《高中数学课件：导数及其应用》

高中数学高考综合复习专题三十八导数及其应用

一、知识网络

二、高考考点

1、导数定义的认知与应用；

2、求导公式与运算法则的运用；

3、导数的几何意义；

4、导数在研究函数单调性上的应用；

5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；

6、导数在解决实际问题中的应用。

三、知识要点

（一）导数

1、导数的概念

（1）导数的定义

（Ⅰ）设函数 在点 及其附近有定义，当自变量x在 处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量 ，这两个增量的比 ，叫做函数 在点 到 这间的平均变化率。如果 时， 有极限，则说函数 在点 处可导，并把这个极限叫做 在点 处的导数（或变化率），记作 ，即 。

（Ⅱ）如果函数 在开区间（ ）内每一点都可导，则说 在开区间（ ）内可导，此时，对于开区间（ ）内每一个确定的值

，都对应着一个确定的导数 ，这样在开区间（ ）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做 在开区间（ ）内的导函数（简称导数），记作 或 ，

即 。

认知：

（Ⅰ）函数 的导数 是以x为自变量的函数，而函数 在点 处的导数 是一个数值； 在点 处的导数 是 的导函数 当

时的函数值。

（Ⅱ）求函数 在点 处的导数的三部曲：

①求函数的增量 ；

②求平均变化率 ；

③求极限

上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

（2）导数的几何意义：

函数 在点 处的导数 ，是曲线 在点 处的切线的斜率。

（3）函数的可导与连续的关系

函数的可导与连续既有联系又有区别：

（Ⅰ）若函数 在点 处可导，则 在点 处连续；

若函数 在开区间（ ）内可导，则 在开区间（ ）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数 在点 处可导，则有

此时，

记 ,则有 即 在点 处连续。

（Ⅱ）若函数 在点 处连续，但 在点 处不一定可导（连续不一定可导）。

高中数学导数及其应用

一、选择题(本大题共6个小题，每小题6分，共36分)

1．一个物体的运动方程是s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单

位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是( )

A．7 m/s B．6 m/s

C．5 m/s D．8 m/s

解析：∵s′＝－1＋2t，∴s′|t＝3＝－1＋6＝5，

∴t＝3 s时的瞬时速度为5 m/s.

答案：C

2．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)有两个极值点x1，x2，

则x1·x2等于( )

A．9 B．－9 C．1 D．－1

解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，则x1·x2＝1.

答案：C

3．设a为实数，函数f(x)＝x3＋ax2＋(a－2)x的导函数是f′(x)，且f′

(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为( )

A．y＝－2x B．y＝3x

C．y＝－3x D．y＝4x

解析：由已知得f′(x)＝3x2＋2ax＋a－2，因为f′(x)是偶函数，所以

a＝0，即f′(x)＝3x2－2，从而f′(0)＝－2，所以曲线y＝f(x)在原点处的

切线方程为y＝－2x.

答案：A

4．函数y＝f(x)在定义域(－，3)内可导，其图象如图所示，记y

＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为( )

A．[－，1]∪[2,3) B．[－1，]∪[，]

C．[－，]∪[1,2] D．[－，－]∪[，]

解析：由题意知，选择f(x)的减区间即为所求．

答案：A

5．(精选考题·山东高考)已知某生产厂家的年利润y(单元：万元)与

年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产

厂家获取最大年利润的年产量为( )

A．13万件 B．11万件

C．9万件 D．7万件

解析：因为y′＝－x2＋81，所以当x＞9时，y′＜0；当x∈(0,9)时，y

′＞0，所以函数y＝－x3＋81x－234在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上

单调递增，所以x＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只

Page 1 of 32 ©Xuezhi Education All Rights Reserved 教育教师备课手册

教师姓名 学生姓名 填写时间 2012.2.1

学科 数学 年级 高三 上课时间 10:00-12:00 课时计划 2小时

教学目标 教学内容 中考复习 三角形

个性化学习问题解决 基础知识回顾，典型例题分析

教学重点、难点

教

学

过

程

导数及其运用

知识网络

第1讲 导数的概念及运算

★ 知 识 梳理 ★

1.用定义求函数的导数的步骤.

（1）求函数的改变量Δy；（2）求平均变化率xy.（3）取极限，得导数f（x0）=0limxxy.

2.导数的几何意义和物理意义

几何意义：曲线f（x）在某一点（x0，y0）处的导数是过点（x0，y0）的切线的

物理意义：若物体运动方程是s=s（t），在点P（i0，s（t0））处导数的意义是t=t0处

的

解析：斜率.；瞬时速度. 导数的概念

基本初等函数的导数公式

导数

函数的单调性研究

函数的极值与最值研究 导数的定义

导数的物理及几何意义导数的运算

导数的四则运算法则及复合函数的导数

导数的应用

最优化问题

计算定积分

定积分与微积分

的基本定理

定积分的应用

Page 2 of 32 ©Xuezhi Education All Rights Reserved 3. 几种常见函数的导数

'c0（c为常数）；()nx1nnx（Rn）；

'(sin)x ；'(cos)x ；

(ln)x1x； (log)ax1logaex；

'()xexe；'()xalnxaa.

解析：cos;sin;xx

4.运算法则

①求导数的四则运算法则：

'()uv''uv；'()uv ；'uv (0)v.

高中数学导数及其应用

一、知识网络

二、高考考点

1、导数定义的认知与应用；

2、求导公式与运算法则的运用；

3、导数的几何意义；

4、导数在研究函数单调性上的应用；

5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；

6、导数在解决实际问题中的应用。

三、知识要点

（一）导数

1、导数的概念

（1）导数的定义 （Ⅰ）设函数 在点 及其附近有定义，当自变量x在 处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量 ，这两个增量的比 ，叫做函数 在点 到 这间的平均变化率。如果 时， 有极限，则说函数 在点 处可导，并把这个极限叫做 在点 处的导数（或变化率），记作 ，即 。

（Ⅱ）如果函数 在开区间（ ）内每一点都可导，则说 在开区间（ ）内可导，此时，对于开区间（ ）内每一个确定的值 ，都对应着一个确定的导数 ，这样在开区间（ ）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做 在开区间（ ）内的导函数（简称导数），记作 或 ， 即 。

认知：

（Ⅰ）函数 的导数 是以x为自变量的函数，而函数 在点 处的导数 是一个数值； 在点 处的导数 是 的导函数 当 时的函数值。

（Ⅱ）求函数 在点 处的导数的三部曲：

①求函数的增量 ；

②求平均变化率 ；

③求极限

上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

（2）导数的几何意义：

函数 在点 处的导数 ，是曲线 在点 处的切线的斜率。

（3）函数的可导与连续的关系

函数的可导与连续既有联系又有区别：

（Ⅰ）若函数 在点 处可导，则 在点 处连续；

若函数 在开区间（ ）内可导，则 在开区间（ ）内连续（可导一定连续）。

事实上，若函数 在点 处可导，则有 此时，

记 ,则有 即 在点 处连续。

（Ⅱ）若函数 在点 处连续，但 在点 处不一定可导（连续不一定可导）。