第3章-均匀各项同性湍流

脉动压强满足Poisson方程：
上面三式构成了不可压湍流的基本方程
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
下面考察不可压缩均匀湍流场中的湍动能和雷诺应力的演化。对于不 可压缩均匀湍流，一点的统计相关量的空间导数等于零，因此它的湍动能 利雷诺应力方程可以简化为：
由上式可见，均匀湍流场中湍动能总是耗散的
3.4.2 不可压缩均匀各向同性湍流的Karman-Howarth方程
脉动压强和速度相关项的作用使湍流脉动速度各向同性化， 一旦湍流场达到各向同性状态，压强—速度相关项就不再有任 何作用。
上式即为不可压缩各向同性湍流的2阶纵向速度相关方程。最早 由Karman和 Howarth(1938)导出，称为卡门--霍华斯方程。Karman-Howarth方程是线性偏微分方程，较之原始变量的N—S方程要简单 得多，不过，Karmnn--Howarth方程仍然是不封闭的。

3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.4 均匀湍流中的湍动能传输链
在粘性作用下，脉动速度逐渐衰减，而且小尺度的成分衰减 得最快，于是在耗散过程中大尺度脉动成分占更多份额。
由于惯性在速度脉动的各个尺度间进行动量输运，它将大尺 度脉动的动能传输给小尺度脉动。
于是在粘性和惯性的联合作用下，湍流脉动场形成一种能量 传输链：大尺度湍流脉动通过惯性作用向小尺度湍流脉动不断输 送能量，这股能量在小尺度湍流脉动中耗散殆尽。
，或者说湍流脉
动总是衰减的，初始的湍动能在演化过程中将耗散殆尽。
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.2 不可压缩均匀湍流的谱理论 对湍流速度场和压强场进行傅立叶展开，经过一系列变换，
可以得到谱空间中湍流脉动的演化方程：
忽略非线性作用，单独考察粘性耗散，有如下积分式：
粘性耗散使脉动以指数函数衰减，衰减指数和波数的平方成 正比，因此高波数成分迅速衰减，单纯衰减过程中各波段间相位 关系不变。
在能量传输过程中，压强在各个脉动分量间起调节作用，如 果物理空间中初始脉动场的动能在各个分量间分配不均匀，压强 梯度将使它们逐渐均分。
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
3.4.1 不可压缩均匀湍流的2阶速度相关动力学方程和谱张量动力学方程 动力学方程
谱张量动力学方程
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
根据各向同性湍流的定义，要求相关张量函数在坐标系转动时 具有不变性。应用前面知识，就可以导出各向同性湍流场中各阶相 关函数的表达式。
3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量
1.各向同性湍流场中两点2阶速度相关函数的表达式
各向同性湍流场中2阶速度相关函数必有以下的函数式：
选定两个特定几何构形的相关：纵向相关和横向相关， 它们的定义如图3-3所示。
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.3 不可压缩均匀湍流中的湍动能输运过程 谱空间中脉动动量输运的动力学方程：
湍流各个脉动成分间的相互作用有双重含义：一种是各个波段 间速度分量相互作用；另一种是同一波数下各个速度分量间的相互 作用，压强梯度和惯性分别担当这两种作用。 （1）压强在不同脉动分量间重新分配能量，而不改变给定尺度(波数) 的湍动能 （2）惯性作用产生各波段间动量传输，但不改变物理空间中各脉动分量 的平均能量
3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量
按照纵向相关和横向相关的定义带入，各向同性湍流场中 2阶速度相关的一般表达式，就有：
定义：沿相对位移方向的脉动速度分量的2阶相关称做两点纵向 相关 定义：垂直于相对位移方向的脉动速度分量的2阶相关称做两点 横向相关
3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量
4. 旋转系统中均匀湍流的两点速度相关
在无界旋转系统山的湍流场仍然可能是均匀的，但是由 于旋转系统中的哥氏惯性力，湍流场不再保持各向同性。即 使是无界湍流场是均匀的，这时2阶速度相关函数将是两点 相对向量 和角速度的函数，并可以写为：
坐标系转动无关的2阶张量函数表达式应是：
3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量
图3-7是各向同性湍流的典型传输谱 T k ， 图3-8是典型的能谱 Ek
宣 传 解 释 工 作，使
上图表示均匀湍流的定义（只表示4阶相关），在均匀湍流场中4点 统计相关函数只和4点间3个相对向量有关
3.1 均匀湍流流场的相关函数和谱张量
均匀各向同性
定义：如果任意n点空间几何构形在空间中平移和转动时，脉动速 度的任意n阶统计相关函数的值不变(或任意n点联合概率密度不变)， 则称该湍流场是均匀各向同性的。
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
3.4.3 Karman--Howarth方程的应用
1．不可压缩均匀各向同性湍流场中湍动能耗散方程和Taylor微尺度 湍动能耗散率直接和Taylor微尺度直接相关
或者
或者
上式表明Taylor微尺度是各向同性湍流中的湍动能耗散特征尺度
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
张量函数的坐标不变性： 任何物理定律或定理，不论它足用标量表示还是用张量表示，
都应当和坐标系的刚体转动无关。
3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量
3.2.2 各向同性湍流的相关张量函数及其性质
N点几何构形由n-1个相对向量 1,2,....,n1完全确定，因
此各向同性湍流流场中n阶相关的表达式为：
2 洛强斯基(1939)不变量
上面 称为洛强斯基不变量，它表示各向同性湍流场 衰减过程中某种统计特征量的守恒性。
3．均匀各向同性湍流的后期衰变 各向同性湍流的衰减后期，湍流脉动量很小，这时3阶相关 和2阶相关相比是高阶小量，因而可略去不计，于是不可压缩 各向同性湍流的后期衰变方程简化为：
3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质
通过分析表明，不可压缩各向同性湍流的后期衰变过程中，湍动 能随时间以(-2.5)次方的幂函数衰减；Taylor微尺度则随时间以0.5次 方增长；以上结果得到Batchelor和Townsend(1948)实验的很好验证， 见图3-6。
3.5 不可压缩均匀各向同性湍流中的湍动能传输
3.5.1 不可压缩均匀各向同性湍流中的湍动能输运方程 积分的谱空间湍动能方程可写为：
第三章 均匀各项同性湍流
3.1 均匀湍流流场的相关函数和谱张量 3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量 3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程 3.4 不可压缩均匀各向同性湍流动力学的若干性质 3.5 不可压缩均匀各向同性湍流中的湍动能传输链 3.6 局部各向同性湍流的结构函数 3.7 各向同性湍流相关方程的封闭
3.1 均匀湍流流场的相关函数和谱张量
均匀湍流场
定义：如果任意n点空间几何构形在空间中平移时，脉动速度任意 n阶统计相关函数的值不变(或任意n点联合概率密度不变)，则称该 湍流场是均匀的。
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因此它的2阶速度谱张量函数必有以下形式：
同样，不可压缩各向同性湍流场中的3阶速度谱张量 的一般表达式为：
3.3 不可压缩均匀各向同性湍流的动力学方程
3.3.1 不可压缩均匀湍流的基本方程 湍流满足Navier-Stokes方程。对于不可压缩流体的均匀湍流场，
它的平均流速是常向量，因此不失其一般性的讨论，可以令平均速度等 于零。于是，均匀湍流的脉动场(取消脉动量的上标“-”’号)满足NavierStokes方程：
(7)不可压缩均匀湍流场巾脉动涡量的2阶谱张量
(8)均匀不可压缩湍流场中的湍动能耗散 湍动能耗散率：
湍流耗散张量和湍动能耗散的积分表达式：
3.2 均匀各向同性湍流场的相关函数和谱张量
3.2.1 张量的不变量和张量函数
张量不变量概念：
有限阶张量只有有限个独立不变量，应用Coyley-Hamiton定 理可证明：2阶张量只有三个独立不变量，即2阶张量的迹以及它 的平方和立方的迹是三个独立不变量，2阶张量的高阶幂函数的 迹可以由以上三个独立不变量算出。
(4)不可压缩均匀湍流场中2阶速度谱张量有以下等式：
(5)均匀湍流场中2阶速度谱张量是Hermit张量，2阶速度 谱张量等于它的转置张量的复共轭：
(6)均匀湍流场中脉动涡量的2阶相关函数和谱张量，脉动涡量 是脉动速度的旋度