4常用概率分布

P) + ≥ 20) P((0X P(12+ P(=) ∑P(X ))=1− ∑P( ( X ) P ( X≥ ) ) =2 P( X =1− ∑PX ) ∑
x=20 0
n! π X (1−π )n−X P( X ≤ 2) = ∑P( X ) = ∑ ! x=0 x=0 X!(n − X )
1 19
2.
二项分布的均数和标准差
对于任何一个二项分布B(X;n,π)， 如果每次试验出现“阳性”结果的概率 均为π ，则在n次独立重复实验中，出现 阳性次数X的总体均数为 = nπ µ 方差为 标准差为
σ 2 = nπ (1− π )
σ = nπ (1−π )
例
实验白鼠3 实验白鼠3只，白鼠用药后死亡的死亡
治疗结果为有限和无效两类 有效概率均为0.6 有效概率均为0.6 每个患者是否有效不受其他病例的影响
n=3
X n X
x=2
n−X
π=0.6
P( X ) = C π (1−π )
P(2) = C2 3
π (1 − π )
2
3−2
3! 3−2 0.62 (1 − 0.6) = 0.432 = 2!(3 − 2)!
P( X ) = e
P(0) = e−0.5 P( ) = e−0.5 1
P(2) = e−0.5
−λ
λ
X
X!
0.50 = 0.607 0 !
至多有2名感染的概率为: 至多有2名感染的概率为: 至少有2名感染的概率为: 至少有2名感染的概率为: 2 2 至少有20名感染的概率为: 20名感染的概率为 至少有20名感染的概率为:
nn
0 150! P(0 +x=2 150 150! 149 ( 0.13 + ==1−[0.130)1−P(1))+ P(3) +....P(19)]13) 0.131 1− 0. 0 1149 ! ==!150!P 0 + P 1 ] ≈1 ! 10.4879 −! [ 150 148 + 0.132(1− 0.13) 2! ! 148 = 2.31×10−7
()
()
第四章
第一节 第二节 第三节
常用概率分布
二项分布 Poisson分布 Poisson分布 正态分布
一、Poisson分布的概念 Poisson分布的概念 二、Poisson分布的特征 分布的特征 Poisson分布的应用 三、 Poisson分布的应用
Poisson分布的概念 1. Poisson分布的概念 Poisson分布也是一种离散型分布， Poisson分布也是一种离散型分布，用 分布也是一种离散型分布 以描述罕见事件发生次数的概率分布。 以描述罕见事件发生次数的概率分布。 Poisson分布也可用于研究单位时间内 Poisson分布也可用于研究单位时间内 (或单位空间、容积内)某罕见事件发生次 或单位空间、容积内) 数的分布。 数的分布。 Poisson分布一般记作 Poisson分布一般记作 P( λ)。
或
P( X ≥1) =1− P(0) =1− 0.064 = 0.936
一、二项分布的概念 二、二项分布的特征 二项分布的特征 三、二项分布的应用
1.
二项分布的图形特征
n，π是二项分布的两个参数，所以二 是二项分布的两个参数， 项分布的形状取决于n 可以看出π= 项分布的形状取决于n，π。可以看出π= 0.5时分布对称 近似对称分布。 时分布对称， 0.5时分布对称，近似对称分布。π ≠0.5 分布呈偏态，特别是n较小时， 时，分布呈偏态，特别是n较小时， π偏离 0.5越远 分布的对称性越差， 越远， 0.5越远，分布的对称性越差，但只要不接 随着n 的增大， 近1和0时，随着n 的增大，分布逐渐逼近正 态。
Poisson分布作为二项分布的一种极限情况 Poisson分布作为二项分布的一种极限情况
Poisson分布可以看作是发生的概率π 很小， Poisson分布可以看作是发生的概率π 很小，而 分布可以看作是发生的概率 观察例数很大时的二项分布。 观察例数很大时的二项分布。除要符合二项分布的三 个基本条件外，Poisson分布还要求π 个基本条件外，Poisson分布还要求π或1-π接近于0 分布还要求 接近于0 和1。
第五版） 卫生统计学（第五版）
流行病学与卫生统计学教研室
第四章
第一节 第二节 第三节
常用概率分布
二项分布 Poisson分布 Poisson分布 正态分布
一、二项分布的概念 二、二项分布的特征 二项分布的特征 三、二项分布的应用
（一）成败型实验（Bernoulli实验） 成败型实验（Bernoulli实验） 实验 将我们关心的事件A出现称为成功， 将我们关心的事件A出现称为成功， 不出现称为失败，这类试验就称为成不出现称为失败，这类试验就称为成-败 型实验。指定性资料中的二项分类实验。 型实验。指定性资料中的二项分类实验。
二项分布的概率函数P(X)为 二项分布的概率函数P(X)为： P(X)
P( X ) = C π
X n X
(1−π )
n−X
其中X=0，1，2…，n。 其中X=0， ， 。 X=0 n，π是二项分布的两个参数 。
C
X n
n ! = X!(n − x)!
n
对于任何二项分布， 对于任何二项分布，总有 ∑P( X ) = 1 x=0
概率π=0.6， 概率π=0.6，则3只白鼠中死亡鼠数X的总体 π=0.6 只白鼠中死亡鼠数X 均数
µ = nπ
= 3×0.6 = 1.8（只） 1.8（
σ 2 = nπ (1−π )
= 3×0.6×0.4 = 0.72 只 （ ）
方差为 标准差为
σ = nπ (1−π )
= 3×0.6×0.4 = 0.85(只 ）
n =150,π = 0.067 0.067(1− 0.067) σp = = 0.02 150
一、二项分布的概念 二、二项分布的特征 二项分布的特征 三、二项分布的应用
（一）
概率估计
如果某地钩虫感染率为13%，随机 例4-5 如果某地钩虫感染率为 ， (二 人 其中有10人感染钩虫的概 观察当地150人，其中有 人感染钩虫的概 观察当地 )单侧累计概率计算 率有多大? 率有多大
如果以率表示，将阳性结果的频率记为
X 则P的总体均数 p= n π (1−π ) 2 σp = 总体方差为
µp = π
总体标准差为 式中
σp =
π (1−π )
n
n
σ p是频率p的标准误，反映阳性频
率的抽样误差的大小。
例4-4 如果某地钩虫感染率为6.7%，随 机观察当地150人，样本钩虫感染率为p， 求p的抽样误差。
2例有效的概率是0..432 例有效的概率是0..432
一例以上有效的概率为： 一例以上有效的概率为：
P( X ≥1) = P(1) + P(2) + P(3) 3 ! 3 ! 3− 1 3−2 ( 0.611− 0.6) + 0.62 (1− 0.6) 1 (3 −1)! ! 2 (3 − 2)! ! 3 ! 3−3 + 0.63 (1− 0.6) = 0.288 + 0.432 + 0.216 3 (3 − 3)! ! = 0.936 =
表7.1
死亡数 X 0 1 未死亡数 3－X 3 2
3只白鼠各种试验结果及其发生概率 3只白鼠各种试验结果及其发生概率
试验结果 试验结果概率
3 π 1 P( X ) = k ( −π )3−k k
X取值概率
甲 生 死 生 生
乙 生 生 死 生 死 生 死 死
丙 生
(1－ 互 不(1－π)3事 件 相容 独立事件的乘 π(1－π)(1－ 生 π(1－π)(1－π) 的加法定理 法定理 生 死 生 死 死 死 (1－π)π(1－π) (1－π)π(1－ (1－π)(1－ (1－π)(1－π)π ππ(1－ ππ(1－π) π(1－ π(1－π)π (1－ (1－π)ππ πππ
成-败型（Bernoulli）实验序列： 败型（Bernoulli）实验序列：
一个袋子里有5个乒乓球，其中2 一个袋子里有5个乒乓球，其中2个黄 球，3个白球，进行摸球实验，每次摸一个 个白球，进行摸球实验， 球，然后放回再摸。 然后放回再摸。
三个条件
每次实验只能是两个互斥的结果之一
相同的实验条件下阳性事件发生概率相同
举例 设实验白鼠共3只，要求它们同种属、 同性别、体重相近，且他们有相同的死亡 概率，记事件“白鼠用药后死亡 白鼠用药后死亡”为A， 相应死亡概率为π。记事件“白鼠用药后 不死亡”为 ，相应不死亡概率为1-π。 A 设实验后3只白鼠中死亡的白鼠数为X，则 X的可能取值为0，1，2和3，则死亡鼠数 为X的概率分布即表现为二项分布。
各次实验独立（各次的实验结果互不影响） 各次实验独立（各次的实验结果互不影响）
（二）二项分布的概率函数
二项分布是指在只能产生两种可能结 二项分布 若从阳性率为π 若从阳性率为π的总体中随机抽取大小 果（如“阳性”或“阴性”）之一的n次 的样本，则出现“阳性”数为X 为n的样本，则出现“阳性”数为X的概率 分布即呈现二项分布， 分布即呈现二项分布，记作 B(X;n,π) 独立重复实验中，当每次实验的“阳性” B(n,π)。 或B(n,π)。 概率保持不变时，出现“阳性”的次 X=0,1,2,…,n的一种概率分布。
3 P(0) = 0 ( − π )3 π 1 0 3 P( ) = 1 ( − π ) 2 1 π 1 1
21ຫໍສະໝຸດ 死 死 生 3 P(2) = 2 ( − π )1 π 1 2
3
0