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样本空间
Def 随机试验基本事件的全体所形成的集合称为该随 机试验的样本空间，一般用字母表示。 样本空间是由所要研究的问题及其该问题所涉及的随 机试验确定的，它是研讨问题的论域。
例如： 1, 2 ,, 6 ，其中1表示朝上面 例1.1的样本空间
2 表示朝上面的点数为2，其余记号类似。 的点数为1， 例1.2的样本空间 (WW ), (WB ), ( BW ), ( BB) ，其中 W 表示白球，B 表示黑球。 如果将问题变为“观察白球出现的 个数”，那么，样本空间 0,1,2 ，其中“ 0”表示所抽球中 没有白球， “1”表示所抽球中有1个白球，其余记号类似。 例1.3的样本空间 0,1,2,,53，其中“0”表示所抽产品
事件，如图1.2所示。
AB A B
图1.2
从定义不难看出事件的和运算具有下列性质
（1）A A B ；
（2）若 A （3） A
B ，则 A B B ；
A A。
事件和运算概念的推广： 设 A1 , A2 , , Ak , 为一个事件序列，
则称“事件序列 A1 , A2 , , Ak , 中至少有一个事件发生”
事件的差运算 Def 设 A, B为任意两个事件，则称“事件 A发生，而 事件 B 不发生”这样的试验结果为事件 A与事件 B的差事 件；这样的运算称为事件差运算。记 A 与 B的差事件 为 A \ B。 从运算角度来看，事件 A 与B 的差事件就是由事件 A 所包含的全体基本事件中去掉其与事件 B所共有的基本事 件形成的集合表达的事件，如图1.1所示。从定义不难看 出事件的积运算具有下列性质 （1） \ A A ； （2）若 A B，则 A \ B 。 事件的运算律 A B B A 交换律 AB BA 结合律 ( A B) C A ( B C ) ( AB)C A( BC)
率的近似值；不足是粗糙、模糊和不便使用。
例1.5 为掌握一批小麦种子的发芽率，从这批小麦种子中抽
取若干种子做发芽试验，统计结果如下表所示。试由此资料
种子粒数 发芽粒数 发芽率 1 2 2 5 4 0.8 0.9 10 9 0.857 70 1500 60 1339 130 2000 116 1806 310 282 0.913 700 639 0.893
A1
A3
A2
图1.1
则A 1 , A2 , A 3 形成一个互斥事件完备群，如图1.1所示。
显然，互为对立的两个事件一定形成一个互斥事件完备群。
因此，互斥事件完备群是对立事件概念的推广。互斥事件
完备群形成样本空间的一个分割。后面将要遇到的概率计
算中，利用互斥事件完备群在一些情况下可以化简复杂事 件概率计算。
事件的和运算 Def 设 A, B为任意两个事件，则称“事件A 与事件B 至 少一个发生”这样的试验结果为事件 A与事件B 的和事件； 这样的运算称为事件和运算。记A 与B 的和事件为 A B 。 从运算角度来看，事件A 与 B的和事件就是将两事件中
所包含的不同的基本事件全体拿来形成一个集合所表达的
这样的试验结果为事件序列 A1 , A2 , , Ak , 中事件的和 事件。记为 A1
A2 Ak 。
事件的积运算 B两 Def 设 A, B为任意两个事件，则称“事件 A 与事件 个同时发生”这样的试验结果为事件 A 与事件 B的积事件； 这样的运算称为事件积运算。记 A与 B的积事件为 AB 。 从运算角度来看，事件 A 与 B 的积事件就是由两个事件 所包含的公共基本事件全体构成的集合所表达的事件，如 图1.3所示。 从定义不难看出事件的积运算具有下列性质 （1） AB A , AB B； （2）若 A B ，则 AB A； AB B （3）AA A 。 A 事件积运算概念的推广： 图1.3 设 A1 , A2 , , Ak , 为一个事件序列， 则称“事件序列 A1 , A2 , , Ak , 中每个事件同时发生” 这 样的试验结果为事件序列 A1 , A2 , , Ak , 中事件的积事 件，记为 A1 A2 A3 Ak 1 Ak Ak 1 。
如果有 A B成立，也称A 为 B的子事件。
Def 设 A, B 为任意两个事件，若A B 且B A，则称事
件 A与 B等价或相等。记为 A B 。
例如：
在例1.1中，令 A表示掷得点数能被3整除；B 表示掷得 的点数为3或6，则 A B 。
事件的互斥与对立
Def 设 A, B为任意两个事件，若A与B在一次试验中不能同
分配律
A( B C ) AB AC A BC ( A B)( A C )
对偶律（De Morgan律）
这些运算律读可以推广到有限个事件的情况，对偶律还 可以推广到无穷多个事件的情况。 讨论事件之间关系和事件运算的目的是为了用简单事 件表示复杂事件。熟练的应用事件的关系和运算将复杂事 件表达成为一些相对简单事件的运算式是将来计算复杂事 件概率基本手段。 例1.6 设 A, B, C为某试验的三个已知事件，试用它们表 达下列事件“A, B, C 中恰有两个事件发生 ”， “A, B, C 中都不发生”。 解: “ A, B, C中恰有两个事件发生 ”为 ABC AB C A BC “ A, B, C 中都不发生”为 A B C 或 A B C
显然，频率具有下列性质：
(1)0 f n ( A) 1
(2) f n 0, f n () 1
(3)设随机事件A与B不能同时发生， 则f n A B f n ( A) f n ( B).
Def 随机事件在一次试验中是否发生带有偶然性，但当 试验次数不断增大时，它发生的频率就趋于稳定，这种 规律称为随机事件的统计规律性。
n
f n ( A) p
1.2 随机事件关系与运算
显然，样本空间是一基本事件为元素的集合，复合事件 是样本空间的真子集，必然事件就是样本空间，不可能 事件是样本空间的空子集；如果再规定基本事件就是一 个单点集，那么，随机事件就可以用集合来表示，但事 件与集合又有所不同。所谓一个事件发生时指表达该事
在历史上，为了证明随机事件的统计规律性，人们进行 了许多试验。最著名的有掷硬币试验、高尔顿板实验。 掷硬币试验的历史资料表
试 验 者 德.摩根 蒲 丰 抛 掷 次 数 2048 4040 出现正面的次数 1061 2048 出现正面的频率 0.5180 0.5069
皮尔逊
皮尔逊
12000
24000
6019
中没有次品，其余记号类似。 例1.4的样本空间 X : X x,1.50 x 1.90 ，其中 X 表示所抽到学生的身高。
频率稳定性 Def 设将试验 E 进行了 n次，其中m A次发生了事件A ， 则称m A / n为事件A 发生的频率，记为f n A ，即
mA f n ( A) n
显然，事件 A与 B互为对立事件，则它们一定互斥。
互斥事件完备群
Def 设 A1 , A2 , , Ak 为一组事件，如果它们之中任意
两个之间互斥，每次试验中必有它们其中一个发生，则称 这组事件A1 , A2 , , Ak 形成互斥事件完备群 。 例如： 在例1.4中，令
A1 X : 1.50 X 1.60 A2 X : 1.60 X 1.70 A3 X : 1.70 X 1.90
Ai Aj A1 A2
i j i , j 1,2, , k
事件组 A1 , A2 , , Ak为 互斥事件完备群
Ak
1.3 古典概率
在对一般随机试验进行讨论之前，先讨论最简单的 随机试验，这就是所谓的古典概率。 古典概型 Def 若随机试验 E 的样本空间 只有有限个基本事件，且 每个基本事件在试验中发生机会相等，则称该随机试验 E 为古典概型。 古典概型描述的是特殊的，相对较简单的随机现象。 判断一个随机试验是否为古典概型就是要看其基本结果数 是否有限和各基本结果是否具有等可能性。 例如：例1.1，例1.2，例1.3都是古典概型。
概率的统计确定法 频率 f n A 稳定地在某一常数 p 附近摆动, 且随 n越大摆动 幅度越小, 则称 p为事件A 的概率, 记作 P ( A) p。 概率的统计定义对试验没有特殊限制，适用于所有随 机试验。优点是易于理解，在试验次数足够大时能给出概
Def 在相同条件下重复进行的n次试验中, 事件A 发生的
随机事件在具体一次试验中有可能出现也有可能不出
现，它具有不可预见性。如果随机事件在一次具体试 验中出现了，就称该随机事件发生了。一般用大写的 英文字母来表示随机事件，如A,B,C…。
随 机 事 件 的 分 类
基本事件 复合事件 特殊事件
随机试验不可再分的结果 用随机试验若干个基本事 件共同方可表达的结果 必然事件和不可能事件
时发生，则称事件A 与B 互斥。若 A与 B互斥，且在一次试 验中必有一个发生，则称 A与 B互为对立事件。记A 的对立 事件为 A 例如：
在例1.1中，令A 表示掷得点数能被3整除； B 表示掷得
的点数小于3，则A 与B 互斥。 在例1.2中，令A 表示抽出的两球中至少有一球为白色球，
B 表示抽出的两球全为黑球，则 A 与 B 互为对立事件。
下面是一些随机试验的例子
例1.1 某人抛掷一枚骰子，观察朝上面的点数。 例1.2 从装有7个白球和3个黑球的盒子中随意取出两个球， 观察其颜色。 例1.3 从某厂所生产的10000件产品中随意抽取53件产品，
考察其中次品的件数
例1.4 从某校中随意抽选一名学生，测量其身高。
随机事件
Def 随机试验的结果称为随机事件，简 B
D A B C， 例1.7 设 A, B, C为某试验的三个已知事件， 试求事件D 的对立事件。 解: 由对偶律知
