第1章概率论基础2
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概率论基础 PPT课件
正概率点为至多可列个
连续型 其他
任何随机变量X都是从负无穷到正无穷
离散型随机变量特点：正概率点为有限个或者可列个
0，1：正概率点 P(1)=1/2
P(0)=1/2
非离散型
连续型 其他
三.随机变量(random variable)的分布
4.1 概率的数学（公理化）定义 概率就是广义的函数
数学定义：设E是一个随机试验，Ω为它的样本空间，以E中所有的随机事件 组成的集合（事件体）为定义域，定义一个函数P(A)（其中A为任一随机事件），
且P(A)满足以下三个公理，则称函数P(A)为事件A的概率。
公理1（非负性） 0≤P(A)≤1 公理2（规范性） P(Ω)=1 公理3（可列可加性） 若A1,A2, …,An,…两两相斥，则
第一章 概率论基础
§1.1 概率简述
1. 随机现象及其统计规律性
在一组不变的条件下，具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象， 这类现象的一个共同点是： 事先不能预言多种可能结果中究竟出现哪一种。
2. 随机试验与随机事件 我们把对随机现象进行的一次观测或者一次实验统称为一个试验， 如果这个试验满足下面的三个条件： （1）在相同的条件下，试验可以重复地进行；（可重复） （2）试验的结果不止一种，而且事先可以确知试验的所有结果； （3）在进行试验前不能确定出现哪一个结果。（不可预测） 那么我们就称它是一个随机试验，简称试验。一般用字母E表示。
数值p为事件A在条件S下发生的概率(probability) ，记作P(A)=p。
例2：捕鱼问题
× f
n
A
n
P
A
池塘中有鱼若干（不妨假设为n条），先捞上1000条作记号，放回后再
概率论基础基础(复旦版)李贤平概论
符号 Ω Φ ω∈Ω {ω} A⊂ Ω A ⊂B A=B A∪B A∩B Ā A-B A∩B=φ
测度论含义 全集 空集 集合的元素 单点集 一个集合 A A的元素在B中 B 集合A与B相等 A与B的所有元素 A与B的共同元素 A的补集 在A中而不在B中的元素 A与B无公共元素
概率论含义 样本空间，必然事件 不可能事件 样本点 基本事件 一个事件 A A发生导致B发生 B 事件A与B相等 A与B至少有一个发生 A与B同时发生 A的对立事件 A发生而B不发生 A与B互斥
显然 φ ⊂A⊂Ω ⊂Ω ⊂ 且 ⊂ 相等 A=B : A⊂B且B⊂A
2. 和事件 事件A和 至少有一个发生 A∪B :事件 和B至少有一个发生 ∪ 事件 A 显然, ∪ 显然 A∪φ =A A∪Ω=Ω ∪ Ω B
3. 积事件 事件 与 同时发生 A∩B : 事件A与B同时发生 简写AB 简写 A 显然, 显然 A∩φ=φ A∩Ω=A Ω B
例 抛硬币 试验者 Buffon Pearson Kerrich 掷的次数 4040 24000 10000 正面次数 2048 12012 5067 正面频率 0.5069 0.5005 0.5067
例，高尔顿钉板试验 在相同的条件下，大量重复某一试验时，各可能结果出现的 频率稳定在某各确定值附近，即 随机试验中频率的稳定性 频率稳定性的存在标志着随机现象也由数量规律 概率论是研究随机现象中数量规律的数学学科
四、随机事件的关系及运算
对应集合的关系和运算来定义事 件的关系及运算,并根据 事件发生” 并根据“ 件的关系及运算 并根据“事件发生”的 含义,来理解它们在概率论中的含义 含义 来理解它们在概率论中的含义
1. 子事件 包含 A⊂ B : 事件 发生必有事件B发 事件A发生必有事件 发 发生必有事件 ⊂ 包含A 生, 称B包含 包含 B A
概率论基础知识
几何性质：介于曲线y＝f(x)与Ox轴之间的面积等于1。X落在区间(x1,x2]的概率P{x1＜X≤x2}等于区间(x1,x2]上曲线y＝f(x)之下的曲边梯形的面积。
对于连续型随机变量来说，它取任一指定实数值a的概率均为0，即P{X＝a}＝0。事实上0≤P{X＝a}≤P{a－△x＜X≤a}＝F(a)－F(a－△x).P{a＜X≤b}＝P{a≤X≤b}＝P{a＜X＜b}.
定理二：若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：
多个事件相互独立：一般，设A1，A2，…，An是n(n≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2，…，An相互独立。
推论：①若事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的。
第一章 概率论的基本概念
一、事件运算常用定律（设A,B,C为事件）：
二、频率与概率
1.概率的公理化定义：
①非负性：对于每一个事件A，有P加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于AiAj＝∅，i≠j，i,j＝1,2,…，有P(A1∪A2∪…)＝P(A1)＋P(A2)＋….
P{X＞s＋t|X＞s}＝P{X＞t}
3.正态分布(高斯分布)[X～N(μ,σ2)]：
正态分布性质：
①曲线关于x＝μ对称，这表明对于任意h＞0有P{μ－h＜X≤μ}＝P{μ＜X≤μ＋h }.
②当x＝μ时取到最大值 ，x离μ越远，f(x)的值越小。
③在x＝μ±σ处曲线有拐点。曲线以Ox轴为渐近线。
标准正态分布：μ＝0，σ＝1.其概率密度和分布函数分别用φ(x)，Φ(x)表示，即有：
②若n个事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则将A1，A2，…，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。
对于连续型随机变量来说，它取任一指定实数值a的概率均为0，即P{X＝a}＝0。事实上0≤P{X＝a}≤P{a－△x＜X≤a}＝F(a)－F(a－△x).P{a＜X≤b}＝P{a≤X≤b}＝P{a＜X＜b}.
定理二：若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立：
多个事件相互独立：一般，设A1，A2，…，An是n(n≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件A1，A2，…，An相互独立。
推论：①若事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的。
第一章 概率论的基本概念
一、事件运算常用定律（设A,B,C为事件）：
二、频率与概率
1.概率的公理化定义：
①非负性：对于每一个事件A，有P加性：设A1，A2，…是两两互不相容的事件，即对于AiAj＝∅，i≠j，i,j＝1,2,…，有P(A1∪A2∪…)＝P(A1)＋P(A2)＋….
P{X＞s＋t|X＞s}＝P{X＞t}
3.正态分布(高斯分布)[X～N(μ,σ2)]：
正态分布性质：
①曲线关于x＝μ对称，这表明对于任意h＞0有P{μ－h＜X≤μ}＝P{μ＜X≤μ＋h }.
②当x＝μ时取到最大值 ，x离μ越远，f(x)的值越小。
③在x＝μ±σ处曲线有拐点。曲线以Ox轴为渐近线。
标准正态分布：μ＝0，σ＝1.其概率密度和分布函数分别用φ(x)，Φ(x)表示，即有：
②若n个事件A1，A2，…，An(n≥2)相互独立，则将A1，A2，…，An中任意多个事件换成它们各自的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。
概率论基础(第2版)李贤平 全部习题解答
（1） P｛只订购A的｝ P{A(B C)}＝P A P AB P AC P ABC
0.45 0.1. 0.08 0.03 0.30
（2） P｛只订购 A 及 B 的｝ PAB C｝ P AB P ABC 0.10 0.03 0.07
（3） P｛只订购 A 的｝ 0.30
E1 E1 E 2
E1 E 4
E1 E 3
E5
（5）若 E2 ，则必有 E1 或 E3 之一发生，由此得
E6 , E0
E2 E3
E2 E1 E2 E3 E2 。
概率论基础（第 2 版）李贤平 全部习题解答
第一章 事件与概率
1.在某城市中，公发行三种报纸 A,B,C.在这个城市的居民中，订阅 A 的占 45%，订阅 B 的占 35%，订阅 C 的占 30%，同时订阅 A 及 B 的占 10%，同时订阅 A 及 C 的占 8%,同时订阅 B 及 C 的占 5%,同时订阅 A,B,C 的占 3%.试求下列百分率：（1）只订阅 A 的;(2) 只订阅 A 及 B 的；（3）只订阅一种报纸的；（4）正好订阅两种报纸的；（5）至少订阅一种报纸的；（6） 不订阅报纸的。 解：
ABC A;(3) 何时成立 C B ;(4)何时同时成立 A=B 及 A C
解：
（1） ABC ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；
ABC ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。 （2） ABC A BC A ，当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 （3）当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时， C B 成立。
解：
A1 A2 An A1 ( A2 A1) ( An A1 An1)
(或)＝ A1 A2 A1 An A1 A2 An1 ．
0.45 0.1. 0.08 0.03 0.30
（2） P｛只订购 A 及 B 的｝ PAB C｝ P AB P ABC 0.10 0.03 0.07
（3） P｛只订购 A 的｝ 0.30
E1 E1 E 2
E1 E 4
E1 E 3
E5
（5）若 E2 ，则必有 E1 或 E3 之一发生，由此得
E6 , E0
E2 E3
E2 E1 E2 E3 E2 。
概率论基础（第 2 版）李贤平 全部习题解答
第一章 事件与概率
1.在某城市中，公发行三种报纸 A,B,C.在这个城市的居民中，订阅 A 的占 45%，订阅 B 的占 35%，订阅 C 的占 30%，同时订阅 A 及 B 的占 10%，同时订阅 A 及 C 的占 8%,同时订阅 B 及 C 的占 5%,同时订阅 A,B,C 的占 3%.试求下列百分率：（1）只订阅 A 的;(2) 只订阅 A 及 B 的；（3）只订阅一种报纸的；（4）正好订阅两种报纸的；（5）至少订阅一种报纸的；（6） 不订阅报纸的。 解：
ABC A;(3) 何时成立 C B ;(4)何时同时成立 A=B 及 A C
解：
（1） ABC ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；
ABC ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。 （2） ABC A BC A ，当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 （3）当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时， C B 成立。
解：
A1 A2 An A1 ( A2 A1) ( An A1 An1)
(或)＝ A1 A2 A1 An A1 A2 An1 ．
第1章 概率论基础知识
1.1.2 条件概率与概率乘法公式
1 条件概率
例 1.1.1 一个包装箱里有6件产品。假设其中有4件是一级品， 2件为二级品。若随机实验E是“从包装箱中随机抽取1件产 品”，则明显地，抽到二级品的概率是1/3。 若事件A是“第一次抽取并抽到二级品”，事件B是“第二 次抽取并抽到二级品”，那么在事件A发生的条件下，再从 剩下的5件产品中抽取1件，事件B发生即“第二次抽到二级 品”的概率就是1/5。 我们称这样的概率为“事件A发生的条件下，事件B发生的 概率”，简称为“事件B的条件概率”，记为P{B|A}. 本例中P{B|A}=1/5。
2 基本事件
一次随机实验的可能结果，称为基本事件或基本随机事件。
3 样本空间
所有基本事件组成的集合，称为样本空间或基本空间。
4 随机事件
随机事件简称事件，是指基本事件的集合。
5 相容事件与不相容事件
在一次随机实验中不可能同时发生的事件，称为不相容事件， 反之称为相容事件。
6.概率（Probability）
为对比条件概率与非条件概率的区别，现在来看上例中P(B) 等于多少？ 由于B指的是“第二次抽到二级品” 的事件，而这时A可能发 生，也可能不发生（即A的对立事件Ac发生）。这样事件B就 可以表示成：B=AB+AcB。注意到AB与AcB是互不相容的。 因此 2 1 4 2 1 c P( B) P( AB ) P( A B) 6 5 6 5 3 注意到事件A的概率也是P(A)=1/3. 于是有如下的表达式：
P{B | A} P( AB) P{ A | B}P( B) P( A) P( B) P( B) P( A) P( A) P( A)
2. 相互独立事件的概率乘法公式
概率统计 第一章 概率论的基础知识
7 (1) P( A B) P( A) P( B) P( AB) 10 3 (2) P( A B) 1 P( A B) 10 2 (3) P( A B) P( A) P( AB) 5
条件概率
已知事件A发生的条件下，事件B发生 的概率称为A条件下B的条件概率，记 作P(B|A)
27! 3! 9! 9! 9! 50 P( A) N (S ) 203
7 10 10 3 C 27 C 20 C10 18 P( B) N (S ) 203
4、 随机取数问题
例4：从1，2，3，4，5诸数中，任取3个排成自左向右的次序， 求： （1）
A1 “所得三位数是偶数”的概率？ （2） A2 “所得三位数不小于200”的概率？
注
任何事件均对应着样本空间的某个子集.
称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素
例1
定义
E4: 掷一颗骰子，考察可能出现的点数。 S4={1,2,3,4,5,6}; A=“掷出偶数点” B=“掷出大于4的点 ” ={2，4，6} ={5，6} C=“掷出奇数点”={1，3，5}
样本空间的子集称为随机事件。
n n1 nm 2 ! nm 1 !n n1 nm 1 !
n! n1!....nm !
种取法.
1、抽球问题
例1:设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中 任抽2个球，求取到一红一白的概率。
解:设事件A为取到一红一白
N (S ) C
2 5
N ( A) C C
一般地，设A、B是S中的两个事件，则
P( AB) P( B | A) P( A)
称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
概率论与数理统计基础知识
从集合的角度看
B
A
事件是由某些样本点所构成的一个集合．一个事件发 生，当且仅当属于该事件的样本点之一出现．由此可 见，样本空间Ω作为一个事件是必然事件，空集Ø作 为一个事件是不可能事件，仅含一个样本点的事件称 为基本事件．
2. 几点说明
⑴ 随机事件可简称为事件, 并以大写英文字母
A, B, C,
基本事件 实例
由一个样本点组成的单点集.
“出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”.
必然事件 随机试验中必然会出现的结果. 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件 随机试验中不可能出现的结果. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件. 必然事件的对立面是不可能事件,不可能事 件的对立面是必然事件,它们互称为对立事件.
说明 1. 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行的 “调查”、“观察”或 “测量” 等. 2. 随机试验通常用 E 来表示. 实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”.
分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行; (2) 试验的所有可能结果: 字面、花面; (3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现. 故为随机试验.
将下列事件均表示为样本空间的子集. (1) 试验 E2 中(将一枚硬币连抛三次，考虑正反 面出现的情况),随机事件: A＝“至少出现一个正面” B=“三 次出现同一面” C=“恰好出现一次正面” (2) 试验 E6 中(在一批灯泡中任取一只，测试其 寿命),D＝“灯泡寿命不超过1000小时”
(1)由S2= {HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT， TTH,TTT}； 故: A＝{HHH, HHT, HTH, THH，HTT，THT， TTH}； B={HHH,TTT} C={HTT，THT，TTH} (2) D＝{x: x<1000(小时）}。
概率论第一章ppt课件
i1
i1
13
3. 积（交）事件 : 事件A与事件B同时发生，记
作 AB 或AB。
推广：n个事件A1, A2,…, An同时发生，记作
n
n
A1A2…An或 A i 或 A i
i1
i1
14
4. 差事件： A－B称为A与B的差事件, 表示事件 A发生而事件B不发生
15
5. 互不相容事件（也称互斥的事件）： 即事件 A与事件B不能同时发生。AB＝ 。
A 1 “: 至少有一人命中目标 A 2 “: 恰有一人命中目标” A 3 “: 恰有两人命中目标” A 4 “: 最多有一人命中目标 A 5 “: 三人均命中目标” A 6 “: 三人均未命中目标”
”:
ABC
: ABCABCABC
: AC BABC ABC
”: BCACAB
:
ABC
:
ABC
21
小结
P Ak
k 1
k
k 1 k!
e
1 e
．
本题可采用另外一种解法． A A0 { 该地一年内
未发生交通事故} ，于是
P(A) 1 P(A) 1 P( A0) 1 e ．
33
小结
• 本节课主要讲授： 1.概率的统计定义； 2.概率的公理化定义； 3.概率的性质（重点）。
34
§1.3 古典概型与几何概型
验，简称试验。随机试验常用E表示。
7
1.1.3 随机事件与样本空间
❖样本空间: 试验的所有可能结果所组成的集合称为 试验E的样本空间, 记为Ω. ❖样本点: 试验的每一个可能出现的结果（样本空 间中的元素）称为试验E的一个样本点, 记为ω.
8
例1-2：
第1章概率论基础2.
一般地，条件概率与无条件概率之间的大小无确定的关系
1.2基本概念
全概率公式与贝叶斯（Bayes） 公式 已知
B
i 1
n i 1
n
i
; Bi B j
B1
AB1
AB2 A
ABn Bn
A ABi ; ( ABi )( AB j )
B
2
n i 1
全概率公式
(1)
P( ABC ) P( A) P( B) P(C )
(2)
注：1) 不能由关系式(1)推出关系式(2), 反之亦然;
2) 仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立.
A, B, C 相互独立⇒A, B, C 两两独立
1.2基本概念
☞定义 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立是指下面的关系式同时 成立：
i 1
在观察两个事件关系的时候，有时候需要知道 A条件下B发生的概率P(A|B)，有时候需要知 道B条件下A发生的概率P(B|A) Bayes公式揭示了这两个概率之间的关系
1.2基本概念
1.2.3 事件的独立性 P( AB) 定义：设 A , B 为两事件，若 则称事件 A 与事件 B 相互独立。 两事件相互独立的性质： 若 P( A) 0, 则P( B) P( B A) 若
n
3
☞解(Ⅱ)：此样本空间为: 基本事件总数: 3 1 2 4 (正， )（正，反） 正， （反，正） ， （反，反） ， n=4 . 事件A “掷出 1 次正面” 由 2 个样本点( 正, 反 ) ,( 反, 正 ) 组成， 2. 即 m ，故 m 1
P( A)
第一章_概率论基础
使P{X<x}总有意义. 通常F是包含全体{X<x} 的最小代数.
注2
随机变量概念的理解
1） 对于ω∈Ω，有唯一X(ω)与之对应, 随机变量 X可理解为 从样本空间 Ω到实数集 Rx的一个映 射.
A
B
易知 A+= A+=A
n个事件A1,A2,…,An中至少有一个发生 是一个事件, 称为事件的和, 记作： A1+A2+…+An 或 A1A2…An
可列个事件的和表示可列个事件中至少有一个事件发生, 记作
A
i 1
i
或
A
i 1
i
事件的交(积)
两个事件A与B同时发生, 即"A且B", 是一 个事件, 称为事件A与B的交. 它是由既属于A 又属于B的所有公共样本点构成的集合. 记作 AB 或 AB
事件间的关系及其运算
为了直观, 经常使用图示来表示事件, 一般地, 用一个平面上某个方(或矩)形区表示必然事件 或者整个样本空间, 其中的一个子区域表示 一具体的事件.
A
事件的包含
如果事件A发生必然导致事件B发生， 即属 于A的每一个样本点都属于B，则称事件B包含事 件A或称事件A含于事件B，记作： BA或AB
A
B
易知 A=A A=
对立事件
事件"非A"称为A的对立事件(或逆事件). 它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成 的集合. 记作 A
显然
AA , A A , AA
A
A
事件的差
事件A发生而事件B不发生, 是一个事件, 称为事件A与B的差. 它是由属于A但不属于B 的那些样本点构成的集合. 记作 AB
注2
随机变量概念的理解
1） 对于ω∈Ω，有唯一X(ω)与之对应, 随机变量 X可理解为 从样本空间 Ω到实数集 Rx的一个映 射.
A
B
易知 A+= A+=A
n个事件A1,A2,…,An中至少有一个发生 是一个事件, 称为事件的和, 记作： A1+A2+…+An 或 A1A2…An
可列个事件的和表示可列个事件中至少有一个事件发生, 记作
A
i 1
i
或
A
i 1
i
事件的交(积)
两个事件A与B同时发生, 即"A且B", 是一 个事件, 称为事件A与B的交. 它是由既属于A 又属于B的所有公共样本点构成的集合. 记作 AB 或 AB
事件间的关系及其运算
为了直观, 经常使用图示来表示事件, 一般地, 用一个平面上某个方(或矩)形区表示必然事件 或者整个样本空间, 其中的一个子区域表示 一具体的事件.
A
事件的包含
如果事件A发生必然导致事件B发生， 即属 于A的每一个样本点都属于B，则称事件B包含事 件A或称事件A含于事件B，记作： BA或AB
A
B
易知 A=A A=
对立事件
事件"非A"称为A的对立事件(或逆事件). 它是由样本空间中所有不属于A的样本点组成 的集合. 记作 A
显然
AA , A A , AA
A
A
事件的差
事件A发生而事件B不发生, 是一个事件, 称为事件A与B的差. 它是由属于A但不属于B 的那些样本点构成的集合. 记作 AB
概率论基础讲义全
概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件§几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。
每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。
例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)便是E i中的基本事件。
在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如，在E i中掷出偶数点”的事件便可表为{2, 4, 6}。
试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。
记为Qo例如，在E i 中，Q={1 , 2, 3, 4, 5, 6}在E2 中，Q={ ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) }在E s 中，Q={0 , 1, 2,……}例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。
概率论基础第2版李贤平全部习题解答.pdf
解：
A1 A2 An A1 ( A2 A1) ( An A1 An1)
(或)＝ A1 A2 A1 An A1 A2 An1 ．
4．在某班学生中任选一个同学以事件 A 表示选到的是男同学，事件 B 表示选到的人不喜欢
唱歌，事件 C 表示选到的人是运动员。（1）表述 ABC 及 ABC ；（2）什么条件下成立
同时发生。
（2） A B C A B C A B A且C A ，B 发生或 C 发生，均导致 A 发生。
（3） AB C A与 B 同时发生必导致 C 发生。 （4） A BC A B C ，A 发生，则 B 与 C 至少有一不发生。
3．试把 A1 A2 An 表示成 n 个两两互不相容事件的和．
ABC A;(3) 何时成立 C B ;(4)何时同时成立 A=B 及 A C
解：
（1） ABC ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；
ABC ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。 （2） ABC A BC A ，当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 （3）当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时， C B 成立。
0.73 0.14 0.03 0.90 . （6）P｛不订任何报纸的｝ 1 0.90 0.10 .
2．若 A，B，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1) ABC A ；(2) A B C A ；
(3) AB C ；(4) A BC .
解：
（1）ABC A BC A(ABC A显然) B A且C A ，若 A 发生，则 B 与 C 必
概率论基础（第 2 版）李贤平 全部习题解答
第一章 事件与概率
1.在某城市中，公发行三种报纸 A,B,C.在这个城市的居民中，订阅 A 的占 45%，订阅 B 的占 35%，订阅 C 的占 30%，同时订阅 A 及 B 的占 10%，同时订阅 A 及 C 的占 8%,同时订阅 B 及 C 的占 5%,同时订阅 A,B,C 的占 3%.试求下列百分率：（1）只订阅 A 的;(2) 只订阅 A 及 B 的；（3）只订阅一种报纸的；（4）正好订阅两种报纸的；（5）至少订阅一种报纸的；（6） 不订阅报纸的。 解：
A1 A2 An A1 ( A2 A1) ( An A1 An1)
(或)＝ A1 A2 A1 An A1 A2 An1 ．
4．在某班学生中任选一个同学以事件 A 表示选到的是男同学，事件 B 表示选到的人不喜欢
唱歌，事件 C 表示选到的人是运动员。（1）表述 ABC 及 ABC ；（2）什么条件下成立
同时发生。
（2） A B C A B C A B A且C A ，B 发生或 C 发生，均导致 A 发生。
（3） AB C A与 B 同时发生必导致 C 发生。 （4） A BC A B C ，A 发生，则 B 与 C 至少有一不发生。
3．试把 A1 A2 An 表示成 n 个两两互不相容事件的和．
ABC A;(3) 何时成立 C B ;(4)何时同时成立 A=B 及 A C
解：
（1） ABC ={抽到的是男同学，又不爱唱歌，又不是运动员}；
ABC ={抽到的是男同学，又爱唱歌，又是运动员}。 （2） ABC A BC A ，当男同学都不爱唱歌且是运动员时成立。 （3）当不是运动员的学生必是不爱唱歌的时， C B 成立。
0.73 0.14 0.03 0.90 . （6）P｛不订任何报纸的｝ 1 0.90 0.10 .
2．若 A，B，C 是随机事件，说明下列关系式的概率意义：(1) ABC A ；(2) A B C A ；
(3) AB C ；(4) A BC .
解：
（1）ABC A BC A(ABC A显然) B A且C A ，若 A 发生，则 B 与 C 必
概率论基础（第 2 版）李贤平 全部习题解答
第一章 事件与概率
1.在某城市中，公发行三种报纸 A,B,C.在这个城市的居民中，订阅 A 的占 45%，订阅 B 的占 35%，订阅 C 的占 30%，同时订阅 A 及 B 的占 10%，同时订阅 A 及 C 的占 8%,同时订阅 B 及 C 的占 5%,同时订阅 A,B,C 的占 3%.试求下列百分率：（1）只订阅 A 的;(2) 只订阅 A 及 B 的；（3）只订阅一种报纸的；（4）正好订阅两种报纸的；（5）至少订阅一种报纸的；（6） 不订阅报纸的。 解：
概率论基础知识
独立是事 互斥是事 件间的概 件间本身 率属性 的关系
两事件相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 两事件互斥
AB
二者之间没 有必然联系
定义2: 设A,B,C是三个事件,若满足: P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 则称A,B,C为相互独立的事件. 定义3：对n个事件A1,A2,…,An,如果对所有可 能的组合1≤i<j<k<…≤n成立着 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak) P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An), 则称这n个事件A1,A2,…,An相互独立.
概率的统计定义直观地描述了事件发生的 可能性大小，反映了概率的本质内容，但 也有不足，即无法根据此定义计算某事件 的概率。
2.2、古典概型
若随机试验满足以下特征：
(1)试验的可能结果只有有限个；
(2)各个结果的出现是等可能的. 则称此试验为古典概型.
古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及 事件A分别为： Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
Ai — 第i次试验中A发生, 则
k P( X k ) Cn p k q nk , k 0,1,2,, n
称随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记为
P( A n A1A 2 A n1 )
2.4 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分 定义 : 若B1, B2 , , Bn一组事件满足:
(i) Bi B j , i j, i, j 1, 2, ...,n,
两事件相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 两事件互斥
AB
二者之间没 有必然联系
定义2: 设A,B,C是三个事件,若满足: P(AB)=P(A)P(B), P(AC)=P(A)P(C), P(BC)=P(B)P(C), P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 则称A,B,C为相互独立的事件. 定义3：对n个事件A1,A2,…,An,如果对所有可 能的组合1≤i<j<k<…≤n成立着 P(AiAj)=P(Ai)P(Aj) P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak) P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An), 则称这n个事件A1,A2,…,An相互独立.
概率的统计定义直观地描述了事件发生的 可能性大小，反映了概率的本质内容，但 也有不足，即无法根据此定义计算某事件 的概率。
2.2、古典概型
若随机试验满足以下特征：
(1)试验的可能结果只有有限个；
(2)各个结果的出现是等可能的. 则称此试验为古典概型.
古典概型中事件概率的计算公式
设随机试验E为古典概型，其样本空间Ω及 事件A分别为： Ω={ω1，ω2，…，ωn} A={ωi1，ωi2，…，ωik} 则随机事件 A 的概率为：
Ai — 第i次试验中A发生, 则
k P( X k ) Cn p k q nk , k 0,1,2,, n
称随机变量X服从参数为n,p的二项分布,记为
P( A n A1A 2 A n1 )
2.4 全概率公式和贝叶斯公式:
1. 样本空间的划分 定义 : 若B1, B2 , , Bn一组事件满足:
(i) Bi B j , i j, i, j 1, 2, ...,n,
《概率统计》学习笔记
《概率统计》学习笔记第一章概率论基础1.1 随机事件与概率在概率论的起始阶段，我们首要接触的是随机事件的概念。
随机事件，顾名思义，是指在一定条件下，并不总是发生也不总是不发生的事件。
这些事件具有不确定性，使得人们无法事先确切知道其会发生何种结果，但可以通过概率这一数学工具来量化其发生的可能性[1]。
随机事件是概率论研究的基石，它涵盖了从抛硬币到复杂科学实验结果的各种情况。
随机事件可分为三类：必然事件、不可能事件和随机事件。
必然事件是在一定条件下总会发生的事件，其概率为1；不可能事件是在相同条件下绝对不会发生的事件，其概率为0；而随机事件则是介于这两者之间，其发生与否受多种因素影响，具有一定的不确定性[1][2]。
为了量化随机事件发生的可能性，概率这一概念被引入。
概率是衡量随机事件发生可能性的数值，它具有非负性、规范性和可加性等基本性质。
非负性意味着概率的值总是大于等于0；规范性则指出任何事件的概率值都在0和1之间，包括0和1；可加性表明对于互斥事件，其并集的概率等于各事件概率之和[1][3]。
概率的定义有多种方式，以适应不同条件下的随机事件。
古典概型是其中一种重要的定义方式，它适用于等可能性的随机事件，即所有基本事件发生的可能性都相等的情况。
在古典概型中，随机事件的概率定义为该事件包含的基本事件个数与样本空间中基本事件总数之比[1][4][3]。
例如，在抛掷一枚均匀硬币的实验中，正面朝上和反面朝上是两个等可能的基本事件，因此它们各自发生的概率均为1/2。
除了古典概型外，还有其他定义概率的方式，如几何概型等。
几何概型适用于与空间几何形状相关的随机事件，它通过度量事件发生的几何区域面积或体积与总区域面积或体积之比来计算概率[1][3]。
这些不同的定义方式为我们提供了灵活多样的工具来研究和解决与随机事件相关的问题。
在学习随机事件与概率的过程中，我们还需要理解一些关键概念如样本空间、基本事件等，并掌握计算概率的基本方法。
概率论与数理统计 第一章 概率论基础
3) 事件 A 与 B 的差
由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的
事件称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.
实例 设 Ｃ＝“长度合格但直径不合格” ，Ａ ＝ “长度合格”，Ｂ＝ “直径合则格”C. A B.
图示 A 与 B 的差. B A
AA B
B
B A
B A AB
1.2.2 事件间的关系及运算
称为必然现象；
实例: “太阳从东边升起” “水从高处向低处流” “同性电荷互斥”
1.1.1 随机试验
必然现象的特征
条件完全决定结果
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
1.1.1 随机试验
【概率论简史】
1933 年 ， 柯 尔 莫 哥 洛 夫 （ Kolmogorov ， 俄 ， 1903-1987）在他的名著《概率论基础》一书中， 提出了概率公理化定义，并得到数学家们的普遍承 认．公理化体系给概率论提供了一个逻辑上的坚实基 础，使概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其 他数学学科同等的地位，并通过集合论与其他数学分 支紧密联系起来．
1 = {正面，反面}．
1.1.2 样本空间
“抛一颗骰子观察朝上一面的点数”：
2 = {1，2，3，4，5，6}．
“某品牌电视机的寿命”：
3 = {t | t 0}．
“110每天接到的报警次数”：
4 = {0，1，2，…}．
“圆心在原点的单位圆内任取一点”：
5 = {(x，y) | x2 + y2 1}．
在公理化的基础上，现代概率论不仅在理论上取得 了一系列突破，在应用上也取得了巨大的成就，其应 用几乎遍及所有的科学领域，例如天气预报、地震预 报、工程技术、自动控制、产品的抽样调查、经济研 究、金融和管理等领域．
数理统计 ppt 第一章 概率论基础
=
������ ������������ ;������(������������������) 1;������ ������
=
1 ;0 2 1 1; 3
=
3 . 4
一、古典概型
例2 一盒晶体管中有8只合格品、2只不合格品。 从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出合 格品的概率。 (P40 ex12)
0.5×1 0.5×1:0.5×0.25
= 0.8
一、古典概型
(2) 此时有������(������) = 0.2，������(������) = 0.8，所以由贝叶 斯公式有
������ ������ ������ =
=
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������ :������ ������ ������(������|������)
解: 记事件������������ 为“第������ 次取出合格品”，������ = 1,2。 用全概率公式 ������ ������2 = ������ ������1 ������ ������2 ������1 + ������ ������1 ������ ������2 ������1 8 7 2 8 4 = × + × = . 10 9 10 9 5
证明：设小概率事件������发生的概率为������，即������(������) = ������ ， ������ > 0，则重复������次都不发生概率为������ ������ ������ = 1 − ������ ������ ，则
发生概率为������ = 1 − 1 − ������ 1，即必发生。 注：吃路边摊和乱穿马路的人们要注意了！
01-概率论基础
– M落在区域Ω内旳任意位置旳概率都是相等旳 – M落在区域Ω旳任何部分区域g内旳概率只与g
旳测度（长度、面积、体积等）成正比，而且 与g旳位置和形状无关
• 几何概型中随机事件Ag旳概率
g的测度 P(A g ) 的测度
例1.5 会面问题
• 已知甲、乙两人约定在6到7时间在某处会面，并约
定先到者应等待另一人20分钟，过时即可离去
(n 2)! 1
P(Ai A j )
n!
n(n 1)
把每封信放入一只信封中
P(Ai A jA k
)
(n
3)! n!
n(n
1 1)(n
2)
• 求至少有一封信与信封匹 配旳概率
• 解：
…
P(A1A 2
An
)
1 n!
所以有
– 若以Ai记第i封信与信封 匹配，则所求事件为 A1∪A2∪…∪An，所以，
Ω B
A
A-B
Ω A
A
例1.3 产品抽样检验
• 已知一批外形无差别旳产品 • 解：
中有3件次品，现随机地从 这批产品中依次抽取3件， 分别以A、B、C代表第一次、 第二次、第三次抽到次品
• 试表达
①三次都抽到次品
②只有第一次抽到次品
①三次都抽到次品：ABC
②只有第一次抽到次品：ABC
③三次都没有抽到次品：ABC ④至少抽到一件次品：A B C ⑤最多抽到一件次品，即A，
部可能出现旳成果 – 试验完毕之前不能预知会出现哪一种旳成果
• 样本空间()：一种随机试验旳全部可能成 果旳集合
• 样本点()：试验旳每一种可能成果
例1.2 随机现象旳样本空间
• 试列出例1.1中随机现象旳样本空间
旳测度（长度、面积、体积等）成正比，而且 与g旳位置和形状无关
• 几何概型中随机事件Ag旳概率
g的测度 P(A g ) 的测度
例1.5 会面问题
• 已知甲、乙两人约定在6到7时间在某处会面，并约
定先到者应等待另一人20分钟，过时即可离去
(n 2)! 1
P(Ai A j )
n!
n(n 1)
把每封信放入一只信封中
P(Ai A jA k
)
(n
3)! n!
n(n
1 1)(n
2)
• 求至少有一封信与信封匹 配旳概率
• 解：
…
P(A1A 2
An
)
1 n!
所以有
– 若以Ai记第i封信与信封 匹配，则所求事件为 A1∪A2∪…∪An，所以，
Ω B
A
A-B
Ω A
A
例1.3 产品抽样检验
• 已知一批外形无差别旳产品 • 解：
中有3件次品，现随机地从 这批产品中依次抽取3件， 分别以A、B、C代表第一次、 第二次、第三次抽到次品
• 试表达
①三次都抽到次品
②只有第一次抽到次品
①三次都抽到次品：ABC
②只有第一次抽到次品：ABC
③三次都没有抽到次品：ABC ④至少抽到一件次品：A B C ⑤最多抽到一件次品，即A，
部可能出现旳成果 – 试验完毕之前不能预知会出现哪一种旳成果
• 样本空间()：一种随机试验旳全部可能成 果旳集合
• 样本点()：试验旳每一种可能成果
例1.2 随机现象旳样本空间
• 试列出例1.1中随机现象旳样本空间
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➢ 条件概率也是概率，它符合概率的定义，具有概率的性质：
非负性 P(BA)0
规范性 P(A)1
可列可加性 Pi 1Bi Ai 1PBi A
1.2基本概念
P ( B 1 B 2A ) P ( B 1A ) P ( B 2A ) P ( B 1 B 2A ) P (B A ) 1 P (B A )
1.2基本概念
以上结果表明：在相同条件下作重复实验时，对某一实验结 果(事件A)具有如下特征： ☞其是否发生是随机的，事先无法确定； ☞其发生的频率又稳定的，稳定在一个常数附近； ☞一般讲，对实验的某一结果(事件A)出现的频率偏离这个常数 很大的可能性虽存在，但实验次数越大，频率偏离这个常数的可 能性越小。我们就称这个常数为这一结果(事件A)发生的概率。 例如:
A: 0.0788 B: 0.0156 C: 0.0268 D: 0.0389 E: 0.1268 F: 0.0256 G: 0.0187 H: 0.0573 I: 0.0707 J: 0.0010 K: 0.0060 L: 0.0394 M: 0.0244 N: 0.0706 O: 0.0776 P: 0.0186 Q: 0.0009 R: 0.0594 S: 0.0634 T: 0.0987 U: 0.0280 V: 0.0102 W: 0.0214 X: 0.0016 Y: 0.0202 Z: 0.0006
总次数n 12000 12000 24000 4049 80640
正面向上nH 6019 6019 12012 2048 39699
频率fH 0.5016 0.5016 0.5005 0.5005 0.4923
例：Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率, 发现各字母出现的频率不同：
➢我们称1/2这个常数是“投掷硬币，正面朝上”这一事件的概率； ➢从上个世纪以来，各国婴儿性别的统计资料表明，女婴的频率“稳定”在 21/43附近。我们称21/43这个常数是“出生婴儿为女婴”这一事件的概率。
Байду номын сангаас.2基本概念
定义：在相同条件下重复进行的n次试验中, 事件A发生的频率稳定 地在某一常数 p 附近摆动, 且随 n 越大摆动幅度越小, 则称p为事件 A的概率, 记作P(A) 二、概率的古典定义 设 随机试验 E 具有下列特点： ➢ 基本事件的总数有限； ➢ 每个基本事件发生是等可能的。 则称 E 为古典概型(或等可能概型)。古典概率的计算公式
[ P ( A B )m ] P i( A n ) P ( B ) 1 0 .3
b) [ P ( A B ) m ] m aP x ( A ) i P ( B , n ) P } ( { A ) 0 . 6
1.2基本概念
小概率事件 —— 若P(A)<0.001 则称A为小概率事件 小概率原理 ——一次试验中小概率事件一般是不会发生 的. 若在一次试验中居然发生了,则可怀疑该 事件并非小概率事件.
其中的数字表示掷出正面的次数
☞解(Ⅱ)：此样本空间为:
基本事件总数: n=4 . 事件A
(正 正 1 )（ ， ， 2 正 （ ， 3 ， 反 （ ， 反 4， 反 ） 正
“掷出 1 次正面” 由 2 个样本点( 正, 反 ) ,( 反, 正 ) 组成，
即 m 2，.故
P(A) m 1.
解：a)由加法法则 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B )
故 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B )
因此 [P (A B )m ] i[ n P (A B )m ] a 1 x 所以 [P (A B )m ] ax [P (A B )m ]in
1.2基本概念
1.2.1关于概率的基本概念
➢随机（现象）事件； ➢概率和频率； ➢随机事件的交、并及对立事件和互斥事件； ➢概率的加法公式；
1.2基本概念
一、概率的统计定义
☞频率:设在 n 次试验中，事件 A 发生了m 次，则称 f n
事件A发生的频率。
m为 n
☞频率的性质
ↂ非负性 0fn(A)1
1.2基本概念
三、几何概率的定义
☞在某些情况中（如两个引例），可把实验中基本事件组中的每
一个基本实验与某一个几何区域R中的点一一对应起来，这个区
域可以是一段曲线（一维区域），或一个平面区域（二维区域）。
这样在实验中某一事件A，就可与几何区域R中的子区域r表示了，
如下图.为定义统一，若几何区域的大小我们称为这个区域的“测
度”,则 子区域r的测度
P(A)= 区域R的测度
R样本 空间
r事件
1.2基本概念
1.2.2条件概率
➢ 定义 设A、B为两事件, P(A)>0, 则称
P ( AB ) P(A)
为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率，记为PBA
➢ 条件概率的计算方法
（1）等可能概型可用缩减样本空间法；
（2）其他概型用定义与有关公式。
ↂ规范性 fn()1
ↂ可加性事件 A, B互斥，则 fn(A B )fn(A )fn(B )
（注：可加n性 可推广到有限个两两互斥事件的和事件）
ↂ可加性 limfn(A)P(A) →常数
1.2基本概念
☞频率稳定性的实例： 例：投一枚硬币观察正面向上(H)的次数
试验者 蒲丰 皮尔森 皮尔森 德.摩根 罗曼诺夫斯基
P(A) m n
其中 n Ω中所包含的基本事件数总;
m组成事A件 的基本事件的 . 个数
1.2基本概念
例 将一枚 均匀的硬币连掷 2 次, 求掷出1 次正面的概率
☞解(Ⅰ)：此样本空间为
基本事件总数n=3，事件A
“掷出 1 次正面”有1个样本点,
即m=1，故 P(A) m 1 n3
0 1,1 ,2 2 3
n2
1.2基本概念
☞结果的讨论：
解(Ⅰ)是错误的！
因为这里的样本点ω1、ω2、ω3已不
是等可能出现的
P (1 ) P (3 ) 1 /4 1 /2 P (2 )
1.2基本概念
例 设P ( A ) = 0.6 , P ( B ) = 0.7, 在何条件 下, P(AB) 取得最大(小)值？求最大(小)值.