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空间力偶力系简化

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理论力学L4-4 空间力系简化

理论力学L4-4 空间力系简化

c ) 一般主矢和主矩矢既不平行也不垂直 由共点矢量知，它们在同一平面内， 假设两矢量正向夹角为α。 ' FR 1) 将 M O分解为垂直于 ' ' ' 的 及平行于 F M R MO MO O " 的 MO ， ' ' O M O 的大小： " FR ' MO M O M O sin
' b) 若主矢平行于主矩：FR // M o
O
MO
' 由一个力和一个力偶(且力 FR 垂直于力偶作用面)组成的
力系，称为力螺旋。 力和力偶都是基本力学量， 力螺旋不能再简化。
力偶矩矢与力矢同方向的称为右螺旋(力偶的转 向与力的方向符合右手关系)；反之称左螺旋。 但一般主矢和主矩矢既不平行也不垂直。
§4-4 空间任意力系向一点简化
一、空间任意力系向一点简化 与平面任意力系向一点简化相似，空间任意力 系也是利用力的平移定理将各力平移到简化中 心 O 处，并附加矢量表示的空间力偶，则原力 系与空间汇交力系＋空间力偶系等效。
MO m m1 n
F2 F’2
F’R
O
F’n
Fn
F’1 m2
F 又由于力偶矩矢是自由矢量，再将平行于 的 R '' 力偶矩矢 M o 平行移动与FR 重合，成为力螺旋。 一般情况下，空间力系简化结果是一个力螺旋。
约束类型
约束反力
数量
空 间 约 束 类 型 和 约 束 反 力
3
4
5 6
MO
F’R
对于空间汇交力系的合 ' 力FR ：
O
' FR 等于该力系各力的矢量和， 称其为该力系的主矢； 对于空间力偶系的合力偶，其力偶矩矢 M O等于 各附加力偶矩的矢量和，也是力系中各力对点O 力矩矢的矢量和： MO mi mO ( Fi ) 称为该力系对简化中心O点的主矩。

ch2力矩、力偶、力系的简化

ch2力矩、力偶、力系的简化
等于各分力偶矩的代数和，即
MR = M1+M2+…+Mn
例 已知 F1 F1' 10N0，力偶臂 d1 200mm，F2F2' 120N， 力偶臂 d2 300mm，F3 F3' 80N，力偶臂 d3 180 mm，求 三力偶的合力偶矩矢。 解：三力偶矩的大小
⑵ 保持力偶矩矢量的大小和方向不变，可改变力偶 中的力和力偶臂的大小，不会改变对刚体的作用效应。
M F dM 1F 1d1
力偶在同一刚体内是一自由矢量
二、力偶系的合成 力偶系：由多个力偶所构成的力系。
n
MR = M1+M2+…+Mn= M i i 1
M i M ix i M iyj M iz k
力对点之矩与力对轴之矩的关系
M O ( F ) ( y F z - z F y ) i ( z F x - x F z ) j ( x F y - y F x ) k [ M O ( F ) ] x i [ M O ( F ) ] y j [ M O ( F ) ] z k
M x(F)-zFy+yF z M y(F)-xF z+zF x M z(F)-yF x+xFy
M O(F)rF
即：力对点之矩等于矩心到该力
作用点的矢径与该力的矢量积。
M O (F ) 的大小：
MO(F)rFsin(r,F) Fh2SOAB
方位：力与矩心所确定平面的法向
M O (F ) 的方向：
（定位矢量）
指向：右手螺旋法则判定
rxiyjzk
FFxiFyj+Fzk
i jk MO(F)rF x y z
M O ( P ) 8 4 .8 i 7 0 .7 j 3 8 .2 k ( N .m )

03-空间力系的简化与平衡

03-空间力系的简化与平衡

（2）若缺少方程，再对未知约束力涉及的其他刚体（或刚体系）取分
离体，引入新的未知力并分析增加的平衡方程个数。直到未知力个数与 平衡方程个数相等。
（3）对涉及的各分离体列出适当的平衡方程（注意各方程的独立性）， 求出全部待求未知力。 2.关于独立的平衡方程个数 求解所用到的全部方程必须是相互独立的。 注意：刚体系统中如果每个刚体的平衡方程全部成立，则整体 的平衡方程为恒等式，不再提供独立的方程。 3.注意利用矩形式的平衡方程，可通过选择适当的矩心使得方程中尽量
（1）、简单几何形状的物体 查重心表、或直接计算
（2）、复杂几何形状的物体
组合法 （3）、实验法

22
－F
F F
M
力向一点平移的结果 : 一个力和一个力偶,力偶的力偶矩等 于原来力对平移点之矩
.

2
1、空间任意力系向一点的简化
将每个力向简化中心平移
M1
Fn
F2
Fn
F2 F1
主矢为
F3
F1
Mn
M2
空间力系的简化结果为一主矢和一主矩。
F
' R

F
i 1
n
n
i
与简化中心无关
主矩为 M 0 M 0 (F) 与简化中心有关
i 1

3
主矢和主矩的计算 主矢—通过投影法 根据它们，可得到 主矢的大小和方向
先计算得到主矢在 各轴上的投影
FRx FRy FRz
F
i 1 n i 1 n
n
xi
FR
FRx FRx FRx
2 2
2
F F
i 1
yi
zi

空间力系的简化

空间力系的简化
z
z 主矢，主矩
z
F1 M2
y x
F1
F2
M1
附加力偶 F'
R
A2
F2
0 An
M0 0 y
A1
0
y
Mn
Fn
x
x
Fn
O：简化中心
Fi 主矢： FR 主矩： M M M ( F ) 0 i 0 i
主矢是力系的第一不变量。
二、力系进一步简化的各种可能结果 1、 F 0 平衡力系，以后讨论 M 0 O R 与简化中心无关 合力偶 2、 FR 0 MO 0 合力 3 FR 0 MO 0 、 4 FR 0 MO 0 、 （1） F 合力 MO R FR FR
(MO rOA FR ) FR MO FR M A FR
主矢与主矩的点积也与简化中心的选择无关，称之为力 系的第二不变量 由主矢与主矩的点积是否为零，就可判定出简化的最终 是合力还是力螺旋。
特例：平面任意力系的简化
F1 A1 A2
FR
FR
o
MO

o
FR
d
o’
o
d
o’
MO 平移距离： d FR
平移方向： FR M O 的方向
（2）
FR
MO
M0
力螺旋
FR
FR 与 M O FR 与 M O
方向一致 右手力螺旋 方向相反
左手力螺旋
(3) FR 0, MO 0, FR MO
MO1

Fj 合力大小和方向： FR FR
1.133F a / F 1.133a 合力作用点D至A点距离：d M A / FR

空间力偶力系简化

空间力偶力系简化

计算主矩
z O'
M1=MD(F) = r1F
i j 5 2 i 5 2 k A'
5 2 i 5 2 j 5 2 k
M2= MD(F') = r2 F'
F
o
i j 5 2 i5 2 k
D
5 2 i5 2 j5 2 k A
MD = 10 2 k
x
C'
B'
F'
C y
B
24
确定最后简化结果
M45 =(- 0.707 i +0.7073 k )×160 j = -113.1 i - 113.1 k
M = Mi = -193.1 i -80 j – 193.1 k
8
例题3-5. O1和O2圆盘与水平轴AB固连，O1垂直于z 轴，O2 垂直于x 轴，盘面上分别作用有力偶 (F1 , F'1) 和 (F2 , F'2) ，如图所示。如两盘半径均为 200mm， F1 = 3N，F2 = 5N，AB = 800mm，不计构件自重。求 轴承A和B处的约束力。
z
M1
M4
M5
450
M2
M3
x
y
7
l/2
解: M1 = - 80 k M2 = - 80 j M3 = - 80 i M45 = R × F
令l 2 m R 1m
z
M1
F
R
M4
M5
450
y
F'
M2
l/2
则M45 =160 = F
得: F = 160
x
M3
R = - 0.707 i +0.707 k

第三章 第四节 空间力系的简化

第三章 第四节 空间力系的简化
O O O O'
' FR
'' ' FR d FR FR
O'
d FR
MO(FR) =MO=SMO(F ) Mx(FR)=SMx(F )
空间力系对点(轴)之矩的合力矩定理
4. 空间力系简化为力螺旋的情形 FR' ≠0 MO ≠ 0且FR' // MO 力螺旋 ' FR MO ' FR ' FR MO O O O 右螺旋 力系的中心轴：力螺旋中力的作用线 左螺旋
F1' M2 M1
F2'
O
FR' MO
Fn' ห้องสมุดไป่ตู้M F3' Mn 3 Mi=MO(Fi )
2. 主矢和主矩 主矢：空间力系中所有各力的矢量和 (与简化中心的位置无关)
FR'= SF
主矩：各力对于任选的简化中心 O之矩的矢量和 MO=SMO(F ) (一般与简化中心的位置有关)
三、空间力系的简化结果 合力矩定理 1. 空间力系平衡的情形 FR' =0 MO=0 2. 空间力系简化为一合力偶的情形 FR' =0 MO≠0 (主矩与简化中心的位置无关) 3. 空间力系简化为一合力的情形 合力矩定理 (1) FR' ≠0 MO=0 合力的作用线通过简化中心O，合力矢等于原力系的主矢。 (2) FR' ≠0 MO ≠ 0且FR' ⊥ MO 合力的作用线通过另一点O ' ，d=MO /FR MO
一、空间力的平移定理 空间力的平移定理：作用在刚体上的一个力，可平行移至刚体 中任意一指定点，但必须同时附加一力偶，其力偶矩矢等于原 力对于指定点的力矩矢。
第四节 空间力系的简化

力系的简化


α
Dθ
E h
F1
F2
AP
FQ
MAB(F )=F2·h=F2·CD·Sinθ=F2·aSinθ=F2·aSinθ
= FSinα·aSinθ= FSinα·aSinθ
解二: 将坐标原点置于C点,则
R =CD =a·Sinθi+ a·CosθCosαj- a·Sinαk F =-Fk 故F 对C点之矢
i
解:建立如图所示坐标系点B矢
z
经r 动力F 的解析表达式:
B
r=ck
θF A
F = F(Sinφcosθi + Sinφsinθj -cosφk)
o
y
φ
a
i
j
k
M O(F) 0
0
0
x
b
FSinφcosθ FSinφsinθ -Fcosφ
MOA(F) MO (F) • rOA rOA
F sin Sini Cosj• ai ck a2 c2
力偶不能合成一个力,应为力偶中F∥F′,力偶也不能由
一个力来平衡.因此,力与力偶是静力学中的基本要素.
3. 任意力偶可在作用的面内任意的移动,二不改变它对 刚体的作用,即力偶是自由矢.
力偶对刚体的作用与力偶在作用面内的位置无关,只 要保证力偶矩的大小和力偶的转向不变,可同时改变力 偶中力的大小和力臂的长度,而不改变其对刚体的作用.
F rB
o
M(F,F')=rA×F + rB×F' 又 F =-F′
M(F,F')=rAB×F
∴ M(F,F')= M0(F,F') rAB F Sinα dF
2. 力偶不能与一个力等效

空间汇交力系和力偶系的简化


M y M 2 80 N m
M z M 1 M 4 cos 45 M 5 cos 45

M1 M4,5 M2
193.1 N m
M3
2 2 M Mx My M z2 284.6 N m
合力偶矩矢的大小
0.6786 合力偶矩矢的方向余弦角： cos M , j 0.2811 cos M , k 0.6786
M cos MR
iy
M cos MR
iz
特例：平面力偶系
M M i
例 ：工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受 的切削力偶矩均为80N· m。试求工件所受合力偶的矩在x，y，z 轴上的投影Mx，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。 解：
M x M 3 M 4 cos 45 M 5 cos 45 193.1 N m
特例：平面汇交力系
FR Fi
FR y Fiy
2 2 ix iy
FR x Fix
FR
F F
ix
F cos FR
F cos FR
iy
例: 汇交力系 F1 F2 F3 的作用点在边长为 2m 的正六面体相应的 顶点O上，三力的大小分别为 F1 3 N, F2 2 N, F3 2 2 ，试 N 求合力的大小与方向。 z
FR x Fix
的代数和。
FR y Fiy
FR z Fiz
合力投影定理：合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴上
FR
F F F
2 2 ix iy iz
2
cos
Fix

空间力系的简化与平衡


例题3－4 手柄 ABCE 在平面 Axy内，在D 处作用一个力F， 它垂直y轴，偏离铅垂线的角度为α，若CD = a，BC∥x轴，CE ∥y轴，AB = BC = l。求力F对x、y和z三轴的矩。
B
C


30
D
60
5m
45
G E
45
A
B C


30
1. 先取滑轮 B为研究对象。注意，起 解：
重杆AB为桁架构件，两端铰接，不计自重，
5m
60
它是一个二力构件，把滑轮 B 简化为一点，
D
它的受力图如图所示。 这是一平面汇交力系，列平衡方程
G E
45 45
A
y B x
Fx 0,
4 3
2
Fx F sin cos 1500 0.8944 0.6 805 N
Fy F sin sin 1500 0.8944 0.8 1073N
Fz F cos 1500 0.4472 671N
（二）.空间汇交力系的合成与平衡 空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线 通过汇交点。 FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2 Fx cos( FR , i ) n FR FR F1 F2 Fn Fi Fy i 1 cos( FR , j ) X i i Yi j Z i k FR Fz cos( FR , k ) FR

F1 FA
B
F
F F

x
0
A x
F1 sin 45 F2 sin 45 0

3.2、空间力系的简化(2-1)(美化)

空间力系的简化RR F F F F F F F F =++=++=321'3'2'1')()()(321F M F M F M M o o o o ++=力系主矢: R F 力系主矩: oM 空间任意力系=主矢+主矩力系简化结果讨论:0=∑=i R F F )(])[()(i Ai i BA i Ai BA i Bi B F r F r F r r F r M ⨯+⨯∑=⨯+∑=⨯∑=AA i BA M M F r +=+∑⨯=01）F R =0、M O =0。

原力系是平衡力系。

2）F R =0、M O ≠0。

原力系等效于一个力偶。

力偶矩是自由矢量，可以平移到空间任意位置而不改变作用效果，所以主矢为零时主矩是一个与简化点位置无关的常量3）F R ≠0、M O =0。

原力系等效于一个力，该力经过简化点，称为原力系的合力。

)(≠∑=i A A F M M力系简化结果讨论:4.1）o R M F ⊥ROA OA O O F r F r F M M ⨯=⨯==)(4）F R ≠0、M O ≠0。

这是最一般的情况，又可细分为以下三种类型：4.2）F R ∥M O 。

主矢力F R 垂直于主矩力偶M O 中两力（F 1、F 1′）所在的平面，这时主矢力与主矩力偶怎么才能化简为一个力？力系简化结果讨论:空间力系的简化4.2）F R ∥M O 。

但力偶矩是自由矢量，可以把主矩M O 平移到主矢力F R 作用线上（图示），从而得到一个力螺旋：力螺旋由一个力和一个力偶构成，且力矢量与力偶矩矢量重合（即：力垂直于力偶中两力所在的平面）。

力螺旋对物体的作用效果是力与力偶作用效果的叠加（平移加旋转），如钻孔时钻头对工件的作用力就是力螺旋，拧螺钉时螺丝刀对螺钉的作用力也是力螺旋。

力螺旋不能再继续简化，它可以表示成图c 、d 所示任一形式。

有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）力系简化结果讨论://O O O M M M -=⊥2//)()()cos (RR R O R R R R O R R O O F F F M F F F F M F F M M ⋅⋅=⋅⋅=⋅=α4.3）F R 既不平行也不垂直于M O 。

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13
设一刚体受空间任意力系F1，F2 … Fn作用，各力 作用点分别为A1，A2 … An 。
z
z
F1
Fn
A1
O An
y
x
A2
F2
Mn F'n O
x
M1 F'1 F'2
y
M2
在刚体内任取一点O为简化中心，应用力线平移定 理，依次将各力平移到点O即得到一个作用于简化中 心O的空间汇交力系 F1，F2 … Fn 和一个力偶矩矢分别 为M1，M2 …Mn的附加力偶所组成的空间力偶系。
FR = i FRx+ j FRy+ k FRz FRx = Fxi FRy = Fyi
Mo = i Mox + j Moy +k Moz
FRz = Fzi
= i Mox(Fi) + j Moy(Fi) +k Moz(Fi) 2. 空间任意力系的简化结果分析
(1) FR = 0，Mo = 0 原力系平衡。 (2) FR 0，Mo = 0 原力系的最后简化结果为作用于 简化中心的一个力FR，即原力系的合力FR 。
M
A
F´
F
d rBA B
M
证明:在空间任取一点o为矩心。
A
F
Mo(F, F') = Mo(F) +Mo(F')
= rB×F + rA× F´ = (rB - rA) ×F = rBA×F = M
F´ rA d rBA B
rB O
3
2. 空间力偶等效定理 作用在刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩
矢相等，则它们彼此等效。
空间力偶 任意力 系的简化
李吉芳教案 2004.4.6
1
内容提要
3-3. 空间力偶 3-4. 空间任意力系向一点的
简化. 主矢和主矩
2
3-3. 空间力偶 1. 力偶矩以矢量表示 ·力偶矩矢
M = rBA×F = rAB×F´
力偶中两力对空间任一点的 矩的矢量和等于该力矩矢 , 而 与矩心的选择无关。
偶矩矢Mo称为原力系对简化中心的主矩。
Mo = Mi = Mo(Fi)
15
结论: 空间任意力系向任一点简化， 一般可得 到原力系的主矢和原力系对简化中心的主矩。
主矢FR 只取决于原力系中各力的大小和方向， 与简化中心的位置无关；而主矩 Mo 的大小和方 向都与简化中心的位置有关。
16
主矢与主矩的解析表达式：
14
其中: F1 = F1， F2 = F2，…， F'n = Fn
M1 = Mo(F1)， M2 = Mo(F2)，…， Mn = Mo(Fn)
z
空间汇交力系 F1，F2 … Fn可
合成为作用在O点的一个力FR 。 矢量FR 称为原力系的主矢。
MO O
FR y
FR = F'i = Fi
x
由力偶矩矢分别为 M1，M2 … Mn 的附加力偶 所组成的空间力偶系可合成为一个力偶，其力
(1)只要力偶矩矢保持不变。力偶可以从刚体的 一个平面移到另一个平行的平面内 ，而不改变其对 刚体的转动效应。
(2)力偶可以在其作用面内任意转移，而不会改 变它对刚体的转动效应。
(3)在保持力偶矩大小不变的条件下，可以任意 改变力偶的力的大小和力臂的长短，而不改变它对 刚体的转动效应。
力偶矩矢是自由矢量。
4
3. 空间力偶系的合成与平衡条件
设一空间力偶系由 n 个力偶组成，其力偶矩矢分 别为: M1， M2，…，Mn 。由于力偶矩矢是自由矢 量，则n 个力偶矩矢组成一个汇交矢量系。利用合 矢量投影定理进行力偶系的合成与平衡。
(1)空间力偶系的合成
Mx = Mxi
M = Mi
My = Myi
Mz = Mzi
z
M1
M4
M5
450
M2
M3
x
y
7
l/2
解: M1 = - 80 k M2 = - 80 j M3 = - 80 i M45 = R × F
令l 2 m R 1m
z
M1
F
R
M4
M5
450
y
F'
M2
l/2
则M45 =160 = F
得: F = 160
x
M3
R = - 0.707 i +0.707 k
10
例题3-6. 若三个力偶作用于楔块上使其保持平衡。 设Q = Q=150N。求力P与F的大小。
z
F´
FQ
o
P
y
Байду номын сангаас
0.3m
Q´
x
0.4m
P´
11
解: 取楔块为研究对象。
z
Mp = -0.6i×P j = - 0.6Pk
F´
FQ
MF = 0.6 i×Fk
0.3m
= - 0.6F j
x
o
0.4m
Q´ P´
M45 =(- 0.707 i +0.7073 k )×160 j = -113.1 i - 113.1 k
M = Mi = -193.1 i -80 j – 193.1 k
8
例题3-5. O1和O2圆盘与水平轴AB固连，O1垂直于z 轴，O2 垂直于x 轴，盘面上分别作用有力偶 (F1 , F'1) 和 (F2 , F'2) ，如图所示。如两盘半径均为 200mm， F1 = 3N，F2 = 5N，AB = 800mm，不计构件自重。求 轴承A和B处的约束力。
z F'1
O1
F1
A
x
F2
O O2
B
y
F'2
9
解:取两圆盘 和轴AB为研 究对象。
z FAz F'1
A
xFAx
F2
O1
O O2
Mxi = 0
F'2
400 F2 - 800 FAz = 0
(1)
F1 FBz
B
y FBx
Mzi = 0
400 F1 + 800 FAx = 0 (2)
解得: FAx = FBx = -1.5N FAz = FBz = 2.5N
5
(2) 空间力偶系的平衡
空间力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中 所有力偶矩矢在三个直角坐标轴中每一轴上的投影 的代数和等于零。
M = Mi = 0
Mxi = 0 Myi = 0 Mzi = 0
6
例题3-4.工件如图所示，它的四个侧面上同时钻五个孔， 每个孔所受的切削力偶矩均为 80kN.m。求工件所受合 力偶的矩在x、y、z轴上的投影Mx 、 My 、 Mz 。
MQ=(-0.4 j+0.3k)×150i = 60k + 45 j
Myi = 0 -0.6F + 45 = 0
F = 75 N
Mzi = 0 -0.6P + 60 = 0
P = 100 N
P
y
12
3-4. 空间任意力系向一点的简化.主矢和主矩 1.空间任意力系向一点的简化
力线平移定理: 作用于刚体上的一力F，可以 平行移动到刚体上的任一点O。但必须同时在此 力线与O所决定的平面内附加一力偶，此附加力 偶矢的大小和方向等于力F对O点的力矩矢的大 小和方向。