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7.3 湍流的动能平衡众所周知，湍流的瞬时速度t v 也可看成是时间平均速度v 与叠加脉动速度v'的和。
因此，平均速度场的动能不同于瞬时动能的平均值，而后者包含脉动动能的时间平均值： 222222v v v t '+=ρρρ . (7.20) 动能不满足守恒定律，因此湍流动能的平衡不是守恒定律公理，它只能由动量平衡方程衍化而成。
很明显，从实用的观点上看，许多重要的方程都是22v ρ项的平衡式。
然而，22t v ρ和22v 'ρ的平衡等式也会对湍流的属性提供很有价值的信息。
动量平衡推导为了得出湍流总动能的平衡等式，把动量方程乘上时间平均后的速度t v。
用这种方法我们可以得到： =∇'+'+'++'+∂+})](){[()()]([)(v v v v v v v v tv v ρρ })]()){[(()]()[()(∇'+∇+∇'+'++'+∇'+-'+=v v v v v v p p v v v v g μρ . (7.21) 逐项了解各项求平均值过程。
对于左边第一项：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂='+∂∂+22)]([)(22v t v t v v t v v ρρρ . 与v ' 成线性关系的项消失了。
左边第二项（对流项）求平均值也是这种情况。
因此该项可以分解为下面各项的和： +∇'+∇'+∇'+])[(])[(])[()][(v v v v v v v v v v v v ρρρρ])[(])[(])[(])[(∇'''+∇''+∇''+∇'+v v v v v v v v v v v v ρρρρ.稍加变换并考虑div 0='v， 得出的平均值结果为： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∇v v v v v v v 2div 2grad ])[(22ρρρ; ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'=∇'v v v v v v v 2div 2grad ])[(22ρρρ; ∇''=∇''=∇''v v v v v v v v v :])[(])[(ρρρ;∇==∇ v v v v v v v v v :])([div ])([ρρρ;方程右边第一项很明显为:v g v v gρρ='+)(,而对于右边第二项我们有: +'∇+∇'+∇='+∇'+)()()()]()[(p v p v p v p p v vv p v p v p v p p v ''--''+='∇'+ div div )(div )(div )(.与脉动成线性关系的项消失了，因为流体的不可压缩性最后两项也等于零。
