二类型曲线积分对坐标的线积分

分
λ0 i1
曲
线
注 1° 关于第二类曲线积分的几个术语
F(
x
,
y)
d
r
第二类曲线积分的向量形式
L
P( x, ( x, y)dx 对 x 的曲线积分;
L
Q(x, y)dy
对 y 的曲线积分.
L
2° 若 为空间曲线弧 ,
F ( x, y, z) (P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z))
解 直线AB为:
内容小结
1.
定义 F ( x, y) d r
L
P( x, y)dx Q( x, y)d y
L
n
lim P(ξk , ηk ) xk Q(ξk , ηk ) yk ] λ0 i1
2. 性质 [α F 1( x, y) β F 2( x, y)] d r L
α F 1( x, y) d r β F 2( x, y) d r
(1)
2 当a b 时， 沿着L的方向移动时，参数 t 减少. d r r(t)d t
dt 0
故 d r 与r(t)方向相反，而与L的方向一致.
于是
d r ( e r ) d s
(2)
综合(1)、 (2)，得
d
r
e L
d
s
其中
eL
是与L同方向的单位切向量.
e L (cos , cos )
dx cos αds, dy cos ds,
ds 2(t) 2(t) dt
例1 将积分 P( x, y)dx Q( x, y)d y 化为对
L
弧长的积分, 其中L 沿上半圆周 x2 y2 2x 0

曲线积分一． 第一型曲线积分（对弧长的曲线积分） ds y x f L ),(⎰ 引入：开始接触这个概念对大家可能都很突兀，我们从直观上看它的形式，形式和定积分⎰dx x f )(很像，Right ？那它的物理意义和几何意义按照自然界对称的法则应该和定积分也是相似的咯-----我们如果把),(y x f 看成是线密度函数的话，ds y x f L),(⎰可以理解成为曲线形构件的质量咯(*^__^*) ，这当然是它的物理意义；几何意义呢？想想定积分，几何意义是曲边梯形的面积，那么对第一型曲线积分就是曲面的面积咯，沿着一段弧函数对它的曲线积分就是曲面的面积（PS ：这个可以作为一种求曲面面积的求法，后面会有题目介绍） 想必通过上面形象的介绍，我们对第一型曲线积分有了一个初步的认识。

现在来看看它的求法：ds y x f L ),(⎰这个式子我们唯一没见过的就是ds 咯，在这里ds 实际上就是弧长，所以第一型也就是对弧长的曲线积分。

那么第一型的求法就等价于求ds ，然后解个定积分就ok 。

根据高数上学过的微分三角形，如果曲线能够表示成参数方程x =ϕ(t ), y =ψ (t ) (α≤t ≤β), 那么显然dtt t t t f ds y x f )()()]( ),([),(22ψϕψϕ'+'=，于是就有⎰⎰'+'=βαψϕψϕdt t t t t f ds y x f L)()()]( ),([),(22，当然如果不用表示成参数方程，把x 看为参数也可以。

注意注意注意注意注意：1.这里的定积分的下限α一定要小于上限β. 原因在于弧长始终是正的，所以t ∆>0,这样定积分的下限一定小于上限。

当然曲线不仅仅是平面上的，三维空间里也可以，计算方法还是一样 的，即dt t t t t t t f ds z y x f )()()()](),(),([),,(222ωψϕωψϕβα'+'+'=⎰⎰Γ。

L
−1
从这个例子可以看出, 对坐标的曲线积分沿不同的路径,曲线积分不一定相等.
3. 格林公式及其应用
格林公式: 设平面闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围成，函数 P(x, y) 及
Q(x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则
∫∫
D
(
∂Q ∂x
−
∂P ∂y
)dxdy
=
∫L+
Pdx
+
Qdy
其中 L+ 是 D 的正向边界曲线。
C
C +c0
C0
∫∫ ∫ ∫ ∫ =
(2 − 3 y 2 )dxdy −
0
(1 +
03 )dx
=
π
dx
a sin x (2 − 3 y 2 )dy + π =π + 4 a 3 − 4a 。
π
0
0
D
3
用一元函数极值的方法得 a = 1 时达到最小值π − 8 。 3
4. 平面曲线积分与路径无关的条件
只能直接计算.这一圆周
L
的参数方程为
⎧x
⎨ ⎩
y
= =
r cosθ r sinθ
,
Байду номын сангаас(0
≤
ϑ
≤
2π
)
,
则
∫ ∫ I = xdy − ydx = 2π r 2 (cos2 θ + sin 2 θ )dθ = 2π .
L x2 + y2
0
r2
例 5 设函数ϕ ( y) 具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线 L 上，曲线积分
∫ 则曲线积分 f (x, y)ds 存在，且 L

于是变力 F(x, y) 在有向曲线弧 MoMn 上所作功的 近似值为
W Wi P (x i ,h i )xi Q(x i ,h i )yi .
i 1 i 1 n n
令 表示 n 个小弧段的最大弧长，当 0 时， 上式 的右端极限如果存在， 则这个极限就是 W 的精确值，
a b Q( x, y)dy a Q[x(t ), y(t )] y(t )dt .
L L
P ( x, y )dx P[x(t ), y( t )] x( t )dt . (11.2.1)
(11.2.2)
b
证明从略.
对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算， 其要点是： (1) 因为 P(x, y)、 Q(x, y) 定义在曲线 L 上， 所以 x、 y 应分别换为 x(t)、 y(t)； (2) dx、dy 是有向小曲线段在坐标轴上的投 影， dx = x(t)dt、 dy = y(t)dt ； (3) 起点 A 对应的参数 t = a 是对 t 积分的下 限，终点 B 对应的参数 t = b 是对 t 积分的上限.
对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分. 在应 用上常把上述两个曲线积分结合在一起，即

简记为
L
P ( x, y )dx Q( x, y )dy.
L

L
P ( x, y )dx Q( x, y )dy.
称之为组合曲线积分.
设Ｌ是有向曲线弧，记Ｌ- 是与Ｌ方向相反的有向 曲线弧，则对坐标的曲线积分有如下的性质：
第五模块
第四节
二重积分与曲线积分
对坐标的曲线积分
一、对坐标曲线积分的概念
二、对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分间的联系