振型分解法描述

结构设计系列之振型分解反应谱法苏义前言我国规范对于常规结构设计有两个方法：底部剪力法和振型分解反应谱法。

其中，底部剪力法视多质点体系为等效单质点体系，且其地震作用沿高度呈倒三角形分布，当结构层数较高或体系较复杂时，其计算假再用，因部剪时，其计算假定不再适用，因此规范规定底部剪力法仅适用于高度不超过40m、以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构。

因此，一般结构均采用振型分解反应谱法。

振型分解反应谱法的基本步骤：通过体系的模态分析，求出多自由度体系的振型通过体系的模态分析求出多自由度体系的振型向量、参与系数等等；然后把每个振型看作单自由度体系，求出其在规定反应谱的地震加速度作用下产生的地震效应；最后把所有振型的地震效应式进行叠，得到体系震应应按一定方式进行叠加，就会得到体系地震效应的解。

注意注意：振型分解反应谱法只适用于弹性分析，对于弹塑性体系，由于力与位移不再具有对应关系，性体系，由于力与位移不再具有一一对应关系，该法不再适用。

目录一模态分析二反应谱分析三振型组合方法四方向组合方法一、模态分析模态分析也被称作振型叠加法动力分析，是线性体系地震分析中最常用且最有效的方法。

它最主要的优势在于其计算一组正交向量之后，可以将大型整体平衡方程组缩减为相对数量较少的解耦二阶平解阶微分方程，这样就明显减少了用于数值求解这些方程的计算时间。

模态分析为结构相关静力分析提供相关结构性能，包括结构静力地震作用分析和静力风荷载分析。

模态分析是其它动力分析的基础，包括反应谱分析和时程分析。

一、模态分析特征向量分析用于确定体系的无阻尼自由振动的模态和频率，分析这些自振模态是理解结构性能很好的工具。

下面我们以不考虑阻尼的高层建筑为例，了解一下关下面我们以不考虑阻尼的高层建筑为例，了解下关于无阻尼自由振动的一些基本概念。

一、模态分析对于一般的高层建筑，我们可以将其看作多自由度体系。

根据每个质点的力学平衡条件，建立每个质点的振动平衡方程式，联立这些方程式，即为多自由度体系的振动平衡方程组。

采用振型分解反应谱法时，对于不进行扭转耦联计算的结构，结构j振型i质点的水平地震作用标准值，按下列公式计算：(i=1,2，…n， j=1,2，…n （2-5）式中：——相应于j振型自振周期的地震影响系数，按图2-1确定；——j振型i质点的水平相对位移；——集中于质点i的重力荷载代表值；——j振型的参与系数，对于进行扭转耦联计算的结构，各楼层可取两个正交的水平位移和一个转角共三个自由度。

结构j振型i层的水平地震作用标准值，按下列公式计算：（2-6a）（2-6b）（2-6c）式中：，，——分别为j振型i层的x方向、y方向和转角方向的地震作用标准值；，——分别为j振型i层质心在x、y方向的水平位移；——j振型i层的相对扭转角；——i层转动半径，可取i层绕质心的转动惯量除以该层质量的商的正二次方根：——计入扭转的j振型的参与系数，可按下式确定：当仅取x方向地震作用时：（2-7）当仅取y方向地震作用时：（2-8）当取与x方向斜交的地震作用时：（2-9）式中：、——分别为由式（2-7）、（2-8）求得的参与系数；——地震作用方向与x方向的夹角。

地震作用效应的组合：按上述方法求出相应于j振型i质点的水平地震作用后，即可用一般结构力学方法计算相应于各振型时结构的弯矩、剪力、轴向力和变形，这些统称为地震作用效应，用表示第j振型的作用效应。

由于相应于各振型的地震作用均为最大值，所以相应各振型的地震作用效应也为最大值，但结构震动时，相应于各振型的最大地震作用效应一般不会同时发生，因此，在求结构总的地震效应时不应是各振型效应的简单代数和，由此产生了地震作用效应如何组合的问题，或称为振型组合问题。

建筑设计规范规定当不考虑平扭耦合影响时，水平地震作用效应按照平方和平方根法（SRSS）的公式确定：（2-10）式中：——水平地震作用标准值的效应；——j振型水平地震作用标准值的效应。

当考虑平扭耦合影响时，单向水平地震作用的扭转按照完全二次项平方根法（CQC）的公式确定：（2-11）（2-12）式中：——地震作用标准值的扭转效应：、——分别为j、k振型地震作用标准值的效应；、——分别为j、k振型的阻尼比；——j振型与k振型的耦联系数；——k振型与j振型的自振周期比。

附录一 振型分解反应谱法振型分解反应谱法作为弹性多自由体系的主要分析方法，很有必要对振型分解反应谱法有充分的了解。

本文仅作为大家参考之用，如有理解上的错误或者不当，敬请谅解。

1、单自由度体系在地震作用下的运动 如图（1）所示，根据达朗贝尔原理有： 0=++s I c f f f （1）也即：g u m ku u c um -=++ （2） 方程两边同时除以m ，可化为：g u u u u-=++22ωξω （3） 式中，2/k m ω= ，令ωξm c2=，为体系阻尼比。

2、多自由度体系在地震作用下的运动类似于单自由度体系分析过程，体系运动方程为：g u m u k u c u m ][}]{[}]{[}]{[-=++ （4）无阻尼体系自由振动时，0=g u，0=c ，上式即为： }0{}]{[}]{[=+u k um （5） 根据方程解的特征，设其解的形式为：)sin(}{}{ϕωφ+=t u （6）代入（5）式有：}0{)sin(}]){[]([2=+⋅-ϕωφωt m k （7）由于0)sin(≠+ϕωt则}0{}]){[]([2=-φωm k （8）另外，}0{}{≠φ，故特征方程为：0][][2=-m k ω （9）由（9）式可以求出2ω，进而可以求得各阶振型对应的圆频率2i ω，再代入（8）式可求对应于各个2i ω的特征向量}{i φ，即为振型。

振型φ：多自由度体系自由振动时，各质点在任意时刻位移比值是一定的，不随时间变化，即体系自由振动过程中形状保持不变。

振型是结构形状保持不变的振动形式，振型的形状是唯一的。

N 个自由度的体系具有N 个振型。

则结构的变形总可以表示成这N 个振型的线性组合：{}∑==Ni i i q u 1φ （10）其中i q 称为正则坐标。

3、振型的正交性由于}0{}]{[}]{[2=-φωφm k （11） 则}0{}]{[}]{[2=-r r r m k φωφ （12）（12）式两边同时左乘T n }{φ，)(r n ≠，得到：}]{[}{}]{[}{2r T n r r T n m k φφωφφ= （13）同理，}]{[}{}]{[}{2n Tr n n T r m k φφωφφ=，该式两边同时转置一次，得到：}]{[}{}]{[}{2r T n n r T n m k φφωφφ= （14）（13），（14）两式左右对应相减，得到：0}]{[}){22=-r T n n r m φφωω（ )(n r ≠ （15）因为22n r ωω≠所以 0}]{[}{=r Tn m φφ )(n r ≠ （16） 同理亦有 0}]{[}{=r Tn k φφ )(n r ≠ （17）即所说的振型关于质量和刚度矩阵满足正交性质。

多自由度体系振型分解法振型分解法（振型叠加法）是用于求解多自由度弹性体系动力反应的基本方法，基本概念是，在对运动方程进行积分前，利用结构的固有振型及振型正交性，将N 个自由度的总体方程组解耦为N 个独立的与固有振型及振型正交性，将这些方程进行解析或数值求解，得到每个振型的动力反应，然后将各振型的动力反应按一定的方式叠加，得到多自由度体系的总动力反应。

1 振型分解法原理地震作用下多自由度体系运动方程为：[]{}[]{}[]{}[]{}g M u C u K u M I u ++=- (1)式中，[]M 、[]C 、[]K 分别是体系的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，{}u 、{}u 、{}u 分别是体系的加速度向量、速度向量和位移向量，{}I 是维度与体系自由度相同的单位列向量。

将位移{}u 作正则坐标变换如下：{}[]{}{}()1Nn n n u q q φ==Φ=∑ (2)式中，[]Φ是体系的振型矩阵（模态矩阵），{}q 是广义坐标向量，则有：[]{}{}{}12N φφφ⎡⎤Φ=⎣⎦ (3){}{}12TN q q q q = (4)将式(2)带入式(1)有：[][]{}[][]{}[][]{}[][]g M q C q K q M I u Φ+Φ+Φ=- (5)上式两端分别左乘[]TΦ得：[][][]{}[][][]{}[][][]{}[][][]T T T Tg M q C q K q M I u ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ=-Φ (6)根据振型正交性原则，可知[][][]TM ΦΦ和[][][]TK ΦΦ为对角矩阵，对角元素分别为n M 和n K ：{}[]{}{}[]{}T nn nTnn n M M K K φφφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩ (7) 根据振型分解法进一步假定[][][]TC ΦΦ为对角矩阵（能够被振型矩阵[]Φ对角化得阻尼称为比列阻尼）。

[][][]12Tn C C C C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥ΦΦ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(8) 上式中的主对角元素为：{}[]{}Tn n n C C φφ= (9)则公式(6)表示的N 个自由度的方程组解耦为N 个与振型对应的单自由度体系的运动方程为：{}[][](1,2,)Tn n n n n n gn M q C q K q M I u n N φ++=-= (10)其中n M 、n C 、n K 以及{}[][]Tg n M I u φ-分别称为第n 阶振型的振型质量、振型阻尼、振型刚度和振型荷载。

振型分解法与振型分解反应谱法的区别振型分解法和振型分解反应谱法都是结构动力学中常用的分析方法，用于评估结构在地震作用下的响应。

两种方法具有一些相似之处，但也存在一些区别。

首先，我们来看看振型分解法。

振型分解法是一种基于结构模态的分析方法。

它通过将结构的动态响应分解为一系列模态振型的叠加来分析结构的反应。

振型分解法的基本思想是将结构的响应表示为一组相互独立振动的模态组合。

这些模态是结构自由振动的解，在没有外界作用力的情况下，结构只以某一特定的频率和振形振动。

对于一个多自由度的结构，它的振型是通过解析解或数值解的方式获得的。

振型分解法需要结构的动力特性，如模态频率、阻尼比等。

而振型分解反应谱法则是将振型分解法与反应谱法相结合的一种方法。

反应谱是反映结构对地震作用的响应特点的一种图表。

它描述了结构所经历的最大加速度、最大速度、最大位移等物理量的随时间变化关系。

振型分解反应谱法的基本思想是将结构的反应谱表示为一系列模态反应谱的叠加。

与传统的反应谱法不同的是，振型分解反应谱法考虑了结构的振形特性。

它将结构响应分解为一组模态响应，每个模态振型都有自己的模态反应谱。

通过分解得到的模态响应与各自的模态反应谱相乘，再相加得到结构的总反应谱。

振型分解法和振型分解反应谱法在一些方面存在相似之处。

首先，它们都基于结构的模态特性进行分析。

无论是振型分解法还是振型分解反应谱法，都需要得到结构的振型信息。

其次，它们都可以用于评估结构在地震作用下的响应。

通过分析结构的振型和模态反应谱，可以得到结构在地震作用下的最大响应，从而进行结构的设计和安全评估。

然而，振型分解法和振型分解反应谱法也存在一些区别。

首先，振型分解法更侧重于分析结构的模态特性和振型信息，它可以用于计算结构的自由响应。

而振型分解反应谱法更侧重于评估结构在地震作用下的受力情况，它可以用于计算结构的响应谱。

其次，振型分解法可以考虑结构的阻尼特性，通过引入阻尼比来计算结构的响应。

振型分解反应谱法的基本原理
振型分解反应谱法是一种结构动力学分析的方法，它的基本原理是将结构的振动以基本的振型分解为不同的模态或振型。

这种方法可以帮助工程师和研究人员了解结构的动力响应，并用于结构的设计和评估。

基本原理包括以下几个步骤：
1.振型识别：首先需要测量或计算出结构的自由振动模态，也可以使用一些模态试验技术来获取结构的振型信息。

2.数据处理：通过原始的动力学数据，如加速度或位移观测值，采用数学方法进行处理，提取出结构的振型特性。

3.振型分解：利用模态分解方法将结构的振动模态分解为独立的振型，也就是将结构的动力响应分解为各个模态的贡献。

4.振型参数识别：根据各个模态的特性，如频率、阻尼、模态形状等参数，识别各个振型对结构响应的作用，以便更好地理解和评估结构的动力响应。

振型分解法
振型分解法
modal analysis method
以结构的各阶振型为广义坐标分别求出对应的结构地震反应，然后将对应于各阶振型的结构反应相组合，以确定结构地震内力和变形的方法。

又称振型叠加法。

振型分解反应谱法
1、定义
振型分解反应谱法是用来计算多自由度体系地震作用的一种方法。

该法是利用单自由度体系的加速度设计反应谱和振型分解的原理，求解各阶振型对应的等效地震作用，然后按照一定的组合原则对各阶振型的地震作用效应进行组合，从而得到多自由度体系的地震作用效应。

振型分解反应谱法一般可考虑为计算两种类型的地震作用：不考虑扭转影响的水平地震作用和考虑平扭藕联效应的地震作用。

2、适用条件
（1）高度不超过40米，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可采用底部剪力法计算。

（此为底部剪力法的适用范围）
（2）除上述结构以外的建筑结构，宜采用“振型分解反应谱法”。

（3）特别不规则的建筑、甲类建筑和规范规定的高层建筑，应采用时程分析法进行补充计算。