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第三章,湍流模型

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fluent湍流模型

fluent湍流模型

第三节，
湍流模型
3.3.1 单方程（Spalart-Allmaras）模型 ~ ，表征出了近壁（粘性影响）区域以外的湍流运动粘 Spalart-Allmaras 模型的求解变量是ν ~ 的输运方程为： 性系数。ν
~ ~ ~ ∂ν Dν 1 ∂ ∂ν ~ − Yν ρ = Gν + 3－9 ( µ + ρν ) + Cb 2 ρ Dt σ ν~ ∂ x ∂ x ∂ x j j j 其中，Gν 是湍流粘性产生项；Yν 是由于壁面阻挡与粘性阻尼引起的湍流粘性的减少；σ ν ~
ρu y u = τ uτ µ ρuτ y u 1 = ln E µ uτ k
其中，k=0.419，E=9.793。
3－18
如果网格粗错不能用来求解层流底层，则假设与壁面近邻的网格质心落在边界层的对数 区，则根据壁面法则： 3－19
对流传热传质模型 在 FLUENT 中，用雷诺相似湍流输运的概念来模拟热输运过程。给出的能量方程为：
3－11
壁面的距离；S ≡
Ω ij =
∂u 1 j − ∂u i 2 ∂xi ∂x j
由于平均应变率对湍流产生也起到很大作用，FLUENT 处理过程中，定义 S 为：
S ≡ Ω ij + C prod min(0, S ij − Ω ij )
Байду номын сангаас其中， C prod = 2.0 ， Ω ij ≡
率ε两个方程，湍流粘性系数用湍动能 k 和耗散率ε的函数。Boussinesq 假设的缺点是认为湍 流粘性系数 µ t 是各向同性标量，对一些复杂流动该条件并不是严格成立，所以具有其应用限 制性。 另外的方法是求解雷诺应力各分量的输运方程。这也需要额外再求解一个标量方程，通常 是耗散率ε方程。这就意味着对于二维湍流流动问题，需要多求解 4 个输运方程，而三维湍流 问题需要多求解 7 个方程，需要比较多的计算时间，对计算机内存也有更高要求。 在许多问题中，Boussinesq 近似方法可以得到比较好的结果，并不一定需要花费很多时间 来求解雷诺应力各分量的输运方程。但是，如果湍流场各向异性很明显，如强旋流动以及应力 驱动的二次流等流动中，求解雷诺应力分量输运方程无疑可以得到更好的结果。

中科大FLUENT讲稿_第三章_湍流模型

中科大FLUENT讲稿_第三章_湍流模型

第三章，湍流模型第一节， 前言湍流流动模型很多，但大致可以归纳为以下三类：第一类是湍流输运系数模型，是Boussinesq 于1877年针对二维流动提出的，将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积。

即：2121x u u u t ∂∂=''-μρ 3－1 推广到三维问题，若用笛卡儿张量表示，即有：ij ijj i t j i k x u xu u u δρμρ32-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=''- 3－2 模型的任务就是给出计算湍流粘性系数t μ的方法。

根据建立模型所需要的微分方程的数目，可以分为零方程模型（代数方程模型），单方程模型和双方程模型。

第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其它二阶关联量的输运方程。

第三类是大涡模拟。

前两类是以湍流的统计结构为基础，对所有涡旋进行统计平均。

大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维经过修正的Navier-Stokes 方程，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用上述的模型。

实际求解中，选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。

选择的一般原则是精度要高，应用简单，节省计算时间，同时也具有通用性。

FLUENT 提供的湍流模型包括：单方程（Spalart-Allmaras ）模型、双方程模型（标准κ-ε模型、重整化群κ-ε模型、可实现(Realizable)κ-ε模型）及雷诺应力模型和大涡模拟。

湍流模型种类示意图包含更多 物理机理每次迭代 计算量增加提供RANS-based models第二节，平均量输运方程雷诺平均就是把Navier-Stokes 方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分。

对于速度，有：i i i u u u '+= 3－3其中，i u 和i u '分别是平均速度和脉动速度（i=1,2,3）类似地，对于压力等其它标量，我们也有：φφφ'+= 3－4 其中，φ表示标量，如压力、能量、组分浓度等。

第三章_湍流模型

第三章_湍流模型

第三章 湍流模型第一节 前言湍流流动模型很多，但大致可以归纳为以下三类：第一类是湍流输运系数模型，是Boussinesq 于1877年针对二维流动提出的，将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积。

即：2121x u u u t ∂∂=''-μρ 3－1 推广到三维问题，若用笛卡儿张量表示，即有：ij ijj i t j i k x u xu u u δρμρ32-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=''- 3－2 模型的任务就是给出计算湍流粘性系数t μ的方法。

根据建立模型所需要的微分方程的数目，可以分为零方程模型（代数方程模型），单方程模型和双方程模型。

第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其它二阶关联量的输运方程。

第三类是大涡模拟。

前两类是以湍流的统计结构为基础，对所有涡旋进行统计平均。

大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维经过修正的Navier-Stokes 方程，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用上述的模型。

实际求解中，选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。

选择的一般原则是精度要高，应用简单，节省计算时间，同时也具有通用性。

FLUENT 提供的湍流模型包括：单方程（Spalart-Allmaras ）模型、双方程模型（标准κ-ε模型、重整化群κ-ε模型、可实现(Realizable)κ-ε模型）及雷诺应力模型和大涡模拟。

湍流模型种类示意图Direct Numerical Simulation包含更多 物理机理每次迭代 计算量增加提的模型选RANS-based models第二节 平均量输运方程雷诺平均就是把Navier-Stokes 方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分。

对于速度，有：i i i u u u '+= 3－3其中，i u 和i u '分别是平均速度和脉动速度（i=1,2,3）类似地，对于压力等其它标量，我们也有：φφφ'+= 3－4 其中，φ表示标量，如压力、能量、组分浓度等。

第三章流场的数值计算方法及湍流模型介绍.

第三章流场的数值计算方法及湍流模型介绍.

3.1 流场数值计算的主要方法
分离式解法
分离式解法不直接解联立方程组，而是顺序地、 逐个地求解各变量代数方程组。依据是否直接求 解原始变量，分离式解法分为原始变量法和非原 始变量法
3.2 SIMPLE算法的求解思想
压力修正法 分类
SIMPLE算法 SIMPLC方法 PISO算法
3.2 SIMPLE算法的求解思想
3.2 SIMPLE算法的求解思想
修正的原则
与修正后的压力场相对应的速度场能满足这—迭代层 次上的连续方程。
两个关键问题
如何获得压力修正值(即如何构造压力修正方程)，以 及如何根据压力修正值确定“正确”的速度(即如何 构造速度修正方程) 。
3.2 SIMPLE算法的求解思想
SIMPLC算法
在通量修正方法上有所改进，加快了计算的收敛速度。
3.1 流场数值计算的主要方法
3.1 流场数值计算的主要方法
耦合式解法 (1)假定初始压力和速度等变量，确定离散方程的 系数及常数项等。 (2)联立求解连续方程、动量方程、能量方程。 (3)求解湍流方程及其他标量方程。 (4)判断当前时间步上的计算是否收敛。若不收敛， 返回到第(2)步，迭代计算。若收敛，重复上述 步骤，计算下一时间步的按理量。
第三章 流场的数值计算方法及湍流模型介绍
本章授课内容
流场数值计算的主要方法 SIMPLE算法的求解思想 湍流模型的介绍Biblioteka 3.1 流场数值计算的主要方法
流场计算的基本过程是在空间上用有限体积法或
其他类似方法将计算域离散成许多小的体积单元， 在每个体积单元上对离散后的控制方程组进行求 解。流场计算方法的本质就是对离散后的控制方 程组的求解。 对离散后的控制方程组的求解可分为耦合式解法 (coupled method)和分离式解法(segregated method)

2湍流流动的数学模型

2湍流流动的数学模型
t
3）经验常数的适应性：每种模型所包括的经验常数有一定的适
用范围。（c1,c2,cμ)
4）在近壁区域内的适用性：低雷诺数时，系数cμ与湍流雷诺数有 关， Κ及ε方程要做相应修改。因为Κ-ε模型适合于高雷诺数模型 。采用高雷诺数Κ-ε模型计算流体与固体表面换热时，对壁面附 近的区域可采用壁面函数法。
思考题
K 是单位质量流体湍流脉动动能 k 1 (u2 v2 w2 ) 2
3）为确定μt，则必须求出脉动动能k（引出一方程模型）及长度标 尺l（引出Κ-ε两方程模型）。
2、湍流脉动动能方程（k方程）
思路：根据k的定义
1 2
uiui
出发，通过瞬态N-S方程及其
时均形式作一系列的运算而得出。经过一系列的近似处理，
2）雷诺时均方程法 雷诺时均方程是不封闭的，必须引入雷诺应力的封闭模
型才可能解出平均流场。雷诺应力的主要贡献来自大尺度脉 动，而大尺度脉动的性质和流动的边界条件密切相关。因此， 雷诺应力的封闭模式不可能是普遍适应的，就是说不存在对 一切复杂流动都适用的统一封闭模式。
3）大涡模拟 该方法是介于以上两种方法之间的模拟方法。其基本思
使方程封闭，简化后可得k的偏微分方程，即：kt Nhomakorabeauj
k x j
x
j
[(
t k
)
k x j
]
t
u j ( ui xi xj
u j xi
)
CD
k3/2 l
非稳态项
对流项
扩散项
产生项
耗散项
其中：
k 称为脉动动能的Prandtl数。 （一般为常数，取为1.0） （2）
注：耗散过程是分子粘性起作用的过程，它直接耗散的是湍流动能而非均流动能，故耗散项不应与均 流场有直接联系。

湍流模型

湍流模型

湍流模型推导对纳维斯托克斯方程做时间平均处理，即采用雷诺平均法（RANS ：Reynolds-Averaged Navier-Stokes ），可以得到湍流基本方程。

对于任意变量φ，按照雷诺时间平均法，可以拆分为如下格式：φφφ'+=“-” 表示对时间的平均，上标“’”代表脉动量。

按照dt TTt tφφ⎰∆+∆=1计算平均值，将流动变量i u 和p 转换成时间平均和脉动值之和u u u i '+=，p p p '+=为了使方程组更具有封闭性，必须模化雷诺应力，引入模型使方程组封闭。

其方法之一是湍流粘性系数法。

按照基于Boussinesq 的涡粘假设湍流粘性系数法有ij i i t i jj i t j i x u k x u xu u u δμρμρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=''-32 上述方程式中t μ为涡粘系数，i u 为时均速度，ij δ是Kronecker 符号，k 为湍流动能（当j i =时，1=ij δ；当j i ≠时，0=ij δ）。

2i i u u k ''=确定涡粘性系数t μ就是整个湍流模型的目标关键，确定湍流粘性系数法具体可以分为零方程模型、一方程模型、和二方程模型等等。

一 零方程模型零方程模型也可称作代数模型，直接建立雷诺应力和时均值的代数关系，从而把涡粘系数和时均值联系到一起的模型。

1 混合长度模式混合长度模式是基于分子运动的比拟，在二维剪切层中导出的。

混合长度l 类比分子运动自由程，在经历混合长度的横向距离上，脉动速度正比于混合长度及流向平均速度梯度，即：yUlu ∂∂∝' （1.1-1） 而粘性系数应当正比于脉动速度和混合长度之积（分子粘性系数正比于自由程和分子热运动速度之积），从而涡粘系数有如下的估计式：yUl l u v t ∂∂∝'∝2（1.1-2） 在湍流输运中，涡粘系数和沃扩散系数之比定义为普朗特数t Pr ，即：t t t v κ=Pr （1.1-3）工程计算中通常采用0.1~8.0Pr =t 。

湍流模型

湍流模型

THANKS!
Standard k–ω
对于壁面边界层、自由剪切流、的雷诺数流动性能较好。适合于逆压梯度存在情况 下的边界层流动和分离、转錑。
SST k–ω
基本与标准k–ω相同。由于对壁面距离依赖性强，因此不太适用于自由剪切流。
Reynolds Stress
是最复合物理解的RANS模型。避免了各向同性的涡粘假设。占用较多的CPU时间 和内存。较难收敛。对于复杂3D流动较适用（例如弯曲管道，旋转，旋流燃烧， 旋风分离器）。
(2) 雷诺德应力模型 (通过雷诺应力输运方程)
➢ RSM 对复杂的 3D湍流流动更有效，但是模型更加复杂， 计算强度更大， 比涡粘模型更难收敛
Spalart-Allmaras 模型
➢ Spalart-Allmaras 是 一 种 低 耗 的 求 解 关 于 改 进 的 涡 粘 输 运 方 程 的 RANS 模型
➢ 在航天和涡轮机械领域得到最广泛的应用 ➢ 几个k–ω子模型选项：压缩效果，转錑，剪切流修正.
➢ 剪切应力输运k–ω (SSTKW) 模型(Menter, 1994)
➢ SST k–ω 模型使用混合函数从壁面附近的标准k–ω 模型逐渐过渡到边界层的外部的 高雷诺数k–ε模型.
➢ 包含修正的湍流粘性公式来解决湍流剪应力引起的输运效果
湍流模型
湍流是什么?
➢ 非定常，无规律 (无周期) 运动，输运量 (质量, 动量, 组分) 在时间和空间中 波动
➢ 湍流漩涡. ➢ 增强的混合（物质，动量 能量，等等）效果
➢ 流动属性和速度呈现随机变化
➢ 统计平均结果 ➢ 湍流模型
➢ 包括一个大范围的湍流漩涡尺寸 (比例频谱).
➢ 大涡的尺寸和速率与平均流动在一个量级

湍流模型

湍流模型

湍流模型一、 引言以时均量表示的湍流基本方程都刻有相应的瞬时值方程经雷诺分解后再取时均导出。

因此经雷诺平均后，得到了描述湍流时均化的基本方程组，其共包含四个方程，包含一个平均流连续方程一个、以及三个雷诺方程。

但是方程组中的未知量的个数远远多于方程数，除了四个时均量)3,2,1(,=i u p i 外，还有对称的雷诺应力张量''j i u u 的六个分量，因此湍流的时均化方程是不封闭的。

若导入雷诺应力方程，尽管''j i u u 被表达，但是只能在现有方程组中导入更多的变量，方程组不封闭的问题仍旧得不到有效的解决。

湍流模型问题就是建立脉动关联量与平均量之间的关系，或更一般的说，建立高阶关联量与低阶关联量之间的关系，使湍流平均运动的方程组能够封闭。

由于没有“附加”的物理定律可用于建立这些关系，所以湍流模型问题很复杂很困难的。

人们只能以大量的试验观测为基础，通过量纲分析、张量分析或其它手段，包括合理的推理和猜测，提出假设，建立模型，然后与试验对比，进行进一步的修正和精确化。

由此可见，迄今为止建立的湍流模型没有一个是建立在完全严密的理论基础上的，所以也称之为湍流的半经验理论。

二、 湍流模型的主要型式模式理论的思想可以追溯至100多年前。

1872年布辛涅斯克就提出了用涡粘性系数来模拟雷诺应力 )(''i j j i T j i x U x U u u ∂∂+∂∂=-υρ1925年，普朗特沿这一方向做了重要的工作，提出了混合长度理论。

但是混合长度理论本身没有给出确定混合长度l 的理论，冯卡门的相似性假设却使估计l 与空间坐标的关系成为可能。

对于冯卡门的理论，在离避免很近的区域，流动状态将受分子粘性很大的影响，而相似性理论都不能反映这一情况。

为此，范德列斯特提出了对相似理论中的l 的修正公式。

现在广泛使用的一种零方程模型是由薛贝赛和斯密斯提出的两层模型，对于边界层的内层，以范德列斯特模型为基础，在外层则用尾迹型。

流体的湍流模型和湍流模拟

流体的湍流模型和湍流模拟

流体的湍流模型和湍流模拟流体力学是研究流体的运动规律和性质的学科，其中湍流模型和湍流模拟是其中非常重要的研究方向。

湍流是流体力学中一种复杂而普遍存在的现象，它具有不规则、无序和随机性等特点。

湍流模型和湍流模拟的发展，对于理解和预测真实世界中的湍流现象，以及涉及湍流的工程设计和应用具有重要意义。

一、湍流模型湍流模型是描述湍流现象的数学模型，在流体力学中起着扮演着非常重要的作用。

根据流体力学理论，湍流是由于流体中微小尺度的速度涡旋突然出现和消失所导致的现象。

由于湍流涡旋的尺度范围很广，从而难以直接模拟和计算。

因此，使用湍流模型来近似描述湍流现象，成为了一种常用的方法。

常见的湍流模型包括雷诺平均湍流模型（Reynolds-averaged Navier-Stokes equations, RANS）和大涡模拟（large eddy simulation, LES）等。

雷诺平均湍流模型是基于平均流场的统计性质，通过求解雷诺平均速度和湍流应力来评估湍流效应。

而大涡模拟是将湍流现象分解为不同尺度的涡旋，并通过直接模拟大涡旋来研究湍流运动。

二、湍流模拟湍流模拟是利用计算机来模拟湍流现象的方法，通常基于数值方法对流体力学方程进行求解。

湍流模拟分为直接数值模拟（direct numerical simulation, DNS）、雷诺平均湍流模拟和大涡模拟等。

直接数值模拟是将流场划分为网格，并通过离散化流体力学方程和湍流模型来求解湍流流场的详细信息。

由于该方法需要计算微小尺度的细节，计算量非常大，限制了其在实际工程中的应用。

因此，直接数值模拟主要用于湍流现象的基础研究和理论验证。

相比之下，雷诺平均湍流模拟和大涡模拟能够更有效地模拟湍流现象。

雷诺平均湍流模拟通过对湍流参数进行求解，来描述平均的湍流效应。

而大涡模拟则将湍流现象分为大涡旋和小涡旋，通过模拟大涡旋来捕获湍流流场的主要特征。

三、湍流模型与湍流模拟的应用湍流模型和湍流模拟在工程设计和应用中有着广泛的应用。

湍流模型简述ppt课件

湍流模型简述ppt课件
15
湍流模型比较
模型
SpalartAllmaras
标准 k-ε
优点
计算量小，对一定复杂程度的 边界层问题有较好效果
应用多，计算量合适，有较多 数据积累和相当精度
缺点
计算结果没有被广泛测试，缺少 子模型，如考虑燃烧或浮力问题
对于流向有曲率变化，较强压力 梯度有旋问题等复杂流动模拟效 果欠缺
RNG k-ε 能模拟射流撞击，分离流，二 次流，旋流等中等复杂流动
t C/ k1/ 2l
零方程模型和单方程模型适用于简单的流动；对于复杂流
动，系数很难给定，无通用性，故应用较少。
10
两方程模型
由求解湍流特征参数的微分方程来确定湍流粘性。包括k-ε 、 k-ω、 kτ、 k-l 模型等 。其中，应用最普遍的是 k-ε模型。
湍流粘性系数 表达式为：
11
模型参数
RANS-based models
Increase in Computational
Cost Per Iteration
Available in FLUENT 6.2
Direct Numerical Simulation
17
Fluent中湍流模型面板
Define Models Viscous...
选择了能反映湍流各向异性的代数应力模型（ASM），用数值计 算与实验研究相结合的方法对旋流器内的湍流场进行了模拟
采用RNG k-ε模型分析了旋流场内部湍流度及相对湍流度对湍流 场流动分布、湍流脉动和分离介质所产生的影响，其预报结果是有 限的。
从文献报道来看，LES大涡模型模拟的结果更可靠，更相信。 但RSM目前是工程应用中比较有效的湍流模型。
Spalart-Allmaras

流体的湍流模型

流体的湍流模型

流体的湍流模型湍流是流体力学中一个重要的概念，指的是流体运动过程中的混乱无序的状态。

湍流现象普遍存在于自然界中，例如大气中的风、海洋中的波浪以及河流中的涡流等。

湍流模型是用来描述湍流运动的数学模型，它通过建立流体的动量和能量传输方程，来揭示湍流形成和演化的规律。

一、湍流模型的基本原理湍流的形成是由于流体运动过程中存在的各种非线性的物理过程，比如惯性力、摩擦力和压力梯度等。

湍流模型的基本原理是基于雷诺平均导出的方程式，其中雷诺平均是指对流体宏观属性进行时间平均运算。

通过平均之后，湍流运动可以被看作是均匀流动和湍流脉动两个部分的叠加。

二、湍流模型的分类湍流模型可以分为两大类：一类是基于统计理论的湍流模型，另一类是基于运动方程的湍流模型。

基于统计理论的湍流模型通常使用统计学中的概率密度函数和相关函数等概念来描述湍流运动中的各种参数。

而基于运动方程的湍流模型则是通过对流体动量和能量传输方程进行进一步的分析和求解，从而得到流体湍流运动的演化规律。

三、湍流模型的应用湍流模型在工程领域中有着广泛的应用。

例如在空气动力学研究中，湍流模型可以用来评估飞机的气动性能，优化机体的设计。

在流体力学领域，湍流模型可以用于预测和模拟液体的流动，帮助优化流体管道的设计和运行。

湍流模型还可以应用于天气预报、水利工程和环境保护等领域。

四、湍流模型的发展趋势随着计算机科学和数值模拟技术的发展，湍流模型也在不断地完善和演进。

近年来，随着大规模计算能力的提升，湍流模型的数值模拟能力得到了显著的提高，可以更准确地描述湍流现象和湍流的演化规律。

另外，机器学习和人工智能等新兴技术的引入，也为湍流模型的发展带来了新的机遇和挑战。

五、结语湍流模型是流体力学研究中的重要工具，通过对湍流现象的建模和仿真，可以帮助我们更好地理解和预测流体运动的行为。

随着科学技术的不断发展，湍流模型将继续完善和更新，为人类的科学研究和工程应用提供更准确、可靠的支持。

我们相信，在不久的将来，湍流模型将在更多领域发挥出重要的作用，促进科学技术和工程领域的进步和发展。

湍流模型

湍流模型

Favre平均
f = rf/ r + f’ = f + f’ with f’ = rf’/ r =0
湍流封闭问题
时间平均N-S 方程
mb=2/3m, dij Kronecker函数 delta (dij =1 for i=j and dij = 0 for i=j)
时间N-S方程
对于稳态、2维边界层流动:
Kolmogorov理论
较大尺寸的漩涡从主流吸取运动能量; 大尺度的漩涡运动能传递到较小尺度的漩涡中; 大尺度漩涡通过瀑布过程将运动能传递到小尺 度漩涡中; 对于尺寸非常小的漩涡, 摩擦力 (粘性应力) 变 得非常大, 运动能转化 (耗散) 成为内能.


Kolmogorov 简历 (网上摘录)
湍流尺度

大尺度漩涡的能量损失正比例于 l/u, 定义式 为: e =O(u2/(l/u) =O(u3/l)
湍流能量分布
½ u’iu’i = ∫0E(k)dk
分解瞬时变量
U = U + u” P = P + p”

原因: o 我们关心平均值，而不是瞬态值. o 非实际的精细网格求解所有尺度的湍流及 高分辨率
RNG k-e model
(a) 模型常量从k-e 模型中得到不同值; 并且 (b) the dissipation-rate transport equation includes an additional source term per unit volume: Se = - rae2/k where a = Cm 3 (1- / 0)/(1+b 3 ), 0 = 4.38, and b = 0.012. = S*k/e where S2 = 2 SijSij and Sij = 0.5 * (dUi/dXj + dUj/dXi) The additional source term becomes significant for flows with large strain rates, i.e. when >> 0. The parameter is a measure of the ratio of the turbulent to mean time scale. In the limit of weak strain where S and tends to zero, the additional source term tends to zero and the original form of the k-e model is recovered.

第3章,fluent湍流模型-1

第3章,fluent湍流模型-1

第三章，湍流模型第一节， 前言湍流流动模型很多，但大致可以归纳为以下三类：第一类是湍流输运系数模型，是Boussinesq 于1877年针对二维流动提出的，将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积。

即：2121x u u u t ∂∂=''-μρ 3－1 推广到三维问题，若用笛卡儿张量表示，即有：ij ijj i t j i k x u xu u u δρμρ32-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=''- 3－2 模型的任务就是给出计算湍流粘性系数t μ的方法。

根据建立模型所需要的微分方程的数目，可以分为零方程模型（代数方程模型），单方程模型和双方程模型。

第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其它二阶关联量的输运方程。

第三类是大涡模拟。

前两类是以湍流的统计结构为基础，对所有涡旋进行统计平均。

大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维经过修正的Navier-Stokes 方程，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用上述的模型。

实际求解中，选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。

选择的一般原则是精度要高，应用简单，节省计算时间，同时也具有通用性。

FLUENT 提供的湍流模型包括：单方程（Spalart-Allmaras ）模型、双方程模型（标准κ-ε模型、重整化群κ-ε模型、可实现(Realizable)κ-ε模型）及雷诺应力模型和大涡模拟。

湍流模型种类示意图包含更多 物理机理每次迭代 计算量增加提的模型选RANS-based models第二节，平均量输运方程雷诺平均就是把Navier-Stokes 方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分。

对于速度，有：i i i u u u '+= 3－3其中，i u 和i u '分别是平均速度和脉动速度（i=1,2,3）类似地，对于压力等其它标量，我们也有：φφφ'+= 3－4 其中，φ表示标量，如压力、能量、组分浓度等。

湍流的数学模型简介精心整理版

湍流的数学模型简介精心整理版

湍流能量的耗散发生在小涡结构中，这一最小的湍流流动结构尺
寸可用Kolmogorow长度尺度表示：
1
lK

3


4
2 Kolmogorow时间尺度
Kolmogorow时间尺度表示最小湍流结构的动量扩散时间，它的定义为
1
K


2
第1章 湍流导论
1.2 湍流的统计平均法
1.3、湍流的基本方程 湍流瞬时控制方程(包括连续方程、动量方程和能量方程)
可用通用微分方程表示。
一般认为，无论湍流流动多么复杂，非稳态的连续性方 程和N-S方程(动量方程)仍然适用于湍流的瞬时流动。
第1章 湍流导论
1.3、湍流的基本方程（不可压） N-S方程
ui ui ui'
将非稳态N-S方程对时间作平均，即把湍流的运动看成是时间平均
1.2 湍流的统计平均法
1 时均法
时均法的确切定义是：
ui(t)
1 T
tt00Tui(t)dt
上式中的速度瞬时值是任一次试验结果，积分限中的下线 可以任意 取，即一次试验中，从任何时候开始都不能影响平均值的结果。
当时间间隔T很长时，有：
ui(t)Tli m T1 tt00Tui(t)dt
(V i)(t)1V i(,,,t)ddd
体均值要求与积分体积 的大小及 所处的坐标位置无关。因此严格说来，体
均法只适用于描述对体均值而言的均匀的湍流流场。
3 概率平均法（系综平均法）
时均法和体均法只适用于两种特殊状态的湍流，前者适用于定常湍流，后
者适用于均匀湍流。对于一般的不定常非均匀流，可以采用随机变量的一般 平均法，即概率平均法。

第三章 湍流模型

第三章 湍流模型

第三章 湍流模型第一节 前言湍流流动模型很多，但大致可以归纳为以下三类：第一类是湍流输运系数模型，是Boussinesq 于1877年针对二维流动提出的，将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积。

即：2121x u u u t ∂∂=''-μρ 3－1 推广到三维问题，若用笛卡儿张量（笛卡尔坐标系）表示，即有：ij i j j i t j i k x u x u u u δρμρ32-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=''- 3－2 ij δ为DELT 函数，一般i=j 时为1，否则为0.模型的任务就是给出计算湍流粘性系数t μ的方法。

根据建立模型所需要的微分方程的数目，可以分为零方程模型（代数方程模型），单方程模型和双方程模型。

（模拟大空间建筑空气流动）μt=0.038 74ρvl （模拟通风空调室内的空气流动）比例系数由直接数值模拟的结果拟合而得，其中：v 为当地时均速度，l 为当地距壁面最近的距离。

第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其它二阶关联量的输运方程。

第三类是大涡模拟。

前两类是以湍流的统计结构为基础，对所有涡旋进行统计平均。

大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维经过修正的Navier-Stokes 方程，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用上述的模型。

实际求解中，选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。

选择的一般原则是精度要高，应用简单，节省计算时间，同时也具有通用性。

参见：湍流模型的选择资料。

FLUENT 提供的湍流模型包括：单方程（Spalart-Allmaras ）模型、双方程模型（标准κ-ε模型、重整化群κ-ε模型、可实现(Realizable)κ-ε模型）及雷诺应力模型和大涡模拟。

湍流模型种类示意图大涡模拟启动需要用命令：(rpsetvar 'les-2d? #t)Direct Numerical Simulation包含更多物理机理 每次迭代计算量增加 提的模型选RANS-based models第二节 平均量输运方程输运过程的粘滞系数、扩散系数和热传导率，故称为输运方程雷诺平均就是把Navier-Stokes 方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分。

3章2内燃机缸内流动-湍流模型-2011

3章2内燃机缸内流动-湍流模型-2011

xy
dU x u xu y t dy
其中μt称为湍流（涡）粘性系数。与粘性系数不同， 涡粘性系数不是流体的一个物性参数，它与当地的湍流结构 和流动情况有关。上式写成更一般的形式如下 ：其中k是湍 能。 dU dU 2
j k ij ij ui u j t i dx 3 dx j i
第三章 内燃机缸内流动
高等内燃机学
北京理工大学
内燃机缸内流动

四 缸内湍流流动的数学模型
1 雷诺方程与湍流粘性系数 2 湍流粘性系数方程 3 单方成模型— — 湍能的k方程模型 4 双方成模型— — k-ε模型 5 雷诺应力模型 6 代数应力模型 7 非粘性涡粘度模型，等

两个湍流特征 特征速度：υt 特征长度：ℓ t 两个输运特征 湍能变化：k 能量耗散：ε 关系 υt ~u’~ k1/2 3/ℓ ε=Cu’ =Ck3/2/ℓ
0方程模型— — 湍能k、耗散率ε均用经验公式表示 单方程模型——只有湍能k的变化用偏微分方程表示 双方程模型——湍能k和耗散率ε均用偏微分方程表示
湍流模拟方法分类
零方程模型 完全模拟 基于粘性概念 两方程模型 湍流模拟 动量输运 多方程模型 雷诺应力模型 基于雷诺时均 方程 基于输运特征 代数应力模型 非线性湍粘度模型 湍流大涡模拟 基于非线性特征 畸变理论模型 耗散理论模型 一方程模型
2 湍流 粘性系数方程
由分子运动论：μ=1/3*ρυℓ
经过大量简化和假设，推导得到（仿照湍能方程）：
eff U j (C1G C 2 ) t x j x j x j k
CD 1 Cμ 0.09 σk 1.0 σε 1.3 C1 1.44

CFD湍流模型

CFD湍流模型


和 C b 2 是常数；ν是分子运动粘性系数。 湍流粘性系数用如下公式计算：
~f t 1
其中， f 1 是粘性阻尼函数，定义为： f 1 湍流粘性产生项， G 用如下公式模拟：
3 3 C31
，并且
~ 。
~~ G Cb1 S 3－10 ~ ~ 其中， S S 2 2 f 2 ，而 f 2 1 。其中， C b1 和 k 是常数，d 是计算点到 1 f 1 k d
Boussinesq 假设被用于 Spalart-Allmaras 单方程模型和 k 双方程模型。Boussinesq 近似 的好处是与求解湍流粘性系数有关的计算时间比较少，例如在 Spalart-Allmaras 单方程模型中， 只多求解一个表示湍流粘性的输运方程；在 k 双方程模型中，只需多求解湍动能 k 和耗散 率ε两个方程，湍流粘性系数用湍动能 k 和耗散率ε的函数。Boussinesq 假设的缺点是认为湍
~Байду номын сангаас
~ k 2d 2
f 2 。在上式中，包括了平均应变率对 S
的影响，因而也影响用 S 计算出来的 r。 上面的模型常数在 FLUENT 中默认值为： Cb1 0.1335 ， Cb 2 0.622 ， ~ 2/3，
~
C 1 7.1 ， Cw1 Cb1 / k 2 (1 Cb 2 ) / ~ ， C w 2 0.3 ， C w3 2.0 ， k 0.41 。


3－6
上面两个方程称为雷诺平均的 Navier-Stokes（RANS）方程。他们和瞬时 Navier-Stokes 方 程有相同的形式，只是速度或其它求解变量变成了时间平均量。额外多出来的项 u iu j 是雷 诺应力，表示湍流的影响。如果要求解该方程，必须模拟该项以封闭方程。 如果密度是变化的流动过程如燃烧问题，我们可以用法夫雷（ Favre）平均。这样才可以 求解有密度变化的流动问题。法夫雷平均就是出了压力和密度本身以外，所有变量都用密度加 权平均。变量的密度加权平均定义为：

3 湍流流动模型

3 湍流流动模型
2 t
根据上面这些关系式得到不包含湍流动能k的雷诺应力表达式： （44） 3/2 −1 / 2 2 ∂u 2
τ xy = C µ C D
ρl (
从上式可知，单方程模型与混合长度理论是等价的，后者是前者的一 个特例。这里lm为: （45） −1 / 2 1 / 2 3/2
∂y
)
l m = (C µ
CD
二、雷诺应力方程模型
雷诺应力模型（Reynolds Stress Model，RSM） ⇒ 直接推导的输运 方程，通过求解该输运方程来封闭湍流运动微分方程组。 雷诺应力的方程可以是微分方程（DSM: Differential Stress Model）, 或者是其简化形式— 代数方程。（ASM：Algebraic Stress Model） 雷诺应力模型通过建立和模拟雷诺应力 — 二阶关联量的方程求得均 流问题的封闭，故又称为二阶矩封闭模型。（Second – Moment Closure）
ε
µ ∂vi′ ∂vi′ ε= ( ) ρ ∂x j ∂x j
∂vi ∂v j ∂vi Dk ∂ µ t ∂k ρ = ( ) + µt ( + ) − ρC D ε Dt ∂x j σ k ∂x j ∂x j ∂xi ∂x j
∂vi ∂v j ∂vi ∂ µt ∂ε Dε ε ε2 = ( ) + C1 µt ( + ) − C2 ρ ρ ∂x j ∂xi ∂x j Dt ∂x j σ ε ∂x j k k
4. 双方程模型
双方程模型中，应用最广泛的是k − ε （湍流动能耗散率）模型。
式中
ε
µ t = C µ ρk 2 / ε
的定义为:
（46） m2/s2 (47)

第三章_湍流模型

第三章_湍流模型

第三章 湍流模型第一节 前言湍流流动模型很多，但大致可以归纳为以下三类：第一类是湍流输运系数模型，是Boussinesq 于1877年针对二维流动提出的，将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积。

即：2121x u u u t ∂∂=''-μρ 3－1 推广到三维问题，若用笛卡儿张量表示，即有：ij ijj i t j i k x u xu u u δρμρ32-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=''- 3－2 模型的任务就是给出计算湍流粘性系数t μ的方法。

根据建立模型所需要的微分方程的数目，可以分为零方程模型（代数方程模型），单方程模型和双方程模型。

第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其它二阶关联量的输运方程。

第三类是大涡模拟。

前两类是以湍流的统计结构为基础，对所有涡旋进行统计平均。

大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维经过修正的Navier-Stokes 方程，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用上述的模型。

实际求解中，选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。

选择的一般原则是精度要高，应用简单，节省计算时间，同时也具有通用性。

FLUENT 提供的湍流模型包括：单方程（Spalart-Allmaras ）模型、双方程模型（标准κ-ε模型、重整化群κ-ε模型、可实现(Realizable)κ-ε模型）及雷诺应力模型和大涡模拟。

湍流模型种类示意图Direct Numerical Simulation包含更多 物理机理每次迭代 计算量增加提的模型选RANS-based models第二节 平均量输运方程雷诺平均就是把Navier-Stokes 方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分。

对于速度，有：i i i u u u '+= 3－3其中，i u 和i u '分别是平均速度和脉动速度（i=1,2,3）类似地，对于压力等其它标量，我们也有：φφφ'+= 3－4 其中，φ表示标量，如压力、能量、组分浓度等。

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第三章，湍流模型第一节， 前言湍流流动模型很多，但大致可以归纳为以下三类：第一类是湍流输运系数模型，是Boussinesq 于1877年针对二维流动提出的，将速度脉动的二阶关联量表示成平均速度梯度与湍流粘性系数的乘积。

即：2121x u u u t ∂∂=''-μρ 3－1 推广到三维问题，若用笛卡儿张量表示，即有：ij ijj i t j i k x u xu u u δρμρ32-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=''- 3－2 模型的任务就是给出计算湍流粘性系数t μ的方法。

根据建立模型所需要的微分方程的数目，可以分为零方程模型（代数方程模型），单方程模型和双方程模型。

第二类是抛弃了湍流输运系数的概念，直接建立湍流应力和其它二阶关联量的输运方程。

第三类是大涡模拟。

前两类是以湍流的统计结构为基础，对所有涡旋进行统计平均。

大涡模拟把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通过求解三维经过修正的Navier-Stokes 方程，得到大涡旋的运动特性，而对小涡旋运动还采用上述的模型。

实际求解中，选用什么模型要根据具体问题的特点来决定。

选择的一般原则是精度要高，应用简单，节省计算时间，同时也具有通用性。

FLUENT 提供的湍流模型包括：单方程（Spalart-Allmaras ）模型、双方程模型（标准κ-ε模型、重整化群κ-ε模型、可实现(Realizable)κ-ε模型）及雷诺应力模型和大涡模拟。

湍流模型种类示意图第二节，平均量输运方程包含更多 物理机理每次迭代 计算量增加提的模型选RANS-based models雷诺平均就是把Navier-Stokes 方程中的瞬时变量分解成平均量和脉动量两部分。

对于速度，有：i i i u u u '+= 3－3其中，i u 和i u '分别是平均速度和脉动速度（i=1,2,3）类似地，对于压力等其它标量，我们也有：φφφ'+= 3－4 其中，φ表示标量，如压力、能量、组分浓度等。

把上面的表达式代入瞬时的连续与动量方程，并取平均（去掉平均速度i u 上的横线），我们可以把连续与动量方程写成如下的笛卡儿坐标系下的张量形式：0)(=∂∂+∂∂i iu x t ρρ 3－5 ()j i jl l ij i j j i ji i u u x x u x u x u x x p Dt Du ''-∂∂+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+∂∂∂∂+∂∂-=ρδμρ32 3－6 上面两个方程称为雷诺平均的Navier-Stokes （RANS ）方程。

他们和瞬时Navier-Stokes 方程有相同的形式，只是速度或其它求解变量变成了时间平均量。

额外多出来的项j i u u ''-ρ是雷诺应力，表示湍流的影响。

如果要求解该方程，必须模拟该项以封闭方程。

如果密度是变化的流动过程如燃烧问题，我们可以用法夫雷（Favre ）平均。

这样才可以求解有密度变化的流动问题。

法夫雷平均就是出了压力和密度本身以外，所有变量都用密度加权平均。

变量的密度加权平均定义为：ρρ/~Φ=Φ 3－7符号～表示密度加权平均；对应于密度加权平均值的脉动值用Φ''表示，即有：Φ''+Φ=Φ~。

很显然，这种脉动值的简单平均值不为零，但它的密度加权平均值等于零，即：0≠Φ''， 0=Φ''ρBoussinesq 近似与雷诺应力输运模型为了封闭方程，必须对额外项雷诺应力j i u u ''-ρ进行模拟。

一个通常的方法是应用Boussinesq 假设，认为雷诺应力与平均速度梯度成正比，即：ij i i t ijj i t j i x u k x u xu u u δμρμρ)(32∂∂+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=''- 3－8 Boussinesq 假设被用于Spalart-Allmaras 单方程模型和ε-k 双方程模型。

Boussinesq 近似的好处是与求解湍流粘性系数有关的计算时间比较少，例如在Spalart-Allmaras 单方程模型中，只多求解一个表示湍流粘性的输运方程；在ε-k 双方程模型中，只需多求解湍动能k 和耗散率ε两个方程，湍流粘性系数用湍动能k 和耗散率ε的函数。

Boussinesq 假设的缺点是认为湍流粘性系数t μ是各向同性标量，对一些复杂流动该条件并不是严格成立，所以具有其应用限制性。

另外的方法是求解雷诺应力各分量的输运方程。

这也需要额外再求解一个标量方程，通常是耗散率ε方程。

这就意味着对于二维湍流流动问题，需要多求解4个输运方程，而三维湍流问题需要多求解7个方程，需要比较多的计算时间，对计算机内存也有更高要求。

在许多问题中，Boussinesq 近似方法可以得到比较好的结果，并不一定需要花费很多时间来求解雷诺应力各分量的输运方程。

但是，如果湍流场各向异性很明显，如强旋流动以及应力驱动的二次流等流动中，求解雷诺应力分量输运方程无疑可以得到更好的结果。

第三节， 湍流模型3.3.1 单方程（Spalart-Allmaras ）模型Spalart-Allmaras 模型的求解变量是ν~，表征出了近壁（粘性影响）区域以外的湍流运动粘性系数。

ν~的输运方程为： ννννρννρμσνρY x C x x G Dt D j b j j -⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+∂∂+=~~)~(1~2~ 3－9 其中，νG 是湍流粘性产生项；νY 是由于壁面阻挡与粘性阻尼引起的湍流粘性的减少；νσ~和2b C 是常数；ν是分子运动粘性系数。

湍流粘性系数用如下公式计算：1~ννρμf t = 其中，1νf 是粘性阻尼函数，定义为：31331ννχχC f +=，并且ννχ~≡。

湍流粘性产生项，νG 用如下公式模拟：νρν~~1S C G b = 3－10 其中，222~~ννf dk S S +≡，而1211ννχχf f +-=。

其中，1b C 和k 是常数，d 是计算点到壁面的距离；S ij ij ΩΩ≡2。

ij Ω定义为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=Ωji i j ij x u x u 21 3－11 由于平均应变率对湍流产生也起到很大作用，FLUENT 处理过程中，定义S 为：),0min(ij ij prod ij S C S Ω-+Ω≡ 3－12其中，0.2=prod C ，ij ij ij ΩΩ≡Ω，ij ij ij S S S 2≡，平均应变率ij S 定义为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=j i i j ij x u x u S 21 3－13 在涡量超过应变率的计算区域计算出来的涡旋粘性系数变小。

这适合涡流靠近涡旋中心的区域，那里只有“单纯”的旋转，湍流受到抑止。

包含应变张量的影响更能体现旋转对湍流的影响。

忽略了平均应变，估计的涡旋粘性系数产生项偏高。

湍流粘性系数减少项νY 为：21~⎪⎭⎫ ⎝⎛=d f C Y w w νρν 3－14其中，6/1636631⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=w w w C g C g f 3－15 )(62r r C r g w -+= 3－1622~~dk S r ν≡ 3－17其中，1w C ，2w C ，3w C 是常数，222~~ννf dk S S +≡。

在上式中，包括了平均应变率对S的影响，因而也影响用S ~计算出来的r 。

上面的模型常数在FLUENT 中默认值为：1335.01=b C ，622.02=b C ，3/2~=νσ，1.71=νC ，νσ~2211/)1(/b b w C k C C ++=，3.02=w C ，0.23=w C ，41.0=k 。

壁面条件在壁面，湍流运动粘性ν~设置为零。

当计算网格足够细，可以计算层流底层时，壁面切应力用层流应力－应变关系求解，即：μρττy u u u= 3－18 如果网格粗错不能用来求解层流底层，则假设与壁面近邻的网格质心落在边界层的对数区，则根据壁面法则：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μρττy u E k u u ln 13－19 其中，k=0.419，E=9.793。

对流传热传质模型在FLUENT 中，用雷诺相似湍流输运的概念来模拟热输运过程。

给出的能量方程为：h eff ij j i t p i i i S u x T t c k x p E u x E t +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=+∂∂+∂∂)(Pr )]([)(τμρρ 3－20 式中，E 是总能量，eff ij )(τ是偏应力张量，定义为：ij ii eff j i ij eff eff ij x u x u x u δμμτ∂∂-∂∂+∂∂=32)()( 3－21 其中，eff ij )(τ表示粘性加热，耦合求解。

如果默认为分开求解，FLUENT 不求解处eff ij )(τ。

但是可以通过变化“粘性模型”面板上的湍流普朗特数（Prt ），其默认值为0.85。

湍流质量输运与热输运类似，默认的Schmidt 数是0.7，该值同样也可以在“粘性模型”面板上调节。

标量的壁面处理与动量壁面处理类似，分别选用合适的壁面法则。

综上所述，Spalart-Allmaras 模型是相对简单的单方程模型，只需求解湍流粘性的输运方程，并不需要求解当地剪切层厚度的长度尺度。

该模型对于求解有壁面影响流动及有逆压力梯度的边界层问题有很好模拟效果，在透平机械湍流模拟方面也有较好结果。

Spalart-Allmaras 模型的初始形式属于对低雷诺数湍流模型，这必须很好解决边界层的粘性影响区求解问题。

在FLUENT 中，当网格不是很细时，采用壁面函数来解决这一问题。

当网格比较粗糙时，网格不满足精确的湍流计算要求，用壁面函数也许是最好的解决方案。

另外，该模型中的输运变量在近壁处的梯度要比ε-k 中的小，这使得该模型对网格粗糙带来数值误差不太敏感。

但是，Spalart-Allmaras 模型不能预测均匀各向同性湍流的耗散。

并且，单方程模型没有考虑长度尺度的变化，这对一些流动尺度变换比较大的流动问题不太适合。

比如，平板射流问题，从有壁面影响流动突然变化到自由剪切流，流场尺度变化明显。

3.3.2 标准ε-k 模型标准ε-k 模型需要求解湍动能及其耗散率方程。

湍动能输运方程是通过精确的方程推导得到，但耗散率方程是通过物理推理，数学上模拟相似原形方程得到的。

该模型假设流动为完全湍流，分子粘性的影响可以忽略。

因此，标准ε-k 模型只适合完全湍流的流动过程模拟。

标准ε-k 模型的湍动能k 和耗散率ε方程为如下形式：M b k i kt iY G G x k x Dt Dk --++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂=ρεσμμρ3－22 k C G C G k C x x Dt D b k i k t i2231)(ερεεσμμερεεε-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂= 3－23在上述方程中，k G 表示由于平均速度梯度引起的湍动能产生，b G 是用于浮力影响引起的湍动能产生；M Y 可压速湍流脉动膨胀对总的耗散率的影响。