振型分解法和解耦方程
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简述振型分解法的概念
简述振型分解法的概念
振型分解法是一种用于解决结构动力学问题的数学方法。
它的主要思想是将结构的振动模式分解为基本的单自由度系统，然后将这些系统的响应组合起来得到结构的全局响应。
在振型分解法中，每个单自由度系统都由一个质点和一个弹簧所组成。
通过求解这些单自由度系统的响应，可以推导出结构的整体响应。
这种方法的优点在于，它可以用数学上简洁的方式描述结构的振动特性，并可以直观地解释结构的响应模式。
振型分解法的应用领域非常广泛，特别是在建筑工程和机械工程中。
它可以用于分析结构在地震、风力和其他自然灾害下的响应，以及在车辆、飞机和船舶等交通工具的振动特性等方面。
总之，振型分解法是一种非常重要的数学方法，可以帮助工程师和科学家更好地了解结构的振动特性，并制定更加有效的控制和优化策略。
- 1 -。
什么叫耦联
什么叫“耦联”在抗震中，“耦联”就是作用在给定侧移的某一质点上的弹性回复力不仅取决于这一质点上的侧移，而且还取决于其他各质点的位移，因而存在着刚度耦联，这样会给微分方程组的求解带来不少困难.所以，应运用振型分解和振型正交性原理来解耦，使方程组求解大大简化.1、“耦联”的概念主要是针对振型分解法而言的。
2、非耦联是指平动与扭转分开考虑，在各自独立的坐标系里分析，互相无关。
3、耦联是指扭转和平动同时出现在一个振型中，动力响应为多坐标系运动分量的合成。
4、应该说：对于复杂高层考虑耦联作用更加准确一些。
房屋结构的扭转问题是目前世界上地震工程中的一个热点问题。
高层建筑因功能需要或由于受地形限制等原因，常常不能设计得完全对称，使得扭转耦联问题特别突出。
项目研究组选择了工程上经常遇到的局部不对称结构和均匀偏心结构的扭转耦联问题作为主攻方向，编制了动力简化模型的时程分析程序，在弹性及弹塑性范围内进行了一系列的分析，取得了如下主要成果：1、提出符合多层偏心结构的弹塑性分析的动力模型和和时程分析方法，编制了相应的程序。
2、分析了影响结构耦联运动的三个基本因素，即静力偏心距、基本平动周期、基本平扭频率比的影响大小，并比较了不同偏心层位置的局部偏心结构的耦合程度。
结果表明顶层偏心并不一定比其它层偏心不利，均匀偏心也并不是最不利的，它们都是有条件的，弹塑性状态时的结论又与此有所区别。
3、偏心结构在弹性和弹塑性运动状态下的反应规律存在较明显的差别。
不同的强度布置方法在弹塑性反应中起着非常重要的作用。
结构的平面强度布置会引起结构薄弱单元的转移，影响局部偏心层位置对整体结构的影响，也影响同一地震动强度下的平扭耦联运动程度。
4、地震动强度大小对偏心结构的弹塑性耦联运动有影响，不同的平面强度布置随地震动强度变化而变化的规律有较大的区别；地震动作用方向对偏心结构的弹塑性耦联运动有影响，对单向偏心也有影响，有别与结构的弹性反应规律。
本基金资助项目研究成果在地震工程与工程振动、应用数学和力学、建筑结构、工程抗震等刊物上发表论文十余篇；国际学术会议大会特邀报告1次，分组报告3次，国内会议大会报告3次；4次获得辽宁省及辽宁省建设厅的科技进步奖。
振型分解法描述
采用振型分解反应谱法时，对于不进行扭转耦联计算的结构，结构j振型i质点的水平地震作用标准值，按下列公式计算：(i=1,2，…n， j=1,2，…n （2-5）式中：——相应于j振型自振周期的地震影响系数，按图2-1确定；——j振型i质点的水平相对位移；——集中于质点i的重力荷载代表值；——j振型的参与系数，对于进行扭转耦联计算的结构，各楼层可取两个正交的水平位移和一个转角共三个自由度。
结构j振型i层的水平地震作用标准值，按下列公式计算：（2-6a）（2-6b）（2-6c）式中：，，——分别为j振型i层的x方向、y方向和转角方向的地震作用标准值；，——分别为j振型i层质心在x、y方向的水平位移；——j振型i层的相对扭转角；——i层转动半径，可取i层绕质心的转动惯量除以该层质量的商的正二次方根：——计入扭转的j振型的参与系数，可按下式确定：当仅取x方向地震作用时：（2-7）当仅取y方向地震作用时：（2-8）当取与x方向斜交的地震作用时：（2-9）式中：、——分别为由式（2-7）、（2-8）求得的参与系数；——地震作用方向与x方向的夹角。
地震作用效应的组合：按上述方法求出相应于j振型i质点的水平地震作用后，即可用一般结构力学方法计算相应于各振型时结构的弯矩、剪力、轴向力和变形，这些统称为地震作用效应，用表示第j振型的作用效应。
由于相应于各振型的地震作用均为最大值，所以相应各振型的地震作用效应也为最大值，但结构震动时，相应于各振型的最大地震作用效应一般不会同时发生，因此，在求结构总的地震效应时不应是各振型效应的简单代数和，由此产生了地震作用效应如何组合的问题，或称为振型组合问题。
建筑设计规范规定当不考虑平扭耦合影响时，水平地震作用效应按照平方和平方根法（SRSS）的公式确定：（2-10）式中：——水平地震作用标准值的效应；——j振型水平地震作用标准值的效应。
当考虑平扭耦合影响时，单向水平地震作用的扭转按照完全二次项平方根法（CQC）的公式确定：（2-11）（2-12）式中：——地震作用标准值的扭转效应：、——分别为j、k振型地震作用标准值的效应；、——分别为j、k振型的阻尼比；——j振型与k振型的耦联系数；——k振型与j振型的自振周期比。
自由振动方程的解耦
8
引入如下的模态坐标{q} 和非奇异变换矩阵[Φ ],
模态系数
9
10
取变换
11
⎧ q1 ⎫
⎡ φ11 φ12
{q}
=
⎪⎪ ⎨
q2
⎪
⎪⎩qN
⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪⎭
,[Φ
]
=
⎢ ⎢
φ21
⎢
⎣⎢φN1
φ22 φN 2
{x} = [Φ ]{q}
φ1N ⎤
φ2 N
⎥ ⎥
⎥
φNN
⎥ ⎦
系数矩阵对称，才 有可能解耦
(4.2)
⎡M1 0
0⎤
⎡K1 0
0⎤
18
[M ]P
=
⎢ ⎢ ⎢
0
M2
0
⎥
⎥ ⎥
,
[
K
]P
=
⎢ ⎢ ⎢
0
K2
0
⎥ ⎥
⎥
(4.6)
⎢ ⎣
0
0
M
N
⎥ ⎦
⎢ ⎣
0
0
K
N
⎥ ⎦
19
如果选择的[Φ ]满足了(4.4)关系, 那么可实现动力解耦，但是未必能保证(4.5)
20 式的静力耦合。另一方面, 仅由(4.4)的关系也无法唯一确定[Φ ]。因为[Φ ]本身有
1
自由振动方程的解耦
2 方程解耦
3
不论采用那一种方法，对无阻尼线性系统或系统作微幅振动，最后都得到如
4 下的振动微分方程组
5
[M ]{x}+ [K ]{x} = {0}
(4.1)
6 其中[M ]和[K ] 都是对称的 N × N 矩阵, 下一步就是要求解该方程。我们仍设法通
多自由度体系振型分解法
多自由度体系振型分解法振型分解法（振型叠加法）是用于求解多自由度弹性体系动力反应的基本方法，基本概念是，在对运动方程进行积分前，利用结构的固有振型及振型正交性，将N 个自由度的总体方程组解耦为N 个独立的与固有振型及振型正交性，将这些方程进行解析或数值求解，得到每个振型的动力反应，然后将各振型的动力反应按一定的方式叠加，得到多自由度体系的总动力反应。
1 振型分解法原理地震作用下多自由度体系运动方程为：[]{}[]{}[]{}[]{}g M u C u K u M I u ++=- (1)式中，[]M 、[]C 、[]K 分别是体系的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，{}u 、{}u 、{}u 分别是体系的加速度向量、速度向量和位移向量，{}I 是维度与体系自由度相同的单位列向量。
将位移{}u 作正则坐标变换如下：{}[]{}{}()1Nn n n u q q φ==Φ=∑ (2)式中，[]Φ是体系的振型矩阵（模态矩阵），{}q 是广义坐标向量，则有：[]{}{}{}12N φφφ⎡⎤Φ=⎣⎦ (3){}{}12TN q q q q = (4)将式(2)带入式(1)有：[][]{}[][]{}[][]{}[][]g M q C q K q M I u Φ+Φ+Φ=- (5)上式两端分别左乘[]TΦ得：[][][]{}[][][]{}[][][]{}[][][]T T T Tg M q C q K q M I u ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ=-Φ (6)根据振型正交性原则，可知[][][]TM ΦΦ和[][][]TK ΦΦ为对角矩阵，对角元素分别为n M 和n K ：{}[]{}{}[]{}T nn nTnn n M M K K φφφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩ (7) 根据振型分解法进一步假定[][][]TC ΦΦ为对角矩阵（能够被振型矩阵[]Φ对角化得阻尼称为比列阻尼）。
[][][]12Tn C C C C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥ΦΦ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(8) 上式中的主对角元素为：{}[]{}Tn n n C C φφ= (9)则公式(6)表示的N 个自由度的方程组解耦为N 个与振型对应的单自由度体系的运动方程为：{}[][](1,2,)Tn n n n n n gn M q C q K q M I u n N φ++=-= (10)其中n M 、n C 、n K 以及{}[][]Tg n M I u φ-分别称为第n 阶振型的振型质量、振型阻尼、振型刚度和振型荷载。
振型分解法和解耦方程PPT课件
自由振动方程的解耦和振型分 解法
坐标耦合
自由振动微分方程的一般形式如下：
[M]{x}+[K]{x} ={0}
以两自由度为例，如果质量矩阵[M]和刚度矩 阵[K]的各个元素都不为零，则在两个方程
里同时包含 x1 和 x2 和他们的导数项，这种
情形称为坐标耦合
振动微分方程的建立
Newton定律（d’Alembert原理）建立运动微分方程
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢你的到来与聆听
学习并没有结束，希望继续努力
Thanks for listening, this course is expected to bring you value and help
• 系统在主振动中：1.各质点同时达到平衡位 置或者最大位移
• 2.整个振动过程中，各质点位移比值将始终 保持不变，即系统的振动形式保持不变， 这就是振型的物理意义。
• 每一个主振动称为一个模态 • i 和 对应的 ri 组成第 i阶模态的参数。
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
m2 x2
k2 x1
(k2
k3 )x2
F2 (t)
m1 0
0 m2
x1 x2
k
1 k
k
2
2
k2
x1
F1
(t
)
k 2 k3 x2 F2 (t)
1.静力耦合 2.动力耦合
坐标耦合
自由振动微分方程的一般形式如下：
[M]{x}+[K]{x} ={0}
以两自由度为例，如果质量矩阵[M]和刚度矩 阵[K]的各个元素都不为零，则在两个方程
里同时包含 x1 和 x2 和他们的导数项，这种
情形称为坐标耦合
振动微分方程的建立
Newton定律（d’Alembert原理）建立运动微分方程
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢你的到来与聆听
学习并没有结束，希望继续努力
Thanks for listening, this course is expected to bring you value and help
• 系统在主振动中：1.各质点同时达到平衡位 置或者最大位移
• 2.整个振动过程中，各质点位移比值将始终 保持不变，即系统的振动形式保持不变， 这就是振型的物理意义。
• 每一个主振动称为一个模态 • i 和 对应的 ri 组成第 i阶模态的参数。
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
m2 x2
k2 x1
(k2
k3 )x2
F2 (t)
m1 0
0 m2
x1 x2
k
1 k
k
2
2
k2
x1
F1
(t
)
k 2 k3 x2 F2 (t)
1.静力耦合 2.动力耦合
振型分解法
i cij x i kij xi mi g mi x x
n n
xi
i 1,2, N
j 1
j 1
xg(t)
mi m ( i xi xg )
cx k x mI g (t ) m x x
1 1 2
xi (t ) x ji D j (t )
j 1
N
x t q (t ) q (t )
2 1 2
已知
Dj (t ) 2 j j Dj j2 Dj (t ) j xg (t )
X M X j
T j
X j M I
T
g (t ) x
(t ) 2 D 2 D (t ) D j j j j j j
n
X M X j
T j
i ji
X j M I
T
g (t ) x
X M I j X Tj M X j
T
* * X j M I C K j j g (t ) D j (t ) Dj D j (t ) x * * * Mj Mj Mj T
2 * K* j jM j
* C* j 2 j j M j
(t ) 2 D 2 D (t ) D j j j j j j
振型
质点
x X sin t
1 11 11 1
x X
1 12
12
sin t
1 1 1
x12 X 12 m11 k11 1 x11 X 11 k12
2
这一比值不仅与时间无关，位移比值始终 保持不变。这种振动形式称为振型。按 1振动时称为 第一振型，按 2振动时称为第二振型。
n n
xi
i 1,2, N
j 1
j 1
xg(t)
mi m ( i xi xg )
cx k x mI g (t ) m x x
1 1 2
xi (t ) x ji D j (t )
j 1
N
x t q (t ) q (t )
2 1 2
已知
Dj (t ) 2 j j Dj j2 Dj (t ) j xg (t )
X M X j
T j
X j M I
T
g (t ) x
(t ) 2 D 2 D (t ) D j j j j j j
n
X M X j
T j
i ji
X j M I
T
g (t ) x
X M I j X Tj M X j
T
* * X j M I C K j j g (t ) D j (t ) Dj D j (t ) x * * * Mj Mj Mj T
2 * K* j jM j
* C* j 2 j j M j
(t ) 2 D 2 D (t ) D j j j j j j
振型
质点
x X sin t
1 11 11 1
x X
1 12
12
sin t
1 1 1
x12 X 12 m11 k11 1 x11 X 11 k12
2
这一比值不仅与时间无关，位移比值始终 保持不变。这种振动形式称为振型。按 1振动时称为 第一振型，按 2振动时称为第二振型。
工程力学结构动力学复习题
工程力学结构动力学复习题一、简答题1、结构的动力特性主要指什么？对结构做动力分析可分为哪几个阶段？2、何谓结构的振动自由度？它与机动分析中的自由度有何异同？3、何谓动力系数？简谐荷载下动力系数与哪些因素有关？4、动力荷载与静力荷载有什么区别？动力计算与静力计算的主要差别是什么？5、为什么说结构的自振频率和周期是结构的固有性质？怎样改变他们？6、简述振型分解法是如何将耦联的运动方程解耦的．7、时域法求解与频域法求解振动问题各有何特点？8、什么叫动力系数，动力系数大小与哪些因素有关？单自由度体系位移动力系数与内力动力系数是否一样？答：动力放大系数是指动荷载引起的响应幅值与动荷载幅值作为静荷载所引起的结构静响应之比值。
简谐荷载下的动力放大系数与频率比、阻尼比有关。
当惯性力与动荷载作用线重合时，位移动力系数与内力动力系数相等；否则不相等。
原因是：当把动荷载换成作用于质量的等效荷载时，引起的质量位移相等，但内力并不等效，根据动力系数的概念可知不会相等。
9、振型正交性的物理意义是什么？振型正交性有何应用？答：由振型关于质量、刚度正交性公式可知，i 振型上的惯性力在j 振型上作的虚功为0。
由此可知，既然每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功，那么它的振动能量就不会转移到别的主振型上去。
换句话说，当一个体系只按某一主振型振动时，不会激起其他主振型的振动。
这说明各个主振型都能单独出现，彼此线性无关。
这就是振型正交的物理意义。
一是可用于校核振型的正确性；二是在已知振型的条件下，可以通过折算质量与折算刚度计算对应的频率。
而更主要的是任一同阶向量均可用振型的线性组合来表示，在受迫振动分析中，利用振型的正交性，在阻尼矩阵正交的假设下可使运动方程解藕。
10、什么是阻尼、阻尼力，产生阻尼的原因一般有哪些？什么是等效粘滞阻尼？答：振动过程的能量耗散称为阻尼。
产生阻尼的原因主要有：材料的内摩擦、构件间接触面的摩擦、介质的阻力等等。
振型分解法
振型分解法
振型分解法
modal analysis method
以结构的各阶振型为广义坐标分别求出对应的结构地震反应，然后将对应于各阶振型的结构反应相组合，以确定结构地震内力和变形的方法。
又称振型叠加法。
振型分解反应谱法
1、定义
振型分解反应谱法是用来计算多自由度体系地震作用的一种方法。
该法是利用单自由度体系的加速度设计反应谱和振型分解的原理，求解各阶振型对应的等效地震作用，然后按照一定的组合原则对各阶振型的地震作用效应进行组合，从而得到多自由度体系的地震作用效应。
振型分解反应谱法一般可考虑为计算两种类型的地震作用：不考虑扭转影响的水平地震作用和考虑平扭藕联效应的地震作用。
2、适用条件
（1）高度不超过40米，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布比较均匀的结构，以及近似于单质点体系的结构，可采用底部剪力法计算。
（此为底部剪力法的适用范围）
（2）除上述结构以外的建筑结构，宜采用“振型分解反应谱法”。
（3）特别不规则的建筑、甲类建筑和规范规定的高层建筑，应采用时程分析法进行补充计算。
钢结构 第五章--有图(振型分解法)
X 12 =− X 11
2011-3-23
m1δ11 −
1
m2δ12
ω12
X 22 =− X 21
结构抗震设计
m1δ11 −
1
2 ω2
m2δ12
2
振型分解法反应谱法和单自由度反应谱法
方法 位移 速度和加 速度 惯性力 单自由度反应谱法
x(t )
振型分解法 n && &（t） ∑ γ j ∆（t）X ji & xi = j
n n
F ji = F（t） ji
令 αj
= g
max
= mi γ j X ji &&（t） ∆（t） x g + && j
，
max
&&（t） ∆（t） xg + && j
max
Gi = mi g
； 则 F ji = α j γ j X ji Gi ( i=1,2,…,n；j=1,2,…,n)为 振型i 为对应于j 振型 质点水平地震作用标准值计算公式
2011-3-23 结构抗震设计 7
j振型i质点水平地震作用标准值计算公式
F ji = α j γ j X ji Gi ( i=1,2,…,n；j=1,2,…,n) ；
质点水平地震作用标准值计算公式。 为对应于j振型i质点水平地震作用标准值计算公式。 式中： 质点的水平地震作用标准值； 式中： Fji—j 振型i质点的水平地震作用标准值； rj—j 振型的振型参与系数；Xji—j 振型i质点的振型位移 振型的振型参与系数； 幅值； 集中于i质点的重力荷载代表值 幅值；Gi—集中于 质点的重力荷载代表值； 集中于 质点的重力荷载代表值； αj—相应于j 振型自振周期Tj 的地震影响系数。 的地震影响系数。 相应于 振型对应的振子(单质点体系 单质点体系)的最 是第 j 振型对应的振子 单质点体系 的最 大绝对加速度与重力加速度之比， 大绝对加速度与重力加速度之比，故αj是相应第j 振型的 地震影响系数， 地震影响系数 ， 而这时的自振周期为与第 j 振型相对应 振型的自振周期。 的振子的周期Tj，即为第j 振型的自振周期。
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• 系统在主振动中：1.各质点同时达到平衡位 置或者最大位移
• 2.整个振动过程中，各质点位移比值将始终 保持不变，即系统的振动形式保持不变， 这就是振型的物理意义。
• 每一个主振动称为一个模态 • i 和 对应的 ri 组成第 i阶模态的参数。
x1
x2
F1(t)
F2(t)
质量m1、m2的静平衡位置 为广义坐标x1、x2的原点
运动微分方程为
k1x1
F1(t)
k2(x1-x2) F1(t)
m1x1
m1x1 k1x1 k2 (x1 x2 ) F1(t)
k3x2 m2x2 k2 (x2 x1) k3x2 F2 (t)
m2 x2
m1x1 (k1 k2 )x1 k2x2 F1(t)
m2x2 k2x1 (k2 k3)x2 F2 (t)
m1
0
x1
k1
k2
k2
x1
F1
(t
)
0 m 2 x2 k 2 k 2 k3x2 F2(t)
1.静力耦合 2.动力耦合
举例
仰俯
摇摆
上下
FD MD
xC θC
xD-a1θ D
xD θ D
xD+a2θ D
• 坐标是否耦合取决于坐标的选取
• 因此只要选择合适的坐标形式，就可以得 到没有坐标耦合的运动微分方程，这时的 广义坐标称为主坐标
• 主坐标下的质量矩阵和刚度矩阵除主对角 线外，其余元素都为0，各个运动之间不存 在耦合。
• 自由振动方程的解耦
• 固有频率和振幅只取决于系统本身的物理 特性而与外部的初始条件无关，这表明他 们都是系统的固有属性。
坐标耦合
自由振动微分方程的一般形式如下：
[M]{&x&}+[K]{x} ={0}
以两自由度为例，如果质量矩阵[M]和刚度矩 阵[K]的各个元素都不为零，则在两个方程
里同时包含 x1 和 x2 和他们的导数项，这种
情形称为坐标耦合
振动微分方程的建立
Newton定律（d’Alembert原理）建立运动微分方程
• 2.整个振动过程中，各质点位移比值将始终 保持不变，即系统的振动形式保持不变， 这就是振型的物理意义。
• 每一个主振动称为一个模态 • i 和 对应的 ri 组成第 i阶模态的参数。
x1
x2
F1(t)
F2(t)
质量m1、m2的静平衡位置 为广义坐标x1、x2的原点
运动微分方程为
k1x1
F1(t)
k2(x1-x2) F1(t)
m1x1
m1x1 k1x1 k2 (x1 x2 ) F1(t)
k3x2 m2x2 k2 (x2 x1) k3x2 F2 (t)
m2 x2
m1x1 (k1 k2 )x1 k2x2 F1(t)
m2x2 k2x1 (k2 k3)x2 F2 (t)
m1
0
x1
k1
k2
k2
x1
F1
(t
)
0 m 2 x2 k 2 k 2 k3x2 F2(t)
1.静力耦合 2.动力耦合
举例
仰俯
摇摆
上下
FD MD
xC θC
xD-a1θ D
xD θ D
xD+a2θ D
• 坐标是否耦合取决于坐标的选取
• 因此只要选择合适的坐标形式，就可以得 到没有坐标耦合的运动微分方程，这时的 广义坐标称为主坐标
• 主坐标下的质量矩阵和刚度矩阵除主对角 线外，其余元素都为0，各个运动之间不存 在耦合。
• 自由振动方程的解耦
• 固有频率和振幅只取决于系统本身的物理 特性而与外部的初始条件无关，这表明他 们都是系统的固有属性。
坐标耦合
自由振动微分方程的一般形式如下：
[M]{&x&}+[K]{x} ={0}
以两自由度为例，如果质量矩阵[M]和刚度矩 阵[K]的各个元素都不为零，则在两个方程
里同时包含 x1 和 x2 和他们的导数项，这种
情形称为坐标耦合
振动微分方程的建立
Newton定律（d’Alembert原理）建立运动微分方程