粗糙表面分形维数估算的改进立方体覆盖法重点

粗糙表面的分形模型1 前言对粗糙表面特征及其表述参数的研究一直是摩擦学领域研究的重要课题之一。

目前，粗糙表面的评定参数相当多，按照数学基础的差别可以分成：几何评定参数，（纵向评定参数（轮廓算术平均偏差和轮廓均方根偏差等）和横向评定参数（轮廓微观不平度的平均间距及轮廓均方根间距等）），形状评定参数（概率分布的偏斜度、驼峰度及轮廓形状的支承长度等）和随机过程评定参数（自相关函数、相关长度和功率谱函数等）。

研究表明，粗糙表面的轮廓高度变化是一种非平稳的随机过程，所以机械工程表面形貌的测量过程中，很多传统的表征参数体现出多尺度性的影响，即不同的取样长度下，或在不同分辨率的仪器测量的情况下，表征参数具有不同的数值。

这会导致上述几何评定参数和形状评定参数随着度量区间及尺度的变化而表现出不稳定性。

也就是说，几何评定参数和形状评定参数属于一种尺度相关的评定参数，其数值随着测量尺度的变化而出现不同的数值。

这些表征工程表面的微观结构的量杯广泛用于工程计算中，如摩擦、润滑、密封、接触和导热等很多领域，显然参数本身的不精确或不合理会导致计算结果和实际应用有较大的偏差。

Sayles和Thomas等认为工程表面是一个非稳态的随机过程，因此，寻找到与尺度无关的粗糙度评定参数对摩擦学研究具有重要意义。

均方粗糙度、算术平均粗糙度以及波纹度等参数反应的都是一定尺度下的特征，而这种尺度依赖性主要源自粗糙表面的分形特征。

分形几何理论是近年来非线性方法研究的热点之一，它对描述具有标度律特征的自然现象具有很好的适用性。

分形最早起源于19世纪后期和20世纪早期人们对复杂几何形状的研究，1973年在此基础上Mandelbrot首次提出了分数维和分形几何的设想。

人们在研究中发现，某些几何图形中长度不是一个本质特征参量，它会随着测量尺度的变化而变化，而分形维数却具有尺度不变性。

今年的研究表明工程表面也具有某种与尺度无关的分形特征。

Majundar、Bhushan以及Tien等发现磁带表面、硬盘表面以及机加工不锈钢表面的幂率谱服从幂率，意味着其表面形貌具有统计的自仿射性，即当表面被适当放大后，放大的形貌和原始形貌具有一定的相似性。

第46卷 第2期华北理工大学学报(自然科学版)V o l .46 N o .22024年04月J o u r n a l o fN o r t hC h i n aU n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y (N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n )A pr .2024 收稿日期:2023-12-29 修回日期:2024-03-20基金项目:国家自然科学基金-区域创新发展联合基金重点项目(U 21A 20114)㊂ 第一作者:李靖(1998~),男,河北邯郸人,硕士研究生,研究方向:计算材料物理方向㊂ 通讯作者:莫文玲(1968~),女,教授,硕士研究生导师㊂E -m a i l :m w l @n c s t .e d u .c n . D O I :10.3969/j .i s s n .2095-2716.2024.02.012文章编号:2095-2716(2024)02-0102-10基于三维体视分析技术对金属断口的分形研究李靖1,莫文玲1,4,姜志超2,董屹盛2,张庆军2,3(1.华北理工大学理学院,河北唐山063210;2.华北理工大学冶金与能源学院,河北唐山063210;3.华北理工大学综合测试分析中心,河北唐山063210;4.华北理工大学以升创新教育基地,河北唐山063210)关键词:金属断口;分形维数;计盒维数法;三维体视显微分析;三维重构摘 要:金属断口包含金属材料的性质㊁性能及服役过程的重要信息,是金属断裂定性分析㊁定量表征的关键证据㊂研究证明分形维数与材料断裂参数密切相关,但传统二维图像分析难以全面揭示断口特征㊂为了更深入了解断裂机制和材料性能,三维形貌技术逐渐成为研究热点㊂在分析仪器中三维体视显微镜可以提供更便捷㊁更准确的断口信息,进而通过计算分形维数推测材料断裂性质㊂其中计盒维数分析方法具有易于实现和理解㊁应用范围广㊁稳定性好㊁可解释性强等优势㊂利用三维体视显微镜和MA T L A B 程序获取断口三维形貌并计算分形维数㊂实验表明,拉伸断口抗拉强度和屈服强度与分形维数呈负相关,冲击断口的冲击值与分形维数呈正相关㊂中图分类号:T G 115 文献标识码:A金属断口作为断裂的直接表现,其形态蕴含着断裂过程和材料性质的丰富信息[1-2],对揭示材料特性和指导断裂机理研究起着关键作用㊂有学者[3]在微观领域研究金属断口时,发现其微观结构符合分形理论中具有统计意义上的自相似特征,引入分形理论对金属断口进行分形分析,试图找出分形理论中分形维数这一重要参数与材料微观结构信息之间的定量关系[4-8]㊂目前金属断口分析主要依赖于扫描电镜的二维图像处理[9-11],不仅对于断口内部的深度信息获取有限,而且所拍摄的断口形貌区域很小,这在揭示断口形貌的复杂性和细微结构方面存在局限性㊂新发展的三维形貌分析技术[12-16]可以更全面地分析断裂机制和材料性能,运用先进技术手段精准捕捉金属断裂处的形貌结构信息,并计算其图像形貌的分形维数,将这些分形维数与材料的断裂参数(抗拉强度和屈服强度等)相互关联,构建起一套科学而系统的对应关系,能够为金属材料的断裂机制分析提供更为便捷㊁高效的路径,同时也为工程应用领域带来更为精确㊁可靠的评估方法㊂本文借助S m a r t z o o m5体视显微镜主要对Q 235B 钢的拉伸断口和冲击断口形貌进行观察,并基于分形理论用M a t l a b 计算其分形维数值,试图找出其力学性能与分形维值之间的关系㊂1断口分形维数测量方法分形理论的应用中,研究对象所处的维度不同,其对应的分形维数范围也会有所差异㊂当研究对象呈现二维平面的形貌结构,那么其空间维度便被界定为2,此时分形维数的数值将介于1~2之间㊂相对地,当研究对象的形貌结构存在于三维空间时,其空间维度则提升为3,分形维数的范围也随之扩大到2~3之间㊂值得注意的是,在同一条线段上,自相似点集的分形维数范围在0~1之间,但在自然分形实验研究中,这种情况并不常见,因此在实际应用中较少考虑这一范围内的分形维数㊂1.1 小岛法在X -Y 平面上,当采用小岛法(I s l a n d M e t h o d )来求取分形维数时,通常是基于周长-面积测度关系来进行计算的㊂实验方法需要对断裂表面进行研磨,磨出一个个 岛屿 形式,拍摄其图片观察,根据灰度值对照片进行二值化处理,求出 岛屿 的面积和周长,用计算机软件,取面积和每个岛屿周长的对数作对比㊂用最小二乘法通过这些数据点绘制直线的斜率,用方程计算每个断裂面的分形维数㊂首先需要测量出(小岛)的周长(P )和面积(A )㊂然后,利用分形理论中的一个基本关系式,即周长和面积之间的关系: P ɖA 1/2(1) P (δ)(1/D )=a (δ)A (δ)(1/2)(2)式(2)中D 为图形边界线的分形维数,δ为测量基本单位,a (δ)不是固定常数,而与测量基本单位有关㊂取(2)式中P 和的A 对数: l o g P (δ)=K +D /2l o g A (3)通过线性回归分析,求出拟合直线l o g P -l o g A 的斜率,得出分形维数D ㊂小岛法(I s l a n d M e t h o d )在实验操作和数据分析方面存在一些不足之处:磨抛试样的力度和角度难以准确控制,不同的力度和角度可能会导致试样表面的形貌发生变化,从而影响分形维数的准确测量㊂实验需要多次磨抛和测量,这不仅增加了实验的时间和成本,而且可能在重复过程中引入误差㊂小岛法需要对断口进行磨抛,这会破坏金属断口,导致无法进行重复实验㊂这一点尤其重要,因为在科学研究中,重复实验是验证结果可靠性和有效性的关键步骤㊂如果无法进行重复实验,那么实验结果的可信度和应用范围就会受到严重限制㊂小岛法的结果很大程度上取决于如何定义和识别 岛屿 ,不同的定义可能导致截然不同的分形维数估计;在实际应用中,表面会包含各种缺陷㊁杂质或不规则结构,这些因素可能影响岛屿的准确识别和测量,从而导致分形维数的估计偏差;小岛法仅适用于一定尺度范围内的分析㊂对于大型或复杂的表面结构,小岛法需要大量的计算资源和时间来进行岛屿识别㊁参数测量和分形维数估计,有很大的局限性㊂针对小岛法中存在的需要磨抛的不足之处,一些学者致力于改进测量方法,以期提高测试的精确度和可靠性㊂姜涛[17]等人利用扫描显微镜(S E M )获取砂岩的高分辨S E M 图像,经过图像的处理来计算其分形维数㊂这种方法避免了小岛法的磨抛尺度严格㊁需要破坏样品㊁不可重复操作等缺陷,同时提高了图像清晰㊁测量精度㊂这种无损㊁非接触式的测量方式突破了传统小岛法的局限,使得实验对象的选择更加广泛,为科学研究提供了更多的可能性㊂1.2 垂直截面法在X -Z 或Y -Z 方向上用垂直法剖面法,它通过切割断裂面的垂直剖面,得到断裂剖面上的复杂曲面,符合统计意义上的分形特征 自相似性,具体方法是在复杂曲线(断裂面)上取单位长度r ,来测量整个裂纹长度L ㊂图1所示:图1 垂直截面法示例301 第2期 李靖,等:基于三维体视分析技术对金属断口的分形研究401华北理工大学学报(自然科学版)第46卷在垂直截面法中,当考虑改变单位长度(r)时,与之相关的线段总长度N(r)也产生变化㊂关系如下:N r()=L/rɖr-D(4)Lɖr1-D(5)对式(5)中L和r做对数转换,拟合分析l n L-l n r曲线,求出直线斜率(1-D)㊂垂直截面法(V e r t i c a l S e c t i o n M e t h o d)在测量断口分形维数时的确展现出了相对简便的优势,因为它仅需要对断口进行数次裁截即可㊂但存在与小岛法同样需要破坏样品的问题,更重要的是,垂直截面法只能提供断口局部区域的形貌信息㊂由于分形维数通常用于描述整体结构的复杂性和不规则性,因此这种方法所得出的分形维数值可能无法全面反映断口的整体特性,所得的分形维数值存在很大的局限性㊂1.3计盒维数法传统的计盒维数法(B o x-c o u n t i n g D i m e n s i o n)是一种广泛应用的分形维数测量方法㊂它通过显微镜,特别是扫描电镜,捕获断口表面的图像,并对这些图像进行一系列处理如:裁剪㊁灰度化和二值化等㊂以提取分形曲线以便计算其维数,这种方法在测量断口分形维数时具有简便㊁快速的特点㊂这种方法一个显著局限性在于它基于二维图像进行计算㊂这意味着所得的分形维数被限制在1~2的范围内㊂对于本质上为三维结构的断口,其真实分形维数应在2~3之间㊂因此,传统方法的计盒维数计忽略了断口的深度信息,导致所得维数未能准确反映断口的真实复杂性和结构特性㊂为了克服这一限制并更准确地测量断口的分形维数,引入了三维重建技术和三维扫描技术㊂三维重建技术基于立体视觉原理,即通过分析同一物体在不同立体环境下的图像差异和视觉角度对应关系,来计算出物体的实际高度㊂这些技术能够获取断口的三维模型,从而提供更全面的形貌信息㊂随着测量图形从二维向三维的转变,计盒维数法的计算方法[18]也进行了相应的改进㊂计量单位由正方形变成立方体,这意味着测量的基本单位变得更加精确和全面㊂利用这种基本单位对三维重建后的断口进行覆盖测量,可以更准确地获取断口的几何特征㊂目前,在用计盒维数法进行断口分形分析中,常用的仪器有扫描电镜(S c a n n i n g E l e c t r o n M i c r o s c o p e, S E M)和激光共聚焦显微镜(L a s e rS c a n n i n g C o n f o c a lM i c r o s c o p e,L S C M或L S M)㊂有学者[19]利用扫描电镜通过改变载物台的垂直角度,对同一断口位置进行多次拍摄,将这些不同角度图像进行处理,计算其分形维数,并进行断口形貌的的三维重建㊂这种方法虽然在一定程度上地解决了传统计盒维数法缺少深度信息的缺陷,但所拍摄视场范围有限,需要多次操作,不仅繁琐还容易失误㊂激光共聚焦显微镜拍摄原理是利用激光通过逐点扫描的方式对断口表面区域进行扫描,并得到的断口形貌数据导入电脑通过三维重建技术获得断口表面图像㊂但是该技术缺点同样明显:其景深虽比一般光学显微镜大,但对于高度相差较大的金属断口其景深又远远不足,需要样品具有相对平整的表面才可以获得清晰的图像,分析断口有很大的局限性㊂用三维体视显微镜(S m a r t z o o m5)观察断口形貌,能够提供立体视觉,可以在任意方向上截取剖面图,更加直观地观察和分析断口,具有高分辨率㊁大视场和大景深的优势,能够大视野的条件下捕捉到断口表面的细微特征和结构㊂相比于扫描电镜和激光共聚焦显微镜,其操作简单直观,可以直接用显示屏观察断口的实时图像,并且可以及时调整以便于获得最佳的形貌信息用于研究㊂2三维体视显微技术断口分形研究2.1三维体视显微镜在断口分析中的特点本实验使用的实验仪器是三维体视显微镜S m a r t z o o m5,放大倍率为10ˑ~2020ˑ㊂结构如图2所示,三维体视显微镜,也称为立体显微镜,是一种能够提供三维立体视觉效果的显微镜㊂它的工作原理是:根据双目视差原理和光学成像原理,模拟人眼观察物体的视角,被观测物的光线经过物镜和变倍系统后,被分光镜分成两束,一束透过分光镜后,再由透镜组放大㊁棱镜组变向进入目镜,形成一个放大的虚像;另一束经分光镜表面反射后再经过反射镜进入相机,在相机的成像靶面上形成实像㊂通过双通道光路,可以同时观察到被观测物的立体图像,通过电脑设置观察角度来转动镜头的位置获取样品不同位置的信息,在显示器上实现三维立体效果㊂当观察到的断口形貌不理想时,可以随时移动样品位置,或者通过调节①和④在观察样的其他区域㊂此仪器的操作简单,对样品的选择没有太多要求,可以观察不同类型的断口,图像的形成原理基于光学放大,保证了断口原始数据的真实性㊂图2 三维体视显微镜用三维体视显微镜观察金属断口的表面形貌时,在电脑端设置好参数,通过镜头不断的自动聚焦,获取不同位置的形貌信息,经过图像处理,形成断口三维形貌立体图像,图像导出格式为1.c z i,需要注意的是在进行三维图像拍摄时,此时不能移动样品㊂将获得的断口形貌数据,通过处理转化为用于计盒维数法所需的网格坐标点㊂通过观察拉伸断口宏观形貌,可以发现图3(a )有明显的塑性变形,断口附近有缩颈现象,符合韧性断裂的特征;图3(b)的断口形貌呈阶梯状这是由于解理断裂产生的,在解理断裂中,裂纹沿特定的结晶学平面扩展,形成平坦的解理面㊂当多个解理面相交时,就会形成阶梯状的断口形貌,而解理断裂是脆性断裂的一种形式㊂其各元素含量如表1所示,从表中可以看出断口的化学成分符合国家标准G B /T700-2006‘碳素结构钢“的规定值㊂图3金属三维断口实拍图(单位:μm )501 第2期 李靖,等:基于三维体视分析技术对金属断口的分形研究表1 Q 235钢各元素含量与规定值C S i M n S P C r N i C u规定值0.12-0.20ɤ0.300.30-0.70ɤ0.045ɤ0.045ɤ0.30ɤ0.30ɤ0.30(a )拉伸韧性断口0.190.120.440.0110.0400.040.010.008(b )拉伸脆性断口0.160.110.460.0130.0190.010.010.0062.3 三维断口分形维数分析本研究根据断面图像网格节点的三维坐标,采用立体覆盖法[20],用小立方体覆盖断面㊂这种方法基于分形维数的基本定义,即分形集合的"盒子"数目随着盒子尺寸的减小而指数级增长㊂通过在每个尺度上划分盒子并计数满足特定条件的盒子数量,可以估算出分形维数㊂具体方法如下:在网格X -Y -Z 方向上用小立方体进行覆盖见图4:图4三维立体覆盖法示意图在平面上存在一个规则的正方形网格,在每个尺度为δ的网格单元中,有4个交点对应断裂面的4个高度:hi ,j ()㊁hi ,j +1()㊁hi +1,j ()和h (i +1,j +1)(其中1£i ,j £n -1,n 为裂缝面上每个剖面的采样点总数)㊂如果使用尺度为δ的立方体覆盖断裂面,则h (i ,j )㊁h (i ,j +1)㊁h (i +1,j )㊁h (i +1,j )和h (i +1,j +1)之间的最大差值决定了覆盖δ尺度内不规则表面所需的立方体数,即在参考平面的第(i ,j )网格单元的场中覆盖断裂面所需的立方体数N i ,j N i ,j =I N T 1/δ[m a x (hi ,j ()㊁hi ,j +1()㊁hi +1,j ()㊁hi +1,j (),hi +1,j +1()-m i n hi ,j ()㊁hi ,j +1()㊁hi +1,j ()㊁hi +1,j (),h (i +1,j +1)]+1{}(6)则覆盖整个断裂面所需的立方体总数为: N (δ)=ðn -1i ,j =1N i ,j (7)当断口表面呈分形时,通过改变尺度δ,得到不同的N (δ)值㊂N (δ)与δ的关系为:N δ()~δ-D (8)也可以表示为: l n (N δ())=-D l n δ+B (9)式(9)中D 为断口面的分形维数,B 为线性回归方程的截距㊂以试件的扫描实验数据作为基础,通过MA T L A B 编写程序来实现立方体覆盖法的计算过程㊂这样做的目的是建立N (δ)与δ之间的关系㊂通过这种方式,我们可以更深入地理解断口表面的分形特性,并为后续的分析提供有力支持㊂其中某试件的计算数据如下表2601 华北理工大学学报(自然科学版) 第46卷表2 立方体覆盖法计算得到的δ与N (δ)关系δN (δ)δN (δ)δN (δ)0.011148746720.11198801.6470.021********.2155403.280.0418104970.419466.420.082288550.830912.81 利用公式(9),可求出不同金属断口表面的分形维数,图5根据表2的数据点绘制关于l o g N (δ)与l o g δ的关系曲线㊂其计算结果为2.6985,从理论上说因为所观察的断口形貌处于三维空间,符合其分形维数取值范围2~3,具备合理性,同时也证明了断口具有分形特征㊂图5某试件的分形维数曲线Q 235B 钢拉伸断口脆性断裂和韧性断裂两种方式的分形维数见表3,表3中1-4号为韧性断口,5-8号为脆性断口㊂从表3中得到韧性断口的分形维取值范围:2.9021~2.9072数与R m 的相关系数:K=0.6862,与σs 的相关系数:K=0.4273㊂脆性断口的分形维数取值范围:2.9745~2.9956,与R m 的相关系数:K=(-0.8940),与σs 的相关系数:K=(-0.3696)㊂数据表明,拉伸断口的分形维数取值范围:2.9021~2.9956在理论范围(2~3)之内㊂抗拉强度(R m )与分形维数的相关系数:K=(-0.9886),屈服强度(σs )与分形维数的相关系数:K=(-0.9910),说明了抗拉强度(R m )和屈服强度(σs )与分形维数成负相关㊂表3 金属拉伸断口参数及分形维数D 编号12345678R m (M P a )538533551548421422430399σs (M P a )378371370375234250254245D2.90212.9052.90332.90722.98532.98832.97452.9956 通过试验结果发现:当金属的抗拉强度和屈服强度较高时,材料在受到拉伸力时更倾向于发生脆性断裂,断口表面相对平滑,分形维数较低㊂相反,如果金属的抗拉强度和屈服强度较低,其内部可能存在更多的缺陷和微裂纹,这些缺陷在受力时容易扩展并相互连接,导致断口形态更加复杂,分形维数较高㊂图6和图7分别为金属韧性㊁脆性断口情况图6金属韧性断口情况701 第2期 李靖,等:基于三维体视分析技术对金属断口的分形研究图7金属脆性断口情况Q 235B 钢冲击断口的分形维数见表4,数据表明:冲击断口的冲击值(a k )与分形维数成正相关(图7),即冲击值越大分形维数越大,表面越粗造㊂冲击断口的分形维数取值范围:2.7735~2.7955,与a k 的相关系数:K=0.9840㊂冲击韧性是衡量材料在受到冲击载荷时抵抗断裂的能力㊂当金属的冲击韧性较高时,其内部能够更有效地吸收和分散冲击能量,防止裂纹的快速扩展㊂这通常意味着断口表面会出现更多的塑性变形特征,如韧窝和撕裂棱,使得断口形态更加复杂和不规则,分形维数也相应增加㊂表4 金属冲击断口参数和分形维数D 编号123456a k (J /c m 2)101114153212629D 2.79552.79462.79532.77352.77822.7789图8金属冲击断口情况3金属断口三维重构三维重构[21-22]是通过计算机技术和其他相关技术,从多角度获取物体的图像或数据,然后利用这些信息来重建物体的三维模型㊂这种方法常用于那些难以直接检测和非破坏观察的物体上㊂金属断口进行无损分形维数计算的关键在于断口表面三维形貌重构㊂本实验用体视显微镜获取的断口表面三维形貌数据,通过MA T L A B 编写程序进行断口三维形貌的重构㊂做法如下:将三维体视显微镜获取的图像信息转化为三维坐标点(80ˑ80ˑ300μm ),使用r e a d m a t r i x (读取函数)函数读取文本文件中的数据,并将其转换为字符串类型㊂然后,使用s t r 2d o u b l e (数值转换函数)函数将字符串数据转换为双精度浮点数,使用p r e p a r e S u r f a c e D a t a (自定义曲线拟合函数)函数对数据进行曲面拟合,最后作平滑处理㊂结果与实际对比效果如图9:对比发现用三位体视显微镜拍摄的断口形貌数据经过处理之后与实际拍摄图相符,这验证了数据的真实性,确保分形维数值在合理的范围㊂801 华北理工大学学报(自然科学版) 第46卷图9三维重构图和实际形貌图4结论(1)断口分形分析技术向操作简易㊁不破坏样品㊁计算准确的方向发展,三维体视显微镜对比扫描电镜和激光共聚焦显微镜拍摄断口形貌具有简易操作,大视野,高景深等优势㊂三维体视显微镜获取的断口信息更丰富,所计算的分形维数值更精确,拍摄过程可实时观察,可以获得更好的数据信息㊂(2)用三维体视显微镜拍摄得到的分形数据更丰富,可以更精确的计算断口的分形维数㊂对所得数据进行分形维数计算,拉伸断口的抗拉强度(R m )与分形维数的相关系数:K=(-0.9886),屈服强度(σs )与分形维数的相关系数:K=(-0.9910),说明抗拉强度(R m )和屈服强度(σs )与分形维数成负相关㊂冲击断口中的冲击值与分形维数的相关系数为0.9840,说明冲击值与分形维数成正相关㊂金属抗拉强度和屈服强度高时,倾向于脆性断裂,断口平滑,分形维数低;强度低时,内部缺陷多,易形成复杂断口,分形维数高㊂冲击韧性高时,金属能有效吸收冲击能量,断口呈现塑性变形特征,形态复杂,分形维数增加㊂(3)用MA T L A B 对体视显微镜获得的断口形貌数据进行了三维重构,结果表明重构的图形与实际相符,为断口分析提供了新的检测方法,通过这种方式,可以更深入地理解断口表面的分形特性,并为断口后续的分析提供有力支持㊂参考文献:[1] W a n g Y ,W a n g W ,Z h a n g B ,e t a l .Ar e v i e wo nm i x e dm o d e f r a c t u r e o fm e t a l s [J ].E n g i n e e r i n g F r a c t u r eM e c h a n i c s ,2020,235(p r e p u b -l i s h ).[2] L uL ,P a nQ ,H a t t a rK ,e t a l .F a t i g u e a n d f r a c t u r e o f n a n o s t r u c t u r e dm e t a l s a n d a l l o y s [J ].M R SB u l l e t i n ,2021,46(3).[3] 熊伟腾,范金娟,王云英等.材料断口分形维数测量方法研究进展[J 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r i a l[J].F r a c t a l a n dF r a c t i o n a l,2022,6(10).[8] W o j c i e c h M,R i c a r d oB,M a t e u s zK,e t a l.F r a c t a l d i m e n s i o nf o rb e n d i n g-t o r s i o nf a t i g u e f r a c t u r ec h a r a c t e r i s a t i o n[J].M e a s u r e m e n t,2021,184.[9]高珍鹏,霍光瑞,宫旭辉.高锰奥氏体低温钢拉伸断口开裂原因分析[J].材料开发与应用,2021,36(05):1-4.[10]冯柳,彭庆梁.扫描电镜在金属材料检测中的应用[J].世界有色金属,2020(16):208-209.[11]陈化宁.45钢滚杠轴断裂失效分析[J].机械工程师,2021(07):144-146+151.[12]吕盼盼.焊接接头疲劳断口的三维重构及损伤分析[D].南京:南京航空航天大学,2011.[13] K e n g oH,T o s h i oO,Z h i l e iW,e t a l.T h r e e-D i m e n s i o n a l A n a l y s i s o f F e r r i t eG r a i n sR e c r y s t a l l i z e d i nL o w-C a r b o n S t e e l d u r i n g A n n e a l i n g[J].M a t e r i a l s,2021,14(15).[14] H eY,Z h a n g R,M o h r m a n nS,e t a l.M e a s u r e m e n t a n dA n a l y s i s o fT h r e e-D i m e n s i o n a l S u r f a c eT o p o g r a p h y o f S a w nT i m b e r B a s e do nS c a n n i n g P r o b eM e t h o d[J].J o u r n a l o fR e n e w 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2,3(1.C o l l e g e o f S c i e n c e ,N o r t hC h i n aU n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y ,T a n g s h a nH e b e o i 063210,C h i n a ;2.C o l l e g e o fM e t a l l u r g y a n dE n e r g y ,N o r t hC h i n aU n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y ,T a n gs h a nH e b e i 063210,C h i n a ;3.C o m p r e h e n s i v eT e s t i n g a n dA n a l y z i n g C e n t e r ,N o r t hC h i n aU n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y ,T a n g s h a nH e b e i 063210,C h i n a ;4.Y i s h e n g I n n o v a t i o nE d u c a t i o nB a s e ,N o r t hC h i n aU n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n dT e c h n o l o g y ,T a n g s h a nH e b e i 063210,C h i n a )K e y w o r d s :m e t a l f r a c t u r e ;f r a c t a l d i m e n s i o n ;b o x -c o u n t i n g d i m e n s i o n m e t h o d ;t h r e e -d i m e n s i o n a l s t e r e o s c o p i cm i c r o s c o p i c a n a l y s i s ;t h r e e -d i m e n s i o n a l r e c o n s t r u c t i o n A b s t r a c t :M e t a lf r a c t u r e sc o n t a i n c r u c i a li n f o r m a t i o n a b o u tt h e p r o p e r t i e s ,p e r f o r m a n c e ,a n d s e r v i c e p r o c e s so fm e t a lm a t e r i a l s ,s e r v i n g a s k e y e v i d e n c e f o r q u a l i t a t i v e a n a l y s i s a n d q u a n t i t a t i v e c h a r a c t e r i z a t i o n o f m e t a lf r a c t u r e s .T h e s t u d i e s s h o w t h a tf r a c t a ld i m e n s i o ni s c l o s e l y r e l a t e d t o m a t e r i a lf r a c t u r e p a r a m e t e r s ,b u t t r a d i t i o n a l t w o -d i m e n s i o n a l i m a g e a n a l y s i s i s d i f f i c u l t t o f u l l y r e v e a l t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f f r a c t u r e s .I no r d e r t o g a i nad e e p e ru n d e r s t a n d i n g o f f r a c t u r em e c h a n i s m s a n d m a t e r i a l p r o p e r t i e s ,t h r e e -d i m e n s i o n a l m o r p h o l o g y t e c h n o l o g y h a s g r a d u a l l y b e c o m e a r e s e a r c h h o t s p o t .A m o n g a n a l y t i c a l i n s t r u m e n t s ,t h r e e -d i m e n s i o n a ls t e r e o m i c r o s c o p e sc a n p r o v i d e m o r ec o n v e n i e n ta n d a c c u r a t ef r a c t u r e i n f o r m a t i o n ,w h i c h c a nt h e n b e u s e dt oi n f e r m a t e r i a lf r a c t u r e p r o p e r t i e s b y c a l c u l a t i n g t h ef r a c t a l d i m e n s i o n .T h eb o x -c o u n t i n g d i m e n s i o na n a l y s i s m e t h o dh a sa d v a n t a g e ss u c ha se a s eo f i m p l e m e n t a t i o n a n d u n d e r s t a n d i n g ,w i d e a p p l i c a t i o n r a n g e ,g o o d s t a b i l i t y ,a n d s t r o n g i n t e r p r e t a b i l i t y .T h e t h r e e -d i m e n s i o n a lm o r p h o l o g y o ft h ef r a c t u r e w a so b t a i n e d u s i n g at h r e e -d i m e n s i o n a ls t e r e o m i c r o s c o p ea n d MA T L A B p r o g r a m ,a n dt h e f r a c t a ld i m e n s i o n w a sc a l c u l a t e d .E x p e r i m e n t sh a v es h o w nt h a t t h et e n s i l e s t r e n g t ha n d y i e l d s t r e n g t ho f t e n s i l e f r a c t u r e s a r en e g a t i v e l y c o r r e l a t e dw i t ht h e f r a c t a l d i m e n s i o n ,w h i l e t h e i m p a c t v a l u e o f i m p a c t f r a c t u r e s i s p o s i t i v e l y c o r r e l a t e dw i t h t h e f r a c t a l d i m e n s i o n .111 第2期 李靖,等:基于三维体视分析技术对金属断口的分形研究。

磨损表面形貌的三维分形维数计算磨损表面形貌的三维分形维数计算是一种用于描述磨损表面粗糙度的方法。

分形维数是指用一个数值来度量几何结构的粗糙程度，分形维数越高，表明表面越粗糙。

在计算磨损表面的分形维数时，需要首先进行图像处理，将磨损表面的图像转换为二进制图像。

然后，利用分形理论的相关算法进行计算。

一种常用的算法是盒计数法，它将磨损表面分割成一系列大小不同的盒子，然后统计这些盒子中是否包含有表面结构。

通过不断改变盒子的尺寸，可以得到一组不同大小的盒子个数N 与盒子尺寸r之间的关系。

通过对数-对数图形的线性拟合，可以得到斜率值，该斜率值即为磨损表面的分形维数D。

根据分形维数的定义，D满足如下关系式：N(r) ∝ r^(-D)其中，N(r)表示在尺寸为r的盒子中包含表面结构的个数。

通过计算分形维数D，可以对磨损表面的形貌进行定性和定量的分析。

分形维数越高，表示磨损表面的粗糙度越高，表面结构越复杂。

这对于研究磨损机理、评估磨损性能以及制定更好的磨损控制策略都具有重要的意义。

此外，磨损表面的三维分形维数计算还可以通过其他算法来实现，例如盒维数法、坐标间距序列法等。

盒维数法是一种常用的计算分形维数的方法。

它通过将磨损表面分割成一系列大小相等的盒子，然后统计这些盒子中包含的非空像素点的个数。

对于每个尺寸为r的盒子，计算它们包含的像素点个数与盒子尺寸的关系，得到分形维数D。

坐标间距序列法利用磨损表面的坐标间距信息来计算分形维数。

首先，根据磨损表面的二进制图像，提取出像素点坐标。

然后，计算每两个像素点之间的间距，并将这些间距按照大小进行排序。

最后，通过对排好序的间距进行分析，得到分形维数D。

磨损表面的三维分形维数计算方法不仅可以用于实验室磨损试验的表面形貌分析，还可以应用于实际工程中，例如车辆刹车片的磨损分析、齿轮磨损分析等。

它可以提供对磨损表面的粗糙度、表面结构的定量信息，为磨损机理研究和磨损控制提供有力的支持。

粗糙表面分维计算的立方体覆盖法对于一个立方体对象，其表面积是有限的，因此我们可以想到使用覆盖法来计算其表面积。

在这里，我们采用粗糙表面分维计算的方法来进行表面积的计算。

首先，我们将立方体表面划分为若干小正方形区域，每个小区域的边长为$\delta$。

然后，我们以相同的边长$\delta$在空间中覆盖整个立方体表面。

然后，我们定义每个小正方形区域内的粗糙度为$r$，表示该区域内表面较为粗糙的程度，可以通过测量该区域表面的平均曲率、表面缺陷等指标来进行评估。

我们将$r$定义为该区域的局部表面维度。

在这里，我们假设每个小正方形区域的粗糙度是均匀分布的，因此，该区域内每一个具有线性尺度$s$的小区域内，粗糙度为$r$的分维概率可以视为一个常数$p(r,s)$。

因此，我们可以计算得到$s$尺度下，表面积内粗糙度为$r$的区域数量为：$$N_s(r)=\frac{S}{\delta^2}p(r,s)$$其中，$S$为立方体表面的总面积，$\delta$为小正方形区域的边长。

由于一个区域内的粗糙度可能对应多个分维空间，因此，我们需要对每一个区域内的分维空间数量进行计算。

对于一个粗糙度为$r$的小区域，其分维数量可以通过计算该区域内线性尺度为$s$的空间内的小区域数量$N_s$和尺度为$s+\delta s$的空间内的小区域数量$N_{s+\delta s}$之比来计算：$$n_s(r)=\frac{\ln N_s(r)-\ln N_{s+\delta s}(r)}{\ln(s+\delta s)-\ln s}$$通过对所有小区域的分维数量进行统计，并对每个分维空间大小进行平均，我们可以得到与粗糙度$r$相对应的平均分维空间大小$s(r)$。

然后，我们可以通过计算每个小正方形区域内的局部表面积与分维空间大小的乘积来得到该区域内的总表面积，并对所有小正方形区域内的表面积进行求和来得到立方体的总表面积：$$S=\sum_{i=1}^{N_\mathrm{cell}}(s(r_i)\delta)^2A_i$$其中，$N_\mathrm{cell}$为小正方形区域的数量，$A_i$为第$i$个小正方形区域内的局部表面积。

第23卷第2期2008年4月实验力学JO U RN A L OF EX PERIM EN T A L M ECH A N ICSV o l.23No.2A pr.2008文章编号:1001-4888(2008)02-0118-07扫描电镜下断口表面的三维重建及分形维数的测量*王怀文1,周宏伟1,谢和平1,2,左建平1,李艳杰1(1.中国矿业大学(北京)岩石力学与分形研究所,北京100083;2.四川大学,成都610065)摘要:基于数字散斑相关方法,利用扫描电镜立体对技术和计算机视觉方法实现了物体表面的三维重建,讨论了影响其精度的原因,并且利用分形理论对表面的三维形貌进行了定量分析,由立方体覆盖法得到了三维形貌的分形维数。

作为应用的实例,将该方法应用到岩石断口的三维重建中,得到了重建后的高度云图和分形维数。

结果表明,利用扫描电镜立体对技术对断口表面进行三维重构并进行分形维数的计算是一种行之有效的断口定量分析方法。

这为研究材料断裂的微观机理、断裂过程和断裂性质等问题提供了一种途径。

关键词:扫描电镜;三维重建;分形维数;数字相关方法中图分类号:O348文献标识码:A0引言三维重建是计算机视觉领域中的一个重要研究方向,主要是由两幅或者多幅两维图像恢复物体的三维几何形貌。

目前由两个普通摄像机分别获取的两维图像进行三维重建的技术已经比较成熟[1],扫描电镜下的三维重建也在20世纪90年代开始起步并得到发展[2,3]。

由于SEM具有分辨率高、景深大和可以直接观察试样等特点,特别适合于对断口进行分析研究,从而使显微断口SEM成像技术成为一种广泛用于研究断裂的方法。

但是,扫描电镜的成像技术是将立体的景物经过透视投影在二维平面上,损失了景物的深度信息,这给断口图像的平面分析带来很大的局限性。

为了得到断口图像完整的三维信息,在SEM下进行断口的三维重建具有较大的实用性。

定量的断口分析可以为揭示断裂微观机理、断裂过程和断裂性质等问题提供可靠的依据,从而更好地研究材料和零部件的失效。

三维粗糙表面分形参数结构函数法【摘要】本文介绍了三维粗糙表面分形参数结构函数法的基本原理、参数的选择与计算、分形参数的意义和应用、分形结构函数的建立以及实验研究和数值模拟。

通过对三维粗糙表面的分形特征进行分析和模拟，揭示了其表面形貌的复杂性和规律性。

研究表明，分形参数可以有效描述表面的粗糙度和形貌特征，为材料科学、表面工程和生物医学等领域提供了重要参考。

通过建立分形结构函数，可以更准确地对表面特征进行表征和预测，为表面设计和改性提供了理论依据。

未来可以进一步完善该方法，拓展其在不同领域的应用，为实际工程和科研提供更多的帮助和指导。

【关键词】三维粗糙表面、分形参数、结构函数法、基本原理、参数选择与计算、分形参数的意义和应用、分形结构函数的建立、实验研究、数值模拟、结论、展望。

1. 引言1.1 引言三维粗糙表面是自然界和工程领域中常见的表面形态，其不规则性和复杂性给表面性能和功能带来了挑战。

为了描述和分析三维粗糙表面的特性，研究者们提出了各种各样的方法和技术。

三维粗糙表面分形参数结构函数法是一种较为常用和有效的方法。

本文将重点介绍三维粗糙表面分形参数结构函数法的基本原理、参数的选择与计算、分形参数的意义和应用、分形结构函数的建立以及实验研究和数值模拟等方面内容。

通过深入探讨这些内容，可以更好地理解和应用该方法，从而更好地揭示和分析三维粗糙表面的特性。

三维粗糙表面分形参数结构函数法的引入，为我们研究和理解三维粗糙表面提供了新的思路和工具。

通过对分形参数和结构函数的建立与分析，可以更全面地把握三维粗糙表面的特性，为相关领域的研究和应用提供有力支持。

在未来的研究中，我们可以进一步探索和拓展这一方法，更好地应用于实际问题的解决并取得更好的效果。

2. 正文2.1 三维粗糙表面分形参数结构函数法的基本原理三维粗糙表面分形参数结构函数法是一种用于表征和分析三维粗糙表面形貌的方法。

其基本原理是利用分形几何学的理论，将表面形貌抽象为具有统计自相似性的分形结构，通过计算得到一系列描述表面形貌特征的分形参数。

2019年11期方法创新科技创新与应用Technology Innovation and Application分形维数李雪1，邓捷1，吴春菊2，李学彬2（1.西南交通大学希望学院，四川成都610400；2.成都中建鸿远钢结构工程有限公司，四川成都610000）1概述材料的破坏与变形一直都是固体力学工作者所关心的重要问题，多年来对它们进行了广泛的研究。

近几年来，随着非线性科学的发展，一些新理论和新概念已广泛的应用于材料的破坏和变形的研究中。

例如分形、混沌、符号动力学、小波分析等等，特别是分形几何的引入，使断裂力学的研究展现出新的前景。

大量观察表明：相当多的材料展现出非常相似的开裂图形，在微观薄膜沉积，油漆薄膜到几千米尺度的基石等差别悬殊的材料系统中，在一定尺度范围内形成一些非常相似的裂纹斑图。

这种相似性可能提示我们在材料断裂和变形过程中存在某种普适性的系统。

人们通过对材料断口形貌、裂纹扩展路径、位错分布形态的仔细观察、测量和分析发现：分形作为一种新的手段可以定量地表征断口形貌、裂纹扩展路径和材料的破碎与能量耗散。

分形维数能定量刻画断口剖面的弯曲程度以及断裂表面的粗糙度。

2二维分形量测法分形维数的计算方法比较多，虽然准确度各不相同，但结果都大同小异。

对于二维曲线来说，用不同的码尺去量测海岸线是分形量测中最早使用的方法，但盒维数法比码尺法使用更广。

该法是将图像看作三维的曲面或者二维曲线，然后一定码尺的盒子去覆盖该面或者该线，最后计算盒子总数，然后根据码尺和盒子总数的关系得出分形维数。

[1]用正方形的格子（δ*δ）去覆盖需要计算的曲线，格子的大小是变化的。

给定盒子的尺码δ，可以数出覆盖该二维曲线所需的总盒子数目N 。

假设第i 步覆盖使用δi*δi 的格子，所需盒子数目为Ni （δi ），在第i+1步所需盖的格子δi+1*δi+1，则需盒子数目为Ni+1（δi+1）。

可以发现在任意两个尺寸下所需盒子数之比与尺码之比存在如下关系：N i+1N i=（δi /δi+1）D ，N i+1=（N i δi D ）（δi+1）-DN i δi D 为常数[1]，所以N i+1=a （δi+1）-D，N=a δ-D 因此，得出格子尺寸δ和覆盖所需总盒子数目N 的数据，线性拟合，绘出双对数图，其斜率即为该几何的分形维数D 。

基于分形理论的磨削粗糙表面静摩擦系数模型
成雨;卜颖滨;万珍平;刘章敏
【期刊名称】《航空制造技术》
【年(卷),期】2024(67)7
【摘要】为更准确地计算磨削粗糙表面的静摩擦系数,本文综合考虑了微凸体相互作用和区域扩展系数的影响,基于分形几何理论和Hertz接触理论,并利用切向接触载荷的基本理论,推导了磨削粗糙表面的真实接触面积、法向总载荷和切向总载荷,
建立磨削粗糙表面的静摩擦系数分形模型,通过数值仿真研究了不同法向总载荷、
分形维数、高度尺度参数以及材料参数对粗糙表面静摩擦系数的影响规律。

仿真结果表明,磨削粗糙表面的静摩擦系数随着法向总载荷的增加而增加,随着高度尺度参
数或材料参数的增大而减小;静摩擦系数和分形维数存在非线性关系,当分形维数小
于2.65时,静摩擦系数随着分形维数的增大而增大,当分形维数大于2.65时,静摩擦系数随分形维数的增大而减小。

最后通过试验和现有模型验证了本文模型的有效性。

【总页数】6页(P125-130)
【作者】成雨;卜颖滨;万珍平;刘章敏
【作者单位】华南理工大学
【正文语种】中文
【中图分类】TG5
【相关文献】
1.平面磨削加工表面静摩擦系数与表面粗糙度关系的计算模型
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