第一章-概率论的基础知识

第一章 随机事件及其概率§1.1 随机事件及其运算随机现象：概率论的基本概念之一。

是人们通常说的偶然现象。

其特点是,在相同的条件下重复观察时,可能出现这样的结果,也可能出现那样的结果,预先不能断言将出现哪种结果.例如,投掷一枚五分硬币,可能“国徽”向上,也可能“伍分”向上;从含有5件次品的一批产品中任意取出3件,取到次品的件数可能是0,1,2或3.随机试验：概率论的基本概念之一.指在科学研究或工程技术中,对随机现象在相同条件下的观察。

对随机现象的一次观察(包括试验、实验、测量和观测等),事先不能精确地断定其结果,而且在相同条件下可以重复进行,这种试验就称为随机试验。

样本空间: 概率论术语。

我们将随机试验E 的一切可能结果组成的集合称为E 的样本空间,记为Ω。

样本空间的元素,即E 的每一个结果,称为样本点。

随机事件：实际中,在进行随机试验时,人们常常关心满足某种条件的那些样本点所组成的集合.称试验E 的样本空间Ω的子集为E 的随机事件,简称事件.在每次试验中,当且仅当这一子集中的一个样本点出现时,称这一事件发生.特别,由一个样本点组成的单点集,称为基本事件.样本空间Ω包含所有的样本点,它是Ω自身的子集,在每次试验中它总是发生的,称为必然事件.空集Ø不包含任何样本点,它也作为样本空间的子集,它在每次试验中都不发生,称为不可能事件.互斥事件（互不相容事件）: 若事件A 与事件B 不可能同时发生，亦即ΦB A = ，则称事件A 与事件B 是互斥(或互不相容)事件。

互逆事件: 事件A 与事件B 满足条件ΦB A = ，Ω=B A ,则称A 与B 是互逆事件，也称A 与B 是对立事件,记作A B =（或B A =）。

互不相容完备事件组：若事件组n A A A ,,21满足条件ΦA A j i = ，（n 1,2j i, =），Ω== n 1i i A,则称事件组n A A A ,,21为互不相容完备事件组(或称n A A A ,,21为样本空间Ω的一个划分)。

概率论必备知识点概率论是一门研究随机现象数量规律的数学分支，它在各个领域都有着广泛的应用，从物理学、生物学、经济学到计算机科学等。

以下是一些概率论中的必备知识点。

一、随机事件与概率随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现的事件。

例如，抛一枚硬币，正面朝上就是一个随机事件。

概率则是用来衡量随机事件发生可能性大小的数值。

概率的取值范围在 0 到 1 之间，0 表示不可能发生，1 表示必然发生。

计算概率的方法有多种。

对于等可能事件，概率等于事件所包含的基本结果数除以总的基本结果数。

例如，掷一个骰子，出现点数为 3的概率就是 1/6，因为骰子共有 6 个面，每个面出现的可能性相等，而点数为 3 的只有 1 种情况。

二、古典概型古典概型是一种最简单的概率模型。

在古典概型中，试验的结果是有限的，并且每个结果出现的可能性相等。

例如，从装有 5 个红球和 3 个白球的袋子中随机取出一个球，求取出红球的概率，这就是一个古典概型问题。

计算古典概型的概率，可以使用公式：P(A) ＝ n(A) ／n(Ω)，其中P(A)表示事件 A 发生的概率，n(A)表示事件 A 包含的基本结果数，n(Ω)表示总的基本结果数。

三、几何概型几何概型是古典概型的推广，当试验的结果是无限的，且每个结果出现的可能性相等时，就可以使用几何概型来计算概率。

例如，在一个时间段内等待公交车，求等待时间不超过 5 分钟的概率。

在几何概型中，概率等于事件对应的区域长度（面积或体积）除以总的区域长度（面积或体积）。

四、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

例如，已知今天下雨，明天晴天的概率就是一个条件概率。

条件概率的计算公式为：P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A)，其中 P(B|A)表示在事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，P(AB)表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率，P(A)表示事件 A 发生的概率。

高等数理统计笔记高等数理统计笔记第一章：概率论基础1.1 概率的引入1.2 概率的公理化定义1.3 概率的基本性质1.4 条件概率与独立性1.5 全概率公式与贝叶斯公式1.6 随机变量的引入与分布函数1.7 随机变量的分布函数及其性质1.8 随机变量的密度函数及其性质1.9 随机变量的数字特征第二章：多维随机变量及其分布2.1 二维随机变量及其联合分布函数2.2 二维随机变量的联合密度函数及其性质2.3 二维随机变量的条件分布函数及其性质2.4 二维随机变量的条件密度函数及其性质2.5 相互独立的随机变量2.6 随机变量的函数的分布及其性质2.7 两个随机变量的和的分布及其性质第三章：大数定理与中心极限定理3.1 大数定理的概念3.2 切比雪夫不等式3.3 伯努利大数定理3.4 辛钦大数定理3.5 中心极限定理的概念3.6 李雅普诺夫中心极限定理3.7 林德贝格-列维中心极限定理3.8 中心极限定理的应用第四章：参数估计4.1 点估计的概念与性质4.2 最大似然估计法4.3 矩估计法4.4 经验分布函数与分位数的估计4.5 贝叶斯估计第五章：假设检验5.1 总体均值检验的基本知识5.2 单个总体均值的假设检验5.3 单个总体比例的假设检验5.4 两个总体均值的假设检验5.5 两个总体比例的假设检验5.6 方差的假设检验5.7 单个总体分布的非参数检验5.8 两个总体分布的非参数检验第六章：方差分析与回归分析6.1 方差分析的基本概念6.2 单因素方差分析6.3 多因素方差分析6.4 回归分析的概念与简单回归6.5 最小二乘估计法6.6 多元回归分析第七章：统计抽样与抽样分布7.1 抽样调查的概念与方法7.2 抽样分布及其基本性质7.3 样本均值的分布7.4 样本平均数与总体均值的关系7.5 样本方差与总体方差的关系7.6 样本比与总体比的关系第八章：贝叶斯统计推断8.1 贝叶斯定理及其含义8.2 贝叶斯估计量的概念与性质8.3 最大后验概率估计8.4 确定性问题的贝叶斯推断方法第九章：序贯统计与时间序列分析9.1 序贯统计的概念与应用9.2 时间序列的基本概念与应用9.3 平稳序列与非平稳序列的区别9.4 自相关函数与自协方差函数9.5 平稳序列的谱分析9.6 自回归模型与移动平均模型9.7 估计方法与模型诊断第十章：非参数统计方法10.1 非参数统计的基本概念10.2 秩和检验10.3 秩和检验的应用10.4 秩次相关检验10.5 Friedmann检验10.6 克鲁斯卡尔-华里斯检验以上是一份高等数理统计的笔记，涵盖了概率论基础、多维随机变量及其分布、大数定理与中心极限定理、参数估计、假设检验、方差分析与回归分析、统计抽样与抽样分布、贝叶斯推断、序贯统计与时间序列分析、非参数统计方法等内容，共计6000字。

概率论知识点总结第一章 随机事件及其概率第一节 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。

随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。

不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。

必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。

样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω.样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示.一个随机事件就是样本空间的一个子集。

基本事件—单点集，复合事件—多点集 一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。

事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为A B ⊇或B A ⊆。

相等关系：若A B ⊇且B A ⊆，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。

事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。

记为 A ∪B 。

事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。

事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。

用交并补可以表示为B A B A =-。

互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。

互斥时B A ⋃可记为A ＋B 。

对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。

对立事件的性质：Ω=⋃Φ=⋂B A B A ,。

事件运算律：设A ，B ，C 为事件，则有 （1）交换律：A ∪B=B ∪A ，AB=BA（2）结合律：A ∪(B ∪C)=(A ∪B)∪C=A ∪B ∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A ∪(B∩C)＝(A ∪B)∩(A ∪C) A(B ∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB ∪AC （4）对偶律（摩根律）：B A B A ⋂=⋃ B A B A ⋃=⋂第二节 事件的概率 概率的公理化体系： （1）非负性：P(A)≥0； （2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性： ⋃⋃⋃⋃n A A A 21两两不相容时++++=⋃⋃⋃⋃)()()()(2121n n A P A P A P A A A P概率的性质： （1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：n A A A ⋃⋃⋃ 21两两不相容时)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=⋃⋃⋃当AB=Φ时P(A ∪B)＝P(A)＋P(B) （3）)(1)(A P A P -=（4）P(A －B)＝P(A)－P(AB)（5）P （A ∪B ）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节 古典概率模型1、设试验E 是古典概型, 其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件A 由k 个样本点组成.则定义事件A 的概率为nk A P =)( 2、几何概率：设事件A 是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为)()()(Ω=μμA A P 假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可.第四节 条件概率条件概率：在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B).)()()|(B P AB P B A P =乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组，则P(B)=∑P(i A )P(B|i A ) 贝叶斯公式：设n A A A ,,,21 是一个完备事件组,则∑==)|()()|()()()()|(jj i i i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P第五节 事件的独立性两个事件的相互独立：若两事件A 、B 满足P(AB)= P(A) P(B)，则称A 、B 独立，或称A 、B 相互独立.三个事件的相互独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，P(ABC)= P(A) P(B)P(C)，则称A 、B 、C 相互独立三个事件的两两独立：对于三个事件A 、B 、C ，若P(AB)= P(A) P(B)，P(AC)= P(A)P(C)，P(BC)= P(B) P(C)，则称A 、B 、C 两两独立独立的性质：若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 均相互独立总结：1.条件概率是概率论中的重要概念，其与独立性有密切的关系，在不具有独立性的场合，它将扮演主要的角色。

大一概率论的基本知识点概率论是一门研究随机现象的理论，它在现代科学和工程技术等领域有广泛应用。

大一学习概率论时，我们需要掌握一些基本的知识点。

本文将介绍大一概率论的基本知识点，包括随机事件、概率、条件概率、独立性等。

一、随机事件随机事件是由一个随机试验产生的结果，它可以是一个具体的值，也可以是一个范围。

例如，掷一枚骰子后，出现的点数就是一个随机事件。

随机事件通常用大写字母表示，如A、B等。

二、概率概率是指随机事件发生的可能性大小。

概率的取值范围是0到1之间，表示从不发生到必然发生的程度。

概率可以通过实验或统计的方法估计，也可以通过理论计算得出。

三、概率公理概率论建立在概率公理的基础上。

概率公理包括三个部分：非负性、规范性和可列可加性。

非负性指概率的取值必须大于等于0；规范性指全样本空间的概率为1；可列可加性指对于两个互不相容的事件，它们的概率可以相加。

四、条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

条件概率可以用P(A|B)表示，表示在事件B发生的情况下，事件A发生的概率。

条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

五、独立性两个事件A和B是独立的，指的是事件A的发生与否不会影响事件B的发生概率，反之亦然。

如果事件A和事件B是独立的，那么它们的联合概率等于各自的概率的乘积，即P(A∩B) = P(A) *P(B)。

六、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率论中的重要定理，它用于计算在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

根据贝叶斯定理，可以将条件概率的计算方向颠倒。

贝叶斯定理的表达式为P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)，其中P(B|A)表示在事件A发生的情况下，事件B发生的概率。

七、随机变量随机变量是对随机试验结果的数量化描述。

随机变量可以是离散的或连续的。

离散随机变量只能取有限个或可列个值，例如投掷一枚硬币的结果可以是正面或反面；连续随机变量可以取无限个值，例如测量一个人的身高。

概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件§几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。

例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。

每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。

例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。

例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)便是E i中的基本事件。

在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。

例如，在E i中掷出偶数点”的事件便可表为{2, 4, 6}。

试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。

记为Qo例如，在E i 中，Q={1 , 2, 3, 4, 5, 6}在E2 中，Q={ ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) }在E s 中，Q={0 , 1, 2,……}例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。