常用概率分布可靠性
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概率分布的种类与性质
概率分布的种类与性质概率分布是概率论中的重要概念，用于描述随机变量的取值与其对应的概率。
不同的随机变量具有不同的概率分布，而概率分布又可以分为多种种类。
本文将介绍常见的概率分布种类及其性质。
一、离散型概率分布离散型概率分布是指随机变量取有限个或可数个值的概率分布。
常见的离散型概率分布有以下几种：1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）伯努利分布是最简单的离散型概率分布，它描述了只有两个可能结果的随机试验，如抛硬币的结果（正面或反面）。
伯努利分布的概率质量函数为：P(X=k) = p^k * (1-p)^(1-k)，其中k=0或1，p为成功的概率。
2. 二项分布（Binomial Distribution）二项分布是一种重要的离散型概率分布，它描述了n次独立重复的伯努利试验中成功次数的概率分布。
二项分布的概率质量函数为： P(X=k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中k=0,1,...,n，C(n,k)为组合数，p为成功的概率。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）泊松分布是一种用于描述单位时间或单位空间内随机事件发生次数的离散型概率分布。
泊松分布的概率质量函数为：P(X=k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!，其中k=0,1,2,...，λ为平均发生率。
二、连续型概率分布连续型概率分布是指随机变量取值为连续区间内的概率分布。
常见的连续型概率分布有以下几种：1. 均匀分布（Uniform Distribution）均匀分布是一种简单的连续型概率分布，它在给定区间内的取值概率相等。
均匀分布的概率密度函数为：f(x) = 1 / (b-a)，其中a为区间下界，b为区间上界。
2. 正态分布（Normal Distribution）正态分布是一种重要的连续型概率分布，也被称为高斯分布。
正态分布具有钟形曲线，对称分布于均值周围。
可靠性中常用的概率分布
(x 0)
(3-4)
指数分布的累积分布函数
F(x)=1-e-x
(3-5)
——若产品在一定时间区间内的失效数服从泊松分布，则该产品的 寿命服从指数分布。
3.5 正态分布
正态分布密度函数定义为：
f (x)
1
2
exp
1 2
x
2, x来自其中： －均值， －标准差。
(3-6)
标准正态分布
例如，对于图(下左)中所示的两种分布形式（一种为 Weibull分布，另一种为正态分布），虽然它们的概率密度 函数曲线差别很小，但其累积分布函数（反映可靠性特征） 在小概率区域的差别却十分显著，如图(下右)所示。
Probability density function
Probability
0.35
当 (t) 为常数时，满足上述条件的计数过程 {N (t),t 0} 为
时齐泊松随机过程。
泊松随机过程的概率密度分布
(t) 0.5 h 1
P(m, t )
n
t/h
3.4 指数分布
指数分布的定义
指数分布的密度函数为
e x
f (x) 0
式中为常数，是指数分布的失效率。
(x 0; 0)
(3-3)
P{X k} Cnk pk (1 p)nk
(k 0,1,2,..., n)
泊松过程
泊松随机过程作为一种重要的计数过程， 可以很好地用于描述“顾客流”、“粒子流” 、“信号流”等事件的概率特性。
设 {N(t),t 0} 为一计数过程，且满足以下条件： (1) N(0)=0； (2) {N (t),t 0} 是一个独立增量过程，即任取 0 t1 t2 tm
失效率函数
(3-4)
指数分布的累积分布函数
F(x)=1-e-x
(3-5)
——若产品在一定时间区间内的失效数服从泊松分布，则该产品的 寿命服从指数分布。
3.5 正态分布
正态分布密度函数定义为：
f (x)
1
2
exp
1 2
x
2, x来自其中： －均值， －标准差。
(3-6)
标准正态分布
例如，对于图(下左)中所示的两种分布形式（一种为 Weibull分布，另一种为正态分布），虽然它们的概率密度 函数曲线差别很小，但其累积分布函数（反映可靠性特征） 在小概率区域的差别却十分显著，如图(下右)所示。
Probability density function
Probability
0.35
当 (t) 为常数时，满足上述条件的计数过程 {N (t),t 0} 为
时齐泊松随机过程。
泊松随机过程的概率密度分布
(t) 0.5 h 1
P(m, t )
n
t/h
3.4 指数分布
指数分布的定义
指数分布的密度函数为
e x
f (x) 0
式中为常数，是指数分布的失效率。
(x 0; 0)
(3-3)
P{X k} Cnk pk (1 p)nk
(k 0,1,2,..., n)
泊松过程
泊松随机过程作为一种重要的计数过程， 可以很好地用于描述“顾客流”、“粒子流” 、“信号流”等事件的概率特性。
设 {N(t),t 0} 为一计数过程，且满足以下条件： (1) N(0)=0； (2) {N (t),t 0} 是一个独立增量过程，即任取 0 t1 t2 tm
失效率函数
可靠性中常用的概率分布
名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形二项分布np npq二项分布：当进行一种试验只有两种可能的结果时，叫成败型试验。
在可靠性工程中，二项分布可用来计算部件相同并行工作冗余系统的成功概率，也适用于计算一次使用系统的成功概率。
返回可靠性中常用的概率分布名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形泊松分布P（λ）λλ泊松分布：一个系统，在运行过程中由于负载超出了它所能允许的范围造成失效，在一段运行时间内失效发生的次数X是一随机变量，当这随机变量有如下特点时，X服从泊松分布。
特点1：当时间间隔取得极短时，智能有0个或1个失效发生；特点2：出现一次失效的概率大小与时间间隔大小成正比，而与从哪个时刻开始算起无关；特点3：各段时间出现失效与否，是相互独立的。
例如：飞机被击中的炮弹数，大量螺钉中不合格品出现的次数，数字通讯中传输数字中发生的误码个数等随机变数，就相当近似地服从泊松分布。
名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形超几何分布H(n,M,N)返回可靠性中常用的概率分布名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形指数分布e(λ)指数分布：许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。
有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。
它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。
指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。
可靠性中常用的概率分布名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形威布尔分布(Ⅲ型极值分布)W(k,a,b)威布尔分布：在可靠性工程中被广泛应用，尤其适用于机电类产品的磨损累计失效的分布形式。
由于它可以利用概率纸很容易地推断出它的分布参数，被广泛应用与各种寿命试验的数据处理。
可靠性中常用的概率分布名称记号概率分布及其定义域、参数条件均值E(X)方差D(X)图形正态分布(高斯分布)N(μ,σ)μσ2正态分布：是在机械产品和结构工程中，研究应力分布和强度分布时，最常用的一种分布形式。
第3章 可靠性分布函数
6
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
三、指数分布 e()
指数分布在质量可靠性工程中常用来描述产品在正常 运转期间的寿命。
密度函数 f (t ) e t
不可靠度函数 F(t) 1 et
可靠度函数 R(t) et
失效率函数 (t) f (t) / R(t)
平均寿命 寿命方差
E(T ) 1
14
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例6（教材例3-5）:有100个某种材料的试件进行抗拉强 度试验，现测得试件材料的强度呈正态分布,均值 μ=600MPa ，标准差 σ=50MPa。求：(1)试件强度 =600MPa时的存活率、失效概率和失效试件数；(2)强 度落在(550~450)MPa 区间内的失效概率和失效试件数； (3)失效概率为 0.05时材料的强度值。
2
1）特征：
① 曲线关于x 对称。
x
1
② 在均值x 处有最大值，其值为 2 。
③ 标准差σ越小，曲线 f (x)的峰值越高，因而 X落在μ附近的概率越大。
10
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
2）标准正态分布故障密度函数
0 , 1 的正态分布称为标准正态分布
(x)
1
x2
e2
D(T ) 2 1 2
可靠寿命
11
TR
ln R
特征寿命 T (e1) 1
7
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例3：某仪器的寿命T服从指数分布，其平均无故障连 续工 作时间MTBF为25h，试求其失效率为多少？若 要求 可靠性为90%，问应如何选择连续工作时间？
解：失效率为：
第3章 可靠性分布函数
6
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
三、指数分布 e()
指数分布在质量可靠性工程中常用来描述产品在正常 运转期间的寿命。
密度函数 f (t ) e t
不可靠度函数 F(t) 1 et
可靠度函数 R(t) et
失效率函数 (t) f (t) / R(t)
平均寿命 寿命方差
E(T ) 1
a
(z) 1 (z)
(z) 值可查正态分布表
13
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
例5：已知某轴在精加工后，其直径尺寸呈正态分布， 均值 μ=14.90mm，标准差σ =0.05mm。规定直径尺寸在 (14.90±0.1)mm内时就为合格品，求合格品的概率。
解：先将正态分布标准化
合格品的概率为:
解：(1)
查正态分布表得失效概率 F(Z)=0.5 存活率 R(x=600)=1-F(Z)=0.5 试件失效数 n=100*0.5=50(件)
15
车辆可靠性设计
(2) 失效概率
第三章 可靠性常用分布函数
失效件数 n=100*0.0214≈2(件)
(3) 失效概率F(Z)=0.05，存活率1-F(Z)=0.95
查正态分布表得Z=-1.64，由式
因此材料强度值为518MPa。
16
车辆可靠性设计
2
非标准正态分布
标准正态分布
设z x (标准正态变量)
(z) f (x)
(z) (z)
1
z2
e2
2
( z) 值可查正态分布密度函数数值表
11
车辆可靠性设计
第三章 可靠性常用分布函数
2、正态分布不可靠度函数
可靠性概率分布讲解
关于可靠性分布函数及其工程应用的讨论学号：*********姓名：***目录一、引言 (3)二、分布函数及其应用的讨论 (3)（一）、指数分布 (3)1.定义： (3)2.指数分布的可靠度与不可靠度函数 (4)3.图像分析 (4)4.应用 (5)（二）、正态分布 (6)1.定义： (6)2.正态分布的可靠度与不可靠度函数 (6)3.失效率函数 (6)4.图像分析 (7)5.应用 (8)（三）、对数正态分布 (9)1.定义： (9)2.对数正态分布的可靠度与不可靠度函数 (9)3.对数正态分布失效率 (9)4.图像分析 (9)5应用 (11)（四）、威布尔分布 (12)1.三参数威布尔分布的定义： (12)2.可靠度与不可靠度函数 (12)3.威布尔分布失效率 (12)4.图像分析 (12)5.应用 (15)三、小结 (16)参考文献 (17)附录 (18)一、引言可靠性是指产品在规定的条件下，规定时间内，完成规定功能的能力，是对产品无故障工作能力的度量。
可靠性作为衡量产品质量的一个重要的指标，已广泛的应用于各个工程领域。
与可靠性相反，产品丧失规定功能称为失效或故障。
工程机械系统是由零件和部件组成的，零件或部件的失效会导致系统的失效。
然而，失效的原因是多种多样的，如结构缺陷、工艺缺陷、使用不当、老化等等。
引起每种失效的原因也可能是不同的，如性能退化可能由于疲劳、蠕变、裂纹扩展、磨损或者腐蚀等导致的[1]。
实践表明，系统或零、部件的失效时间往往是不确定的，要定量描述系统或零、部件的失效时间，应当采用统计学方法。
将失效时间作为一个随机变量，用一个恰当的概率分布函数去描述它。
从数据的统计分析中找出产品寿命分布的规律，是进一步分析产品故障，预测故障发展，研究其失效机理及制定维修策略的重要手段。
可靠性分析与评估是可靠性分析中非常重要的一部分，它是指在产品的寿命周期内，根据产品的可靠性分布模型、结构，以及相关的可靠性信息，利用统计方法，对产品的可靠性指标做出估计的过程。
可靠性基本概念
可靠性设计主要符号表可靠性的概念可靠性的经典定义：产品在规定条件下和规定时间内，完成规定功能的能力产品：指作为单独研究和分别试验对象的任何元件、设备或系统，可以是零件、部件，也可以是由它们装配而成的机器，或由许多机器组成的机组和成套设备，甚至还把人的作用也包括在内。
在具体使用“产品”这一词时，其确切含义应加以说明。
例如汽车板簧、汽车发动机、汽车整车等。
规定条件：一般指的是使用条件,环境条件。
包括应力温度、湿度、尘砂、腐蚀等，也包括操作技术、维修方法等条件。
规定时间：是可靠性区别于产品其他质量属性的重要特征，一般也可认为可靠性是产品功能在时间上的稳定程度。
因此以数学形式表示的可靠性各特征量都是时间的函数。
这里的时间概念不限于一般的年、月、日、分、秒，也可以是与时间成比例的次数、距离。
例如应力循环次数、汽车行驶里程。
规定功能：道德要明确具体产品的功能是什么，怎样才算是完成规定功能。
产品丧失规定功能称为失效，对可修复产品通常也称为故障。
怎样才算是失效或故障，有时很容易判定，但更多情况则很难判定。
当产品指的是某个螺丛，显然螺栓断裂就是失效；当产品指的是某个设备，对某个零件损坏而该设备仍能完成规定功能就不能算失效或故障，有时虽有某些零件损坏或松脱，但在规定的短时间内可容易地修复也可不算是失效或故障。
若产品指的是某个具有性能指标要求的机器，当性能下降到规定的指标后，虽然仍能继续运转，但已应算是失效或故障。
究竟怎样算是失效或故障，有时要涉及厂商与用户不同看法的协商，有时要涉及当时的技术水平和经济政策等而作出合理的规定。
能力：只是定性的理解是比较抽象的，为了衡量检验，后面将加以定量描述。
产品的失效或故障均具有偶然性，一个产品在某段时间内的工作情况并不很好地反映该产品可靠性的高低，而应该观察大量该种产品的工作情况并进行合理的处理后才能正确的反映该产品的可靠性，因此对能力的定量需用概率和数理统计的方法。
按产品可靠性的形成，可靠性可分为固有可靠性和使用可靠性。
几种常见的概率分布及应用
几种常见的概率分布及应用常见的概率分布有很多种，在统计学和概率论中，这些分布被广泛应用于各种领域，包括自然科学、工程、经济和社会科学等。
下面是几种常见的概率分布及其应用：1. 均匀分布（Uniform Distribution）：均匀分布是最简单的概率分布之一，它的概率密度函数在一个给定的区间内是常数。
这种分布广泛应用于统计推断、模拟和随机数生成等领域。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布适用于具有两个可能结果的离散试验，如抛硬币、打靶等。
在二项分布中，每个试验都是独立的，并且具有相同的概率。
二项分布在实验研究和贝叶斯统计等领域有广泛的应用。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布适用于描述单位时间或空间内稀有事件发生次数的概率分布。
它在复杂事件模型、风险评估和可靠性分析等领域有广泛的应用。
4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的连续概率分布之一，也被称为高斯分布。
它具有对称的钟形曲线，广泛应用于自然科学、社会科学和工程等领域。
正态分布在统计推断、回归分析、贝叶斯统计等方面发挥着重要作用。
5. 指数分布（Exponential Distribution）：指数分布适用于描述事件发生之间的时间间隔的概率分布。
它在可靠性工程、队列论、生存分析等领域有广泛的应用。
6. γ分布（Gamma Distribution）：γ分布是一类连续概率分布，用于描述正数随机变量的分布，如等待时间、寿命和利润等。
它在贝叶斯统计、过程控制和金融分析等领域被广泛使用。
7. t分布（T-Distribution）：t分布是一种用于小样本情况下的概率分布，它类似于正态分布，但考虑了样本容量较小的情况。
t分布在统计推断和假设检验等方面有广泛的应用。
8. χ²分布（Chi-Square Distribution）：χ²分布是一种用于度量变量之间的独立性和相关性的概率分布。
可靠性理论基础复习资料
可靠性理论基础复习资料目录第一章绪论第二章可靠性特征量第三章简单不可修系统可靠性分析第四章复杂不可修系统可靠性分析第五章故障树分析法第六章三态系统可靠性分析第七章可靠性预计与分配第八章寿命试验及其数据分析第九章马尔可夫型可修系统的可靠性第一章：可靠性特征量2.1可靠度2.2失效特征量2.3可靠性寿命特征2.4失效率曲线2.5常用概率分布2.1可靠度一、系统的分类：可修系统与不可修系统；可修系统是指系统的组成单元发生故障后，经过维修能够使系统恢复到正常工作状态。
不可修系统是指系统或其组成单元一旦发生失效，不在修复，系统处于报废状态。
二、可靠性定义产品在规定条件下，规定时间内，完成规定功能的能力。
1. 产品：可以是一个小零件，也可以指一个大系统。
2. 规定条件：主要是指使用条件和环境条件。
3. 规定时间：包括产品的运行时间、飞机起落架的起飞着陆次数、循环次数或旋转次数等。
产品可靠性是非确定性的，并且具有概率性质和随机性质。
广义可靠性与狭义可靠性指可修复产品在使用中或者不发生故障(通过预防性维修)，或者发生故障也易于维修，因而经常处于可用状态的能力。
广义可靠性=狭义可靠性+可维修性广义可靠性典型事例：赛车可靠性的分类：固有可靠性和使用可靠性固有可靠性：通过设计、制造、管理等所形成的可靠性(通常体现在产品的固有寿命上)使用可靠性：产品在使用条件影响下，保证固有可靠性的发挥与实现的功能。
(通常体现在产品的实际使用寿命上)使用条件：包括运输、保管、维修、操作和环境条件等。
例1:判断下面说法的正确性：所谓产品的失效，即产品丧失规定的功能。
对于可修复系统，失效也称为故障。
(V)例2：可靠度R(t)具备以下那些性质？ ( BCD) A. R(t)为时间的递增函数B. o w R(t) < 1C. R(0)=1D. R()=0若受试验的样品数是N o个，到t时刻未失效的有Ns(t)个；失效的有N f(t)个。
可靠性设计
1 1 0.0004 次/小时 MTBF 2500
R(t 500) e t e 0.0004500 0.8187
R(t 1000 ) e t e 0.00041000 0.6703
28
4.正态分布（normal distribution）—— 连续型分布函数
R(t 400) R( z 2.5) F ( z 2.5) 0.9938 失效概率 F (t 400) 1 R(t 400) 1 0.9938 0.0062
失效数r=1000×0.0062=6.2(个)≈6（个）
30
（2）t=600h时，标准正态变量
r r nr f (r ) C n p q
25
设事件发生次数的均值为m，事件实际发生次数为r，对泊松分布
而言，则有：
事件发生r次概率为:
m r m f (r ) e r!
F (c ) f ( r )
r 0 c
事件发生次数不超过c的累积概率为: 其泊松分布的均值E(r)=np=m，方差s=m
17
由此得到失效率、可靠度与概率密度之间的关
系为：
f (t ) (t ) R(t )
18
举例： 某零件的失效时间随机变量服从指数分布，为了让１０００小时的可靠 度在８０％以上，该零件的失效率应低于多少？
解：分析可知，失效时间随机变量服从指数分布，即 f (t ) e t 因为 由于
N f (t ) N s (t ) N 0 N f (t ) R(t ) 1 N0 N0 N0 由于０≤Ｎｆ(ｔ)≤Ｎ０，故０≤Ｒ(ｔ)≤１。
11
可靠度表达式-B
设ｔ为零件（系统）的失效时间（随机变量），Ｔ为
概率计算中的常用概率模型与分布
概率计算中的常用概率模型与分布在概率计算中，常用的概率模型和分布是非常重要的工具，能够帮助我们研究和解决各种问题。
本文将介绍几种常见的概率模型和分布，并论述它们在实际应用中的作用和特点。
一、二项分布二项分布是最基础的离散概率分布之一，适用于一系列独立重复实验中成功次数的概率问题。
其概率质量函数为：P(X=k)=C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中n为实验次数，k为成功次数，p为每次实验成功的概率。
二项分布在统计学和实验设计中被广泛运用，如市场调研中对不同观众群体的喜好偏好进行调查和分析。
二、泊松分布泊松分布是一种描述单位时间或单位空间内事件发生次数的离散概率分布。
其概率质量函数为：P(X=k)=(e^(-λ) * λ^k) / k!，其中λ为单位时间或单位空间内事件的平均发生率。
泊松分布常被用于模拟和预测罕见事件的发生概率，例如自然灾害、交通事故等。
三、正态分布正态分布又称为高斯分布，是连续型概率分布中最为重要和常用的分布之一。
其概率密度函数为：f(x)=(1 / (σ * √(2π))) * e^(-(x-μ)^2 /(2*σ^2))，其中μ为均值，σ为标准差。
正态分布在自然和社会科学中应用广泛，如模拟金融市场变动、研究人类身高体重等。
四、指数分布指数分布是连续型概率分布中描述时间间隔的常用分布。
其概率密度函数为：f(x)=λ * e^(-λx)，其中λ为事件的平均发生率。
指数分布在可靠性工程、排队论以及金融学等领域有广泛的应用，如分析设备的寿命、计算服务的响应时间等。
五、贝塔分布贝塔分布是常用的连续型概率分布，用于描述一个随机事件成功的概率。
其概率密度函数为：f(x)= (x^(α-1) * (1-x)^(β-1)) / (B(α, β))，其中α和β为正参数，B(α, β)为贝塔函数。
贝塔分布在产品质量控制、医学统计和生物学研究中有着重要的应用，如药物疗效的评估、疾病发病率的研究等。
常用概率分布间简介
其中 c 为常数，解方程（1）得
f ( ) c f ( )
f
(
)
k
e
1 2
c
2
，
k
为常数.
为使 f ( ) 为概率密度函数，
f
( )d
1，
即
k
e
1 2
c
2
dy
1
故必须 c 0 ，不妨令 c 1 （ 0 ），代入（2）解得 2
k 1 ， 2 Biblioteka 于是f ( ) 1
2
e2 2 ， R ，
2
这是均值为 0，方差为 2 的正态分布的概率密度函数.
.
X
~
N(0, 2)
,
则Y
X2
~
Ga(
1 2
,
1 2
2
)
.
（1） （2）
Ga( n , 1) 2(n) . 22
m
Xi ~ N(0,1) , i 1,2,,n 且相互独立 , 则 X
X
2 i
~
2(n) .
i 1
⒊ 相当误差（比率）的概率分布
m
设
Xi
~
N(0, 2 ) ，i
1,2,, m,m 1,,m n且相互独立，则
i 1
二、随机误差的概率分布
⒈ 高斯随机误差模型 随机变量的高斯分解
可观测的指标
X
不可观测的随机干扰
指标的标准值(生产控制参数,理论均值)
原始测量误差的概率分布
由棣莫弗提出，高斯推证，拉普拉斯再证，原始测量误差的概率分布为：
~ N (0 , 2 )
高斯的推证要点如下：
设测量误差 X 的密度函数为 f ( ) ，由“最大后验概率”的原则得
关于威布尔分布在可靠性分析应用中的几个问题
关于威布尔分布在可靠性分析应用中的几个问题
第一章：绪论
威布尔分布是可靠性分析领域中常用的概率分布模型之一。
本文通过对威布尔分布的概念、特点和应用进行分析，探讨威布尔分布在可靠性分析中的应用问题，以期提高可靠性分析的精度和准确性。
第二章：威布尔分布的概念及特点
威布尔分布是一种用于描述时间或次数随机变量的概率分布。
其特点在于具有相对稳定的失效率，即随着时间的推移，失效率单调递增，这种特点使得威布尔分布在可靠性分析中得到广泛应用。
文中详细阐述威布尔分布的数学模型，以及其在可靠性分析中的应用范围和限制。
第三章：威布尔分布作为失效模型的应用
威布尔分布可以作为失效模型来描述事物的失效规律。
在可靠性分析中，威布尔分布常用于分析和预测产品的寿命及其失效的概率。
本章介绍了该分布模型在可靠性分析中的应用，并提出了利用该分布模型进行可靠性设计的一些方法和思路。
第四章：威布尔分布在可靠性评估中的应用问题
威布尔分布通常作为失效模型或寿命分布模型来应用于可靠性评估中。
本章主要探讨了采用威布尔分布进行可靠性评估时可能遇到的问题，如威布尔分布参数的估计、威布尔分布模型的拟合优度评价等。
同时，本章还对这些问题进行了一些探讨和解决的方法。
第五章：结论
综上所述，威布尔分布作为可靠性分析的一种重要工具，在可靠性设计、失效分析和可靠性评估等领域的应用范围都非常广泛。
但是，在使用威布尔分布进行可靠性分析时，也需要注意该分布模型的局限性及其在使用中可能遇到的问题，同时还需要深入研究和探讨威布尔分布模型的其他应用领域。
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用1. 常数分布（Constant distribution）：概率密度函数（Probability Density Function，PDF）为常数，表示特定区间内的概率相等。
这种分布常用于模拟实验或作为基线分布进行比较。
2. 均匀分布（Uniform distribution）：概率密度函数为一个常数，表示在特定区间内的各个取值的概率相等。
均匀分布经常用于随机抽样，以确保样本的代表性。
3. 二项分布（Binomial distribution）：概率密度函数描述了进行n次独立二类试验中成功次数的概率分布。
二项分布在实验设计、质量控制和市场研究中广泛应用。
4. 泊松分布（Poisson distribution）：5. 正态分布（Normal distribution）：概率密度函数为指数函数形式，常用来描述自然界中众多连续变量的分布，例如身高、体重等。
正态分布在统计学和金融学中广泛应用。
6. χ2分布（Chi-square distribution）：概率密度函数描述了n个独立标准正态分布随机变量的平方和的分布，是假设检验和方差分析中常用的分布。
7. t分布（t-distribution）：概率密度函数描述了标准正态分布随机变量与一个自由度为n的卡方分布随机变量的比值的分布。
t分布在小样本推断和回归分析中常用。
8. F分布（F-distribution）：概率密度函数描述了两个自由度为m和n的卡方分布随机变量的比值的分布。
F分布在方差分析、回归分析和信号处理中常应用。
9. 负二项分布（Negative binomial distribution）：概率密度函数描述了进行一系列独立二类试验中直到第r次取得第k 次成功的概率。
负二项分布在可靠性工程和传染病模型中常用。
10. 伽马分布（Gamma distribution）：概率密度函数描述了多个指数分布随机变量的和的分布，常被用于描述连续事件的时间间隔。
常用的概率分布类型及其特征
常用的概率分布类型及其特征?3．1二点分布和均匀分布1、两点分布X的方差D（X）=P（1—P）2、均匀分布如果连续随机变量X的概率密度函数f（x）在有限的区间[a，b]上等于一个常数，则X服从的分布为均匀分布。
其概率分布为：3．23．2．nX=0，1，……X的期望E（X）=nd/NX的方差D（X）=（（nd/N）（（N-d）/N）（（N-n）/N））（1/2）3．2．2二项分布超几何分布的概率公式可以写成阶乘的形式，共有9个阶乘，因而计算起来十分繁琐。
二项分布就可以看成是超几何分布的一个简化。
假设有一批产品，不合格品率为P，从这批产品中随机地抽出n件作为被检X3．2．高负载应力等）而失效的事实引入泊松分布。
假设产品只有经过一定的冲击次数后，产品才失效，又设这些冲击满足三个条件：（1）、两个不相重叠的时间间隔内产品所受冲击次数相互独立；（2）、在充分小的时间间隔内发生两次或更多次冲击的机会可忽略不计；（3）、在单位时间内发生冲击的平均次数λ（λ＞0）不随时间变化，即在时间间隔Δt内平均发生λΔt次冲击，它和Δt的起点无关。
则在[0，t]时间内发生冲击的次数X服从泊松分布，其分布概率为：3．2．本分布是可靠性工程中最常用的分布之一，虽然其概率密度形式较复杂，但可由标准正态分布推出。
设有v个相互独立的随机变量X1，X2，……Xv，它们服从于标准正态分布N（0，1）。
记x2=X12+X22+…Xv2，x2读作“卡方”则x2服从的分布称为x2分布。
它的概率密度函数为：3．33．3．指数分布是电子产品在可靠性工程学中最重要的分布。
通常情况下，电子产品在剔除了早期故障后，到发生元器件或材料的老化变质之前的随机失效阶段其寿命服从指数分布规律。
指数分布是唯一的失效率不随时间变化而变化的连续随机变量的概率分布。
容易推出：指数分布有如下三个特点：3．3．将指数分布中的（-λt）替换为（-（t/η）m），就得到威布尔分布。
常见概率分布 应用场景
常见概率分布应用场景
常见的概率分布主要包括：二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布和伽马分布等。
这些概率分布在不同的领域和场景中都有广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
1. 二项分布：在二项试验中，每次试验只有两个结果，成功和失败。
二项分布常用于描述一系列独立重复的试验中成功次数的概率分布，例如投硬币、掷骰子等。
2. 泊松分布：泊松分布常用于描述单位时间或单位面积内某个事件发生的次数的概率分布。
例如描述单位时间内电话呼入量的分布、单位面积内事件发生的频率等。
3. 正态分布：正态分布（高斯分布）是最常见的连续型概率分布，常用于描述各种自然现象的变量，如身高、体重、测试成绩等。
在统计学和随机过程中也广泛应用，如回归分析、假设检验、随机游走等。
4. 指数分布：指数分布用于描述连续随机变量的时间间隔或寿命的概率分布。
经常应用于可靠性工程、生存分析等领域，如设备故障发生的时间、产品寿命等。
5. 伽马分布：伽马分布常用于描述连续随机变量的等待时间的概率分布。
在可靠性工程、排队论、风险分析等领域中有广泛应用。
例如等待时间、服务时间等。
除了上述常见的概率分布外，还有其他一些概率分布如贝努力
分布、几何分布、均匀分布等也有各自的应用场景。
不同的概率分布适用于不同的实际问题，选择正确的概率分布对于分析和解决问题非常重要。
2012-02 可靠性数学-常见的失效分布
2）正态概率纸的用法
a.整理数据,得到数据表
失效数 i ti F(ti) 1 t1 F(t1) 2 t2 F(t2) … … … n tn F(tn)
b. 估计累积分布函数F(ti)
当产品数n≤20时,F(ti)=i/(n+1)(平均秩),
F(ti)=(i-0.3)/(n+0.4) 当产品数n>20时 (中位秩) F(ti)=i/n
对数正态分布
若X是一个随机变量,且随机变量Y=lnX，服从正 态分布N(μ,σ),则称随机变量X服从对数正态分布。 对数正态分布 （1）用于由于裂痕扩展而引起的失效分布， 如疲劳、腐蚀等；恒应力寿命试验，样品的失效时 间分析； （2）随机变量由许多的微小偶然因素组成， 其关系非和而是积的关系。
对数正态失效分布的描述函数和特征量分别为
(3)求可靠度为80％的可靠寿命t（ R＝0.8 ） 因已知R＝0.8 ，故F＝1-0.8＝0.2，在上图 的F(t)轴上由F(t)＝20％刻度点引水平线与分布 直线相交，再由此交点作t轴的垂线，交于t轴的 点即为可靠度为80％的可靠寿命t(R)的估计值。 由该图得6.4kh。
正态分布Matlab函数
f (t )
1 ln t 2 exp[ ( ) ] 2 2 t 1
t 0
F (t ) P(T t ) (
ln t
ln t
)
R(t ) P(T t ) 1 (
)
(t ) f (t ) / R(t )
1 ln t 2 exp[ ( ) ] 2 2 t ln t 1 ( ) 1
Wibull分布产生
一环断裂，系统失效，串联模型： 可靠度：[P(T>t)]^n=[1-F(t)]^n 每环的可用度： R(t)=exp(-φ(t)) 系统可靠度 [R(t)]^n=exp(-nφ(t))
常用的概率分布类型及其特征
常用的概率分布类型及其特征概率分布是用来描述随机变量的取值的概率的函数。
不同的概率分布具有不同的特征和应用范围。
以下是常用的概率分布类型及其特征。
1. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：伯努利分布是最简单的概率分布之一，它描述了只有两个可能结果的离散随机变量的概率分布。
例如，抛一枚硬币的结果可以是正面或反面。
伯努利分布的特征是它的均值和方差分别等于成功的概率（p）和失败的概率（1-p）。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：二项分布是一种描述离散随机变量成功次数的概率分布。
它描述了在n次独立试验中成功的次数。
例如，投掷一枚硬币n次，成功的次数即为正面出现的次数。
二项分布的特征是它的均值等于试验次数乘以成功概率，方差等于试验次数乘以成功概率乘以失败概率。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：泊松分布适用于描述单位时间内独立事件发生的次数的概率分布。
例如，在一小时内到达一些公共汽车站的乘客数。
泊松分布的特征是它的均值和方差相等，并且与单位时间内事件发生的频率（λ）相关。
4. 正态分布（Normal Distribution）：正态分布是最常见的概率分布之一，它以钟形曲线表示。
正态分布适用于连续变量，例如身高、体重等。
正态分布的特征是它的均值和方差决定了曲线的位置和形状。
均值决定了曲线的中心，而方差决定了曲线的宽窄。
5. 卡方分布（Chi-Square Distribution）：卡方分布适用于描述随机变量和它的平方之和的概率分布。
它在统计推断中经常用于检验统计模型的拟合优度。
卡方分布的特征是它的自由度决定了分布的形状。
6. t分布（Student's t-Distribution）：t分布适用于样本容量较小，总体标准差未知的情况。
t分布的特征是它的形状比正态分布更扁平，更厚尾。
7. F分布（F-Distribution）：F分布适用于进行方差分析等统计推断问题。
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别为
x
E(X
)
e(
y
2 y
2
)
（2-15）
1
x
D(X
)
x
(
e
2 y
1) 2
（2-16）
xm e y
（2-17）
由于y=1nx呈正态分 布，所以有关正态分 布的一切性质和计算 方法都可在此应用。 只要令 Z 1nx y y ，便可应用标准 正态分布表，查出累 积概率F（Z），反之 由F（Z）变可查出
三、正态分布
• 正态分布是一个基本的概率分布，也是最常用 的一种概率分布。
• 正态分布在机械可靠性设计中大量应用，如材 料强度、磨损寿命、齿轮轮齿弯曲、疲劳强度 以及难以判断其分布的场合。
若产品寿命或某特征值有故障(失效）密度
f (t)
1
(t)2
e 22
2
(t≥0，μ≥0，σ≥0)
则称t服从正态分布。
均值和方差都是 ，
其累积分布函数为
P（ r≤k）= k r e （2-6）
r0
r!
例2—1 今有25个零件进行可靠性试验，已知在给定 的试验时间内每个零件的失效概率为0.02，试分别用 二项分布和泊松分布求25次试验中恰有两个零件失效 的概率。
解 已知n=25， =np=0.5，P=0.02
)
Γ2
(1 1 )]（2-23）
式中Γ(x)为伽玛函数，可查伽玛函数表 得到Γ(x)值
两参数威布尔分布的数学期望及方差为
态分布，记作N（0， 1），其概率密度函数和 累积分布函数为
f (z)
F（Z）=1Biblioteka z2e221
z2 z dZ
e2
2
（2-9） （2-10）
上式F(z)值可查标 准正态分布面积表
为了便于计算，经过变量置换，可将非标准正态分布
化为标准正态分布。
令z
x
，
代入式（2-8）得
F(x) 2 1x eZ 22d z(x )
式(2-5)表示事件发生r次的概率，
其中 为事件发生次数的均
值， 它不随时间的变化而改变。
当试验次数n很大而每次试验事件发生的概率P很小 时，泊松分布是二项分布很好的近似，一般当n≥20，
P≤0.05，二者的近似性就已很好，即有近似公式
CnrPr(1P)nr
re
r!
式中 =np
不难证明，泊松分布的
R(t)和失效率(t)的影响情况。如果应用威布尔概率纸，
把随机变量x和相应的F(x)在威布尔概率纸上描点时， 可得出以不同卢为斜率的直线，所以形状参数 f(t) 也称威布尔斜率。它是三个参数中最重要的具有 实质意义的参数。
β =3 β =2
β =1 β =1/2
t
不同β 值的威布尔分布 （ =1，γ=0）
由于产品千变万化，寿命分布的类型很多，许多情况下要确定 产品的失效服从何种分布是很困难的，一般有两种方法：一是根 据其物理背景来定，即产品的寿命分布与内在结构以及物理、化 学、力学性能有关，与产品发生失效时的物理过程有关。通过失 效分析，证实该产品的失效模式或失效机理与某种分布类型的物 理背景相接近时，可由此确定它的寿命分布类型。二是通过进行 可靠性寿命实验或者分析产品在使用过程中数据资料来获得产品 的失效数据，利用统计推断的方法来判断它属于何种分布。在可 靠性工程中，常用的分布有二项分布、泊松分布、指数分布、正 态2分021/布4/18、威布尔分布等。
如果某随机事件的不可靠度为: F（t）=p，
可靠度 R（t）=1－F(t)=q ， 则式（2-2） 变为
k
P（r≤k）= Cnr[F(t)]r[R(t)]nr r0
（2-4）
二、泊松分布
泊松分布也是离散型随机 变量的一种分布 ，它描述 在给定时间内发生的平均 次数为常数时事件发生次 数的概率分布。
由二项分布Pn（X－r）= Cnr prqnr
=C
2 2
5
×0.022×0.9823=0.0754
由泊松分布P（X－r）= r e
= 0 .5 2 e 0.5 =0.0758
r!
2!
可见两种分布计算的结果非常近似，而二项分布计算 较烦，泊松分布计算则简单些。 但是应该指出，泊松分布不仅是二项分布的一种近似式， 就其本身而言也是可靠性学科中一个重要的分布。
例如一部仪器上各种类型的 缺陷数，铸件上的砂眼数， 一段时间内设备发生的故障 次数等。这些事件的共同特 点是，知道发生的次数或个 数，但是不知道它不发生的 次数或个数。而对于二项分 布，不但知道事件发生的次 数，也知道不发生的次数。
泊松分布的表达式为
P（X=r）= r e e r!
（2-5）
C概nr 率,而为每个组合的概率是P r q n r ，所以事件发生r次的
Pn(X=r)= Cnr prqnr
式中
C
r n
正好是二项式系数，故称该随机事件发生的
概率服从二项分布
二项分布的累积分布函数为
k
P（r ≤k）
Cnr pr qnr 1
r0
（2-1）
由累积分布函数的性质可知
n pn ( X r)
• 例2-2 有100个某种材料的试件进行抗拉
强度试验，今测得试件材料的强度均值 =600MPa，标准差=50MPa求：(1)试件的 强度均值=600MPa时的存活率、失效概 率和失效试件数， (2)强度落在(550— 450)MPa区间内的失效概率和失效试件 数； (3)失效概率为0.05(存活率为0.95) 时材料的强度值。
四、对数正态分布
如果随机变量X的自然对数y=1nx服从正态分布， 则称X服从对数正态分布。由于随机变量的取值x 总是大于零，以及概率密度函数(x)的向右倾斜不 对称，见图
因此对数正态分布是描述不对称随机变量的一种 常用的分布。材料的疲劳强度和寿命，系统的修 复时间等都可用对数正态分布拟合，其概率密度 函数和累积分布函数分别为
解: （1）由附表1查得失效概率F（Z）=0.5 • 存活率 R（x=500）=1-F(Z)=1－0.5=0.5 • 试件失效数 n=100×0.5件=50件 （2）失效概率 P（450＜X＜550）
=
(550600)(450600)
50
50
= （－2）－（－3）=0.022750－0.0013499
式中 为形状参数；
为尺度参数；
为位置参数。
当 =0，则称为两参数威布尔分布。其
概率密度函数和累积分布函数分别为
f (x) (x)1e(x)
（2-20）
x
( )
F(x) 1e
（2-21）
讨论三个参数对威布尔分布的影响：
形状参数 ，它影响分布曲线的形状，图2—10～图
2—12示出了形状参数对概率密度函数f(x)，可靠度
Z 1nx y y
五、威布尔分布
• 威布尔分布是一种含有三参数 或两参数的分布，常用来描述 材料疲劳失效、轴承失效等寿 命分布的，由于适应性强而获 得广泛的应用。
三参数威布尔分布的概率密度函数为
f(x)(xy)1e(xy) （2-18）
累积概率分布为
x
( )
F(x) 1e （2-19）
图2—13给出了 不变而 取不同值 时的威布尔分布曲线，可见 当改变时，
仅曲线起点的位置改变，曲线的形状不 变。当随机变量为零件寿命时， 表示 开
始发生失效的时间t,
即t= 之前发生失效的概率为零，因此
也称为最小保证寿命。
f(t) γ = - 0.5 γ =0 γ =0.5
γ =1
t
f (x)
1
1(yy )
e 2 y
xy 2
（2-13）
x
F(x)
1
1(yy)
e 2 y dx x>0 (2-14)
0 xy 2
式中 y 和 y 为y=1nx的均值和标准差。
实际上常用到随机变量的中位值xm，它表示 随机变量的中心值，
其定义为 P(X≤xm)=P(X>xm)=0.50
对数正态分布的均值、标准差和中位值分
和
对正态分布曲线位置和形状的影响
• 则有： 不可靠度
F(t)0t
1
(t)2
e 22 dt
2
•
可靠度
t
R(t)1
1
(t)2
e 22 dt
0 2
•
•
故障率
(t) f (t)
R(t)
正态分布计算可用数学代换把上式 变换成标准正态分布，查表简单计 算,得出各参数值。
当 =0， =1时，称随机变量X服从标准正
不同 γ值的威布尔分布 （ =1， β =2）
尔图分2—布1曲4给线出。了由图 可不见变，而起始取点不相同同值（时的不威变布)，
分布曲线形状相似( 不变)，只是在横坐标轴
方向上离散程度不同。
f(t)
=2
=1/3 =1/2
=1
t
不同值的威布尔分布 （β=2，γ=0）
当随机变量为零件的工作时间t，若t=则式
正态分布的概率密度函数和累积分布函数分 别为：
f (x) 1 e(x22)2
2
－∞＜x＜∞
（2-7）
F(x) 1
x (x)dx
e 22
2
（2-8）
正态分布可记为N( ， )，它是—种对称的分布，其参数
均值决定正态分布曲线的位置，表征随机变量分布的集中趋 势，而标准差决定正态分布的形状，表征随机变量分布的离 散程度 。
r0
k
Cnr
r0
prqnr
1 （2-2）
二项分布是离散型随机事件的一种分布 ，