清华大学理论力学课后习题答案-虚位移原理及其应用习题解(内容参考)

第12章 虚位移原理及其应用
12－1 图示结构由8根无重杆铰接成三个相同的菱形。

试求平衡时，主动力F 1与F 2的大小关系。

解：应用解析法，如图（a ），设OD = l
θsin 2l y A =；θsin 6l y B = θθδcos 2δl y A =；θθδcos 6δl y B =
应用虚位移原理：0δδ12=⋅-⋅A B y F y F
02612=-F F
；213F F =
12－2图示的平面机构中，D 点作用一水平力F 1，求保持机构平衡时主动力F 2之值。

已知：AC = BC
= EC = DE = FC = DF = l 。

解：应用解析法，如图所示：
θcos l y A =；θsin 3l x D = θθδsin δl y A -=；θθδcos 3
δl x D =
应用虚位移原理：0δδ12=⋅-⋅-D A x F y F
0cos
3sin 12=-θθF F ；θcot 312F F =
12－3 图示楔形机构处于平衡状态，尖劈角为θ和β，不计楔块自重与摩擦。

求竖向力F 1与F 2的大小关系。

解：如图（a ），应用虚位移原理：0δδ2211=⋅+⋅r
F r F 如图（b ）：
β
θt a n δδt a n δ2
a 1r r r ==
；12
δtan tan δr r θ
β
=
0δtan tan δ1211=⋅
-⋅r θβF r F ；θ
β
tan tan 21⋅=F F
12－4 图示摇杆机构位于水平面上，已知OO 1 = OA 。

机构上受到力偶矩M 1和M 2的作用。

机构在可
习题12-1图
（a ）
习题12-2解图
习题12－3
（a ）
r a
（b ）
能的任意角度θ下处于平衡时，求M 1和M 2之间的关系。

解：应用虚位移原理：0δδ2211=⋅-⋅ϕϕM M （1）
如图所示，e a δcos δr r =θ
其中：`1a δδϕ⋅=OA r ；2e δcos 2δϕθ⋅⋅=OA r 所以：21δ2δϕϕ=，代入式（1）得：122M M =
12－5 等长的AB 、BC 、CD 三直杆在B 、C 铰接并用铰支座A 、D 固定，如图所示。

设在三杆上各有一力偶作用，其力偶矩的大小分别为M 1 、M 2和M 3。

求在图示位置平衡时三个力偶矩之间的关系（各杆重不计）。

解：应用虚位移原理：
0δδδ332211=⋅+⋅+⋅ϕϕϕM M M （1）
如图所示，B C r r δ60sin δ=︒；CB C r r δ60cos δ=︒
设三杆长均为l ，则有：`1δδϕl r B =；3δδϕl r C =；2δδϕl r CB =
所以：
13δδ23ϕϕ=，23δδ2
1
ϕϕ=代入式（1）得： 02
1
23321=++M M M ；023321=++M M M 12－6 图示三根均质杆相铰接，AC = b ，CD = BD = 2b ，AB = 3b ，AB 水平，各杆重力与其长度成正比。

求平衡时θ、β与γ间的关系。

解：应用解析法，如图所示：
θsin 2
b y E =
； θθδcos 2δb
y E =
γθsin sin b b y F +=；γγθθδcos δcos δb b y F +=
βsin b y G =； ββδcos δb y G =
应用虚位移原理：0δ2δ2δ=++⋅G F E y mg y mg y mg 即：0δcos 2)δcos δcos (2δcos 2
=+++⋅
ββγγθθθθmgb b b mg b
mg （1） 根据几何关系：βγθsin 2sin 2sin b b b =+；βγθcos 2cos 2cos 3b b b b ++=
e 习题12－4解图
r C
r B 习题12－5解图
习题12－6解图
对上两式求变分：；ββγγθθδcos 2δcos 2δcos b b b =+；γβ
γ
θβθβδcos cos δcos 2cos δ+=
0δsin 2δsin 2δsin =---ββγγθθb b b ；
γβθθβγγθδtan cos sin tan cos sin 2
δ++-=；=βδγβ
θθβ
γγθγβδ)tan cos sin tan cos sin cos (cos cos 1++-=
将上式代入式（1），有：
0tan tan sin cos tan 2cos 2tan tan tan cos sin 5=+-++++-β
θγ
γθγβθβγγmg mg mg
0)sin cos (tan 2)tan (tan cos 2)tan cos (sin 5=-++++-γγθβθγβγγ 0)tan (tan 2)tan (tan 2)tan (tan 5=-++++-γθβθβγ 0tan 3tan 7tan 4=--βγθ
12－7 计算下列机构在图示位置平衡时主动力之间的关系。

构件的自重及各处摩擦忽略不计。

解：图（a ）：0δδ=⋅
-⋅l r M r F D
C ；︒=︒30cos δ60cos δ
D C r r 0δδ3=⋅-⋅l
r
M r F D D ；Fl M 3=
图（b ）：0δδ2a e =⋅-⋅l r
M r F ；e a δ60cos δr r =︒
0δδa a =⋅-⋅l r
M r F ；Fl M =
图（c ）：0δδ=⋅-⋅r
r
M r F A C ；)cos(δcos δθϕϕ-=B A r r ；θθ2sin δcos δB C r r =
C A r r δ2tan cot δϕθ+=；0δ2cot tan δ=+⋅-⋅C C r r
M r F θϕ
习题12－7解图
（a ）
θ
ϕcot tan 2+=
rF
M
12－8 机构如图，已知OA = O 1B = l ，O 1B ⊥OO 1，力偶矩M 。

试求机构在图示位置平衡时，力F 的大小。

解：应用虚位移原理：0δδ=⋅-⋅θM r F B （1）
如图所示，e a δsin δr r =θ；其中：θδδa l r =；
δδe l l
r
r B =所以：B r l δsin sin δθθθ=， 代入式（1）得：l
M F =
12－9 机构如图，已知OA = 20cm ，O 1D = 15cm ，O 1D // OB ，弹簧的弹性系数k = 1000N/cm ，已经拉伸变形cm 2s =λ，M 1 = 200N · m 。

试求系统在θ = 30º、β
解：应用虚位移原理：
0δδδ121=⋅-⋅-⋅
D
O r
M r F OA r M D B A （1） 如图所示，B C A r r r δδδ==
θθcos δsin δD C r r =
代入式（1）得：0δtan δδ121=⋅-⋅-⋅
D
O r M r F OA r M A
A A θ m N 8.259)210002
.0200(30tan 15.0)(tan s 112⋅-=⨯-︒=-=
λθk OA M D O M
12－10 在图示结构中，已知铅垂作用力F ，力偶矩为M 的力偶，尺寸l 。

试求支座B 与C 处的约束力。

解：解除B 处约束，系统的虚位移如图（a ），
应用虚位移原理：
0δδδ=⋅+⋅-⋅ϕM r F r F D B B （1）
其中：B D r r δ2δ=；l r l r B D δ2δδ==ϕ
代入式（1）得：
0δ2δ2δ=⋅
+⋅-⋅
l
r M r F r F B
B B B
习题12-8解图
习题12-9解图
习题12-10图
（a ）。