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第1章概率论基础＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝本章将复习与总结概率论的基本知识也扩充一些新知识点，比如：1）利用冲激函数表示离散与混合型随机变量的概率密度函数，2）随机变量的条件数学期望3）特征函数4）瑞利与莱斯分布5）随机变量的基本实验方法＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝1.1概率公理与随机变量1.2多维随机变量与条件随机变量1.3随机变量的函数1.4数字特征与条件数学期望121.5特征函数1.6典型分布1.7随机变量的仿真与实验＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝1.1概率公理与随机变量此句作为后面每页ppt的标题＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝随机试验（Random Experiment）：对随机现象做出的观察与科学实验。
样本空间（Sample space）：随机试验所有的基本可能结果构成的集合称Ω。
Ω的元素为样本点（Sample point）。
事件（Event）是试验中“人们感兴趣的结果”构成的集合，是Ω的子集。
各种不同的事件的总体构成一个事件集合，称为事件域F。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝事件是随机的。
赋予事件一个出现可能性的度量值，称为概率（Probability ）。
“可能性的度量值”是 “宏观”意义下（即大数量的情形下）的比例值，由相对频率（Relative frequency ）来计算，()AA n P A n ≈=试验中出现的次数总试验次数 （n 很大）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝概率公理： 任何事件A 的概率满足：（1） 非负性：任取事件A ，()0P A ≥ （2） 归一性：()=1P Ω（3） 可加性：若事件,A B 互斥，即，A B ⋂=∅，则，()()()=P A B P A P B ⋃+＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 事件概率的基本性质：（1） ()=0P ∅ （2） ()01P A ≤≤（3） ()()P A P B ≤，如果A B ⊆ （4） ()()()P AB P A P A B ≤≤⋃＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 条件事件：A B B A =事件发生条件下的事件 条件概率（Conditional probability ），()()()P AB P B A P A =， ()0P A >＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 事件A 与B 独立（Independent ）等价地定义为()()()P AB P A P B =多个事件12,,,n A A A 彼此独立，()()()()1212m m k k k k k k P A A A P A P A P A =＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 事件的最基本运算：（参见教材）＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝例1.1 分析掷均匀硬币问题。
第一章． 古典概率与概率空间基础1． 随机试验随机试验是一个不定义名词，理解为某一自然或社会现象，它的发生至少有多于2个以 上的可能性结果。
并且这些结果是可以描述的，且一切可能的结果是可以在事前由试验明确确定下来的，但试验前不能确定哪一个结果会发生。
请看例： （1） 扔硬币试验者 扔币次数 正面出现次数 正面出现频率 浦丰 4040 2048 0.5069 德.莫根 4092 2048 0.5005 费勒 10000 4979 0.4979 皮尔森 12000 6019 0.5016 罗曼若夫斯基 80640 39699 0.4923 （2） 漏沙——高尔顿板 （3） 随机抽样 （4） 股票指数 （5） BROWN 运动 （6） 排队、库存 （7） 地震波 （8） GDP随机试验包罗万象，我们需要对随机试验中一些“本质”的东西加以抽象概括。
关注的 问题不是试验的内容，而是如何来描述这些不确定性结果的统计规律。
2． 样本空间、集合与事件、子集2.1 样本空间Ω随机试验的一切可能结果所构成的集合，称为样本空间，常用Ω记。
关于Ω多说几句 话：样本空间由随机试验的结果所确定，由于一切结果是可描述的，故样本空间中的元素是明确的。
随机试验的广泛性决定了集合Ω的广泛性。
集合也是不定义名词。
用集合表述随机试验的结果恰到好处，好处是避免随机试验结果的语言陈述，集合可以是任何抽象的概念和符号。
但集合一旦给定，必须保证集合中的元素有确定的含义，此意味：能判别ω∈Ω还是ω∉Ω；1ωω∈Ω2，能区分1ωω≠2；Ω不能是Ω的元素；集合中的元素是集合子集的最小单位，它不能分割成更小的部分。
（注，元素作为子集看称为单点集或孤立点集。
）2.2事件与子集在某一结果与一切可能结果之间，我们会有一个“八九不离十”对结果发生的判断。
如，扔2次币，“至少出现一次正面”；打3抢，“连续2抢击中”；天气温度，“暖和、炎热”，等等。
我们把随机试验中可能发生的部分结果称为随机事件。
概率论基础知识第一章随机事件及其概率随机事件§几个概念1、随机实验:满足下列三个条件的试验称为随机试验|;（1）试验可在相同条件下重复进行；（2）试验的可能结果不止一个，且所有可能结果是已知的；（3）每次试验哪个结果出现是未知的；随机试验以后简称为试验，并常记为E。
例如：曰：掷一骰子，观察出现的总数；E2：上抛硬币两次，观察正反面出现的情况；E3:观察某电话交换台在某段时间内接到的呼唤次数2、随机事件：在试验中可能出现也可能不出现的事情称为随机事件:常记为A，B, C例如，在E i中，A表示掷出2点”，B表示掷出偶数点”均为随机事件3、必然事件与不可能事件：每次试验必发生的事情称为必然事件，记为Q。
每次试验都不可能发生的事情称为不可能事件，记为①。
例如，在E i中，掷出不大于6点”的事件便是必然事件，而掷出大于6点”的事件便是不可能事件，以后，随机事件，必然事件和不可能事件统称为事件4、基本事件：试验中直接观察到的最简单的结果称为基本事件。
例如，在曰中，掷出1点”，掷出2点”，……，掷'出6点”均为此试验的基本事件由基本事件构成的事件称为复,例如，在E i中掷出偶数点”便是复合事件5、样本空间：从集合观点看，称构成基本事件的元素为样本点,常记为e.例如，在E i中，用数字1, 2,......,6表示掷出的点数，而由它们分别构成的单点集{1}, {2}, (6)便是E i中的基本事件。
在E2中，用H表示正面，T表示反面，此试验的样本点有(H , H),( H , T),( T, H ),( T, T),其基本事件便是{ ( H, H) }, { ( H , T) }, { (T, H ) }, { (T, T) }显然，任何事件均为某些样本点构成的集合。
例如，在E i中掷出偶数点”的事件便可表为{2, 4, 6}。
试验中所有样本点构成的集合称为样本空间。
记为Qo例如，在E i 中，Q={1 , 2, 3, 4, 5, 6}在E2 中，Q={ ( H , H),( H , T),( T, H),( T, T) }在E s 中，Q={0 , 1, 2,……}例1, 一条新建铁路共10个车站，从它们所有车票中任取一张，观察取得车票的票种此试验样本空间所有样本点的个数为N Q=P 210=90.（排列：和顺序有关，如北京至天津、天津至北京）若观察的是取得车票的票价，则该试验样本空间中所有样本点的个数为10）=452（组合）例2 .随机地将15名新生平均分配到三个班级中去，观察15名新生分配的情况。
概率论前四章知识点总结概率论前四章知识点总结概率论是研究随机现象的规律性和统计规律性的学科，是现代数学的一个重要分支。
本文将对概率论前四章的知识点进行总结，包括基本概念、事件及其运算、条件概率和独立性、随机变量及其分布。
一、基本概念1. 随机试验：具有以下三个特征的实验称为随机试验：（1）可以在相同条件下重复进行；（2）每次实验的结果不止一个；（3）每次实验的结果不确定。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果组成的集合称为样本空间，用S 表示。
3. 事件：样本空间中任意子集称为事件。
如果事件A发生，则称A发生；否则称A不发生。
4. 必然事件和不可能事件：样本空间S和空集∅分别称为必然事件和不可能事件。
二、事件及其运算1. 事件之间的关系：包含关系、互斥关系、对立关系等。
2. 事件的运算：并、交、差、对称差等。
三、条件概率和独立性1. 条件概率：在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率称为条件概率。
2. 乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)3. 全概率公式：对于一组互不相容的事件B1、B2、…、Bn，且它们的并集构成样本空间S，则对任意事件A，有P(A)=∑i=1nP(Bi)P(A|Bi)4. 贝叶斯公式：对于一组互不相容的事件B1、B2、…、Bn，且它们的并集构成样本空间S，则对任意事件A，有P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/∑j=1nP(A|Bj)P(Bj)5. 独立性：如果事件A和事件B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 和事件B是独立的。
四、随机变量及其分布1. 随机变量：将随机试验的结果与实数建立起一一对应关系的函数称为随机变量。
2. 离散型随机变量：取有限或可列个值的随机变量称为离散型随机变量。
3. 连续型随机变量：取值在某个区间内且无限多个值的随机变量称为连续型随机变量。
4. 分布函数：对于任意实数x，随机变量X的分布函数F(x)=P{X≤x}。
5. 概率质量函数：对于离散型随机变量X，其概率质量函数p(x)=P{X=x}。
