第一第二型曲线积分

第二十章 曲线积分§1 第一型曲线积分1.计算下列第一型曲线积分：（1）()Lx y ds +ò，其中L 是以O （0，0），A （1，0），B （0，1）为顶点的三角形（2）1222()Lx y ds +ò，其中L 是以原点为中心，R 为半径的右半圆周；（3）L xyds ò，其中L 为椭圆22221x y a b+=在第一象限中的部分;（4）||Ly ds ò，其中L 为单位圆周221x y +=；（5）222()Lx y z ds ++ò，其中L 为螺旋线cos x a t =，sin y a t =，(02)z bt t p =＃的一段；（6）,Lxyzds ò其中L是曲线21,(01)2x t y z t t ===＃的一段;（7）ò,其中L 是2222x y z a x y ++==与相交的圆周．解：（1）()Lx y ds +ò()()()OAABBOx y ds x y ds x y ds =+++++蝌?=1101.x d xy d y ++=蝌?(2)右半圆参数方程为cos ()sin 22x R y R q ppq q ì=ïï-＃íï=ïî则1222222222()Lx y ds R R p p p p q p --+===蝌?（3）椭圆22221x y a b +=在第一象限中的部分的参数方程为：c o s :0sin 2x a L y b q p q q ì=ïï＃íï=ïî且s i n c o s x a y b q q ¢=-¢=则20sin cos Lxyds pq q =蝌221s i n 2a b d q = 2222322022[()sin ]3()ab a b b a b p q 禳镲镲=-+睚镲-镲铪 22().3()ab a ab b a b ++=+（4）单位圆的参数方程为cos :02,sin x L y qq p qì=ïï＃íï=ïî且sin x q ¢=- cos y q ¢= 则有：20||s i o s )c o sLy d s d dp ppq q =-蝌?200s i n s i n 4.d d pp pq q q q =-=蝌 （5）由于L 的参数方程为cos sin x a t y a t z btì=ïïï=íïï=ïïî且sin cos x a t y a t z b ¢=-¢=¢=2222220()(Lx y z d s a b d tp ++=+蝌2232222(34.033b a t t a b p p p=+=+ （6）1012L xyzds t t =蝌12012(1).3143t t d t q =+=ò （7）2222x y z a x y ++==与相交的圆周方程为2222y z a +=其参数方程为cos x t y t z a t ìïï=ïïïïïï=íïïïï=ïïïïî则sin x t y t z a t ¢=¢=¢=-则222202.a dt a p pp ===?2. 求曲线21,,(01,0)2x a y at z at t a ===＃>的质量，设其线密度为r =解：曲线质量10M ==20(1)1).23a at =+=ò3. 求摆线(sin )(0)(1cos )x a t t t y a t p ì=-ïï＃íï=-的重心，设其质量分布是均匀的．解：ds ==2s i n 2ta d t == 质量02sin 42tM a dt a p r r ==ò 其中r 为线密度.设重心坐标为(),,x y 则：01(sin )2sin 2t x a t t a dt M p r =-ò004sin sin sin 22223a t a t t dt t dt a p p =-?蝌01(cos ),2sin 2t y a t t dt M p r =-ò0034sin (sin sin )224223a t a t dt t dt a p p =--=蝌所以重心坐标为44(,).33a a§2第二型曲线积分1. 计算第二型曲线积分：（１）Lxdy ydx -ò，其中L 为本节例２中的三种情况．解：〈1〉沿抛物线22y x =，从O 到B 的一段，则12202(42)3L xdy ydx x x dx -=-=蝌； 〈2〉沿直线OB ：2y x =，则10(22)0Lxdy ydx x x dx -=-=蝌；〈3〉沿封闭曲线OABO ：则LOAABBOxdy ydx -=++蝌蝌；:0,01;:1,0:2,O A y xA B x yO B y x =＃=＃=(2)La y dx dy -+ò从1x =到0x =的一段。

创新教育科技创新导报 Science and Technology Innovation Herald242DOI：10.16660/ki.1674-098X.2018.14.242对称性在求解第一型和第二型曲线积分上的区别①孟泽红(浙江财经大学数据科学学院 浙江杭州 310018)摘 要：利用对称性求解曲线积分可以大大简化曲线积分的求解，但学生在利用对称性求解第一型曲线积分和第二型曲线积分时很容易弄错使用条件，因此，本文针对这些情况，从曲线的同向对称和异向对称的定义开始介绍，接下来给出了第一型曲线积分和第二型曲线积分对称性使用的定理，并给出了一些例题来对比这些定理的使用条件，并对第二型曲线积分对称性求解的例题进行了正确和错误两种解法来进行分析归纳总结定理的使用条件。

关键词：对称性 第一型曲线积分 第二型曲线积分 异向 同向中图分类号：O17 文献标识码：A 文章编号：1674-098X(2018)05(b)-0242-02①作者简介：孟泽红（1978—），女，汉族，浙江杭州人，博士，副教授，研究方向：反问题与不适定问题的研究，高等数学 课题研究。

曲线积分的求解是高等数学里面本科生必须熟练掌握的，也是全国研究生入学考试中的重点内容。

利用积分区域对称性和函数的奇偶性可以简化积分运算，在教学过程中发现，由于第一型曲线积分和第二型曲线积分一个与方向无关，一个与方向有关，因此在使用中，一旦使用不当，会造成对问题的错解，为了让学生在学习过程中注意到这个陷阱，本文通过具体的例题把错误的结题方法和正确的解题方法进行比较，并对这两种积分的对称性使用进行了简要的总结。

1 预备知识定义1：有向曲线L 成两段有向弧L 1和L 2，如果观察者沿L 1行到L 2时方向不发生改变，就称L 1与L 2同向，否则称异向。

定义2：如果有向积分曲线课分为关于点A 对称的两段弧L 1和L 2，L 1和L 2同向，则称该积分曲线关于点A 同向对称，否则，L 1和L 2异向，则称该积分曲线关于点A 异向对称。

第二十章 曲线积分§1 第一型曲线积分教学目的 掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式． 教学内容 第一型曲线积分的定义，性质和计算公式．基本要求：掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式． 教学建议要求学生必须熟练掌握第一型曲线积分的定义，性质和计算公式． 教学程序一、引言: 金属曲线的质量问题设有一根有限的金属曲线C ,其线密度是不均匀的,在C 上的点(x,y)处的密度为(,)p x y ,试问该曲线的质量是多少?用微分分析来处理之,若p 均匀,则好处理: m=p(C).a) 分割:设曲线C 端点为A,B,从A 到B 依次插入121,,,n A A A -L ,这样曲线C 就分成了一些小弧段.把1i i A A -（0,n A A A B ==）的弧长记为,1,2,,i S i n∆=L ,在每一小弧段数1i i A A -上都任取一点(,)i i p ξη.显然,当i S ∆很小时, 1i i A A -的质量mi近似等于(,)i i i p S ξη∆.从而整个金属曲线C 的质量m:b) 作和: m=∑=m i m 1i ∑=≈mi i i p 1),(ηξSi ∆c) 取极限:令s=max Si ∆,则m=lim ∑=ni i i p 1),(ηξSi ∆上式右端还是分割,作和,取极限,这意外着我们已经达到一种类型的积分,这种积分就是第一类曲线积分.抽去上述问题的实际背景,并把它推广到[]中就有下面的定义: 二、第一型曲线积分的概念与性质 （一）、第一类曲线积分的定义定义 设L 为平面上可求长度的曲线段，()y x f ,为定义在L 上的函数．对曲线L 作分割T ，它把L 分成n 个可求长度的小曲线段i L （n i ,,2,1Λ=），i L 的弧长记为i s ∆，分割T 的细度为ini s T ∆=≤≤1max ，在i L 上任取一点()i i ηξ,（n i ,,2,1Λ=）．若有极限()∑=→∆ni iiiT sf 1,limηξ=J ，且J 的值与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关，则称此极限为()y x f ,在L 上的第一型曲线积分，记作()dsy x f L⎰,．（二）、第一型曲线积分的性质（1）若()dsy x f Li⎰,（n i ,,2,1Λ=）都存在，i c （n i ,,2,1Λ=），为常数，则()ds y x f c L n i ii ⎰∑=1,=()dsy x f c ni Lii ∑⎰=1,.（2）若曲线段L 由曲线21,L L …n L ，首尾相接而成，()dsy x f iL ⎰,都存在，则()dsy x f L⎰,也存在，且()ds y x f L⎰,=()dsy x f ni L i∑⎰=1,.（3）若()ds y x f L⎰,，()dsy x g L⎰,都存在，且在L 上()()y x g y x f ,,≤，则()ds y x f L⎰,≤()dsy x g L⎰,.（4）若()ds y x f L ⎰,存在，则()dsy x f L⎰,也存在，且()ds y x f L⎰,≤()dsy x f L⎰,.（5）若()dsy x f L⎰,存在，L 的弧长为s ，则存在常数c ，使得()dsy x f L⎰,=c s ，这里()()y x f c y x f LL,max ,inf ≤≤.三、第一类曲线积分的计算定理20.1设有光滑曲线L ：()()[]βαψϕ,,,∈⎩⎨⎧==t t y t x ， ()y x f ,为定义在上的连续函数，则()dsy x f L⎰,=()()()()()⎰'+'βαψϕψϕdtt t t t f 22, . (3)证明 由弧长公式知道，L 上由1-=i t t 到i t t =的弧长,=∆i s ()()⎰-'+'ii t t dtt t 122ψϕ，由()()t t 22ψϕ'+'的连续性与积分中值定理，有=∆i s ()()i i i t ∆''+''τψτϕ22()i i i t t <'<-τ1，所以()∑=∆n i iiis f 1,ηξ=()()()()()ini i i it f ∆''+''''''∑=122,τψτϕτψτϕ，这里()i i i i t t ≤'''≤-ττ,1．设=σ()()()()()()()ii i ni i i it f ∆'''+'''-''+''''''∑=][,22122τψτϕτψτϕτψτϕ，则有()∑=∆n i iiis f 1,ηξ=()()()()()ini i i it f ∆'''+'''''''∑=122,τψτϕτψτϕ+σ， (4)令{}11,,m ax n t t t ∆∆=∆Λ，则当0→T 时，必有0→∆t ．现在证明0lim 0=→∆σt .因为复合函数()()()t t f ψϕ,关于t 连续，所以在闭区间[]βα,上有界，即存在常数M ，使对一切t ∈[]βα,都有 ()()()M t t f ≤ψϕ,，()()()()ετψτϕτψτϕ≤'''+'''-''+''i i i i 2222，再由()()t t 22ψϕ'+'在[]βα,上连续，所以它在[]βα,上一致连续，即对任给的0>ε，必存在0>δ，使当δ<∆t 时有()()()()ετψτϕτψτϕ≤'''+'''-''+''i i i i 2222，从而()∑=-=∆≤ni i a b M t M 1εεσ, 所以0lim 0=→∆σt .再由定积分定义()()()()()ini i i i t f ∆''+''''''∑=122,τψτϕτψτϕ=()()()()()⎰'+'βαψϕψϕdtt t t t f 22,，因此当在(4)式两边取极限后，即所要证的式.当曲线L 由方程()[]b a x x y ,,∈=ψ表示，且()x y ψ=在[]b a ,上有连续导函数时，(3)式成为()()()⎰'+badxx xt x f 21,ψψ.注：1. 小参数值作下限，大参数值作上限．1.上述公式可能为在替换)().().(t z z t y y t x x ===下积分ds z y x f c⎰),,(的变形.2.注意:=ds3. 利用弧长公式:把第一类曲线积分化为定积分计算.4.特别地,如果曲线C 为一光滑的平面曲线,解为 y=)(x ϕ ),(b x a ≤≤ 那么有⎰⎰+=dx x x x f ds y x f c)(1)](,[),('2ϕϕ.若曲线C 方程为],[),(d c y y x ∈=ϕ, 则dy y y y f y x f dc c)(1]),([),('2ϕϕ+=⎰⎰.5.这个积分的特性在于曲线C 的方向无关,又称为关于弧长的积分.例1 设L 是半圆π≤≤⎩⎨⎧==t t a y t a x 0,sin ,cos 试计算第一型曲线积分()⎰+Ldsy x22.解 ()⎰+Ldsy x22=()⎰=+ππ032222sin cos a dt t t a a .例2 设L 是x y 42=从()0,0O 到()2,1A 的一段，试计算第一型曲线积分⎰Lyds.解 ⎰L yds =()12234024*******32202-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅=+⎰y dy y y .空间曲线L 上的第一型曲线积分: 设空间曲线)( , )( , )( :t z t y t x L χψϕ===,],[βα∈t .函数)( , )(, )(t t t χψϕ连续可导, 则对L 上的连续函数),,(z y x f , 有 ()⎰⎰'+'+'=Ldt t t t t t t f ds z y x f βαχψϕχψϕ)()()()( , )( , )(),,(222.例3 计算积分⎰Lds x 2, 其中L 是球面2222a z y x =++被平0=++z y x截得的圆周 .解 由对称性知 , ⎰=Lds x 2⎰=Lds y 2⎰Lds z 2, ⇒⎰L ds x 2=⎰⎰==++L L a ds a ds z y x 32222323)(31π. ( 注意L 是大圆 ).例4 求⎰++Lds zx yz xy )(，其中L 是球面2222a z y x =++与平面0=++z y x 的交线.解法1 ⎰++Lds zx yz xy )(⎰++=Lds zx yz xy )(221⎰++-++=Lds z y x z y x )]()[(212222 ⎰++-=L ds z y x )(21222⎰-=-=La ds a 322π 解法2 求曲线L 的参数方程。

第一类曲线积分计算公式曲线积分是微积分学中的重要概念之一，在物理学、工程学、统计学等方面有着广泛的应用。

曲线积分又分为第一类曲线积分和第二类曲线积分，本文将为大家介绍第一类曲线积分的计算公式以及其在实际应用中的具体运用。

第一类曲线积分是指对于参数曲线C，取定其上的一个向量场F，对其在曲线C上的积分。

第一类曲线积分的计算公式为：∫CF·dr=∫abF(x(t),y(t))·r'(t)dt其中，a和b为曲线C的参数范围，x(t)和y(t)为曲线C上点的参数方程，r(t)为C上对应点的位置向量，r'(t)为其对应点在曲线上的切向量，F(x,y)为一个二元向量函数。

需要注意的是，由于不同的参数方程对应的切向量r'(t)不同，因此在实际应用中可能需要通过对曲线进行参数化来确定正确的积分范围和积分方向。

第一类曲线积分在实际应用中具有广泛的应用。

例如，在物理学中，它可以用来计算电场或磁场在曲线上的沿程积分；在工程学中，它可以用来计算流体在曲线上的流量或者力对物体的作用积分等等。

因此，掌握第一类曲线积分的计算公式以及其在实际应用中的具体运用是非常重要的。

除了以上所介绍的第一类曲线积分，还有第二类曲线积分。

第二类曲线积分是指对参数曲线C，取定其上的标量函数f(x,y)和向量函数F(x,y)，对其在曲线C上的积分。

第二类曲线积分的计算公式为：∫CF·ds=∫abF(x(t),y(t))·r'(t)ds其中，ds表示曲线C上的线元素。

第二类曲线积分在实际应用中同样具有广泛的应用，例如在工程学中可以用来计算物体在曲线上的质心；在物理学中可以用来计算质点或者非定常电荷在曲线上的沿程积分。

总之，曲线积分在各个学科中都有着重要的应用，而第一类曲线积分的计算公式对于理解曲线积分的本质以及在实际运用中的具体应用都至关重要。

因此，我们建议大家认真学习并掌握这方面的知识，为以后的学习和工作打下坚实的基础。

第一型曲线积分和第二型曲线积分的联系区别：方法不同；积分对象不同；应用场合不同。

第一型曲线积分：在平面曲线或空间曲线上的函数关于该曲线的积分。

第一型曲线积分物理意义来源于对给定密度函数的空间曲线，计算该曲线的质量。

第二型曲线积分亦称关于坐标的曲线积分，是一种与曲线定向有关的曲线积分。

1、第一型曲面分数最基本的计算方法就是同第二型曲面分数一样, 也就是化成二重积分。

第二型曲面最基本的方法就是通过找投影化为二重积分. 想要提醒一点的是: 如果曲面是 x=c 的一部分, 这时候x'=0, 即 dx=0, 所以曲面积分中包含 dxdy 与 dzdx 的两项直接为零,。

而关于 p(x,y,z)dzdx 的分数, 也变成了 p(c,y,z)dydz 的分数, 然后融合方向就可以化成二重积分.。

同理, 对于 y 或者 z 为常数的情况亦就是如此。

2、第一类曲线积分是对弧长积分，对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素；第二类曲线积分是对坐标（有向弧长在坐标轴的投影）积分，对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素。

3、第一类曲线分数求非密度光滑的线状物体质量等问题，第二类曲线分数化解作功类等问题。

第十章 曲线积分和曲面积分1. 第一型曲线积分和第二型曲线积分有什么关系？答：第二型曲线积分是借助于第一型曲线积分定义的，但是它与第一型曲线积分的一个主要区别是：它和曲线的方向有关，这是因为切向量)cos ,cos ,(cos γβα和曲线的方向有关，因此∫∫−++−=++LL Rdz Qdy Pdx Rdz dy Q Pdx ，其中−L 表示与L 方向相反的曲线。

这种区别在计算公式上的表现是：在光滑曲线L ：βαωψϕ≤≤===t t z t y t x ),(),(),(上的第一型曲线积分为：dt t t t t t t f ds z y x f L 222)()()())(),(),((),,(ωψϕωψϕβα′+′+′=∫∫。

右边的定积分的上限总大于下限，而对于第二型曲线积分，如果取L 的方向与参数t 增加的方向一致，则有：∫++Ldz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,( ∫′=βαϕωψϕ)())(),(),(({t t t t P Q +))(),(),((t t t ωψϕdt t t t t R t )}())(),(),(()(ωωψϕψ′+′ 而∫−++L Rdz Qdy Pdx∫′=αβϕωψϕ)())(),(),(({t t t t P Q ++′)())(),(),((t t t t ψωψϕdt t t t t R )}())(),(),((ωωψϕ′ 即右端定积分的上下限与曲线的方向有关，下限对应于曲线的起点，上限对应于曲线的终点。

2.试判断下列结果是否正确，为什么？ 设∫=L xdy I ，L 是圆周：222a y x =+，取逆时针方向，由于积分曲线是关于y 轴对称，被函数x 是关于x 的奇函数，所以∫=Lxdy I 0=。

答：这是不对的，因为第二型曲线积分不能这样用“对称性”，事实上，2220220cos )sin (cos a d a a d a I πθθθθππ===∫∫这是因为第二型曲线积分（以及第二型曲面积分）涉及积分域的定向问题，奇偶对称性比较复杂. 设L 关于y 轴对称,（1L 为L 在y 轴右侧的部分）有∫∫=L L dy y x Q dy y x Q 为偶函数关于当为奇函数关于当x )y ,x (Q 0x )y ,x (Q ),(2),(1如图10-14设21L L L +=，1:(), :0L yx x a ϕ=→，2:(),:0L y x x a ϕ=−−→ 则∫∫∫+=LL L dy y x Q dy y x Q dy y x Q 12),(),(),( dx x x x Q dx x x x Q a a)())(,()())(,(00−′−−++′+=∫∫−ϕϕϕϕ对dx x x x Q a )())(,(0−′−−∫−ϕϕx t =−0(,())()a Q t t t dt ϕϕ′−∫ 则dx x x x Q x x Q dy y x Q La)())](,())(,([),(0ϕϕϕ′−−=∫∫=′=∫∫为偶函数关于为奇函数关于x y x Q x y x Q dy y x Q dx x x x Q a L ),(0),(),(2)())(,(201ϕϕ3.在与路径无关的等价命题中，为什么要限制D 为单连通区域？答：若D 不是单连通域，则与路径无关的等价命题可能不成立. 如,例：计算∫+−=L y x ydx xdy I 22，其中L 为一条分段光滑且不经过原点的连通闭曲线，L 的方向为逆时针方向。