人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及解析
一、选择题
1．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向，与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B与灯塔P之间的距离为( )
A．60海里 B．45海里 C．203海里 D．303海里
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意得出：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，再利用勾股定理得出BP的长，求出答案．
【详解】
解：由题意可得：∠B=30°，AP=30海里，∠APB=90°，
故AB=2AP=60（海里），
则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为：BP=22303ABAP（海里）
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键．
2．在半径为1的Oe中，弦AB、AC的长度分别是3，2，则BAC为（ ）度．
A．75 B．15或30 C．75或15 D．15或45
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意画出草图，因为C点位置待定，所以分情况讨论求解．
【详解】
利用垂径定理可知：AD=3222AE， ．
sin∠AOD=32，∴∠AOD=60°；
sin∠AOE=22，∴∠AOE=45°；
∴∠BAC=75°．
当两弦共弧的时候就是15°．
故选：C．
【点睛】
此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.
3．如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且BD＝BA，则tan∠DAC的值为（ ）
A．2＋3 B．23 C．3＋3
D．33
【答案】A
【解析】
【分析】
【详解】
设AC=x，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，即可得AB=2x，BC=3x，
所以BD=BA=2x，即可得CD=3x+2x=（3+2）x，
在Rt△ACD中，tan∠DAC=(32)32CDxACx，
人教版初中数学锐角三角函数的难题汇编及答案
一、选择题
1．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )
A．5342 B．5342 C．23 D．432
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.
【详解】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，
则有AD=2AH，∠AHO=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=23，BC=2，tan∠A=23323BCAB，
∴∠A=30°，
∴OH=12OA=32，AH=AO•cos∠A=33322，∠BOC=2∠A=60°，
∴AD=2AH=3，
∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD=26031132323222360=5342，
故选A.
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
2．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，若矩形纸片的宽AB=4，则折痕BM的长为( )
A．833 B．433 C．8 D．83
【答案】A
【解析】
【分析】
根据折叠性质可得BE=12AB，A′B=AB=4，∠BA′M=∠A=90°，∠ABM=∠MBA′，可得∠EA′B=30°，根据直角三角形两锐角互余可得∠EBA′=60°，进而可得∠ABM=30°，在Rt△ABM中，利用∠ABM的余弦求出BM的长即可.
人教版初中数学锐角三角函数的基础测试题及答案
一、选择题
1．如图，ABCV中，90ACB，O为AB中点，且4AB，CD，AD分别平分ACB和CAB，交于D点，则OD的最小值为（ ）．
A．1 B．22 C．21 D．222
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形角平分线的交点是三角形的内心，得到DO最小时，DO为三角形ABC内切圆的半径，结合切线长定理得到三角形为等腰直角三角形，从而得到答案．
【详解】
解：Q CD，AD分别平分ACB和CAB，交于D点，
D∴为ABC的内心，
OD最小时，OD为ABC的内切圆的半径，
,DOAB
过D作,,DEACDFBC 垂足分别为,,EF
,DEDFDO
四边形DFCE为正方形，
OQ为AB的中点，4,AB
2,AOBO
由切线长定理得：2,2,,AOAEBOBFCECFr
sin4522,ACBCAB•
222,CEACAE
Q 四边形DFCE为正方形，
,CEDE
222,ODCE
故选D．
【点睛】
本题考查的动态问题中的线段的最小值，三角形的内心的性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的计算，掌握相关知识点是解题关键．
2．如图，在ABC中，4AC，60ABC，45C，ADBC，垂足为D，ABC的平分线交AD于点E，则AE的长为（ ）
A．22 B．223 C．423 D．322
【答案】C
【解析】
【分析】
在Rt△ADC中，利用等腰直角三角形的性质可求出AD的长度，在Rt△ADB中，由AD的长度及∠ABD的度数可求出BD的长度，在Rt△EBD中，由BD的长度及∠EBD的度数可求出DE的长度，再利用AE=AD−DE即可求出AE的长度．
【详解】
∵AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=90
在Rt△ADC中，AC=4，∠C=45
ｌ＿ 一
对人教版初中数学教材“锐角三角函数＂部分的分析
陈术金
（务Ｊｌｌ自治县城关中学，贵州务川 ５６４３００）
摘 要：初中数学中“锐角三角函数”部分的教学对中学
生打好几何基础有着极其关键的作用，对学生一生的几何能
力也至关重要。可见，搞好这部分内容的教学是极其必要和重
要的。本文对人教版教材中这部分内容作教学分析。给同行作
参考。
关键词：初中数学教学 三角函数基础内容正弦函数
初中数学巾“锐角 角函数”部分的教学对中学生的几何
基础有着极其关键的作川．虽然初中生之前有过一些几何知
识的初步了解．但这一部分仍然对初中生的几何知识起奠基
作川，对他们一生的几何能力有着至关重要的影响。可见。搞
好这部分内容的教学是极其必要和重要的。笔者对人教版教
材巾这部分内容作教学分析，给同行作参考。
一、教材分析
１．内容总体安排
本章的主要内容是锐角三角函数的概念（主要指正弦、余
弦和正切的慨念），以及利用锐角三角函数解直角三角形。这
些内容是巾学阶段ｌ一角学的基础知识。本章内容是在同学们
学习了相似三角彤、勾股定理和函数等有关知识的基础上研
究的，这些知识是学习本章内容的直接基础。
木章内容分为两节，第一节主要内容有三部分：一是学习
正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念；二是研究了几个特
殊角（３０ｏ，４５ｏ，６０。）的 角函数的求法；三是介绍了用计算器
求锐角 角函数的方法。第二节首先主要研究了直角三角形
巾的边角关系和解直角三角形的知识；然后通过具体的实例
说明了解直角ｉ角形的应用．并总结出用三角函数的知识解
决实际问题的一般过程。这个过程强调了数学建模的构建．凸
显了数学建模的思想，强化了数形结合思想。可以说第一节是
第二节内容的基础，后面的内容是第一节内容的应用．通过第
二节的学习，巩固和提高了学生对基础内容的认识，使同学们
对函数的概念及其本质有了更深层次的认识。
２．本章知识大致结构
