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振型分解反应谱法

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建筑钢结构工程技术 振型分解反应谱法

建筑钢结构工程技术 振型分解反应谱法

Than You
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建筑钢结构工程技术 振型分解 反应谱法
4 振型分解反应谱法
多自由度弹性体系的地震反应分析要比单自由度弹性体系 复杂得多。采用振型分解法可求得体系各质点的位移、速度 和绝对加速度时程曲线，但对于工程实践而言，振型分解法 还是较为复杂，且运用不便。
由于工程抗震设计时仅关心各质点反应的最大值，因此 给合单自由度体系的反应谱理论，可导出更实振型分解法。 振型分解反应谱法是求解多自由度弹性体系地震反应的基本 方法。
4 振型分解反应谱法 ➢ 适用范围
适用于可沿两个主轴分别计算的一般结构，其变形可 以是剪切型、弯剪型和弯曲型。
4 振型分解反应谱法 ➢ 各振型的地震作用标准值的计算
4 振型分解反应谱法 ➢ 水平地震作用效应
式中， SE—水平地震作用标准值的效应； Sj—j振型水平地震作用标准值的效应。
Hale Waihona Puke 一般可取2~3个振型, 当基本自振周期 T1>1.5s 或房屋高宽 比大于5时，振型个 数可适当增加。
4 振型分解反应谱法
基本思路
假定建筑结构是线弹性的多自由度体系 利用振型
分解和振型正交性原理，将求解n个自由度弹性体系的
地震反应分解为求解n个独立的等效单自由度弹性体系
的最大地震反应
求出仅对应于每个振型的作用效
应。（弯矩、剪力、轴向力和变形）
4 振型分解反应谱法
第一振型
第二振型
第三振型
通常，n层结构可看成n个自由度，有n个振型。

振型分解反应谱法

振型分解反应谱法

如何解j振型对应的广义坐标方程
Dj (t)
2
j
j
Dj
2 j
D
j
(t)
j
xg (t)
已知：对于单自由度体系
x 2x 2x xg (t)
x(t) 1
d
t 0
xg (
)e
(t
)
sin
d
(t
)d
对于j振型折算体系（右图）
j
(t
)
1
j
t 0
xg (
)e
j
j
(t
)
sin
j
(t
)d
D
j
(t
)
j j
其中： Fji (t) mi[x ji jj (t) x ji j xg (t)]
---t时刻第j振型i质点的水平地震作用
Fji (t) mi[x ji jj (t) x ji j xg (t)]
---t时刻第j振型i质点的水平地震作用
体系j振型i质点水平地震作用标准值为：
Fji Fji (t) max mi x ji j j (t) xg (t) max
0.55 0.75
第三组 0.35
0.45
0.65 0.90
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。
解：（1）求体系的自振周期和振型
0.334
0.667
4.019
X 1 0.667 X 2 0.666 X 3 3.035
F1n
F2n
F jn
Fnn
mi
F1i
F2i
F ji
Fni

振型分解反应谱法

振型分解反应谱法

(t ) g (t ) F F (t ) max m x x
Sa mg g (t ) x g (t ) x
max max
max
mSa
g
Gk G
G ---集中于质点处的重力荷载代表值；
g ---重力加速度
Sa g (t ) x
k
g (t ) x g
2018/6/11
g (t ) y
(ms2 )
t (s)
Elcentro 1940 （N-S） 地震记录
(t ) g 绝对加速度反应谱 S a x x
max
g ( )e (t ) sin (t )d x
0
t
max
河南理工大学土木工程学院
注意：是间接作用
地震作用效应：地震作用产生结构的内力和变形 结构动力特性 结构的自振周期、阻尼、振型等。
河南理工大学土木工程学院
2018/6/11
预备知识
地震作用的简化： 地震作用简化为三个方向：两个水平方向，一个竖向。 一般分别计算三个方向的地震作用。
河南理工大学土木工程学院
2018/6/11
曾经的问题：一建筑物可假定为刚体，质量为100t， 问该建筑的地震作用在6—9度时，分别为多少？ F=ma F=ma ？ ？
S d x(t ) max
河南理工大学土木工程学院
1


t
0
g ( )e (t ) sin (t )d x
max
2018/6/11
质点相对于地面的速度为
t dx (t ) g ( )e (t ) cos d (t )d x x 0 dt

振型分解反应谱法中的具体解释

振型分解反应谱法中的具体解释

The End
Thanks！
达朗贝尔原理(列动力平衡方程) 振型正交性 叠加原理 哈米顿原理
计算过程

将结构简化，建立n自由度结构的频率方程，求出 n个频率及周期
x(t ) M I xg (t ) M x(t ) C x(t ) K

求各频率对应的振型，形成主振型向量。 计算振型参与系数 rn n
X Tj M I r n X T M X j j

m X
i 1 n i 1 i
ji
2 m X i ji
计算过程


根据场地类别确定场地的特征周期Tg，综合该 地区抗震设防烈度及地震分组和反应谱确定每 个振型地震影响系数 计算第j振型第i个质点的水平作用
补充

振型分解反应谱法常用于计算水平地震 作用，且前面所讲的是未考虑扭转振动 的影响，同志们可以参考相关资料得到 相应考虑扭转振动影响的计算过程。
参考文献

东南大学，建筑结构抗震设计 胡聿贤，地震工程学 卢存恕等，建筑抗震设计实例 王焕定,结构力学 朱伯龙等，建筑结构抗震设计原理
振型分解反应谱法的基本假设



结构物的反应是弹性的，可以采用叠家 加原理进行振型组合。 反应谱的假定，现有的反应谱是在结构 的所有支撑处的地震动完全相同，基础 与土壤无相互作用，即标准反应谱。 结构物最不利的地震反应为最大的地震 反应，而与其他的动力反应参数无关。
振型分解反应谱法的理论依据

振型分解反应谱法
制作人 路建波
振型分解反应谱法

什么是振型分解反应谱法 振型分解反应谱法的基本假设 振型分解反应谱法的理论依据 计算过程 振型分解反应谱法的不足

简述振型分解反应谱法求地震作用的步骤

简述振型分解反应谱法求地震作用的步骤

简述振型分解反应谱法求地震作用的步骤振型分解反应谱法是一种常用的求解地震作用的方法，其基本步骤如下：
1.确定结构的特征频率和振型：通过结构的质量和刚度，可以求得结构的自振频率和振型。

一般来说，需要求解前几个频率和振型。

2.计算结构在每个特征频率下的振动放大倍数：结构在地震作用下产生的振动会受到地震波的影响，因此需要计算结构在每个特征频率下的振动放大倍数，即反应谱。

3.求解地震作用下结构的响应：根据结构的振型和反应谱，可以求解地震作用下结构的振动响应。

一般来说，需要分别求解结构在每个特征频率下的响应，并进行叠加。

4.评估结构的安全性：通过对结构的振动响应进行分析，可以评估结构的安全性，确定结构是否需要加固或调整设计参数。

需要注意的是，振型分解反应谱法对结构的初始条件和地震波的选择都有一定的要求，需要根据具体情况进行调整。

同时，在进行振型分解反应谱法计算时，还需要考虑结构的非线性特性和耗能装置等因素的影响。

- 1 -。

振型分解反应谱法cqc

振型分解反应谱法cqc

振型分解反应谱法（CQC）是一种用于结构地震反应分析的方法。

它将结构的地震反应分解为一系列振型的反应，并通过计算每个振型的反应谱来获得结构的总反应谱。

CQC方法的基本步骤如下：
1. 确定结构的振型：首先需要确定结构的振型，可以通过模态分析或者经验公式得到。

2. 计算每个振型的反应谱：对于每个振型，根据地震波的加速度谱和振型的特征值，可以计算出该振型的反应谱。

3. 振型合成：将每个振型的反应谱按照一定的组合规则进行合成，得到结构的总反应谱。

CQC方法的优点是可以考虑结构的振型特性，能够更准确地预测结构的地震反应。

但同时也存在一些限制，例如需要事先确定结构的振型，并且对于非线性结构的分析效果可能有限。

总之，振型分解反应谱法（CQC）是一种常用的结构地震反应分析方法，通过将结构的地震反应分解为振型的反应，并计算每个振型的反应谱来获得结构的总反应谱。

振型分解反应谱法

振型分解反应谱法

补充

振型分解反应谱法常用于计算水平地震 作用，且前面所讲的是未考虑扭转振动 的影响，同志们可以参考相关资料得到 相应考虑扭转振动影响的计算过程。
参考文献

东南大学，建筑结构抗震设计 胡聿贤，地震工程学 卢存恕等，建筑抗震设计实例 王焕定,结构力学 朱伯龙等，建筑结构抗震设计原理
达朗贝尔原理(列动力平衡方程) 振型正交性 叠加原理 哈米顿原理
计算过程

将结构简化，建立n自由度结构的频率方程，求出 n个频率及周期
M x(t ) C x(t ) K x(t ) M I xg (t )

振型分解反应谱法
制作人 路建波
振型分解反应谱法

什么是振型分解反应谱法 振型分解反应谱法的基本假设 振型分解反应谱法的理论依据 计算过程 振型分解反应谱法的不足
什么是振型分解反应谱法

假定建筑结构是线弹性的多自由度体系， 利用振型分解和振型正交性的原理，将 求解n个自由度弹性体系的地震反应分解 为求解n个独立的等效单自由度弹性体系 的最大地震反应，进而求得对应于每一 个振型的作用效应(弯矩、剪力、 轴向 力)，再按一定法则将每个振型的作用效 应组合成总的地震作用效应进行截面抗 震验算。
Fji i i X jiGi
然后将各个质点处的作用力叠加
计算过程

计算各振型层间剪力，因为各个振型求出的是 最大的反应，需将其组合 n
Fi Fi 2
j 1

最后求出结构的反应
振型分解反应谱法的不足

该方法只能是在结构弹性范围内计算， 未考虑结构的塑性状态，并且该方法也 没有考虑时间因素，只是计算了过程中 最大的加速度作为控制因素。

振型分解反应谱法课程课件

振型分解反应谱法课程课件

（3-72）
式中, SEk ----水平地震作用标准值的效应； Sj---j振型水平地震作用标准值的效应 ，一般可取2～3个振型, 当基本自
振周期 T1>1.5s 或房屋高宽比大于5时，振型个数可适当增加；
2020/10/27
第8讲 振型分解反应谱法
12
---体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式 ---相应于j振型自振周期的地震影响系数；
2020/10/27
第8讲 振型分解反应谱法
7
3.5.1 水平地震作用 多自由度弹性体系的水平地震作用可用各质点所受惯性力来
代表，故质点上的水平地震作用为：
Fi (t) mi[xg (t) ui (t)]
n
n
Fi (t) mi j ji ( xg (t) j (t)) Fji (t)
72)
20)
地震特征周期分组的特征周期值（s）
场地类别
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
第一组
0.25
0.35
0.45 0.65
第二组 0.30
0.40
0.55 0.75
2020/10/27
第三组 0.35
第8讲 振型分解反应谱法
0.45
0.65 0.90
14
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。
结构地震反应
2020/10/27
基本振型
第8讲 振型分解反应谱法
二阶振型
3
多自由度体系地震反应： 结构运动方程：
{I}：指示向量，对剪切型结构 结构地震反应：
2020/10/27
第8讲 振型分Байду номын сангаас反应谱法

振型分解反应谱法的基本原理

振型分解反应谱法的基本原理

振型分解反应谱法的基本原理
振型分解反应谱法是一种结构动力学分析的方法，它的基本原理是将结构的振动以基本的振型分解为不同的模态或振型。

这种方法可以帮助工程师和研究人员了解结构的动力响应，并用于结构的设计和评估。

基本原理包括以下几个步骤：
1.振型识别：首先需要测量或计算出结构的自由振动模态，也可以使用一些模态试验技术来获取结构的振型信息。

2.数据处理：通过原始的动力学数据，如加速度或位移观测值，采用数学方法进行处理，提取出结构的振型特性。

3.振型分解：利用模态分解方法将结构的振动模态分解为独立的振型，也就是将结构的动力响应分解为各个模态的贡献。

4.振型参数识别：根据各个模态的特性，如频率、阻尼、模态形状等参数，识别各个振型对结构响应的作用，以便更好地理解和评估结构的动力响应。

振型分解反应谱法

振型分解反应谱法

振型分解反应谱法振型分解反应谱法就是用来计算多自由度体系地震作用得一种方法。

该法就是利用单自由度体系得加速度设计反应谱与振型分解得原理,求解各阶振型对应得等效地震作用,然后按照一定得组合原则对各阶振型得地震作用效应进行组合,从而得到多自由度体系得地震作用效应。

振型分解反应谱法一般可考虑为计算两种类型得地震作用:不考虑扭转影响得水平地震作用与考虑平扭藕联效应得地震作用。

适用条件(1) 高度不超过40米,以剪切变形为主且质量与刚度沿高度分布比较均匀得结构,以及近似于单质点体系得结构,可采用底部剪力法计算。

(此为底部剪力法得适用范围)(2) 除上述结构以外得建筑结构,宜采用“振型分解反应谱法”。

(3) 特别不规则得建筑、甲类建筑与规范规定得高层建筑,应采用时程分析法进行补充计算。

刚重比刚重比就是指结构得侧向刚度与重力荷载设计值之比,就是影响重力二阶效应得主要参数刚重比=Di*Hi/GiDi-第i楼层得弹性等效刚度,可取该层剪力与层间位移得比值Hi-第i楼层层高Gi-第i楼层重力荷载设计值刚重比与结构得侧移刚度成正比关系;周期比得调整将导致结构侧移刚度得变化,从而影响到刚重比。

因此调整周期比时应注意,当某主轴方向得刚重比小于或接近规范限值时,应采用加强刚度得方法;当某主轴方向刚重比大于规范限值较多时,可采用削弱刚度得方法。

同样,对刚重比得调整也可能影响周期比。

特别就是当结构得周期比接近规范限值时,应采用加强结构外围刚度得方法规范上限主要用于确定重力荷载在水平作用位移效应引起得二阶效应就是否可以忽略不计。

见高规5、4、1与5、4、2及相应得条文说明。

刚重比不满足规范上限要求,说明重力二阶效应得影响较大,应该予以考虑。

规范下限主要就是控制重力荷载在水平作用位移效应引起得二阶效应不致过大,避免结构得失稳倒塌。

见高规5、4、4及相应得条文说明。

刚重比不满足规范下限要求,说明结构得刚度相对于重力荷载过小。

但刚重比过分大,则说明结构得经济技术指标较差,宜适当减少墙、柱等竖向构件得截面面积。

振型分解反应谱法

振型分解反应谱法
j 1
n
j
ij 1 ，下面证明它是成立的：
1 as is (i 1, 2,3, , n)
即：
s 1
(1)
式中： ij
1 a111 a212 an 1n 1 a2 21 a2 22 an 2 n (2) 1 a1 n1 a2 n 2 an nn 为振型矩阵的元素：a j 为常系数，由式（1）可唯一确定。
多质点弹性体系在地面水平运动影响下，质点 i 上的总惯性力是：
Fi (t ) mi [ xg (t ) xi (t )]
为了推导简便，将 xg (t) 写成如下形式：
xg (t ) xg (t ) j ij
j 1
n
振型分解反应谱法
使上式成立的唯一可能是 将1按振型展开：
n

sin j (t )d
第 i 质点相对于结构底部的位移可求出如下：
xi (t ) T i ,:q q j . ij j . j (t ). ij
j 1 j 1
n
n
振型分解反应谱法
利用振型矩阵关于刚度矩阵和质量矩阵的正交性将多质点体系分解为 一个一个单质点体系来考虑，从而使问题得以简化。下面说明如何利 用单质点弹性体系水平地震作用的反应谱来确定多质点弹性体系的地 震作用问题，即所谓的振型分解反应谱法。
振型分解反应谱法
广义模态位移可用杜哈美积分写出：
j qj j
或

t
0
xg ( )e
j j ( t )
sin j (t )d
q j (t ) j . j (t )
j (t ) 1

振型分解反应谱法适用条件

振型分解反应谱法适用条件

振型分解反应谱法适用条件振型分解反应谱法是结构抗震分析中常用的一种方法，适用于计算结构在地震作用下的响应。

其基本思想是将结构的振型与地震的加速度谱进行分解，并根据结构的特征频率和阻尼比，计算出结构在各个频率下的响应加速度谱。

本文将从振型分解反应谱法的原理、适用条件以及优点等方面进行阐述。

首先，需要明确振型分解反应谱法的基本原理。

振型分解反应谱法是基于结构的振型及地震的加速度谱进行分解，因此对于结构的振型特性要有充分的了解。

一般情况下，可以通过模态分析或实测得到结构的振型以及主要模态参数。

而地震的加速度谱可通过地震地点的加速度记录或根据地震地点的设计地震参数进行计算。

在得到结构的振型和地震的加速度谱后，可以对结构的动力特性进行分析，进而计算出结构在不同频率下的响应加速度谱。

振型分解反应谱法适用于计算结构在地震作用下的响应，其适用条件如下：1.结构线性静力弹性响应：振型分解反应谱法是基于线性弹性理论进行分析的，因此适用于线性静力弹性响应的结构。

对于非线性结构，需要进行合理的线性化处理才能应用该方法。

2.单自由度系统或多自由度系统：振型分解反应谱法适用于单自由度系统和多自由度系统。

对于单自由度系统，可以直接进行分析；对于多自由度系统，需要将结构的多个振型进行叠加计算，得到整个结构的响应。

3.结构模态参数已知：振型分解反应谱法需要结构的振型特性，包括特征频率和阻尼比。

因此需要事先通过模态分析或实测等方法获得结构的振型模态参数。

4.地震加速度谱已知：振型分解反应谱法需要地震的加速度谱，以描述地震动的频率特性。

可以通过地震地点的实测记录或根据设计地震参数进行计算。

5.结构的线性动力特性：振型分解反应谱法适用于具有线性动力特性的结构。

如果结构的振型特征存在非线性特性，需要进行合理的线性化处理才能使用该方法。

振型分解反应谱法具有以下优点：1.能够考虑结构的频率特性：振型分解反应谱法通过分解结构的振型以及地震的加速度谱，能够充分考虑结构的频率特性。

振型分解反应谱法

振型分解反应谱法

振型分解反应谱法一．MDOF 体系的振型分解法MDOF 体系地震反应方程：[]{}[]{}[]{}[]{})(t x I M x K x C x M g -=++ （1）令自然坐标下的位移{})(t x 通过正则坐标{})(t δ表示{}[]{})()(t X t x δ=， （2）也称为对式（1）进行正则变换。

其中，[]X 为振型矩阵。

利用振型关于质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵的正交性，则有)(22t x g j j j j j j j γδωδωξδ-=++ ),,2,1(n j = （3）其中∑∑===n j ji in j jii j X m X m 121γ （4）j γ称为第j 振型的振型参与系数。

再令)()(t t j j j λγδ= （5）则有 )(22t x g j j j j j j -=++λωλωξλ ),,2,1(n j = （6） 上式为标准的单自由度体系地震反应方程。

根据方程（6）的结果，利用（2）式计算自然坐标下的地震反应（振型叠加）∑∑∑∑∑∑============n j j ji j n j jji i n j jji j n j j ji i n j j ji j n j j ji i t X t X t x t X t X t x t X t X t x 111111)()()()()()()()()(λγδλγδλγδ （7）二．SDOF 体系的反应谱反应谱给出的是标准的单自由度体系的最大反应与周期及阻尼比的关系。

最大相对位移反应为),()(max j j D j T S t ξλ= （8） 最大相对速度反应为),()(max j j V j T S t ξλ= （9）最大绝对加速度反应为),()(max j j A j g T S t x ξλ=+ （10）三者有如下近似关系d j V j A S S S 2ωω≈≈ （11）三．SDOF 体系的振型分解反应谱法因SDOF 体系的反应谱只给出最大反应，对MDOF 体系，暂时也只能给出式（7）求和号之内各振型对应的最大反应。

振型分解反应谱法

振型分解反应谱法

3104

50
2


0
0.00003 4 0.058 2 15 0
12 307.6 1 17.54rad / s
22 1625.8 2 40.32rad / s
X12 X11

m112 k11
k12

60307.6 8104 3104
n i 1
j 1

j x ji
Gi G
n
式中 G Gi （结构总重量）
i 1
FEK 则结构总的水平地震作用（底部剪力）
n
nn
FEK
V
2 jo
1G
(
x ) j
Gi 2
1 j ji G
j 1
j1 i1
1cG
其中
nn
c
(
) i
Gi 2
0
0 m2


x1 x2



0 0

k11 k21
k12 k22



2
m1

0
0
m2


0
k11

k21
2m1
k22
k12

2
m2

0
8104 60 2 3104

3104
m1 270t m1 270t
解：（1）求T1,T2,T3(方法后面要讲实用方法）
T1 0.467s T2 0.208s T3 0.134s
X
T 1
0.334
0.667

abaqus振型分解反应谱法

abaqus振型分解反应谱法

一、引言abaqus是一种常用的仿真软件，在工程实践中被广泛应用。

振型分解反应谱法是abaqus中用于地震工程分析的一种方法，通过该方法可以有效地对结构在地震作用下的动力响应进行分析，为工程设计和安全评估提供重要参考。

二、振型分解反应谱法的基本原理1. 振型分解振型分解是指将结构的动力响应分解为一系列基本的振型模态的叠加。

在地震工程中，结构的动力响应可以通过对振型模态的分解来进行分析，这一过程对于确定结构的峰值加速度和位移响应具有重要意义。

2. 反应谱法反应谱法是一种结构动力分析的常用方法，它以结构的加速度、速度或位移等动力响应为基础，通过建立相应的反应谱曲线来描述结构在地震激励下的响应特性。

在abaqus中，可以使用反应谱法来模拟结构在地震作用下的响应情况。

三、abaqus中的振型分解反应谱法实现1. 模态分析在进行振型分解反应谱法分析之前，首先需要进行结构的模态分析，通过abaqus可以求解结构的振型频率和模态形状等信息。

2. 地震加载在模态分析之后，需要进行地震加载，abaqus可以根据不同的地震波形数据对结构进行加载，并求解结构在地震作用下的动力响应。

3. 振型分解通过abaqus可以进行振型分解，将结构的动力响应分解为一系列振型模态的叠加。

4. 反应谱计算根据振型分解的结果，可以利用abaqus中的反应谱分析功能，绘制结构在地震激励下的反应谱曲线，从而全面地了解结构的响应特性。

四、案例分析下面通过一个简单的案例来演示abaqus中振型分解反应谱法的实现过程。

1. 结构模型假设我们考虑一个简单的砖混结构，在abaqus中建立其有限元模型，并进行模态分析。

2. 地震加载选择适当的地震波形数据，对结构进行地震加载，求解结构的动力响应。

3. 振型分解对结构的动力响应进行振型分解，得到结构的振型频率和模态形状等信息。

4. 反应谱计算利用abaqus中的反应谱分析功能，绘制结构在地震作用下的反应谱曲线，分析结构的响应特性。

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❖根据线性代数的知识，特征方程存在非零解的
充要条件是系数行列式等于零，即得到频率方
程：
| [K ] 2[M ] | 0
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
❖根据特征方程： ([K] 2[M ]){} 0
❖对应于频率方程中的每一个根，都存在特征方 程的一个非零解{ϕj}，称为振型向量，或叫特 征向量，或叫模态向量。
第三章 建筑结构抗震原理
§5 地震分析振型分解反应谱法
❖采用振型分解法可求得体系各质点的位移、速 度和绝对加速度时程曲线，但对于工程实践而 言，振型分解法还是较为复杂，且运用不便。
❖注意到工程抗震设计时仅关心各质点反应的最 大值，给合单自由度体系的反应谱理论，在振 型分解法的基础上，可导出更实用的振型分解 反应谱法。
}T
[
M
]{i
}
{i
}T
[
K
]{
j
}
2 j
{i
}T
[
M
]{
j
}
❖左式不变，而对右式进行转置运算可得
{
j
}T
[
K
]{i
}
2 i
{
j
}T
[
M
]{i
}
{
j
}T
[
K
]{i
}
2 j
{
j
}T
[
M
]{i
}
第三章 建筑结构抗震原理
•8/180
§4 多自由度体系地震反应分析
2.振型正交性 ❖对ωj≠ωi，则有：
{ j }T [M ]{i } 0
n
n
❖根据前述 Fi (t) mi j ji (xg (t) j (t)) Fji (t)
❖结构在任一时刻所受j1的地震作用等于结j构1 对应
于各振型的地震作用之和。
❖应该注意到，当某一振型的地震作用达到最大 值时，其余各振型的地震作用不一定也达到最
大值，因而结构地震作用的最大值并不等于各 振型地震作用最大值之和。
2. 振型的正交性 ❖根据特征方程： ([K] 2[M ]){} 0
❖分别对振型i、j列出运动方程：
[K]{i} i2[M ]{i}
[
K
]{
j
}
2 j
[M
]{
j
}
❖左式(a)两边乘以向量{ϕj}的转置{ϕj}T，右式两 边乘以向量{ϕi}的转置{ϕi}T，则有：
{
j
}T
[
K
]{i
}
2 i
{
j
j 1
(3-67)
❖称为i质点对应j振型的水平地震作用。
第三章 建筑结构抗震原理
§5 地震分析振型分解反应谱法
❖根据前述反应谱的概念，由此可得，
Fji Fji (t) max mi j ji[xg (t) j (t)]max mi j ji Sa ( j , j )
(mi
g
)
j
ji
S
a
( j ,
第三章 建筑结构抗震原理
§5 地震分析振型分解反应谱法
❖思路：利用各振型相互正交的特性，将原来耦 联的微分方程组变为若干互相独立的微分方程 ，从而使原来多自由度体系的动力计算变为若 干个单自由度体系的问题；
❖求解：在求得了各单自由度体系的解后，再将 各个解进行组合，从而可求得多自由度体系的 地震反应。
Sja —相应于j振型自振频率ωj和阻尼比ξj的水平向地 震加速度反应谱值；
第三章 建筑结构抗震原理
§5 地震分析振型分解反应谱法
φji —j振型i质点的水平相对位移；
γj
—j振型的参与系数；
j
X T M I
X
T
j
M
X
j
j
n
mi x ji
i 1
n
mi
x
2 ji
Gi —集中于i质点的重力荷载代表值。i1
土木工程专业本科专业课
工程抗震原理
Principles of Seismic Engineering
第三章 建筑结构抗震原理
§1 概述 §2 单自由度体系地震反应分析 §3 单自由度体系水平地震作用 §4 多自由度体系地震反应分析 §5 地震分析振型分解反应谱法 §6 水平地震作用的底部剪力法 §7 考虑扭转的水平地震作用 §8 结构竖向地震作用 §9 建筑结构抗震验算 §10 结构自振周期和频率的实用计算方法 §11 工程结构地震反应的时程分析方法 §12 地基与结构动力相互作用效应
§5 地震分析振型分解反应谱法
❖一般情况下，当任意两个振型频率之比大于2 或小于0.5时，可以不考虑振型之间的相关性。
❖此外，当阻尼比ξ≤0.1时，工程设计中通常取振
型阻尼比ξi=ξj=ξ，如满足
i j
0.1 0.1
则可以认为ρij近似为零，此时振型组合公式可
改写为：
m
S
S
2 j
j 1
称为“平方和开平方”法，简称SRSS法
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
❖一般的多自由度线弹性体系，式(3-59)可写成 如下形式
n
{u(t)} { j}q j (t) []{q(t)} j 1
(3-60)
其中： {u(t)} ----位移向量 {u(t)} {u1(t) u2 (t)
un (t)}T
{q(t)} ----广义坐标向量 {q(t)} {q1(t) q2(t)
g
j
)
Gi
j
ji
S ja g
Gi j ji j
j j jiGi
❖因此，结构的水平地震作用按下式计算：
Fji
j
j jiGi
S ja
j ji
Gi g
(3-68)
---体系j振型i质点水平地震作用标准值计算公式
式中，Fji —j振型i质点的水平地震作用； αj —相应于j振型自振频率ωj和阻尼比ξj的水平地震影 响系数；
Mj
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
4.2 地震反应分析的振型叠加法
1. 振型与自振频率 ❖求解弹性体系的自振频率和振型称为自振特性
分析。
❖由于体系的固有频率和相应的振型都仅取决于 体系自身的性质，而与时间无关，所以从广义 的观点，自振特性分析的基本手段是变量分离 法，即把时间因素与结构位置因素分离后，利 用特征方程具有非零解的充分必要条件求取自 振频率及相应的振型。
{ j}T [K]{i} 0 { j}T [C]{i} 0
2 j
Kj
/
M
j
2 j j C j / M j
4 求解多自由度反应的振型分解法
q j
(t)
2
j
j
q
j
(t)
2 j
q(t)
j
xg
(t)
( j 1,2,, n)
n
{u(t)} { j}q j (t) j 1
j
{ j}T [M ]{I}
(Square Root of Sum of Squares )。
第三章 建筑结构抗震原理
§5 地震分析振型分解反应谱法
❖《建筑抗震设计规范》规定，结构的水平地震 作用效应（弯矩、剪力、轴向力和变形）按下 式计算：
SEk
S
❖同时有：
{ j }T [K ]{i } 0
(i j) (i j)
❖分别称为振型对质量矩阵的正交性和振型对刚 度矩阵的正交性。
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
❖振型的两两正交特性说明它们具备作为一类线 性空间基底的基本条件。
❖事实上，由振型向量所张成的线性空间正是一 般动力反应空间，在这空间的任一点表示一个 特定的动力反应，并且这一点的坐标值可由关 于基底（振型）的广义坐标给出。
第三章 建筑结构抗震原理
第三章 建筑结构抗震原理
§1 概述 §2 单自由度体系地震反应分析 §3 单自由度体系水平地震作用 §4 多自由度体系地震反应分析 §5 地震分析振型分解反应谱法 §6 水平地震作用的底部剪力法 §7 考虑扭转的水平地震作用 §8 结构竖向地震作用 §9 建筑结构抗震验算 §10 结构自振周期和频率的实用计算方法 §11 工程结构地震反应的时程分析方法 §12 地基与结构动力相互作用效应
第三章 建筑结构抗震原理
§4 多自由度体系地震反应分析
M jqj (t) Cjqj (t) K jqj (t) {j}T[M ]{I}xg (t) ( j 1, 2, , n)
注意到
2 j
Kj
/Mj
，2 j j
Cj
/ M j ，上式可化成
q
j
(t)
2
j
j
q
j
(t)
2 j
q(t
)
j
xg
(t)
第三章 建筑结构抗震原理
第三章 建筑结构抗震原理
第三章 建筑结构抗震原理
❖上次课重点回顾： 多自由度体系地震反应分析
1 动力方程的建立
[M ]{u} [C]{u} [K]{u} [M ]{I}xg
2 振型、频率 [K]2 M 0
3 振型的正交性
{j}T [M]{i} 0 C 0M 1K
qj (t)
{ j}T [M ]{u(t)} { j}T [M ]{ j}
1 M
j
{ j}T [M
]{u(t)}
（3-61）
❖在水平地震运动作用下，多自由度弹性体系的
运动方程为：
[M ]{u} [C]{u} [K ]{u} [M ]{I}xg (t) （3-40）