考试练习题常用概率分布教学提纲

人教版高中数学各单元概率点汇总教学提
纲
一、概率的基本概念和性质
- 概率的定义及其数值特征
- 必然事件、不可能事件和等可能事件
- 概率的加法定理和乘法定理
- 条件概率和独立事件的概率计算
二、排列与组合的概率应用
- 排列和组合的基本概念及计算方法
- 含有重复元素的排列和组合
- 排列与组合与概率的关系
三、随机事件与概率模型
- 随机事件的概念及其性质
- 样本空间、随机事件和事件间的关系
- 随机事件的运算及其性质
- 事件的对立事件和余事件
- 概率模型的建立及应用
四、离散型随机变量的概率分布律
- 随机变量的概念及分类
- 离散型随机变量及其概率分布律的计算
- 期望、方差和标准差的概念和计算
- 大数定律和中心极限定理简介
五、连续型随机变量的概率密度函数
- 连续型随机变量及其概率密度函数的性质和计算方法
- 连续型随机变量的分布函数、期望和方差计算
- 均匀分布、指数分布和正态分布的应用
六、二维随机变量及其分布律
- 二维随机变量的概念及其分布律的计算
- 边缘分布和条件分布
- 二维随机变量的独立性判定和相关性分析
- 二维离散型和连续型随机变量的期望和方差计算
以上为《人教版高中数学各单元概率点汇总教学提纲》的概要，包括了概率的基本概念和性质、排列与组合的概率应用、随机事件
与概率模型、离散型和连续型随机变量的概率分布律以及二维随机变量与分布律等内容。

这份提纲将帮助学生系统地学习和掌握数学中概率的相关知识，为高中数学教学提供一个清晰的框架和指导。

概率、随机变量及其分布列1．概率（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。

（2）了解两个互斥事件的概率加法公式。

（3）理解古典概型及其概率计算公式。

（4）了解条件概率。

2．两个事件相互独立，n次独立重复试验（1）了解两个事件相互独立的概念；（2）理解n次独立重复试验的模型并能解决一些实际问题；3．离散型随机变量及其分布列（1）理解取有限个值的离散随机变量及其分布列的概念。

（2）理解二项分布，并解决一些简单问题。

4．离散型随机变量的均值、方差（1）理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；（2）能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。

要点考向1：古典概型考情聚焦：1．古典概型是高考重点考查的概率模型，常与计数原理、排列组合结合起来考查。

2．多以选择题、填空题的形式考查，属容易题。

考向链接：1．有关古典模型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到计数原理与排列、组合的相关知识。

2．在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性。

3．对于较复杂的题目，要注意正确分类，分类时应不重不漏。

基本知识点：事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率mn总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作()P A．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1 n7．等可能性事件的概率公式及一般求解方法：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n=8.事件的和的意义:对于事件A 和事件B 是可以进行加法运算的 9 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．()()()P A B P A P B +=+一般地：如果事件12,,,n A A A L 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A L 彼此互斥10．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．()1()1()P A A P A P A +=⇒=-11．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A L 彼此互斥，那么12()n P A A A +++L ＝12()()()n P A P A P A +++L例题讲解1、从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a 的概率是（ ）【方法技巧】列古典概型的基本事件空间常用的方法有：（1）列举法；（2）坐标网格法；（3）树图等。

高考数学概率题目大纲解析详解高考数学中的概率问题一直是许多考生感到棘手的部分。

概率作为数学的一个重要分支，不仅在高考中占据一定的分值，更是对学生逻辑思维和数学应用能力的重要考察。

接下来，让我们深入解析高考数学概率题目大纲，帮助同学们更好地掌握这一板块的知识。

一、概率的基本概念在高考概率题目中，首先需要考生清晰理解概率的基本概念。

概率是用来衡量某个事件发生可能性大小的数值，其取值范围在 0 到 1 之间。

其中，0 表示事件不可能发生，1 表示事件必然发生。

例如，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率为 05。

理解这一基本概念是解决后续复杂问题的基础。

二、古典概型古典概型是高考概率题目中的常见类型。

它具有两个特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。

在解决古典概型问题时，我们通常先确定总的基本事件个数，再确定所求事件包含的基本事件个数，最后通过两者的比值计算出概率。

比如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率。

总的基本事件个数为 8（5 个红球和 3 个白球），取出红球的基本事件个数为 5，所以取出红球的概率为 5/8。

三、几何概型与古典概型不同，几何概型中的基本事件个数是无限的。

其概率的计算通常与长度、面积或体积等几何度量有关。

例如，在一个时间段内等待公交车，已知公交车在该时间段内随机到达，求等待时间不超过 10 分钟的概率。

此时，我们需要根据时间段的长度来计算概率。

四、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

例如，已知事件 A 发生的概率为 P(A)，事件 B 在事件 A 发生的条件下发生的概率为 P(B|A)，则条件概率的计算公式为 P(B|A) ＝ P(AB)／ P(A)。

五、独立事件与互斥事件独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响。

而互斥事件则是指两个事件不能同时发生。

比如，同时抛两枚硬币，第一枚硬币正面朝上和第二枚硬币正面朝上是两个独立事件；从袋子中取球，取出红球和取出白球是互斥事件。

概 率 一．等可能性事件的概率：)()()(I Card A Card A P ；几何概型。

1．某人将一枚硬币连掷了10次，正面朝上 的出现了6次，若用A 表示正面朝上这一事件，则A 的（ ） A ：概率为53； B ：频率为53；C ：频率为6； D ：概率接近0.6.2．将骰子先后抛掷2次，则（1）向上的数字之和是5的概率是 ；（2）向上的数字之积为偶数的概率是 ；（3）向上的数之和为偶数的概率 ；（4）向上数字之和大于5的概率 .3．从标有1、2、3、…、9的9张卡片中任取2张，求：（1） 这2张卡片数字之积为偶数的概率是多少？（2） 这2张卡片数字之和为偶数的概率是多少？4．醉汉回家，10把钥匙，只有一把能把门打开，任抽1把，若不能打开则再抽1把（用后不放回），则醉汉（1）第一次打开门的概率为 ；（2）第5次打开门的概率为 ；3次以内能打开的概率为 .5．在一次口试中，要从10道题中随机抽出3道进行回答，答对了其中2道题就获及格，若考生会回答10道题中的6道，那么这位考生获得及格的概率是多少？6．把12个人平均分成两组，再从每组中任意指定正副组长各1名，其中甲被指定为正组长的概率为（ ） A 121B 61C 41D 31 7．8个篮球队中有两个强队，先任意将这8个队分成两个组（每组4个队）进行比赛，这两个强队被分在一组内的概率是多少？8．某大学招收15名新生中有3名优秀生，随机将15名新生平均分配到3个班中去（1）每班各分配到1名优秀生的概率（2）3名优秀生分配到同一班的概率9．9个国家足球队中有中、日、韩3个亚洲球队，抽签分成甲、乙、丙3个小组（每组3个队）求（1） 三个组各有一只亚洲球队的概率？（2）至少有两个亚洲球队在同一组的概率？（3）3个亚洲球队在同一组的概率？（4）韩国、日本在一组，中国在另一组的概率？（5）有两个亚洲球队在一组，另一支亚洲球队在另一组的概率？10.取一根长为3m的绳子，拉直后从任一位置剪短，那么剪得两段长都不少于1的概率.11.某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台报时，则他等待不超过10分钟的概率.12.设有一个等边三角形网格，其中各个最小等边三角形的边长都是，现用直径等于2cm的硬币投掷到此网格上，求硬币落下后与格线没有公共点的概率.13.甲、乙二人约定在下午4：00~5：00之间会面，并约定先到的一人要等另一个人15分钟，若还不到，即可离去，试问甲、乙二人会面成功的概率.14.两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达，设两船停靠泊位分别为1小时和2小时，求有一船停靠泊位时必须等待一段时间的概率.二．互斥时事件有一个发生的概率1． 叫做互斥事件；若A 、B 互斥，则P （A+B ）=P(A)+P(B);叫彼此互斥.2. 叫对立事件； P(A)+P(A )=1运用与练习：1．已知：A 、B 是互斥事件，则（ ）A A+B 是必然事件 B A +B 是必然事件C A 与B 一定互斥D A 与B 一定不互斥2．某单位有36人，血型分别是A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人；试求任取2人（1）两人同为A 型的概率 ；（2）两人具有不同血型的概率 .3．某家庭电话，打进的电话响第一声被接的概率为101，响第二声被接的概率为103，响第三声被接的概率为52，响第四声被接的概率为101，则电话在响前四声内被接的概率是多少？三． 条件概率()(|)()P AB P B A P A = 1.掷两枚骰子，问（1）至少有一棵的点数是6的概率是多少？（2）在已知它们点数不同的情况下，至少有一棵是6点的概率是多少？2.对于任何一个事件A ，(|)P A Ω等于（ ） A 1 B 0 C 0.5 D 23.一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，第一次取后不放回.求若已知第一只是好的，第二只也是好的概率.4.一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，求至少有一个男孩的概率（假定一个小孩是男还是女是等可能的）.5.在某次考试中，要从20道题中随机抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中的5道题就获得优秀，已知某考生能答对其中的10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率.6.有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个.其中，第一个盒子中7个球标有字母A，3个球标有字母B；第二个盒子中有红球和白球各5个；第三个盒子中则有红球8个，白球2个.试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一球，若取得标有字母A的球，则在第二号盒子中任取一球；若第一次取得的球标有字母B，则在第三个盒子中任取一球.如果第二次取得的球是红球，则实验成功.求试验成功的概率.7.设M件产品中有m件是不合格品，从中任取两件，（1）在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率；（2）在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件是不合格品的概率.8.某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意出取2件产品进行检验.设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品.（I）求取6件产品中有1件产品是二等品的概率.（II）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝的概率.四．相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验1． 这样的两个事件叫做相互独立事件.若A 、B 相互独立，则P （AB ）=P(A) P(B);2．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复实验中这个事件恰好发生k 次的概率：k n k k n n P P C k P --=)1()(运用与练习：1．已知：A 、B 是相互独立事件，则下列各对事件不是相互独立事件的是（ ）A A 与B B A 与BC A 与AD A 与B2．A 、B 、C 是随机事件，请表示以下事件①A 、B 、C 中恰有一个发生 ；②A 、B 、C 三个事件同时发生 ；③A 、B 、C 三个事件都不发生 ；④A 、B 、C 三个事件至少有一个发生 .3．甲、乙2人独立破译一个密码的概率分别为41,31，求①2人都译出的概率 ；②2人都译不出的概率为 ；③至多1人译出的概率为 ；④密码被译出的概率为 .4．甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲解对的概率是21，甲、乙、丙同时解对的概率为241，全错的概率为41，求（1）乙、丙两人各自解对这到题的概率分别是多少？（2）甲、乙、丙恰有1人解对这道题的概率是多少？5．已知某射手的射击水平为：击中10环的概率为21，击中9环的概率为31，击中8环的概率为61，该射手共射3枪.（1） 求第一枪击中10环，第二枪中9环，第三枪中8环的概率；（2） 求一枪中10环，一枪中9环，一枪中8环的概率；（3） 求三枪总环数为27环的概率.6. 如图：用A 、B 、C 三类不同的元件连接成两个系统N 1、N 2 ,当元件A 、B 、C 都正常工作时，系统N 1正常工作，当元件A 正常工作，元件B 、C 至少有一个正常工作时，系统N 2正常工作.已知元件A 、B 、C 正常工作的概率分别为0.80 、 0.90 、 0.90，分别求系统N 1、N 2正常工作的概率.7．甲、乙二人进行乒乓求比赛，一场比赛中甲获胜的概率为0.6，求在7局4胜制的比赛中，（1）甲以4：1获胜的概率？（2）甲以4：0获胜的概率；（3）甲以4：2获胜的概率.8．某种大炮击中目标的概率是0.6,要使目标被击中的概率超过99%,则至少需要多少门这样的大炮(lg2=0.3010 )9．某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂，质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该产品不合格.已知某盒产品中有2件次品.（1）求该盒产品被检验合格的概率；（2）若对该盒产品分别进行两次检验，求两次检验得出的结果（合格与否）不一致的概率.10．小峰买了一张票到游乐场射击，按规定一张票可射击5次，若在5次中至少射中3次（包括3次），游乐场将再赠2次（即允许再射击2次），若小峰一次射击命中的概率为21，且各次射击相互独立.(Ⅰ)求小峰恰好射中2次的概率；(Ⅱ)求小峰恰好射中4次的概率.11.（2005江苏卷第20题）甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43.假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响.(Ⅰ)求甲射击4次,至少1次未击中目标的概率;(Ⅱ)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率;(Ⅲ)假设某人连续2次未击中．．．目标,则停止射击.问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?五、离散型随机变量的分布列及其数字特征（学习提纲）（一）离散型随机变量的分布列：1.什么叫随机变量？什么叫离散型随机变量？（参见课本第40页）：2.什么是离散型随机变量的分布列？（第41页）3.离散型随机变量的分布列有何性质：（第42页）①;,,3,,2,1,0n i p i =≥ ②121=+++n p p p4.如何求离散型随机变量的分布列?参考42页例2，做44页练习A 的2-4，练习B 的1-2.（二）常用的特殊分布列： 1.两点分布：什么是两点分布：两点分布也角0-1分布：分布列为： 其中q=1-p2.超几何分布：第45页一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件（n ≤N ）,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 的概率为l l m C C C m X P nNmn MN m M ,0()(≤≤⋅==--为n 和M 中较小的一个。

概率论与数理统计复习提纲第一章 概率论的基本概念一、事件间的关系及运算二、古典概型中概率的计算三、概率的公理化定义及性质－重点四、条件概率、乘法定理、全概率公式及贝叶斯公式－重点五、事件相互独立的定义及判断第二章 随机变量及其分布一、离散型随机变量及其分布律1. 分布律的定义2. 三种重要的离散型分布－重点：（0－1）分布，二项分布),(p n b ，泊松分布)(λπ.二、分布函数的定义及求解－重点：会求离散型或连续型随机变量的分布函数)(x F .三、连续型随机变量及其概率密度1. 概率密度的定义及性质－重点2. 三种重要的连续型分布－重点：均匀分布),(b a U ，指数分布，正态分布),(2σμN .注意：正态分布),(2σμN 与标准正态分布)1,0(N 的关系－引理；标准正态分布)1,0(N 的上α分位点αz 的定义。

第三章 多维随机变量及其分布一、二维随机变量的分布函数的定义及性质二、二维离散型随机变量的联合分布律及二维连续型随机变量的联合概率密度及性质－重点三、会求条件概率密度)/(/x y f X Y 和)/(/y x f Y X ；四、二维离散型随机变量的边缘分布律及二维连续型随机变量的边缘概率密度－重点五、相互独立的随机变量的判断方法－重点六、随机变量函数的分布1. 一维随机变量函数的分布－重点2. 二维随机变量函数的分布：Y X Z +=，{}Y X Z ,m ax =，{}Y X Z ,min =第四章 随机变量的数字特征一、会求随机变量及其函数的数学期望及方差、掌握期望和方差的性质－重点二、记住常见分布的数学期望及方差－重点三、协方差、相关系数、矩的概念及计算、不相关的定义第五章 大数定律及中心极限定理一、契比雪夫不等式及其等价形式二、中心极限定理：定理4、定理5、定理6第六章 样本及抽样分布一、统计量的定义及常用的统计量－重点二、)(2n χ分布、)(n t 分布、),(21n n F 分布的定义、构造及上α分位点的定义－重点三、来自正态总体的抽样分布（P158-P160）：定理1、定理2、定理3为重点，了解定理4。

互斥对立概率复习提纲（必修3/2-1）一、高考要求1、了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。

2、了解等可能事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。

3、了解互斥事件的相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。

4、会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率。

5、了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列。

6、了解离散型随机变量的期望、方差的意义，会求离散型随机变量的期望与方差。

二、知识结构三、知识点拨 （一）概率基本概念及公式1. 概率与频率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.2. 等可能事件的概率(古典概型)：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，且所有结果出现的可能性都相等，那么，每一个基本事件的概率都是n 1，如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率nm P(A)=. 3.几何概型：把事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，如果A 的概率只与子区域的几何度量（长度，面积，体积）成正比，而与位置形状无关，则称这样的概率模型为几何模型。

P(A)=ΩμμA4. ①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件. P(A ∪B)=P(A)+P(B)，推广：12n 12n P(A A A )P(A )P(A )P(A )⋃⋃⋃=+++ . ②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件．．．．．．．．．．．．．．．叫对立事件. 注意：i.对立事件的概率和等于1：1)A P(A )A P(P(A)=+=+. （间接法）ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事件. P(A ∩B)=P(A)·P(B). 注意：i. 一般地，如果事件A 与B 相互独立，那么A 与A B ,与B ，A 与B 也都相互独立.ii. 必然事件与任何事件都是相互独立的.④独立重复试验：若n 次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n 次试验是独立的. 如果在一次试验中某事件发生的概率为P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率：kn kkn n P)(1P C (k)P --=.5. 条件概率：已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫条件概率。

概率论复习提纲范文概率论是一门研究随机事件发生的可能性的数学分析方法。

它在各个领域中都有广泛的应用，包括统计学、经济学、物理学等。

本文将为您提供概率论的复习提纲，包括概率基本原理、随机变量与概率分布、大数定律与中心极限定理等重要内容。

一、概率基本原理1.随机试验和样本空间a.随机试验的定义和特点b.样本空间的概念和表示方法2.概率的定义和性质a.概率的基本定义和公理b.集合的概率运算法则c.条件概率和乘法公式d.全概率公式和贝叶斯公式二、随机变量与概率分布1.随机变量的定义和分类a.随机变量的基本定义b.随机变量的分类：离散和连续随机变量2.离散随机变量a.概率质量函数的定义和性质b.分布函数的定义和性质c.数学期望和方差的计算3.连续随机变量a.概率密度函数的定义和性质b.分布函数的定义和性质c.数学期望和方差的计算4.常见概率分布a.伯努利分布和二项分布b.泊松分布和指数分布c.正态分布和标准正态分布三、大数定律与中心极限定理1.大数定律a.辛钦大数定律的概念和证明b.切比雪夫大数定律的概念和证明2.中心极限定理a.中心极限定理的基本概念和特点b.林德贝格-莱维中心极限定理的概念和证明c.中心极限定理的应用四、统计推断与参数估计1.统计推断的基本概念a.参数估计和假设检验b.置信区间和假设检验法则2.参数估计a.点估计的基本概念和性质b.最大似然估计和矩估计3.假设检验a.原假设和备择假设的概念b.显著性水平和拒绝域的确定c.正态总体均值的参数检验五、贝叶斯统计与贝叶斯估计1.贝叶斯统计的基本概念a.条件概率和贝叶斯定理b.先验概率和后验概率2.贝叶斯估计a.贝叶斯估计的基本原理和方法b.贝叶斯估计的优点和应用六、随机过程与马尔可夫链1.随机过程的定义和特点a.随机过程的基本定义b.随机过程的分类和性质2.马尔可夫链a.马尔可夫链的基本定义和性质b.平稳分布和转移概率矩阵的计算c.马尔可夫链的应用以上是概率论的复习提纲，主要包括概率基本原理、随机变量与概率分布、大数定律与中心极限定理、统计推断与参数估计、贝叶斯统计与贝叶斯估计、随机过程与马尔可夫链等重要内容。

高中数学概率题目大纲2024年版一、随机事件与概率1、随机事件的概念理解随机事件、必然事件和不可能事件的定义，能够准确判断给定事件的类型。

例 1：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上是（）A 必然事件B 随机事件C 不可能事件D 以上都不对2、频率与概率通过大量重复试验，理解频率的稳定性，以及频率与概率的关系。

例 2：在相同条件下，对某型号汽车进行刹车测试，多次测试后发现刹车距离的平均值为 40 米，那么该型号汽车刹车距离小于 40 米的概率（）A 等于 05B 大于 05C 小于 05D 无法确定3、古典概型掌握古典概型的特征，能运用古典概型的概率公式计算简单的概率问题。

例 3：从 1，2，3，4，5 这 5 个数字中任意取出两个数字，求取出的两个数字都是奇数的概率。

4、几何概型理解几何概型的概念，能运用几何概型的概率公式解决相关问题。

例 4：在区间0，10内任取一个数，求这个数大于 5 的概率。

二、随机变量及其分布1、离散型随机变量理解离散型随机变量的定义，能够列出离散型随机变量的取值。

例 5：同时抛掷两枚质地均匀的骰子，设 X 表示两枚骰子点数之和，写出 X 的可能取值。

2、离散型随机变量的分布列掌握离散型随机变量分布列的性质，会求离散型随机变量的分布列。

例 6：某射手射击一次命中的环数为 X，已知 X 的分布列为：｜ X ｜ 6 ｜ 7 ｜ 8 ｜ 9 ｜ 10 ｜｜｜｜｜｜｜｜｜ P ｜ 01 ｜ 02 ｜ 03 ｜ 02 ｜ 02 ｜求此射手射击一次命中环数不小于 8 的概率。

3、两点分布与二项分布理解两点分布和二项分布的概念，会用相关公式进行计算。

例 7：一批产品的次品率为 005，从中任意抽取 10 件，求恰好有 2 件次品的概率。

（用二项分布计算）4、超几何分布了解超几何分布的概念，能运用超几何分布公式解决实际问题。

例 8：一批产品共有 100 件，其中有 10 件次品，从这批产品中任取5 件，求其中次品数 X 的分布列。

概率论复习课提纲一、古典概率用古典概型求概率的题在练习册中较多，初步统计有：习题一中的2、3、4、9、13；习题二中的1、2、4；习题四中的1；检测题1-二、三等。

一）、计数原理1、加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

2、乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。

二）、排列组合1、无重复的排列与组合 1）、无重复的排列 Ⅰ、基础知识从n 个不同元素中，任取m(≤n)个不同元素，按照一定顺序排成一列（或从n 个不同元素中，有序地任取m 个不同元素），叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的一个排列。

从n 个不同元素中，任取m(≤n)个不同元素的排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的排列数，用符号m n P 或mn A 表示。

由乘法原理得：)!(!1m -n )2()1(n n m n n n P mn -=+-⋅-⋅=）（ （约定0！=1）（取第一个元素放在第一个位置有n 种方法；取定第一位后，由于元素不允许重复，选择第二位时则只有n-1种方法，…，选择第m 位则只有n-(m-1)=n-m+1种方法）。

特别地，当m=n 时，就得到n 个不同元素的全排列数公式 !123)2()1(n n n n P n n =⋅⋅-⋅-⋅=2）、无重复的组合从n 个不同元素中，任取m(≤n)个不同元素并成一组（或从n 个不同元素中，无序地任取m 个不同元素），叫做从n 个不同元素中任出m 个不同元素的组合。

从n 个不同元素中，任取m(≤n)个不同元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个不同元素组合数，用符号mn C 表示，其计算公式为：)!(!!m!1m -n )2()1(n !n m m n n n m P C m n mn-=+-⋅-⋅==）（ （约定0！=1） （事实上，对每一个从n 个不同元素m 个不同元素的组合，将其元素进行全排列可产生m!个不同的排列。

教学过程(4)性质①E(aξ＋b)＝aE(ξ), V(aξ＋b)＝a2V(ξ)；②X～B(n, p), 则E(X)＝np, V(X)＝np(1－p)；③X～两点分布, 则E(X)＝p, V(X)＝p(1－p).考点一古典概型与几何概型例1已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}, 分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b, 求函数y＝f(x)在区间[1, ＋∞)上是增函数的概率；(2)设点(a, b)是区域内的随机点, 求函数y＝f(x)在区间[1, ＋∞)上是增函数的概率．(1)解答有关古典概型的概率问题, 关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数, 这常用到计数原理与排列、组合的相关知识.(2)在求基本事件的个数时, 要准确理解基本事件的构成, 这样教学效果分析教学过程(3)当构成试验的结果的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时, 应考虑使用几何概型求解.(1)(2013·江苏)现有某类病毒记作XmYn, 其中正整数m, n(m≤7, n≤9)可以任意选取, 则m, n都取到奇数的概率为________.(2)(2013·四川)节日前夕, 小李在家门前的树上挂了两串彩灯, 这两串彩灯的第一次闪亮相互独立, 且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮, 那么这两串彩灯同时通电后, 它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是________．考点二相互独立事件和独立重复试验例2 甲、乙、丙三个同学一起参加某高校组织的自主招生考试, 考试分笔试和面试两部分, 笔试和面试均合格者将成为该高校的预录取生(可在高考中加分录取), 两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三个同学的平时成绩分析, 甲、乙、丙三个同学能通过笔试的概率分别是0.6.0.5.0.4, 能通过面试的概率分别是0.6.0.6.0.75.(1)求甲、乙、丙三个同学中恰有一人通过笔试的概率；(2)求经过两次考试后, 至少有一人被该高校预录取的概率.教学效果分析概率模型的应用, 需熟练掌握以下常考的五种模型: (1)基本事件的发生具有等可能性, 一般可以抽象转化为古典概型问题, 解决古典概型问题的关键是分清基本事件个数n与事件A中包含的基本事件个数m；(2)与图形的长度、面积或体积有关的概率应用问题, 一般可以应用几何概型求解, 即随机事件A的概率可用“事件A包含的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”与“试验的基本事件所占图形的度量(长度、面积或体积)”之比表示；(3)两个事件或几个事件不能同时发生的应用问题, 可转化为互斥事件来解决, 解决这类问题的关键是分清事件是否互斥；(4)事件是否发生相互不影响的实际应用问题, 可转化为独立事件的概率问题, 其中在相同条件下独立重复多次的可转化为二项分布问题, 应用独立事件同时发生的概率和二项分布公式求解；(5)有关平均值和稳定性的实际应用问题, 一般可抽象为随机变量的期望与方差问题, 先求出事件在各种情况下发生的概率, 再应用公式求随机变量的期望和方差.课堂练习1. 如图, 用K、A1.A2三类不同的元件连结成一个系统. 当K正常工作且A1.A2至少有一个正常工作时, 系统正常工作. 已知K、A1.A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8, 则系统正常工作的概率为________.2. 某保险公司新开设了一项保险业务, 若在一年内事件E发生, 该公司要赔偿a元. 设在一年内E发生的概率为p, 为使公司收益的期望值等于a的百分之十, 公司应要求顾客交保险金为________元.3．甲乙两支球队进行总决赛, 比赛采用七场四胜制, 即若有。

概率统计考试提纲一、选择、填空题（每小题3分，共30分）二、解答题（七个小题，共70分）概率统计复习提纲一、利用事件之间的关系及其运算规律求概率；二、古典概率或几何概率（大题）；三、条件概率，全概率公式，贝叶斯公式（大题）；四、事件的独立性，多个相容事件的并事件的概率；五、一维离散型随机变量的分布律，分布函数及其概率，数学期望，方差（大题）；六、一维连续型随机变量的密度函数，分布函数及其概率，数学期望，方差（大题）；七、一维随机变量的函数的概率分布（大题，考连续型随机变量函数为主）；八、二维离散型随机变量的联合分布律，边缘分布律，条件分布律及其概率（大题）；九、二维连续型随机变量的联合密度函数，边缘密度函数，条件密度函数，独立性及其概率（大题）；十、二维离散型随机变量的函数的概率分布（大题）；十一、抽样分布；十二、点估计或区间估计（大题，考点估计为主）；十三、估计量的评价标准；十四、正态分布；十五、常见分布的随机变量的数学期望和方差；十六、切比雪夫不等式，大数定律，中心极限定理；十七、假设检验的基本思想。

补充说明：期末考试试题以教学大纲和考试大纲为指南，紧扣教材，注重基础知识的掌握，检验同学们实际运用所学知识的能力。

1、一袋内放有两个伍元的，三个贰元的和五个壹元的钱币，任取其 中五个，求钱额总数超过拾元的概率。

2、从（0，1）中随机地取两个数，求事件“两个数之积小于14”的 概率。

3、发射台以2:1的比例发射两信息“0”和“1”，接收站收到时，“0”被误收作“1”的概率为0.02，而“1”被误收作“0”的概 率为0.01．【结果用分数表示】求：（1）收到信息“0”的概率；（2）收到信息“0”时发射台确实是发射信息“0”的概率 。

4、见教材第31页第25题。

5、设连续性随机变量X的密度函数1()01x f x x <=≥⎩， 求：（1） 常数A ； （2）1()2P X <； （3）分布函数()F x 。

概率论复习大纲第一章1.1，1.2为基础理论，考得不多。

A，B独立：P（AB）= P（A）P（B）A，B对立：P（AB）= 0，P（A+B）= 1A，B不相容，P（AB）= 0，P（A+B）<= 1熟记公式，如对偶率等。

P（A-B）=P（A）- P（AB）= P（A B）1.3 几何概型不考，古典概型考小题1.4 条件概率的4个公式。

A，B独立时，P（B|A）=P（B）1.5 伯努利概型，伯努利定理，首次发生定理，次品问题第二章2.1-2.5都是重点2.1离散型：求分布律的黄金法则：先找可能取值，再算对应概率例题：设一汽车在开往目的地的道路上需经过四个信号灯，每个信号灯禁止汽车通过的概率为p，以X表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯个数．（设各组信号灯的工作是相互独立的），求X的分布律要会根据概率函数求分布函数，注意范围是a<=x<b，前面是小于等于，后面是小于。

连续型：用密度函数的规范性（定积分等于1）求参数分布函数：F（+∞）=1，F（-∞）=0分布函数有右连续性，可以用来去参数，密度函数没有连续性！2.2要会计算离散型和连续型的期望和方差。

方差公式DX=EX2-(EX)2期望和方差的性质：E（aX+b）=aEX+bD（aX+b）=a2DX会求Y=g(x)的期望和方差（连续型，离散型）2.3 离散型退化分布不考两点分布，EX，DX。

特殊的0-1分布。

n个点上的均匀分布不考。

二项分布是重点，记住k从0开始取。

当n趋近无穷大，p很小的时候，用泊松分布算。

例题：设随机变量x服从参数为的泊松分布，且P ( x = 1) = P ( x=2 ) 则E (x) = 2,D (x) = 2.若例题改为P ( x <= 1)，则= P ( x = 1)+ P ( x = 0)，因为k从0开始取。

2.4 连续型均匀分布非常重要。

掌握密度函数，分布函数。

注意x的定义域。

定义域外概率都为0。

《概率分布》专项练习班级座号姓名1.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。

（Ⅰ）求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅱ）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；（Ⅲ）记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望。

2．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；（Ⅱ）记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A，求事件A的概率.3．已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．4．一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球。

已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是52；从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是97。

（Ⅰ）若袋中共有10个球，（i ）求白球的个数；（ii ）从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为ξ,求随机变量ξ的数学期望ξE 。

（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于107。

并指出袋中哪种颜色的球个数最少。

5．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a 元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互独立．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为41010.999-．（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p ；（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．6．A、B两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数.（1）求ξ的取值范围；（2）求ξ的数学期望Eξ.7．某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3；一旦发生，将造成400万元的损失。