一般力系的简化
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第1讲 平面一般力系简化
主矢和主矩必同时为零。所以，平面一般力系平衡的充要条件
为：力系的主矢及力系对任一点的主矩均为零，即： F =0 MO =0
根据平面任意力系的平衡条件： F 0 M O 0 F ( Fx ) ( Fy ) 0 Fx 0， Fy 0 上式可写为： Fix 0 Fiy 0 M O ( Fi ) 0
要使MB=0，只有使F '的作用线通过A、B连线或者F ’=0 ；
∑Fx=0： 即∑Fx=F 'cosφ=0，只有当cosφ≠0时，才能肯定 F '=0。 因此必须φ≠90°，即A、B连线不能垂直于 x 轴(如右图)。
· · · · · ·
｛F1，F2 ，· · ·Fn｝
平面汇交力系和平面力偶系是平
面一般力系的特例。平面一般力系是 工程中最常见的力系。
一、力的平移定理
作用在刚体上的力F，可以平移到同一刚体上的任一点O， 但必须同时增加一附加力偶，附加力偶的力偶矩 M 等于原力F
对新作用点O之矩。这就是力的平移定理。
即F'为原力系的合力，其作用线通过简化中心。
3、F' ≠0， MO ≠0
当平面一般力系的主矢及对简化中心的主矩都不
等于零时，根据力的平移定理的逆过程，可以将F' 和MO合成为一个合力。 将作用线通过O点的力F'及矩为MO的力偶合成为一个作用线通过A点的一个 力，此力即为原力系的合力。如图所示，且有 F = F' =ΣFi 合力的大小、方向与原力系的主矢相同，合力F 是在主矢F'的哪一侧，则要 根据主矩的正负号来确定 。合力F'的作用线到简化中心O的距离为：
都不会变化。所以说主矢与
简化中心的选择无关。
力系的简化
力系向一点简化后的主矢和主矩在坐标轴上的投影
n
n
n
FR ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k
i 1
i 1
i 1
Fx i Fy j Fz k
Z
MO Fz
FR
Mz
Fx M x O
Fy
My
MO Mxi M y j Mzk
Y
X
空间力系向一点简化的意义
1、 FR 0; M O 0
力系平衡
平衡条件对O 点成立，则对任意点成立。
首先，力系第一不变量，FR 0 对任意点成立；其次，主矢对任意两定点 之矩的关系
MO M A OA FR
于是
MA 0
其中 FR 0; M O 0
2、 FR 0; M O 0 力系简化为一个合力偶，力偶矩为Mo 可以证明上述结果与简化中心无关
O
Fi
ri r2
ri
r2 r1
r1
C
rC FR
F2 F1
证明：如图，依条件有
FR Fi 0 MC ri Fi 0
ri rC ri
力系对O点之矩
Fi
ri r2
ri
r2
r1
r1
C
O
rC
FR
MO ri Fi (ri rC ) Fi
边长为d的正方形作用五个力，方向如图 已知 S1 S2 S3 S ， S4 S5 2S 求：力系的最简形式
z
S4
S1
O
d
x
S5
S3
y
S2
解：将各力向坐标轴上分解，有
平面一般力系向一点的简化
理论力学
平面力系\平面一般力系向一点简化
平面一般力系向一点的简化
如果作用于物体上各力的作用线都在同一平面内，但各力的作 用线不汇交于一点，也不都组成力偶，则这种力系称为平面一般力 系。平面一般力系是工程中最常见的力系。
例如图示屋架，受到屋面自重和积雪等重力荷载W、风力F以 及支座反力FAx、FAy、FB的作用，这些力的作用线在同一平面内， 组成一个平面一般力系。
MO MOi F 3m W1 1.5m W2 1m 450 kN m
负号表示主矩MO顺时针转向。
目录
平面力系\平面一般力系向一点简化
根据力的平移定理，本问题 中主矢F'R与主矩MO还可进一步 简化为一个合力FR，其大小、方 向与主矢F'R相同。设合力FR的 作用线与x轴的交点B到O点的距 离为d1，由合力矩定理，有
目录
平面力系\平面一般力系向一点简化
将式 FR F F 向坐标轴投影，得
FRx X FRy Y
即主矢在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。
求得主矢在坐标轴上的投影后，可得主矢的大小及方向分别为
FR
X
2
Y
2
tan Y
X
式中： ——F‘R与x轴正向的夹角。
至于主矩可直接利用 M O M O1 M O 2 M O n M O F
（2）力系可简化为一个合力 当 FR 0, M O 0 时，力系与一个力等效，即力系可简化为一 个合力。合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心。
当 FR 0, M O 0 时，根据力的平移定理逆过程，可将FR 和 MO简化为一个合力FR。合力的大小、方向与主矢相同，合力的作 用线不通过简化中心。
MO1=MO（F1）、MO2=MO（F2）、…、MOn=MO（Fn）
平面力系\平面一般力系向一点简化
平面一般力系向一点的简化
如果作用于物体上各力的作用线都在同一平面内，但各力的作 用线不汇交于一点，也不都组成力偶，则这种力系称为平面一般力 系。平面一般力系是工程中最常见的力系。
例如图示屋架，受到屋面自重和积雪等重力荷载W、风力F以 及支座反力FAx、FAy、FB的作用，这些力的作用线在同一平面内， 组成一个平面一般力系。
MO MOi F 3m W1 1.5m W2 1m 450 kN m
负号表示主矩MO顺时针转向。
目录
平面力系\平面一般力系向一点简化
根据力的平移定理，本问题 中主矢F'R与主矩MO还可进一步 简化为一个合力FR，其大小、方 向与主矢F'R相同。设合力FR的 作用线与x轴的交点B到O点的距 离为d1，由合力矩定理，有
目录
平面力系\平面一般力系向一点简化
将式 FR F F 向坐标轴投影，得
FRx X FRy Y
即主矢在某轴上的投影等于力系中各力在同轴上投影的代数和。
求得主矢在坐标轴上的投影后，可得主矢的大小及方向分别为
FR
X
2
Y
2
tan Y
X
式中： ——F‘R与x轴正向的夹角。
至于主矩可直接利用 M O M O1 M O 2 M O n M O F
（2）力系可简化为一个合力 当 FR 0, M O 0 时，力系与一个力等效，即力系可简化为一 个合力。合力等于主矢，合力的作用线通过简化中心。
当 FR 0, M O 0 时，根据力的平移定理逆过程，可将FR 和 MO简化为一个合力FR。合力的大小、方向与主矢相同，合力的作 用线不通过简化中心。
MO1=MO（F1）、MO2=MO（F2）、…、MOn=MO（Fn）
工程力学：第2章 力系的简化
F1sin45 F2sin45 0 FAsin30 F1cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FAcos30 F1cos45 sin30 F2cos45 sin30 P 0
B FB1
相同的均质杆围成正方形，求绳EF的拉力。
要求：
用最少的方 程求出绳EF受 的力
FAy
FAx
A
E
P
FDy
FDx
D
G
P
B
F
P
C
FDy FDx
D
G
P
FDy FDx
D
FCy FCx
C
FBx FT
G
P
FBy
B
F
P
C
例3-3
q
FAx A
M B
2a
P
FAy
4a
FB
ll
30
F
M
3l P
q
例3-4
F
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
FAy
B FB1x
C
M
B
D
Cr
•
E
A
300 F E
FA
FT
C
F A1
FA
求：销钉A所受的力
M
B D
FD D C
第二章力系的简化
A
x
i j k
y
F
MA r F l 2l 0 对点A的力矩： F sin 0 F cos 2Fl cosi Fl cosj 2Fl sin k
15
三.力偶 1.力偶定义 两个等值、反向、不共线的平行力。记为 ( F , F ) 力偶不能合成为一个力，故也不能与 一个力平衡，因此力和力偶都是基本力学 F 量。 F M 静止时力偶 M 与F 平衡吗? 力偶只能使物体转动，用力偶矩衡量
22
2.主矢与主矩——原力系的特征量 1)定义
' 主矢：（各力的矢量和）FR Fi Fi' ，与简化中心无关
主矩： （各力对O点取矩的矢量和）
MO MO (Fi ) ，与简化中心有关
2)简化结果 一般力系向某一点简化，可以得到一个力和一 个力偶，该力作用在简化中心，其大小，方向与原 力系主矢相同；该力偶矩等于原力系对简化中心的 主矩。
F
三要素:
大小、力偶作用面方位、转向.
16
F
2.力偶矩矢
A
rB A
F
F
B
h
rA
M
M
rB
O
定 义: 而
MO F ,F rA F rB F
F ' F
rA rB rB A
M0 F , F (rA rB ) F rBA F rAB F M
5
力矩的解析表达式：
由于F Fx i Fy j Fz k
M O (F ) r F x Fx i
r xi y j zk
工程力学基础第3章 力系的静力等效和简化
二、力系简化的最终结果 根据力系主矢和主矩的性质，力系可最终简化为下列四种情形 1 2 3 4 平衡力系 即与零力系等效。其条件为主矢F′R=0，主矩M 该力偶称为力系的合力偶。力系存在合力 该力称为力系的合力。
O=0 单一等效力偶 单一等效力 力螺旋 偶的条件为主矢F′R≠0，主矩MO≠0。 在最一般的情况下，力系的主矢和主矩不垂直
三、平面力系的简化结果
（1）沿直线路面行驶的汽车，若不考虑由于路面不平引起的
左右摇摆和侧滑，则由汽车所受的重力、空气阻力及地面对车 轮的约束力构成的空间力系将对称于汽车的纵向对称面。将该 力系向汽车的纵向对称面简化，就可得到一个平面一般力系， 如图3-11 （2）工厂车间里的桥式起重机，梁的自重、起重机小车的自 重和起吊物的重量均作用在梁的纵向对称面内。梁两端四个车 轮的约束力也对称于该平面，故该力系可简化为梁纵向对称面 内的一个平面力系，如图3-12所示。
图3-3
力的平移定理
可以把作用于刚体上点A的力F平行移动到任一
点O，同时附加一个力偶，其力偶矩矢M等于力F对点O的力矩
矢，即M=MO（F），则平移后得到的新力系与原力系等效， 如图3-4 力的平移定理可以直接用等效力系定理来证明。反之，作用于 同一刚体的同一平面内的一个力和一个力偶（即力偶矩矢和力 矢垂直时），可以用一个力等效代替。
（一般）力系，这是力系的最一般的形式。当力系中各力的作 用线位于同一平面内时，称为平面（一般）力系，这是工程实 际中常见的重要情形。有些空间力系通过等效转换的方法也可 以变为平面力系。如果力系中各力的作用线交于一点，则称为 汇交力系。如果力系全部由力偶组成，则称为力偶系。汇交力 系和力偶系也有空间和平面两种情形，汇交力系和力偶系是两
图3-4
材料力学 第2章 力系简化
而合力的作用点即平行力系的中心：
n
xC
lim
n
Fi xi
i 1 n
l
q( x) xdx
0 l
lim
n
i 1
Fi
0 q(x)dx
分布力对点A之矩
分布力包围的面积
结论：分布力的合力的大小等于分布力载荷图的面积，合
力的作用线通过载荷图的形心。
2.2 物体的重心、质心和形心
例2-5 如图所示，已知q、l, 求分布力对A点之矩。
2.2 物体的重心、质心和形心
xC
ΣFi xi ΣFi
，yC
ΣFi yi ΣFi
，zC
ΣFi zi ΣFi
3、平行力系中心的性质
平行力系的中心位置只与各平行力的大小和作用点的 位置有关，与平行力的方向无关。
2.2 物体的重心、质心和形心
二、物体的重心、质心和形心
1、重心
n个小体积ΔVi
坐标xi、yi、zi
（2）实验测定方法 悬挂法
称重法
l
A
C
B
xC G
FNB
二力平衡 两次悬挂
2.2 物体的重心、质心和形心
三、分布力
工程上存在大量分布力的情况，通常需要确定这些分布力
的合力的大小及其合力作用线的位置。对于图示的线分布力，
可以视为由无穷个集中力所构成的平行力系，
其合力的大小：FR
l
q ( x)dx
0
FP1 450kN，FP2 200kN
F1 300kN ，F2 70kN
求：
（1）力系向点 O 简化的结果；
（2）力系简化的最终结果。
2.1 力系简化
解：（1）确定简化中心为O点
1-2力系简化
应用时常使用投影式
M x ( R) m x ( Fi ) M y ( R) m y ( Fi ) M ( R) m z ( Fi ) z
19
力系简化
五、平面力系简化
主矢 R F 1 F2 F3 Fi
主 矩 M O m1 m2 m3 mO ( F1 ) mO ( F2 ) mO ( Fi ) ( 代 数 和)
① R MO
② R // M O
③主矢与主矩既不平行也不垂直。 R’
O1 O MO O1 O
MO
R’
13
力系简化
对第一种情况，可进一步简化，如图
R
O 等效 MO O R d MO R R R O 等效 O d O
MO R d
d MO R MO R'
合力 : R Fi
2、若 R 0, M O 0 ，则该力系可合成一个合力偶，其矩等于原
力系对于简化中心的主矩MO 。此时主矩与简化中心的位置无关
3、若
R' 0, MO 0 ，则该力系合成为一个合力，主矢就是原力
系的合力，这说明该力系的合力作用线通过简化中心O点。 （此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）。
28
力系简化
作业：P66 3-8 、 9、10
30
力系简化
31
L L
合力R恰好等于分布图形的面积（规律!）
②、由合力矩定理
x
等 效
M A ( R) M A (q( x )) M A (q( x ))
R AC x dR x q0 xdx / L q0 L2 3
平面一般力系的简化
O m2
F1
m1
x
F2
(a)
(b)
1.简化方法
向一点简化
一般力系（任意力系）
（未知力系）
FR（已知力系）
汇交力系合力
4
附加力偶的合力偶矩
2.主矢与主矩
①. 主矢：指原平面一般力系各力的矢量和
。
主矢 的 解析求法
大小： 方向： 注意：因以主它矢与等简于化原中力心系的各位力置的无矢关量。和,所
4、固定端（插入端）约束 在工程中常见的有：
A 雨搭
车刀
固定端（插入端）约束的构造
Fi A
约束反力
①认为Fi这群力在同一 平面内;
7
MA
FA
A
MA A
FA y FA x
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③FA方向不定可用正交 分力FAx, FAy表示;
④ FAx, FAy ,MA为固定端 约束反力; ⑤ FAx, FAy限制物体平动, MA为限制转动。
A (a)
B F
F A (b)
m B A
(c)
2
讨论
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力+力偶
②力线平移定理可考察力对物体的作用效应。
P
e
O
A
P
m
O
A
（刚体、变形体两 种情况）
③力线平移定理是力系简化的理论基础。 3
二、 平面一般力系向一点简化
Fn
An O
A2
F1
A1 F2
y Fn mn
5
②主矩：指原平面一般力系对简化中心之矩的代数和 。
大小：
主矩 MO 正、负规定 ： 转向 +
F1
m1
x
F2
(a)
(b)
1.简化方法
向一点简化
一般力系（任意力系）
（未知力系）
FR（已知力系）
汇交力系合力
4
附加力偶的合力偶矩
2.主矢与主矩
①. 主矢：指原平面一般力系各力的矢量和
。
主矢 的 解析求法
大小： 方向： 注意：因以主它矢与等简于化原中力心系的各位力置的无矢关量。和,所
4、固定端（插入端）约束 在工程中常见的有：
A 雨搭
车刀
固定端（插入端）约束的构造
Fi A
约束反力
①认为Fi这群力在同一 平面内;
7
MA
FA
A
MA A
FA y FA x
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③FA方向不定可用正交 分力FAx, FAy表示;
④ FAx, FAy ,MA为固定端 约束反力; ⑤ FAx, FAy限制物体平动, MA为限制转动。
A (a)
B F
F A (b)
m B A
(c)
2
讨论
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力+力偶
②力线平移定理可考察力对物体的作用效应。
P
e
O
A
P
m
O
A
（刚体、变形体两 种情况）
③力线平移定理是力系简化的理论基础。 3
二、 平面一般力系向一点简化
Fn
An O
A2
F1
A1 F2
y Fn mn
5
②主矩：指原平面一般力系对简化中心之矩的代数和 。
大小：
主矩 MO 正、负规定 ： 转向 +
《一般力系的简化》课件
VS
详细描述
力的三角形法则是基于三角形的基本性质 来描述力的合成与分解的。在力的三角形 中，合力或分力的方向是三角形的底边， 而两个分力或合力的方向则是三角形的两 条斜边。通过三角形法则，可以方便地计 算合力或分力的大小和方向。
03
一般力系的平衡条件
平衡状态与平衡条件
平衡状态
物体保持静止或匀速直线运动的状态。
04
一般力系的实例分析
实际生活中的一般力系
实际生活中的应用
汽车行驶中受到的阻力、推力、重力等，这些力共同作用形成了汽车的行驶状态。
人体在行走、跑步、跳跃等运动中，受到的支撑力、摩擦力、重力等力系，共同决 定了人体的运动状态。
工程中的一般力系
工程设计中的考虑
在桥梁、建筑等工程设计中，需要考虑各种力的作用，如重力、风力、地震力等，这些都需 要通过力系的分析和简化来进行设计和计算。
《一般力系的简化》ppt课件
contents
目录
• 一般力系的概念 • 一般力系的简化方法 • 一般力系的平衡条件 • 一般力系的实例分析 • 一般力系的简化应用
01
一般力系的概念
定义与特性
定义
一般力系是指由任意数量和任意 分布的力矢量组成的力系。
特性
一般力系具有独立性和相加性， 即力系中各力的作用效果不能被 其他力的作用效果所替代，且各 力的作用效果可以简单相加。
力的平行四边形法则
总结词
力的平行四边形法则是描述力的合成与分解的几何方法。
详细描述
力的平行四边形法则是说，如果将两个力合成或分解，则它们的作用效果可以用一个平行四边形来表 示。在平行四边形中，对角线表示合力或分力的大小和方向，而两个相邻边则表示两个分力或合力的 方向和大小。
第4章：平面一般力系
一个作用在简化中心的主矢；和一个对简化中心 的主矩。
§4–1 平面一般力系的简化•主矢与主矩
§4–1 平面一般力系的简化•主矢与主矩
三、主矢、主矩的求法：
1、主矢可接力多边形规则作图求得，或用解析
法计算。
R Rx2 Ry2
Fx 2
Fy 2
方向余弦：
cosR, x Fx R
cosR, y Fy R
② 求主矩：
L O
m o
F
2F cos60 2F 3F sin30 0.5
2
3
4
（2）、求合成结果：合成为
一个合力R，R的大小、方向与 R’相同。其作用线与O点的垂
2m
y
F2
60°
A
F1
O
3m
y A
B
F3
F4 C 30° x
B
直距离为： d Lo 0.51m R
Lo
R/ R
O d
C
x
§4–3 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
4、联立求解：
MA=-38.6 kN•m (顺时针） NAy
NAx= 0
A
NAx
C
T
B
NAy=-19.2 kN （向下）
MA Q
§4–4 平面平行力系的平衡
平面平行力系平衡的充要条件：
力系中各力的代数和等于零 ，以这些力对 任一点的矩的代数和也等于零。
平面平行力系的平衡方程：
一矩式： Fy 0 , mOF 0
Fx 0 :
N Ax 0
Fy 0 :
N Ay Q ND 0
mAF 0 :
3 2 Q 2ND M 0
4、联立求解：
y
§4–1 平面一般力系的简化•主矢与主矩
§4–1 平面一般力系的简化•主矢与主矩
三、主矢、主矩的求法：
1、主矢可接力多边形规则作图求得，或用解析
法计算。
R Rx2 Ry2
Fx 2
Fy 2
方向余弦：
cosR, x Fx R
cosR, y Fy R
② 求主矩：
L O
m o
F
2F cos60 2F 3F sin30 0.5
2
3
4
（2）、求合成结果：合成为
一个合力R，R的大小、方向与 R’相同。其作用线与O点的垂
2m
y
F2
60°
A
F1
O
3m
y A
B
F3
F4 C 30° x
B
直距离为： d Lo 0.51m R
Lo
R/ R
O d
C
x
§4–3 平面一般力系的平衡条件和平衡方程
4、联立求解：
MA=-38.6 kN•m (顺时针） NAy
NAx= 0
A
NAx
C
T
B
NAy=-19.2 kN （向下）
MA Q
§4–4 平面平行力系的平衡
平面平行力系平衡的充要条件：
力系中各力的代数和等于零 ，以这些力对 任一点的矩的代数和也等于零。
平面平行力系的平衡方程：
一矩式： Fy 0 , mOF 0
Fx 0 :
N Ax 0
Fy 0 :
N Ay Q ND 0
mAF 0 :
3 2 Q 2ND M 0
4、联立求解：
y
第三章力系的简化
M O M O ( Fi )
力系若有合力，力系合力对任意轴的 矩等于力系各力对同一轴的矩的矢量和；
M x M x ( Fi )
7. 空间任意力系简化为力螺旋
简化后，若FR0，MO0，且FR与MO平行， 此时无法进一步简化。 这样力与力偶作用面垂直的情况称为力螺旋。
FR与MO同向，称右手螺旋；
4.平面任意力系的简化
1) 平面任意力系向一点简化 平面任意力系
力线平移
平面汇交力系+平面力偶系
平面汇交力系+平面力偶系
合成
平面汇交力系合力FR
平面力偶系合力偶MO
简化点O任选，称简化中心 简化后平面汇交力系的合力FR，有：
简化后平面力偶系的合力偶MO，有：
平面任意力系向作用面内一点简化后得到一个 力和一个力偶，该力的主矢等于原力系的主矢，该 力偶的力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。 简化后有以下几种情况： 1） 若FR=0，MO0，则力系合成为一个合力偶， 合力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。这种情 况下，主矩与简化中心的位置无关； 2） 若FR0，MO=0，则力系合成为一个合力， 主矢FR与原力系主矢FR相等。主矢FR通过简化 中心。合力与简化中心的位置有关，换一个简化 中心，则MO不为零。
3）结论
任意平面汇交力系：
可以简化为一合力，合力的大 小与方向等于各分力的矢量和（几 何和），合力的作用线通过汇交点。 用矢量表示：
平面汇交力系平衡的充要条件是：该力系的 合力等于零。
几何法求解平面汇交力系，一般适合三个 力汇交的情况
例：如图，为汽车制动机 构的一部分。驾驶员蹬踩 力F=212N，方向与水平 面夹角α=45º。平衡时， DA垂直，BC水平，求拉 杆BC所受的力。已知， EA=24cm，DE=6cm，点 在上，机构不计自重，C、 B、D均为光滑铰链。
第二章 力系的简化
【例3-2】 如图3-8(a)所示，在柱子的A点受有吊车梁传来的集中 】 力 F = 100kN。求将这力 F 平移到柱轴上O点时所应附加的力偶矩
M ，其中e=0.4m。
【解】 根据力的平移定理，力 F 由A点平移到O点，必须附加一力偶，
M = M B ( F ) = − F × e = −100kN × 0.4m = −40kN ⋅ m
又B处的支座反力垂直于支持面，要形成与已知力偶M反向的 力偶，B处的支座反力 FB 方向只能斜向上，A处的支座反力 FA 的方向斜向下，作用线与 FB 平行，且有 F = F A B 由平衡条件 ∑ M i = 0 ，得： i =1
n
FB × d − M = 0
FB × (4m × sin 30o ) − 20kN ⋅ m = 0
平面任意力系的平衡方程，除了这种基本形式以外，还有如 平面任意力系的平衡方程，除了这种基本形式以外， 下两种形式 。 二力矩式： 二力矩式：∑FX=0 ∑MA=0 条件： 连线不能垂直于X 条件：A、B连线不能垂直于X轴 ∑MB=0 三力矩式： 三力矩式： ∑MA=0 ∑MB=0 条件：A、B、C不能在一条直线上 条件： ∑MC=0 无论哪种形式的平衡方程，都只有三个独立的方程，所以，平 无论哪种形式的平衡方程，都只有三个独立的方程，所以， 面任意力系的平衡方程只能求解三未知量。 面任意力系的平衡方程只能求解三未知量。
）、平面任意力系平衡的情形 （3）、平面任意力系平衡的情形 ）、 R′=0 ，M0′=0 则原力系是平衡力系， 则原力系是平衡力系，这种情形将在下一节中讨论
情况 向O点简化的结果 主矢R 主矩M 分类 主矢R′ 主矩MO 1 2 3 4 R′=0 R'=0 R′≠0 ′ R′≠0 ≠ MO=0 MO≠0 MO=0 MO≠0
一般力系的简化
力的作用线
力的作用线确定
力的作用线是力的三要素之一，它决定了力作用的路径。在一般力系的简化过程 中，必须明确力的作用线，以确保简化的准确性。
作用线变化的影响
力的作用线变化会导致一般力系的简化结果发生变化。因此，在简化过程中，必 须保持力的作用线不变。
06 一般力系简化的实例分析
实例一：桥梁设计中的力系简化
总结词
桥梁设计中的力系简化是为了将复杂的实际受力情况简化为易于分析和计算的模型，从 而确保桥梁的安全性和稳定性。
详细描述
在桥梁设计过程中，设计师需要对桥梁的受力情况进行详细的分析和计算，以确定桥梁 的承载能力和稳定性。为了简化计算过程，设计师通常会将实际的复杂受力情况简化为 若干个简单的力系，如集中力、分布力等，并利用力学原理进行分析和计算。这种简化
实例三：飞机设计中的力系简化
总结词
飞机设计中的力系简化是为了将复杂的飞机整体受力情 况简化为易于分析和计算的模型，从而确保飞机的安全 性和稳定性。
详细描述
在飞机设计过程中，设计师需要对飞机的受力情况进行 详细的分析和计算，以确定飞机的承载能力和稳定性。 为了简化计算过程，设计师通常会将实际的复杂受力情 况简化为若干个简单的力系，如升力、阻力等，并利用 力学原理进行分析和计算。这种简化方法能够大大提高 设计效率，同时保证飞机的安全性和稳定性。
小和方向相同。
03 主矢的作用点与力系中所有力的作用点相同。
主矩
主矩是一个力矩，表 示力系中所有力矩的 矢量和。
主矩的矩心与力系中 所有力矩的矩心相同。
主矩的大小和转向与 力系中所有力矩的矢 量和的大小和转向相 同。
主矢和主矩的关系
主矢和主矩是两个独立的物理 量，它们之间没有直接关系。
第三章 力系的简化
FRx i + FRy j = Fix i + Fiy j
Fix i + Fiy j
（3-9）
FRx i + FRy j = Fix i + Fiy j Fix i + Fiy j
比较（3-9）式等式两端单位矢量i、j前面的系数， 可得
性质二： 力偶中的两力对力偶作用平面内任意点之矩 的和恒等于力偶矩，而与矩心位置无关。
这一性质是力偶与力对点之矩的主要区别。
性质三 ： 力偶矩是力偶对刚体作用效应的唯一度量，因 而在同一平面内的两力偶等效的必要与充分条件是 这两力偶矩相等，称为力偶等效性质。
由力偶的这一性质，可得出如下推论： 1）只要力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意 移动和转动，或者从一个平面平移到另一个平行的 平面中去，而不改变它对刚体的效应；
Fn
x
å
Fi
j
（3-6）
o
图3-7
建立直角坐标系并取单位矢量，则（3-6）式右 端分力的解析表达式为：
Fi = Fix i +Fiy j
(i =1,2,L , n)
（3-7）
而（3-6）式左端合力的解析表达式为：
FR = FRx i + FRy j
将（3-7）和（3-8）代入（3-6）中得
（3-8）
4）力偶对物体的转动效应取决于： ① 力偶的大小； ②在力偶作用面内力偶的转向。 因此，平面力系中可用一个代数量表示力偶的 转动效应。
5）力偶矩 在平面力系中，可以用力偶中的一个力的大小与 力偶臂的长度的乘积，并冠以适当的正负号后所得 的代数量，来表示力偶的转动效应，称为力偶矩。 用符号 m(F , F ) 表示。
第二章力系的简化理论
M
z
F1
x
O
F3
a
C
b
y
0
A
B
M O ( Fa Fc)i Fbj
15
2-3 力偶
16
1. 力在轴上投影是代数量,力对轴之矩是代数量。 2. 刚体上的力是滑移矢量；
力对点之矩是定位矢量；
力偶矩矢是自由矢量。
16
2-3 力偶
17
作业：P7 2；P8 5
17
18
2-4 力系的简化理论
(2)对轴
M x (FR ) M x (Fi )
合力对任一点（轴）之矩等于各分力对 同一点（轴）之矩的矢量（代数）和。
8
2-3 力偶
1.力偶的概念 1)定义: 两个等值、反向、不共线平行力，记为 (F , F ) 2)实例:
9
F
F
力偶不能合成为一个力，也不能与一个力平 衡，是产生转动效果的度量，是一个基本力学量。
23
1.空间一般力系向任一点简化 （1）过程: 选O点为简化中心
z
z
Fn
rn r2 O r1
F2
MOn
y
Fn
x
O
F1
MO2 F2 F1 M O1
y
x
z
空间汇交力系：
FR
O
Fi Fi
空间力偶系： M Oi M O ( Fi )
y
MO
合力 力偶
Fi Fi FR
M O M Oi M O ( Fi )
y
500 N
0.8 m 80 N m
100 N 0.6 m
O
1m 200 N
1m
z
F1
x
O
F3
a
C
b
y
0
A
B
M O ( Fa Fc)i Fbj
15
2-3 力偶
16
1. 力在轴上投影是代数量,力对轴之矩是代数量。 2. 刚体上的力是滑移矢量；
力对点之矩是定位矢量；
力偶矩矢是自由矢量。
16
2-3 力偶
17
作业：P7 2；P8 5
17
18
2-4 力系的简化理论
(2)对轴
M x (FR ) M x (Fi )
合力对任一点（轴）之矩等于各分力对 同一点（轴）之矩的矢量（代数）和。
8
2-3 力偶
1.力偶的概念 1)定义: 两个等值、反向、不共线平行力，记为 (F , F ) 2)实例:
9
F
F
力偶不能合成为一个力，也不能与一个力平 衡，是产生转动效果的度量，是一个基本力学量。
23
1.空间一般力系向任一点简化 （1）过程: 选O点为简化中心
z
z
Fn
rn r2 O r1
F2
MOn
y
Fn
x
O
F1
MO2 F2 F1 M O1
y
x
z
空间汇交力系：
FR
O
Fi Fi
空间力偶系： M Oi M O ( Fi )
y
MO
合力 力偶
Fi Fi FR
M O M Oi M O ( Fi )
y
500 N
0.8 m 80 N m
100 N 0.6 m
O
1m 200 N
1m
工程力学
力系简化的基础是力向一点平移定理。
工程力学
第2章 力系的简化
§2–2 力向一点平移定理
力向一点平移定理 作用于刚体上的力可从原来的作用点 平行移动任一点而不改变对刚体的作用效应，但须附加一 个力偶，附加力偶的矩等于原力对新作用点的矩。
F B h
F
F = B h
F
F
A
A
=
M=Fh B A
第2章 力系的简化
求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N， y F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。 F2
解： 根据合力投影定理，得合力在轴
x，y上的投影分别为：
FRx F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129 .3 N
FR=FR，但其作用线不过简化中心O。
FR
MO O
FR
= O
d
FR
FR
A
= O
d
FR
A
M 0 m0 ( FR ) d FR ' FR '
把各力矢首尾相接，连接第一个力的始端与最后一个力的终 端的矢量就是合力FR，力系中各力称为合力FR的分力。 F2 F1 F3 F2 F3 F
O
4
F1
FR
F4 • 得到的多边形，称为力多边形，合力就是力多边形的封闭边。
• 用力多边形求解合力的方法称为力的多边形法则。
工程力学 c F3 d F4 c F1 a
加减平衡力系原理
力偶
[证明]
力F
M o M o ( F ) Fh
力系F，F'，F''
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化中心的主矩。 主矢为
Fi FR
i 1
n
与简化中心无关 (力系第一不变量)
主矢唯一；主矢是自由矢 主矩为
M O M O (Fi ) (一般) 与简化中心有关
i 1
n
主矩与矩心位置有关;主矩是定位矢
主矢量和主矩的计算 ●主矢量F'R的计算
x Fxi FR y Fyi FR
定理：作用在刚体上某点的力 F ，可以平行移动
到刚体上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其 力偶 矩等于原来的力 F 对平移点之矩。
F A B
加平衡力系 (F'， F")
F A B F"
F'
A
将力偶(F，F") 用M代替
F' M B
F'= F(大小相等，方向相同)
M=MB(F )
M=F· d
可见，一个力可以分解为一个与其等值平行 的力和一个位于平移平面内的力偶；反之，一个 力偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用 一个位于力偶作用面内的力来等效替换。
F2
60° B F3
FR
FRx FRy
2
y A 2m
2
0.974kN
x FR , i cos FR 0.614 FR
F1
F'R
3m C
F4 30° x
, i 526' FR
y FR , j cos FR 0.789 FR
MO F1 Od
F'R FR
3m C
F4 30° x
距离为：
MO d 0.51m FR
例
100mm
y
4 2 1 Fx F1 5 F2 2 F3 5 100 3 2 2 F F F F y 1 5 2 2 3 5 100
300mm
M1
平面力偶系
力偶的作用效应
M2 Mn
平面力偶系可以合成为一个力偶（合力偶）
此合力偶之矩等于原力偶系中各力偶之矩的代 数和
M M i M1 M 2
i 1
n
Mn
平面力偶系的平衡
平面力偶系平衡的充分必要条件为:
M Mi 0
i 1
n
例1 已知： 结构受力如图所示，图中M， r均为已知，且l=2r。试画出AB和BDC杆的 受力图；求A、C处的约束力。
d
A
F
B
MO(F)=±Fd=±2Δ OAB ●力矩的性质： O d A F
1 当力F的大小等于零，或者力的作用线通过矩 心（即力臂d=0）时，力对矩心的力矩等于零；
2 当力F沿其作用线滑动时，并不改变力对指定 点的矩； 3 同一个力对不同点的矩一般不同。
2 力偶及其性质 平面力偶系的合成与平衡
一 力偶及力偶矩矢 B F' 力偶的定义
F1
F2
A
FR
Fn
M M B (FR ) M B (Fi )
i 1
n
FR′ A B M
即：平面一般力系的合力对力系所在平面内任意点 之矩等于力系中所有各力对同一点之矩的代数和。这 称为平面一般力系的合力矩定理
例1 槽形杆用螺钉固定于点O，如图示。在杆端 点A作用一力P，其大小P=400N，试求力P对点O之 矩。
●平面一般力系平衡方程的其它形式
Fx 0 M A Fi 0 M B Fi 0 M A Fi 0 M B Fi 0 M C Fi 0
二矩式
适用条件：A、B两 矩心的连线不能与所 选投影轴（x轴）垂直
如：
C
F
C
F
C
M
F'
(a)
(b)
(c)
4 平面一般力系向作用面内一点简化
设在某一刚体上作用着平面一般力系F1、F2 、…Fn，如图所示。显然无法象平面汇交力系那 样，用力的平行四边形法则来合成它。
F1
F2
Fn
简化中心
F1 F2
F'1
M1
O
F'n Fn
(a) (b) Mn
F'2 M2
F'R O MO
FR
,i cos FR
2
x FR
Fxi Fyi
2
,j cos FR
y FR
FR
FR
●主矩ＭO的计算
MO M MO Fi
二、简化结果分析 1 F'R= 0, MO≠0 原力系合成为力偶。
这时力系主矩MO 与简化中心位置无关。
B r A D l M C
受力分析:
F'B
B FA A FB B
45°
M D C FC
结论： 1 AB杆为二力杆; 2 BDC杆的Ｃ、B 二处分别受有一 个方向虽 然未知、 但可以判断出的力。
3 力的平移定理
?问题的产生
平 面 一 般 力 系
F1
FR12 F2 F'3 O2
O1
F3
?
空间一般力系 力与力偶，如何合成
2 F'R≠0, MO= 0 原力系合成为一个力。作用于点O 的力F'R就是 原力系的合力。
3 F'R≠ 0, MO≠0 原力系简化成一个力偶和一个作用于点O 的力, 这时力系可进一步合成为一个力。
y
FR FRy FRx F'R MO x
O'(x,0)
d O
d
d
MO
FR
x d
MO cos F Ry
F1
3 4
200mm 1 1
F2
x
M FR
º
1 2
MO
F'R
F3
100 2N FR
, i 2 2 cos FR
, j 2 2 cos FR
M O M O (Fi ) F2 sin 45 0.2 F3 1 5 0.1 40 30N.m
M A Fi 0 或者: M B Fi 0
注意： AB与各Fi不平行。
两个独立方程！
图示F1，F2，F3------FN为一平面力系，若力系 平衡，则下列各组平衡方程中互相不独立的是 ( B )。
简单的力系
性质二：当力偶矩保持不变时，力偶可在其作 用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用
性质三：只要保持力偶矩不变，可同时相应地 改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不影响 力偶对刚体的作用效应 F' d F 0.5F' 2d 0.5F M=Fd
此性质称为力偶等效性质
平面力偶系的合成与平衡
10cm C 12cm D
F2
30º
P
A
F1
d
O 6cm B
4 F'R= 0, MO=0
原力系平衡。
综上所述，平面一般力系简化的最终结果为： 1 一个力；
2 一个力偶；
3 平衡。
例2 在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用着 有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图）， 试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果，以及 该力系的最终合成结果。
3力偶作用面的方位。 力偶的正负号表示转向：一般以逆时针转 向为正，反之为负。
力偶矩与力对点之矩 力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶 矩,而与矩心无关 M(F,F') = +Fd F' F MO(F') +MO(F) O = -Fx + F'(x +d) d = +Fd x = M(F,F') 由此可见,同一平面内两力偶等效的充分与 必要条件是:两力偶之矩相等。
d
力偶: 大小相等, 方向相反,不共线的两 个力所组成的力系。
F A d (F, F' )
●力偶臂：d
●力偶作用面：力偶中两 力作用线所决定的平面
力 偶 实 例
F1
F2
力偶的要素 1 力偶中任一力的大小和力偶臂的乘积F.d； ●力偶的单位：Nm或kNm
2 在力偶作用面内，力偶的转向；
y F2 60° B F3
A
2m
解：取坐标系Oxy。 1 求向O点简化结果： (1)求主矢F Rx：
F1
F4 30° 3m
C x
O
x Fx F2 cos60 F3 F4 cos30 0.598kN FR
y Fy F1 F2 sin 60 F4 sin 30 FR 3 1 1 2 3 0.768kN 2 2
◐ 固定端约束 作为平面一般力系简化结果的一个应用，我们来 分析另一种常见约束------固定端约束的反力。
卡盘
遮雨蓬
简图：
FA MA A FAy MA FAx
固定端约束反力有三个分量：两个正交反力， 一个反力偶
◐ 沿直线分布的线荷载合力 集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或 与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用在 一点上。例如，道路给轮子的力等。 几种分布荷载 (1)体分布荷载，如，构件的自重等； (2)面分布荷载，风压力、雪压力等； (3)线分布荷载，如沿构件的轴线分布。 荷载单位
(c)
(F'1， F'2 ，„ ， F'n）
Fi Fi FR
平面汇交力系 主矢量
(M1， M2 ，„ ， Mn）
平面力偶系
Fi FR
i 1
n
与简化中心无关 (力系第一不变量)
主矢唯一；主矢是自由矢 主矩为
M O M O (Fi ) (一般) 与简化中心有关
i 1
n
主矩与矩心位置有关;主矩是定位矢
主矢量和主矩的计算 ●主矢量F'R的计算
x Fxi FR y Fyi FR
定理：作用在刚体上某点的力 F ，可以平行移动
到刚体上任意一点，但必须同时附加一个力偶，其 力偶 矩等于原来的力 F 对平移点之矩。
F A B
加平衡力系 (F'， F")
F A B F"
F'
A
将力偶(F，F") 用M代替
F' M B
F'= F(大小相等，方向相同)
M=MB(F )
M=F· d
可见，一个力可以分解为一个与其等值平行 的力和一个位于平移平面内的力偶；反之，一个 力偶和一个位于该力偶作用面内的力，也可以用 一个位于力偶作用面内的力来等效替换。
F2
60° B F3
FR
FRx FRy
2
y A 2m
2
0.974kN
x FR , i cos FR 0.614 FR
F1
F'R
3m C
F4 30° x
, i 526' FR
y FR , j cos FR 0.789 FR
MO F1 Od
F'R FR
3m C
F4 30° x
距离为：
MO d 0.51m FR
例
100mm
y
4 2 1 Fx F1 5 F2 2 F3 5 100 3 2 2 F F F F y 1 5 2 2 3 5 100
300mm
M1
平面力偶系
力偶的作用效应
M2 Mn
平面力偶系可以合成为一个力偶（合力偶）
此合力偶之矩等于原力偶系中各力偶之矩的代 数和
M M i M1 M 2
i 1
n
Mn
平面力偶系的平衡
平面力偶系平衡的充分必要条件为:
M Mi 0
i 1
n
例1 已知： 结构受力如图所示，图中M， r均为已知，且l=2r。试画出AB和BDC杆的 受力图；求A、C处的约束力。
d
A
F
B
MO(F)=±Fd=±2Δ OAB ●力矩的性质： O d A F
1 当力F的大小等于零，或者力的作用线通过矩 心（即力臂d=0）时，力对矩心的力矩等于零；
2 当力F沿其作用线滑动时，并不改变力对指定 点的矩； 3 同一个力对不同点的矩一般不同。
2 力偶及其性质 平面力偶系的合成与平衡
一 力偶及力偶矩矢 B F' 力偶的定义
F1
F2
A
FR
Fn
M M B (FR ) M B (Fi )
i 1
n
FR′ A B M
即：平面一般力系的合力对力系所在平面内任意点 之矩等于力系中所有各力对同一点之矩的代数和。这 称为平面一般力系的合力矩定理
例1 槽形杆用螺钉固定于点O，如图示。在杆端 点A作用一力P，其大小P=400N，试求力P对点O之 矩。
●平面一般力系平衡方程的其它形式
Fx 0 M A Fi 0 M B Fi 0 M A Fi 0 M B Fi 0 M C Fi 0
二矩式
适用条件：A、B两 矩心的连线不能与所 选投影轴（x轴）垂直
如：
C
F
C
F
C
M
F'
(a)
(b)
(c)
4 平面一般力系向作用面内一点简化
设在某一刚体上作用着平面一般力系F1、F2 、…Fn，如图所示。显然无法象平面汇交力系那 样，用力的平行四边形法则来合成它。
F1
F2
Fn
简化中心
F1 F2
F'1
M1
O
F'n Fn
(a) (b) Mn
F'2 M2
F'R O MO
FR
,i cos FR
2
x FR
Fxi Fyi
2
,j cos FR
y FR
FR
FR
●主矩ＭO的计算
MO M MO Fi
二、简化结果分析 1 F'R= 0, MO≠0 原力系合成为力偶。
这时力系主矩MO 与简化中心位置无关。
B r A D l M C
受力分析:
F'B
B FA A FB B
45°
M D C FC
结论： 1 AB杆为二力杆; 2 BDC杆的Ｃ、B 二处分别受有一 个方向虽 然未知、 但可以判断出的力。
3 力的平移定理
?问题的产生
平 面 一 般 力 系
F1
FR12 F2 F'3 O2
O1
F3
?
空间一般力系 力与力偶，如何合成
2 F'R≠0, MO= 0 原力系合成为一个力。作用于点O 的力F'R就是 原力系的合力。
3 F'R≠ 0, MO≠0 原力系简化成一个力偶和一个作用于点O 的力, 这时力系可进一步合成为一个力。
y
FR FRy FRx F'R MO x
O'(x,0)
d O
d
d
MO
FR
x d
MO cos F Ry
F1
3 4
200mm 1 1
F2
x
M FR
º
1 2
MO
F'R
F3
100 2N FR
, i 2 2 cos FR
, j 2 2 cos FR
M O M O (Fi ) F2 sin 45 0.2 F3 1 5 0.1 40 30N.m
M A Fi 0 或者: M B Fi 0
注意： AB与各Fi不平行。
两个独立方程！
图示F1，F2，F3------FN为一平面力系，若力系 平衡，则下列各组平衡方程中互相不独立的是 ( B )。
简单的力系
性质二：当力偶矩保持不变时，力偶可在其作 用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用
性质三：只要保持力偶矩不变，可同时相应地 改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不影响 力偶对刚体的作用效应 F' d F 0.5F' 2d 0.5F M=Fd
此性质称为力偶等效性质
平面力偶系的合成与平衡
10cm C 12cm D
F2
30º
P
A
F1
d
O 6cm B
4 F'R= 0, MO=0
原力系平衡。
综上所述，平面一般力系简化的最终结果为： 1 一个力；
2 一个力偶；
3 平衡。
例2 在长方形平板的O、A、B、C 点上分别作用着 有四个力：F1=1kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图）， 试求以上四个力构成的力系对点O 的简化结果，以及 该力系的最终合成结果。
3力偶作用面的方位。 力偶的正负号表示转向：一般以逆时针转 向为正，反之为负。
力偶矩与力对点之矩 力偶对其作用面内任一点之矩恒等于力偶 矩,而与矩心无关 M(F,F') = +Fd F' F MO(F') +MO(F) O = -Fx + F'(x +d) d = +Fd x = M(F,F') 由此可见,同一平面内两力偶等效的充分与 必要条件是:两力偶之矩相等。
d
力偶: 大小相等, 方向相反,不共线的两 个力所组成的力系。
F A d (F, F' )
●力偶臂：d
●力偶作用面：力偶中两 力作用线所决定的平面
力 偶 实 例
F1
F2
力偶的要素 1 力偶中任一力的大小和力偶臂的乘积F.d； ●力偶的单位：Nm或kNm
2 在力偶作用面内，力偶的转向；
y F2 60° B F3
A
2m
解：取坐标系Oxy。 1 求向O点简化结果： (1)求主矢F Rx：
F1
F4 30° 3m
C x
O
x Fx F2 cos60 F3 F4 cos30 0.598kN FR
y Fy F1 F2 sin 60 F4 sin 30 FR 3 1 1 2 3 0.768kN 2 2
◐ 固定端约束 作为平面一般力系简化结果的一个应用，我们来 分析另一种常见约束------固定端约束的反力。
卡盘
遮雨蓬
简图：
FA MA A FAy MA FAx
固定端约束反力有三个分量：两个正交反力， 一个反力偶
◐ 沿直线分布的线荷载合力 集中力或集中荷载：力或荷载的作用面积很小或 与整个构件的尺寸相比很小，可以认为集中作用在 一点上。例如，道路给轮子的力等。 几种分布荷载 (1)体分布荷载，如，构件的自重等； (2)面分布荷载，风压力、雪压力等； (3)线分布荷载，如沿构件的轴线分布。 荷载单位
(c)
(F'1， F'2 ，„ ， F'n）
Fi Fi FR
平面汇交力系 主矢量
(M1， M2 ，„ ， Mn）
平面力偶系