平方等技巧.(6)判别式法：把y=f(x)变形为关于x的一元二次方程，利用△0求值域.其题型特征是解析式中含有根式或分式.(7)利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上(或某个定义域的子集上)的单调性，可采用单调性法求出函数的值域.(8)数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域. 2、求函数的最值与值域的区别和联系求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异.如函数的值域是(0，16]，最大值是16，无最小值.再如函数的值域是(-，-2][2，+)，但此函数无最大值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x0时，函数的最小值为2.可见定义域对函数的值域或最值的影响.3、函数的最值在实际问题中的应用函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为工程造价最低，利润最大或面积(体积)最大(最小)等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值.为大家带来了高一数学重要知识点【函数的值域与最值】，希望大家能够熟记这些数学知识点，更多的高一数学知识点请查阅。

王新敞
奎屯 新疆
题型精讲 例4 求函数
5x 2 y x
5 5x 2
的最大值；
解法2： (不等式方法)
y 5x 2 1 [(5 x 2) 2] 5
2 当x 时， 5
2 5x 2 5 2 4 2 2 5
4 4 当且仅当 x 时等号成立 ， 且x 适合题意 。 5 5
1 1 7 （x ） （x ） 5 5x 1 7 5 ＝5 2 10 5 解(1):由y 1 4 x 2 （x 1 ） 4 （x 1 ） 4 4 8 x 2 2 2 由此知y f ( x)在[3, 1] 上为增函数
f ( 3) y f (1)
2
王新敞
奎屯
新疆
四、巩固与提高
3.y 2 x 2 4 x的值域是 C ( A)[2, 2];( B)[1, 2];(C )[0, 2);( D)[ 2, 2]. 2 x 3, 4.函数y x 3, x 5, x0 0 x 1的最大值为 4 x 1
王新敞
奎屯
新疆
五、小结 求函数的值域和最值常用方法： 配方法、判别式法、不等式法、换元法、 反函数法、利用函数的单调性和有界性、数形 结合、导数法等. 求函数最大、最小值问题历来是高考热点， 这类问题的出现率很高，应用很广. 因此应注意 总结最大、最小值问题的解题方法与技巧，以提 高高考应变能力. 因为函数的最大、最小值求出 来了，值域也就知道了，反之，若求出的函数的 值域为非开区间，函数的最大或最小值也等于求 出来了 .
题型精讲
1 5 5 x x 1 x ,0 (0, ) 2 4 4

函数的值域知识点总结一、函数的值域的概念和含义1. 函数的值域定义函数的值域指的是函数在定义域内可以取得的所有可能的输出值的集合。

它是函数所有可能输出的值的集合，可以用集合的形式或者区间的形式进行表示。

例如，对于函数f(x) =x^2，其值域为非负实数的集合，即R+ = {y | y ≥ 0}。

2. 值域的含义值域可以帮助我们了解函数在定义域内的输出情况，它描述了函数所有可能的输出值。

通过求解函数的值域，我们可以确定函数的变化范围，找到函数的最大值和最小值，以及理解函数的性质和行为。

函数的值域在数学分析、微积分、代数等领域都有着重要的应用。

二、函数值域的求解方法1. 代数方法对于一些简单的函数，我们可以通过代数方法来求解函数的值域。

例如，对于线性函数f(x) = ax + b，其值域为整个实数集合R；对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过公式法求解其最值，从而确定其值域范围。

2. 图像法对于一些复杂的函数，我们可以通过绘制函数的图像来观察函数的变化趋势，从而求解函数的值域。

通过分析函数的图像，我们可以找到函数的最值点，从而确定函数的值域范围。

3. 极限方法对于一些较复杂的函数，我们可以通过求函数的极限来确定函数的值域。

通过求解函数在无穷远处的极限值，我们可以得到函数的最大值和最小值，从而确定函数的值域。

4. 排除法有时候，我们可以通过排除法来确定函数的值域。

通过观察函数的定义域和性质，我们可以排除一些无法取得的值，从而确定函数的值域范围。

三、常见函数的值域1. 线性函数对于线性函数 f(x) = ax + b，其值域为整个实数集合R。

线性函数的图像是一条直线，可以取得任意的实数值。

对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过公式法求解其最值，从而确定其值域范围。

当a > 0时，函数的最小值为f(-b/2a)，值域为[f(-b/2a), +∞)；当a < 0时，函数的最大值为f(-b/2a)，值域为(-∞, f(-b/2a)]。

解决实际问题
在解决实际问题时，可以根据问题的实际背景确 定函数的值域，从而得到问题的解。
03 函数的最值与值域的关系
最值与值域的联系
01 最值是函数在定义域内达到的最大或最小值，而 值域是函数所有可能取值的集合。
02 最值一定出现在函数的定义域内，而值域是定义 域内所有可能取值的集合，包括最值。
03 当函数在定义域内取得最值时，其对应的自变量 值称为临界点。
最值与值域的区别
01
最值是函数在特定点上的取值，而值域是函数所有可
能取值的范围。
02
最值只考虑函数在临界点处的取值，而值域需要考虑
整个定义域内的取值情况。
03
最值是函数在特定点上的局部特性，而值域是函数在
整个定义域上的全局特性。
最值与值域在函数中的表现形式
值域：对于任意实数$x$， $f(x)=kx+b$的值域为$R$。
二次函数的最值与值域
二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$的最值出现在对称轴上，即$x=-frac{b}{2a}$处，最大值为$frac{4acb^2}{4a}$，最小值为$frac{4ac-b^2}{4a}$。
值域：当$a>0$时，函数有最小值，最小值为$frac{4ac-b^2}{4a}$；当$a<0$时，函数有最大值，最大 值为$frac{4ac-b^2}{4a}$。
函数的最值可以通过求导数、利用极值定理或比较法等方法求得。
函数的值域可以通过观察函数的图像、利用函数的性质或比较法等方法确 定。
在实际应用中，需要根据问题的具体情况选择合适的方法来确定函数的最 值和值域。
04 函数的最值与值域的实例 分析
一次函数的最值与值域

反函数法
对于一些单调函数，可以通过求反函数，然后在反函数的定义域内求 最值。
常见函数的最值
一次函数
一次函数的最值出现在端点处 ，其最值为常数项。
二次函数
二次函数的最值出现在顶点处 ，其最值为顶点的纵坐标。
指数函数
指数函数在其定义域内单调递 增或递减，因此其最值为无穷 大或无穷小。
对数函数
对数函数在其定义域内单调递 增或递减，因此其最值为无穷
最值
函数在定义域内的最大值和最小值，是函数在特定条件下达到的极值。
如何在实际问题中灵活运用函数的性质
实际问题建模
将实际问题转化为数学模型，利用函数性质 进行分析和求解。
优化问题解决
利用函数最值性质，解决最优化问题，如最 大利润、最小成本等。
动态规划
利用函数性质进行动态规划，解决多阶段决 策问题。
数据分析
函数的定义域、值域、最值
• 函数的定义域 • 函数的值域 • 函数的最值 • 函数的最值在实际问题中的应用 • 总结与思考
01
函数的定义域
定义域的概念
定义域是函数中自变量x的取值范围， 它决定了函数中x可以取哪些值进行计 算。
定义域是函数存在的前提，没有定义 域的函数是不存在的。
确定定义域的方法
THANKS
感谢观看
最短路径问题
确定起点和终点
最短路径问题通常涉及从起点到终点的最短路径寻找。
定义路径函数
路径函数表示从起点到终点的所有可能路径，以及每 条路径的长度。
求解最短路径
通过比较所有可能的路径长度，可以找到最短路径， 即最小化路径函数值的路径。
最佳投资问题
确定投资目标和约束
01
最佳投资问题通常涉及在一定时间内实现最大的投资回报或最

函数的值域与最值1．函数值和函数值域的看法(1)函数值与函数值域是两个相关看法，函数值是一个局部看法，函数值域是一个整体看法．函数值域是函数值的会集 . (2)确定函数值域取决于这一函数的定义域和对应法那么．2．函数的最值(1)定义〔见教材必修 1 30 页〕 (2)对最值的理解①从图象上看，函数的最大值就是图象上最高处点的纵坐标；函数的最小值就是图象上最低处点的纵坐标．函数y＝ f(x) 的图象以以下图．②从定义中可以看出函数的最大值是函数值域中的最大者，函数的最小值是函数值域中的最小者．③极值与最值极值是函数的局部性质，极大 (小 )值是函数在某一区间上的最大 (小 )值，而最大值与最小值那么分别是函数在整个定义域内的最大的函数值和最小的函数值．〔其实不是所有的函数都有最大值与最小值．〕根本初等函数的值域：3．函数值域〔最值〕的求法(1)列举法即直接依照函数的定义域与对应法那么将函数值一一求出来写成会集形式．这种方法只适于值域 B 中元素为有限或诚然是无量但倒是与自然数相关的会集．(2) 逐层求值域法：逐层求值域法就是依照x 的取值范围一层一层地去求函数的值域．比方：求函数f(x) ＝1，x∈ [2,5] 的值域．1－ 2xcx＋d(3)分别常数法形如 y＝ax＋b(a≠ 0)的函数(4)配方法是求“二次函数类〞值域的根本方法，形如 F( x)＝ a[ f 2(x)＋ bf(x)＋ c]的函数的值域问题。

(5)换元法运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如y＝ ax＋ b± cx＋ d(a、 b、 c、d 均为常数，且 a≠ 0)的函数常用此法求解．在用换元法求值域时必然要注意新元的范围对值域的影响．(6)利用函数的有界性形如 sinα＝f(y)，x2＝ g(y)，a x＝h(y)等，因为 |sinα|≤ 1，x2≥0， a x＞0 可解出 y 的范围，从而求出其值域或最值．(7)数形结合法假设函数的剖析式的几何意义较明显，诸如距离、斜率等(8)重要不等式 (绝对值不等式 )利用均值不等式：a＋ b≥2a＋ b222ab， ab≤， a ＋ b ≥ 2ab.2用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等〞(9) 利用函数的单调性①单调函数在端点处有定义，那么函数在端点处取最值． 若是函数在端点处没有定义，那么不可以能在端点处获取最值．②关于自变量 x 的一次根式， 如 y ＝ ax ＋ b ＋ dx ＋ c ，假设 ad ＞ 0，那么用单调性求值域或最值；假设 ad ＜0，那么用换元法．③形如 y ＝ x ＋kx 的函数．(10) 导数法：利用导函数求最值．4． 条件最值所谓条件最值， 即函数在必然条件下才能获取最值，也许说函数的最值碰到某种条件的限制和影响． 因此，在求条件最值时， 必然要注意所求最值可否吻合条件；特别是实质应用题，要检查所求最值可否吻合实质意义．如 x 2＋ y 2＝ x ，求 u ＝ 3x 2＋ 1y 2 的最值．2配方法 换元法例 1 (1)函数f(x)＝ x 2＋ x － 2，其定义域分别为：① R ， ②[ －2，＋ ∞ )，③ [2,4] ，那么对应的值域依次是① ________， ② ________， ③ ________.(2) 求以下函数的最值①②yx 2 2x 21y2x x2例 2 : 求以下函数的最值〔1〕y 2x 4 1 x( 2) y x 1 x 2练习：求以下函数的最值：(1)y ＝ 2x ＋ 1－ 2x ；(2) y ＝x ＋ 4＋ 9－ x 2；分别常数法、有界性法例：求以下函数的最值：(1)y＝x－ 22x＋ 1；(2)y＝x－ 1；x＋ 12练习：求以下函数的值域(1)y＝5x－ 11x2 4x， x∈ [ － 3，－ 1]；( 2) y2＋ 21x不等式法、单调性法练习：求以下函数的值域例：求以下函数的值域(1) y4( x0)〔1〕 y log 1 4 x2 x2 x(2) y(1 )x 2(2) y x25x242〔〕log3x log x 31 3 y导数法例1： a为实数， f ( x) ( x 24)( x a).〔1〕假设 f / ( 1) 0, 求 f (x)在[ 2,2]上的最值；〔2〕假设 f (x)在 ( , 2]和[2, )上都是递加的，求a的取值范围数形结合法例：求以下函数的最值(1) y(x 3)216( x 5)242 sin x(2) y3cos x条件最值设 x，y≥0,2 x＋ y＝6，求 Z＝4x2＋3xy＋ y2－6x－3y 的最值．。

例 4. 已知二次函数 f(x)=x2-(a-1)x+5 在区间 ( 1 ,1) 上是增函数，求： 2
(1)实数 a 的取值范围；
(2)f(2)的取值范围.
【解析】(1)∵对称轴 x = a -1 是决定 f(x)单调性的关键，联系图象可知 2
只需 a -1 ≤ 1
∴a ≤ 2；
22
(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11 又∵a≤2，∴-2a≥-4
A. 0 ≤ m ≤ 4
B. 1 ≤ m ≤ 4
C． 4 ≤ m 或 m ≤ 0
D. 1 ≤ m 或 m ≤ 0
4. 已 知 函 数 f (x) = a−x , g(x) = loga x(a > 0, a ≠ 1) ,若 f(2)·g(2)<0，则 f(x)与 g(x)在 同 一 坐
标系内的图象可能是（
(2)[1,3] ⊆ (1 , +∞) 故函数 f(x)在[1，3]上单调递增 3
∴x=1 时 f(x)有最小值，f(1)=-2
x=3 时 f(x)有最大值 f (3) = − 5 4
∴x∈[1，3]时 f(x)的值域为[−2, − 5] . 4
例 3.若函数 y = f (x) 的值域是[ 1 , 3]，则函数 F (x) = f (x) + 1 的值域是（

f f
(2) = 2(x2 −1) − (2x −1) < 0 (−2) = −2(x2 −1) − (2x −1) <
0
，解得
7 −1 < x < 2
3 +1， 2
13. 【解析】
（1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 f (x) = 1− 1 ,通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值

函数的极值与最值知识点函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。

在函数中，经常会遇到极值与最值的问题。

本文将介绍与函数的极值与最值相关的知识点。

一、函数的极值函数的极值指的是在函数曲线上存在的最高点或最低点。

根据函数的定义域和值域，可以分为两种极值：最大值和最小值。

1. 定义域与值域在讨论函数的极值之前，首先需要明确函数的定义域和值域。

定义域是指函数的自变量的取值范围，而值域则是函数的因变量的取值范围。

2. 局部极值对于实数域上的函数，如果在某个区间内存在一个点，使得这个点左右两侧的函数值都比它小（或都比它大），那么这个点就是函数在该区间内的局部最小值（或最大值）。

3. 单调性与极值单调性是指函数在定义域内的变化趋势。

如果函数在某个区间内单调递增，那么在这个区间内，函数的最小值一定在区间的起点上；如果函数在某个区间内单调递减，那么在这个区间内，函数的最大值一定在区间的终点上。

二、函数的最值函数的最值指的是函数在定义域内可能取得的最大值或最小值。

1. 最大值与最小值对于连续函数，在有限闭区间上一定存在最大值和最小值。

根据最值的性质，最大值是函数图像上的“最高点”，最小值是函数图像上的“最低点”。

2. 最值的求解方法为了找到函数的最值，可以使用以下方法：（1）导数法：通过求函数的导数，找到导数为零的点，并且通过二阶导数的符号判断这些点是极值点还是驻点。

（2）边界法：当函数定义域为闭区间时，极值可能出现在端点上。

三、综合例题为了更好的理解函数的极值与最值，下面给出一个综合例题：例题：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求其在定义域[-2,2]上的最大值和最小值。

解答：首先，将函数f(x)对x求导，得到f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。

令f'(x) = 0，解得x = 1/3。

然后，计算f''(1/3) = 4，由于f''(1/3)大于0，所以x = 1/3是函数f(x)的一个局部最小值点。

b 与区间 m, n 的位置关系 2a
b b m, n ,则当 a>0 时， f ( ) 是函数的最小值，最大值为 f (m), f (n) 中较大者；当 a<0 2a 2a
b ) 是函数的最大值，最大值为 f (m), f (n) 中较小者。 2a b m, n ,只需比较 f (m), f (n) 的大小即可决定函数的最大（小）值。 2a
5、 y 7、 已知二次函数 f ( x) ax bx 满足 f (1 x) f (1 x) ， 且方程 f ( x) x 有两个相等实根， 若函数 f ( x)
2
在定义域为 [ m, n] 上对应的值域为 [2m, 2n] ，求 m, n 的值。
2 x 2 bx c 8、已知函数 f ( x) (b 0) 的值域为 [1,3] ，求实数 b, c 的值。 x2 1
1
知人善教 培养品质 引发成长动力
四、形如： y
cx d 的值域： ax b b a c a
1、若定义域为 x x 时，其值域为 y y
2、若 x m, n 时，我们把原函数变形为 x 函数的值域。 如：1、求函数 y
二、一次函数在区间上的值域（最值）： 一次函数 y=ax+b(a 0)在区间 m, n 上的最值，只需分别求出 f m , f n ，并比较它们的大小即可。 如：y=3x+2(-1 x 1) 三、二次函数 f ( x) ax 2 bx c(a 0) 在区间 m, n 上的值域(最值)： 首先判定其对称轴 x （1）若 时， f (
知识要点
一、利用常见函数的值域 一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R，值域为 R； 反比例函数 y

三角函数的图象、定义域、最值(值域)、单调性
[学习要求] 1.能画出 y ＝ sin x ， y ＝ cos x ， y ＝tan x 的图象. 2.理解
正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小
值、图象与 x 轴的交点等). 3.理解正切函数在区间
π
π
− ，
2
2
上的性质.
π
π
− ＜＜
2
2
由题意得 y ＝ cos x ·｜tan x ｜＝ቐ
的大致图象是(
sin，0 ≤
π
＜ ，
2
π
−sin, − ＜
2
所以其图象的大致形状如选项C所示.
< 0，
C )
2. 已知函数 f ( x )＝ sin x ＋2｜ sin x ｜， x ∈[0，2π]，若直线 y ＝ k
与其仅有两个不同的交点，则 k 的取值范围为
， k ∈Z，
2
2
π
π
π
＋ ≥ + 2π，
4
2
所以ቐ 2
k ∈Z，
π
3π
π＋ ≤ + 2π，
4
2
1
5
解得4 k ＋ ≤ω≤2 k ＋ ， k ∈Z.
2
4
1
5
5
又由4 k ＋ － 2＋ ≤0， k ∈Z，且2 k ＋ ＞0， k ∈Z，解得 k ＝0，
2
4
4
1
5
所以ω∈ ， .
2
4
方法总结
A. [－1，1]
令 sin x ＝ t ， t ∈[－1，1]，
则 y ＝ t 2＋ t －1＝
1 2

函数的值域与最值知识点归纳函数是数学中的重要概念，是描述两个集合之间元素的对应关系。

在函数的研究中，值域和最大最小值是两个重要的知识点。

本文将对函数的值域与最值进行归纳与总结，以帮助读者更加深入地理解和掌握这些知识点。

一、函数的值域值域是函数在定义域内所有可能的输出值的集合。

即对于函数f(x)，其值域为所有符合f(x) = y的y的取值。

确定函数的值域可以采用以下方法：1. 列表法：将定义域内所有可能的输入值代入函数，得到对应的输出值，将这些输出值按照从小到大的顺序排列，即可得到函数的值域。

2. 图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的值域。

需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的值域。

3. 函数表达式法：通过分析函数的解析表达式，确定函数的值域。

例如，对于一次函数f(x) = ax + b，由于a为常数，那么当x趋向于正无穷或负无穷时，f(x)也趋向于正无穷或负无穷，因此可以确定该一次函数的值域为整个实数集。

二、函数的最大最小值最大最小值是函数在定义域内取得的最大和最小的输出值。

确定函数的最大最小值可以采用以下方法：1. 导数法：对函数进行求导，找到导数为零的点和导数不存在的点，然后将这些点代入原函数，得到对应的函数值，即为函数的最大最小值。

需要注意的是，在求导的过程中，要注意判断定义域的边界情况。

2. 极值点法：对于闭区间上的函数，可以通过求解函数的极值点来确定函数的最大最小值。

首先求解函数的驻点，即导数为零或不存在的点，然后将这些驻点以及端点的函数值进行比较，得到函数的最大最小值。

3. 函数图像法：通过绘制函数的图像，观察图像在纵坐标上的取值范围，即可得到函数的最大最小值。

需要注意的是，对于不连续的函数，应该观察每个分段函数的最大最小值，并对比得到整个函数的最大最小值。

综上所述，函数的值域与最值是函数研究中的重要内容。

确定函数的值域可以通过列表法、图像法和函数表达式法等方法进行，确定函数的最大最小值可以通过导数法、极值点法和函数图像法等方法进行。

函数的值域与最值1. 值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域. 常见函数的值域：一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R.二次函数()20y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，当0a <时的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.，反比例函数()0k y kx=≠的值域为{}0y R y ∈≠.指数函数()01xy aa a =>≠且的值域为{}0yy >.对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R.正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R.2. 函数的最值对于函数()f x ，假定其定义域为A ，则2.1若存在0x A ∈，使得对于任意x A ∈，恒有()()0f x f x ≥成立，则称()0f x 是函数()f x 的最小值；2.2若存在0x A ∈，使得对于任意的x A ∈，恒有()()0f x f x ≤成立，则称()0f x 是函数()f x 的最大值.对于函数的最值应抓住如下两点：①是“任意的”，即对于定义域内的任意的x ，相应的不等式都成立；②是“存在性”，即在定义域中存在0x 似的等式成立.3.求函数值域（最值）的常用方法 3.1.基本函数法对于基本函数的值域可通过它的图像性质直接求解. 3.2配方法对于形如()20y ax bx c a =++≠或()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦类的函数的值域问题，均可用配方法求解.例：求函数的值域：y =解：设()2650x x μμ=---≥，则原函数可化为：y =.又因为()2265344x x x μ=---=-++≤，所以04μ≤≤，[]0,2，所以，y =的值域为[]0,2. 3.3换元法利用代数或三角换元，将所给函数转换成易求值域的函数，形如()1y fx =的函数，令()f x t =；形如,,,,0)y ax b a b c d ac =+±≠均为常数的函数，t =的结构的函数，可利用三角代换，令[]cos ,0,x a θθπ=∈，或令sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦.例：求函数的值域：y x =+解：设0,t =≥则21x t =-.所以原函数可化为()()2214250y t t t t =-+=--+≥，所以5y ≤.所以原函数的值域为(],5-∞.3.4不等式法利用基本不等式a b +≥，用此法求函数值域时，要注意条件“一正，二定，三相等”.如利用a b +≥0,0a b >>;②()a b ab +或为定值；③取等号成立的条件a b =.三个条件缺一不可. 例：求函数的值域：2211212x x y x x -+⎛⎫=>⎪-⎝⎭. 解：()212112111121212121222x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----11,022x x >∴->112122x x ∴-+≥=-当且仅当112122xx-=-时，即12x+=时等号成立，12y∴≥，所以元函数的值域为12⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭.3.5函数的单调性法确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性求出函数的值域，例如，()()0,0bf x ax a bx=+>>.当利用不等式法等号不能成立时，可考虑利用函数的单调性解题. 3.6数形结合法如果所给函数有较明显的几何意义，可借助几何法求函数的值域，如由1221y yx x--可联想到两点()11,x y与()22,x y连线的斜率.例：求函数的值域：14y x x=-++解：()()()23414541231x xy x x xx x--≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪+≥⎩5y∴≥∴函数的值域为：[)5,+∞.3.7函数的有界性法形如sin1sinxyx=+，可用y表示出sin x，再根据1sin1x-<≤，解关于y的不等式，可求y的取值范围.3.8导数法设()y f x=的导数为()f x'，由()0f x'=可求得极值点坐标，若函数定义域为[],a b，则最值必定为极值点或区间端点中函数值的最大值和最小值.3.9判别式法例：求函数的值域22221x xyx x-+=++解：210x x++>恒成立，∴函数的定义域为R.由22221x xyx x-+=++得()()22120y x y x y-+++-=。

函数的值域与最值【知识梳理】 1、值域的概念在函数()y f x =中，自变量x 取遍定义域内每个值时对应的函数值y 的全体称之为函数的值域.函数的值域一般表示成集合或区间，不用不等式表示. 2、最值的概念最值分为最大值与最小值，其分别是值域内最大的数与最小的数，即对于函数()y f x =，对任意的x D ∈（D 为()f x 的定义域），都有()()0f x f x ≤成立，就称()0f x 为函数的最大值，记为：()max 0y f x =；即对于函数()y f x =，对任意的x D ∈，都有()()0f x f x ≥，就称()0f x 为函数的最小值，记为：()min 0y f x =.【注】并不是每个函数均有最大值与最小值，有的函数只有最大值，有的函数只有最小值，有的函数最大值与最小值均无，还有的函数是既有最大值又有最小值，最值情况视具体函数而定.【注】最值首先是函数值，所以最值必须是函数值域内的元素.如函数的值域为[)2,3，只能说函数有最小值2，3不是函数的最大值，因为3不在值域内.再如，函数的值域为()2,5，此时函数无最值. 3、最值定理定义在闭区间上的连续函数既有最大值又有最小值.特别地，若函数在闭区间上单调，则最大值与最小值均在区间的端点取.【注】求函数在给定区间上的值域最忌讳的是将区间的端点直接代入求解，请不要低估命题者的智商.当然，若函数在区间上单调，上述做法可行，但前提需证明函数单调.事实上，命题者所给的区间往往是即有增区间又有减区间. 4、常见函数的值域①一次函数()f x kx b =+的值域R ；②二次函数()()20,R f x ax bx c a x =++≠∈，当0a >时，函数的值域为24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；当0a <时，函数的值域为24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦.③一次分式函数()()0ax b f x c cx d +=≠+的值域a y y c ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭；④二次分式函数()()0,0bf x ax a b x=+>>的值域为(),2,ab ⎡-∞-+∞⎣； ⑤二次分式函数()()0,0bf x ax a b x=->>的值域为R ； ⑥指数函数()()0,1xf x aa a =>≠的值域()0,+∞；⑦对数函数()()log 0,1a f x x a a =>≠的值域为R ；⑧正、余弦函数()sin f x x =、()cos f x x =的值域为[]1,1-；正切函数()tan f x x =的值域为R ；⑨反正弦()arcsin f x x =函数的值域为,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，反余弦函数()arccos f x x =的值域为[]0,π，反正切函数()arctan f x x =的值域为,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭. 5、值域求解常用的方法函数值域的求解没有通性通法，只能依据函数解析式的特征来确定相应的解法，常用的求解方法有以下几种：①二次函数值域求解主要抓对称轴与所给区间的位置关系，结合函数的单调性进行求解. ②对于分式函数，一般采用分离常数法； ③换元法（代数换元与三角换元等）；④数形结合法（主要针对无理函数与带有绝对值的函数）； ⑤判别式法（主要针对自然定义域下的二次分式函数）；⑥利用基本初等函数的性质，如绝对值、偶次算术平方根的意义、三角函数的有界性、函数的单调性等；⑦利用已知函数的值域等. ⑧反函数法（等价转化法）6、关于函数()1231||||||||||n n f x x a x a x a x a x a -=-+-+-++-+-的最小值对于任意123,,a a a R n a ∈，若123a a a ≤≤≤1n n a a -≤≤，①当n 为奇数时，()f x 在123,,a a a n a 的中位数时取到最小值，即12n x a +=时，()f x 有最小值，即()1min 2n a f x f +⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭.②当n 为偶数时，()f x 的最小值在123,,a a a n a 的中间两个数的范围内取到，即122,n n x a a +⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 有最小值.此时()min 2n f x f a ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭或()min 12n f x f a +⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭. 7、函数()(),,R f x x a x b a b x =-+-∈的值域为),a b ⎡-+∞⎣； 函数()(),,R f x x a x b a b x =---∈的值域为,a b a b ⎡---⎤⎣⎦. 【典型例题】例1、求下列函数的值域 （1）()f x （2）()f x x =+ （3）()3f x x =+ （4）()f x =（5）()f x =（6）()212f x x x =-+-；（7）()21()01x f x x x +=>-；（8）()121()021x x f x x ++=>-（9）()arccos xf x x e =-；（10）2211()212x x f x x x -+⎛⎫=> ⎪-⎝⎭；（11）2256()6x x f x x x -+=+-.例2、求下列函数的值域（1）[]2()23,2,3f x x x x =+-∈-；（2）[]()2()23,,33f x x x x a a =+-∈<；（3）[]()2()44,,1R f x x x x a a a =--∈+∈；（4）[]2()23,2,3f x x ax x =--∈-； （5）()()()()3441022R x x x xf x x --=+-+∈；（6）[]2242()3,1,2f x x x x x x=-+-+∈； （7）()22()(512)(54)21R f x x x x x x =-+-++∈； （8）()2()1R,R f x x x a a x =+-+∈∈.例3、若一系列函数的解析式相同，值域相同，定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么解析式为()221f x x =+，值域为{}5,19的“孪生函数”共有_______个.例4、已知1sin sin 3x y +=，则2sin cos y x -的最大值为________. 例5、若实数,x y 满足：22240x y x y +-+=，则2x y -的取值范围为________.例6、若动点(),x y 在曲线22214x y b+=()0b >上变化，则22x y +的最大值为________. 例7、已知()22214y x ++=，则22x y +的取值范围为________. 例8、【2014安徽卷】若函数()12f x x x a =+++的最小值为3，则实数a =________. 例9、已知函数()()()222log 1212f x a x a x ⎡⎤=-+-+⎣⎦（1）如果函数()f x 的定义域为R ，求实数m 的取值范围. （2）如果函数()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围. 例10、我们把形如()0,0>>-=b a ax by 的函数因其图像类似于汉字“囧”字，故生动地称为“囧函数”，并把其与y 轴的交点关于原点的对称点称为“囧点”，以“囧点”为圆心凡是与“囧函数”有公共点的圆，皆称之为“囧圆”，则当1=a ，1=b 时，所有的“囧圆”中，面积的最小值为_______.例11、设[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.51, 1.52=-=-.若函数()()0,11x xa f x a a a =>≠+，则()()()1122g x f x f x ⎡⎤⎡⎤=-+--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦的值域为_______. 例12、已知函数21()2f x a a x=+-1（R a ∈且0a ≠）. （1）设0mn >，判断函数)(x f 在[],m n 上的单调性，并说明理由；（2）设0m n <<且0a >时，()f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值；（3）若不等式2|()|2a f x x ≤对1x ≥恒成立，求a 的范围.。

玩转函数第三招第3招：函数的值域和最值一、确定函数的值域的原则1、当数y=f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。

2、当函数y=f(x)图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合。

3、当函数y=f(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定。

常见函数的值域：4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。

二、求函数值域的方法11种：1、直接观察法，一般要用到210000xx x≥≥≥≠【例1】求函数1y x=【例2】求函数3y =的值域【例3】（陕西文）函数f(x)=11+x 2(x ∈R)的值域是( )A.(0,1) B.(0,1] C.[0,1) D.[0,1]2、配方法（形如y=ax 2+bx+c(a≠0)的函数常用配方法求函数的值域，要注意x 的取值范围。

）二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如（1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域；（2）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a axx f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___；（3）已知()3(24)x bf x x -=≤≤的图象过点（2,1），则1212()[()]()F x f x fx --=-的值域为______3、判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：①2b y k x=+型，可直接用不等式性质，如求232y x=+的值域②2bx y x m x n=++型，先化简，再用均值不等式，如（1）求21x y x=+的值域（2）求函数3y x =+（3）设2()()1ax b f x x R x +=∈+的值域为[-1，4]，求a,b 的值③22x m x n y x mx n''++=++型，通常用判别式法； 如已知函数2328log 1mx x ny x ++=+的定义域为R ，值域为[0，2]，求常数,m n 的值如求函数2231x x y x x -+=-+的值域④2x m x n y mx n ''++=+型，可用判别式法或均值不等式法，如求211x x y x ++=+的值域说明：利用判别式法求函数的值域，一是方程二次项系数为0的情形要特别讨论；二是要看函数的定义域是否满足x ∈R 。

【知识要点】一、函数值域的定义函数值的集合叫做函数的值域.二、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法求函数的值域，都要考虑定义域，函数的问题必须遵循“定义域优先”的原则.三、常见函数的值域1、一次函数的值域为.2、二次函数，当时的值域为，时的值域为.3、反比例函数的值域为.4、指数函数的值域为.5、对数函数的值域为.6、幂函数的值域为，幂函数的值域为.7、正弦函数、余弦函数的值域为，正切函数的值域为.四、求函数的值域常用的方法求函数的值域常用的方法有观察法、分离常数法、配方法、反函数法、换元法、判别式法、基本不等式法、单调性法、数形结合法、导数法、绝对值不等式法和柯西不等式法等.其中最常用的有“三数（函数、数形结合、导数）”和“三不（基本不等式、绝对值不等式、柯西不等式）”.五、函数的值域一定要用集合或区间来表示.六、函数的值域、取值范围和函数的最值实际上是同一范畴的问题，所以求函数值域的方法适用于求函数的最值和取值范围等.【方法讲评】方法六判别式法使用情景形如的函数.解题步骤一般先将函数化成二次方程，再利用判别式来求函数的值域.【例1】求函数的值域.【点评】（1）分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为的形式，再利用判别式加以判断.（2）函数经过变形后可以化为的形式后，要注意对是否为零进行分类讨论，因为它不一定是一元二次方程.（3）判别式法解出值域后一定要将端点值（本题是）代回方程检验，把不满足题意的舍去.【反馈检测1】求函数的值域.方法七基本不等式法使用情景一般变量是正数，变量的和或积是定值.解题步骤一般先进行配凑，再利用基本不等式求函数的最值，从而得到函数的值域.【例2】已知，求函数的最小值.【解析】.=当且仅当，即时，上式等号成立.因为在定义域内，所以最小值为.【点评】（1）本题不能直接使用基本不等式，本题在利用基本不等式前，要对函数化简，要用到分离函数的方法对函数进行化简，再使用基本不等式.（2）很多函数在使用基本不等式之前都要进行化简和配凑，所以要注意观察函数的结构,再进行变形，再使用基本不等式.(3)利用基本不等式求最值时，要注意“一正二定三相等”，三个条件缺一不可.【例3】已知，求函数的最大值.【点评】（1）基本不等式有二元基本不等式(和三元不等式.（2）基本不等式不仅适用于一般函数，也适用三角函数和其它所有函数，只要满足条件，就可以利用“一正二定三相等”来分析解答.【反馈检测2 】已知，，且，则的最小值为.【反馈检测3】【2017浙江，17】已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．方法八单调性法使用情景函数的单调性容易判断.解题步骤先判断函数的单调性，再利用函数的单调性得到函数的值域.【例 4】求函数的值域.【点评】（1）本题先利用复合函数的单调性确定了函数的单调区间，从而得到函数的最大值和最小值，得到函数的值域.（2）判定函数的单调性常用的有定义法、图像法、复合函数分析法和导数法,注意灵活使用.【例5】求函数的值域.【解析】令，则在上都是增函数，所以在上是增函数当时，当时，故所求函数的值域为。