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1.1 随机现象与统计规律性
0011 0010 随机现象0001 0100 1011 1010 1101
Def 在一定条件下，因不可控因素而导致实验或观察结 果不唯一的现象成为随机现象。客观世界存在大量的随 机现象。 随机试验 Def 为研究随机现象而进行的观察和实验统称为随机试验。 随机试验必具备以下特点： （1）至少有两个以上可能结果； （2）试验的所有可能结果由试验条件明确已知，但每次 具体试验之前不可预测本次试验将要出现的结果； （3）试验可在相同条件下多次重复。
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吴鹏飞 统稿 江西师范大学数信学院
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第一章
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
随机事件与概率
随机现象与统计规律性 随机事件关系与运算 古典概率 几何概率 概率空间 小结与综合练习
试 验 者 德.摩根 蒲 丰 皮尔逊 皮尔逊 维 尼 抛 掷 次 数 2048 4040 12000 24000 30000 出现正面的次数 1061 2048 6019 12012 14994 出现正面的频率 0.5180 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998
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随机事件概率 从前面的讨论我们不难看出，同一随机试验的不同事件 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 由于其内在的差别，在具体的试验过程中，它们各自发 生的机会是不定一样的。为了刻画这种差异需要有一个 指标，这个指标就是概率。所谓概率是用来刻画随机事 件在一次试验中发生机会大小的一个数量指标。 概率的统计确定法 Def 在相同条件下重复进行的 n 次试验中, 事件 A 发生的 ) 频率 fn( A 稳定地在某一常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动 幅度越小, 则称 p 为事件A的概率, 记作 P(A = p。 ) 概率的统计定义对试验没有特殊限制，适用于所有随 机试验。优点是易于理解，在试验次数足够大时能给出概 率的近似值；不足是粗糙、模糊和不便使用。
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例1.5 为掌握一批小麦种子的发芽率，从这批小麦种子中抽 取若干种子做发芽试验，统计结果如下表所示。试由此资料
种子粒数 2 5 10 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 发芽粒数 2 4 9 70 1500 60 1339 130 2000 116 1806 310 282 700 639
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ω 的点数为1， 2 表示朝上面的点数为2，其余记号类似。 例1.2的样本空间 Ω = {(WW), (WB), ( BW ), ( BB)} ，其中 W 表示白球，B 表示黑球。 如果将问题变为“观察白球出现的 Ω 个数”，那么，样本空间 = {0,1,2} ，其中“0”表示所抽球中 没有白球， “1”表示所抽球中有1个白球，其余记号类似。 例1.3的样本空间Ω = {0,1,2,⋯,53}，其中“0”表示所抽产品
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A 2
事件的和运算 , 为任意两个事件，则称“事件 与事件 至 A B Def 设 A B A B 少一个发生”这样的试验结果为事件 与事件 的和事件； 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 这样的运算称为事件和运算。记 B 的和事件为 B 。 A+ A 与 从运算角度来看，事件 A与 B的和事件就是将两事件中 所包含的不同的基本事件全体拿来形成一个集合所表达的 事件，如图1.2所示。 从定义不难看出事件的和运算具有下列性质 （1）A ⊂ A + B ； Ω （2）若 A ⊂ B ，则 A + B = B ； A+ B A B （3）A + A = A 。 事件和运算概念的推广： 图1.2 , k 为一个事件序列， 设 A, A ,⋯ A ,⋯ 1 2 A 2 , k 则称“事件序列1, A ,⋯ A ,⋯ 中至少有一个事件发生” A 2 , k 这样的试验结果为事件序列 , A ,⋯ A ,⋯ 中事件的和 1 事件。记为 + A +⋯ A +⋯ 。 A + k 1 2
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事件的差运算 , 为任意两个事件，则称“事件 发生，而 A Def 设 A B B A B 事件 不发生”这样的试验结果为事件 与事件 的差事 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 A 件；这样的运算称为事件差运算。记B与 的差事件 B A\ 为 。 A B A 从运算角度来看，事件 与 的差事件就是由事件 B 所包含的全体基本事件中去掉其与事件 所共有的基本事 件形成的集合表达的事件，如图1.1所示。从定义不难看 1.1 出事件的积运算具有下列性质 Ω\ A= A （1） A ⊂ B ； A \ B = ∅ （2）若 ，则 。 事件的运算律 AB = BA A+ B 交换律 = B + A （和运算） （积运算） (A + B 结合律 ) + C = A + ( B + C ) ( AB)C = A( BC ) （和运算） （积运算）
确定该批小麦种子的发芽率。0.892 0.910 0.913 0.893 发芽率 1 0.8 0.9 0.857 解：从表内的资料可看出，随着做试验种子粒数的增加， 0.903 种子发芽的频率在0.9附近摆动，参与发芽试验的种子粒数 愈大附近摆动愈小，所以，这批小麦种子的发芽率大概应在 0.9这个数值上。 注意：概率的统计定义只给出了确定事件概率近似方法。 请大家思考概率的统计定义与下列极限过程有何区别？也即 概率的统计定义能否理解为下式成立：
m fn(A = A ) n
显然，频率具有下列性质：
(1)0 ≤ f n ( A) ≤ 1
(2) f n (∅ ) = 0, f n (Ω) = 1
( 3)设随机事件 A 与 B 不能同时发生， 则 f n ( A + B ) = f n ( A ) + f n ( B ).
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Def 随机事件在一次试验中是否发生带有偶然性，但当 试验次数不断增大时，它发生的频率就趋于稳定，这种 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 规律称为随机事件的统计规律性。 在历史上，为了证明随机事件的统计规律性，人们进行 了许多试验。最著名的有掷硬币试验、高尔顿板实验。 掷硬币试验的历史资料表
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事件的积运算 , 为任意两个事件，则称“事件 与事件 两 A B Def 设 A B A B 个同时发生”这样的试验结果为事件 与事件 的积事件； 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 这样的运算称为事件积运算。记 B 的积事件为 A 与 AB 。 从运算角度来看，事件 A与 B的积事件就是由两个事件 所包含的公共基本事件全体构成的集合所表达的事件，如 图1.3所示。 从定义不难看出事件的积运算具有下列性质 （1） AB ⊂ A, AB ⊂ B； Ω （2）若 A ⊂ B ，则 AB = A； ABB （3）AA = A 。 A 事件积运算概念的推广： 图1.3 , k 为一个事件序列， 设 A, A ,⋯ A ,⋯ 1 2 A 2 , k 则称“事件序列1, A ,⋯ A ,⋯ 中每个事件同时发生” 这 样的试验结果为事件序列 , A ,⋯ A ,⋯ 中事件的积事 A 2 , k 1 件，记为A A A ⋯ k−1A A +1 ⋯ 。 A k k 1 2 3
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lim f n ( A) = p
n →∞
1.2 随机事件关系与运算
显然，样本空间是一基本事件为元素的集合，复合事件 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 是样本空间的真子集，必然事件就是样本空间，不可能 事件是样本空间的空子集；如果再规定基本事件就是一 个单点集，那么，随机事件就可以用集合来表示，但事 件与集合又有所不同。所谓一个事件发生时指表达该事 件的集合中的一个元素在试验中出现了。 事件的包含与等价（相等） Def 设 A B 发生必导致事件 B , 为任意两个事件，若事件 A 发生，则称事件B 包含事件 A ，记为 A⊂ B 。 例如： 例如： 在例1.1中，令 A表示掷得点数能被3整除； B 表示掷得 的点数大于2。则 A ⊂ B 。 如果有 A⊂ B成立，也称 A B 为 的子事件。
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互斥事件完备群 , k Def 设 A, A ,⋯ A 为一组事件，如果它们之中任意 1 2 两个之间互斥，每次试验中必有它们其中一个发生，则称 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 这组事件A, A ,⋯ A 形成互斥事件完备群。 , k 1 2 例如： 例如： Ω 在例1.4中，令 A
中没有次品，其余记号类似。
例如： 例如： 例1.1的样本空间 Ω = {ω1 , ω2 ,⋯, ω6 } ，其中ω1表示朝上面
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例1.4的样本空间Ω = {X : X = x,1.50 ≤ x ≤ 1.90} ，其中 X 表示所抽到学生的身高。
频率稳定性 Def 设将试验 E 进行了 n 次，其中m 次发生了事件A， A 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 则称m / n 为事件 A 发生的频率，记为fn( A ，即 B⊂ A Def 设 A B 且 ，则称事 件A B 与 等价或相等。记为 A= B 。 例如： 例如： 0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 在例1.1中，令 A表示掷得点数能被3整除； B表示掷得 的点数为3或6，则 A = B 。 事件的互斥与对立 Def 设 A B 与 在一次试验中不能同 , 为任意两个事件，若A B 时发生，则称事件A B 与 互斥。若 A B 与 互斥，且在一次试 验中必有一个发生，则称 A B 与 互为对立事件。记 A 的对立 事件为 A 例如： 例如： 在例1.1中，令A 表示掷得点数能被3整除； B 表示掷得 的点数小于3，则 A与B 互斥。 在例1.2中，令A 表示抽出的两球中至少有一球为白色球， B A B 表示抽出的两球全为黑球，则 与 互为对立事件。 显然，事件 A与 B互为对立事件，则它们一定互斥。
