虚位移原理(一)剖析

度但约束方程是可以积分的约束 n —质点数 s —约束数
f (ri ) 0, i 1, 2, , n； 1, 2, , s
以积分的约束
y
非完整约束 — 约束方程包含质点速度、且约束方程不可
i ) 0, i 1, 2, , n； 1, 2, , s f ( ri , r
3n-s 6n-s
2n-s 3n-s
双摆
单摆
(约束: xo=0, yo=0)
按质点系(A , B): 2×2 - 2 = 2 按刚体系(OA, AB): 3×2 - 4 = 2
(约束: xol1=0, yol1=0; xAl1=xAl2, yAl1=yAl2)
判断自由度数的 实用方法:
① 固定质点系中任意质点 或刚体的任一方向的运动， 若其他质点和刚体都不会运 动，则自由度为1，如图；
双面约束 —— 约束方程可以写成等式的约束。 单面约束 —— 约束方程可以写成不等式的约束。
O l A A0 y x O x
单面约束还是双面约束？ 约束方程？ l
A A0 y
x y l (双面约束)
2 2 2
x 2 y 2 l 2 (单面约束)
完整约束与非完整约
完整约束 — 约束方程不包含质点速度，或者包含质点速
虚位移(功)原理
Principle of Virtual Work
自由质点系：质点的运动状态（轨迹、速度等 等）只取决于作用力和运动的起始条件 ——其运动称为自由运动 非自由质点系：质点系的运动状态受到某些预 先给定的限制（运动的起始条件也要满足这些 限制条件） ——其运动称为非自由运动
约束(Kinematic Constraints) 的运动学分类

虚位移与虚位移原理虚位移与虚位移原理2010-04-22 10：528.2.1虚位移为了便于理解虚位移的概念，现把虚位移和实位移进行对比阐述。

1实位移--位置函数的微分实位移是质点系在微小的时间间隔内实际发生的位移，可用位置函数的微分表示。

设由n个质点组成的完整约束系统，其自由度为k，选取一组广义坐标，则每个点的位置可用其位置矢径表示。

满足该质点系的约束方程，取其微分(8-4)式(8-4)中，是满足约束条件的增量，是系统受不平衡力系作用而实际发生的微小位移，由动力学方程和运动初始条件确定。

由上式得到的不但是约束许可的，而且其大小和方向还满足运动的初始条件，并有一组惟一的值，称为质点系的一组实位移，而称为质点系的一组广义实位移。

2虚位移--位置函数的变分虚位移是质点系在某瞬时发生的一切为约束允许的微小位移，可用位置函数的变分表示。

(8-5)与实位移不同，虚位移是约束许可的，与主动力和运动初始条件无关的，不需要经历时间的假想微小位移。

在某一时刻，质点的虚位移可以有多个。

系统静平衡时，实位移不可能发生，而虚位移则只要约束允许即可发生。

是质点系的一组虚位移，而称为质点系的一组广义虚位移。

在定常约束下，实位移一定是虚位移中的一个。

如图8.6所示单摆，虚位移可为和，而实位移仅为其一。

但在非定常约束下，实位移一般不可能是虚位移中的一个，如图8.2中所示小球，其实位移中，摆长随时间变化，而虚位移是在固定时刻，摆长不变时的位移，二者显然不同。

思考8-3①试画出思考8-1图(a)中质点B以及图(b)中套筒D的实位移和虚位移。

②试画出图8.5中双摆的虚位移。

3虚位移的计算计算质点系中各点的虚位移以及确定这些虚位移之间的关系涉及质点系的位形变化，内容十分广泛。

这里主要针对定常完整约束的刚体系统，介绍通常采用的几何法与解析法。

例8.1试确定图所示曲柄连杆机构中，A，B两点虚位移之间的关系。

解①几何法。

此处可用求实位移的方法来确定各点虚位移之间的关系。

弹性力学中的虚位移分析
05
CHAPTER
虚位移原理的扩展与深化
广义虚位移原理
在经典力学中，虚位移是指在平衡状态下，系统内部各质点间的相对位移。广义虚位移原理则将这一概念扩展到整个力学系统，包括外部作用力、约束条件和能量变化等因素。
广义虚位移的求解方法
通过构建广义坐标和广义速度，将问题转化为求解广义动能的变分问题，进而得到系统的平衡条件和运动方程。
理论力学教学材料-10虚位移原理
目录
虚位移原理概述 虚位移原理的基本理论 虚位移原理的推论与结论 虚位移原理的实例分析 虚位移原理的扩展与深化
01
CHAPTER
虚位移原理概述
定义与概念
虚位移原理
在不受外力的情况下，系统的总虚位移为零。
虚位移
系统内各质点在虚设的外力作用下所发生的位移。
虚功
虚位移与实位移的区别与联系
静力学问题
虚位移原理可以用于解决静力学问题，例如求约束反力、分析刚体的平衡等。通过引入虚位移和虚力，可以将静力学问题转化为求解代数方程的问题。
动力学问题
在动力学问题中，虚位移原理可以用于分析系统的运动状态和受力情况。通过引入虚位移和虚力，可以将动力学问题转化为求解微分方程或积分方程的问题。此外，虚位移原理还可以用于求解约束系统的振动问题、稳定性问题等。
虚位移原理在动力学中的应用
04
CHAPTER
虚位移原理的实例分析
单个刚体的虚位移分析
总结词
在单个刚体的虚位移分析中，我们关注刚体的位置变化和力的作用。
详细描述
首先，我们需要确定刚体的初始位置和最终位置，然后分析在力的作用下刚体的位移变化。这个过程需要考虑到刚体的转动和移动，以及力和位移之间的关系。

§15 – 1 约束 . 虚位移 . 虚功
1. 约束及分类 约束: 限制物体运动的条件 约束的分类: ( 1 ) 几何约束 – 约束方程 表示为空间坐标的函数. 运动约束 – 约束方程中含有空间坐标对时间的导数 y B r A B、C 点的约束方程:
L
xB yB r
2 2
2
C x
(xC x B ) y B L
l 8
l 8
l 8
l 8
l 8
l 8
l 4
Q q l 4 800 N
设E 处有一向上的虚位移rE ,
F E rE M
2 l 1 4
F
rE
l 2
i
r i 0
0
Q
rE 4
FE M
Q
0
F E 250 N

例五.( 例15 – 4 ) 图示机构, 不计各构件自重和各处摩擦, 求机构在图示位置平衡 时, 主动力偶 矩M 与主动力F之间的关系. 图中 和h为已知. A 解: 设B 点有一虚位移rB, 则B 点的牵连虚位移为
re rB sin
re
rB
90º B C h
F
M
O
rr
而AB 杆绕O 点的虚角位移
re OB r B sin
2
h
由虚位移原理:
M
M F rB 0
r B sin
2
h
F rB 0
2
F
M h
2 2
2
yC 0
y

A点的约束方程: A
yA r xA r