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高中数学：函数与导数专题相关知识点总结例题答案与解析
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导数的概念及运算 知识点一：函数的平均变化率 （1）概念： 函数中，如果自变量在处有增量，那么函数值y也相应的有增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，其比值叫做函数从到+△x的平均变化率，即。 若，，则平均变化率可表示为，称为函数从到的平均变化率。 注意：
①事物的变化率是相关的两个量的“增量的比值”。如气球的平均膨胀率是半径的增量与体积增量的比值； ②函数的平均变化率表现函数的变化趋势，当取值越小，越能准确体现函数的变化情况。
③是自变量在处的改变量，；而是函数值的改变量，可以是0。函数的平均变化率是0，并不一定说明函数没有变化，应取更小考虑。
（2）平均变化率的几何意义
函数的平均变化率的几何意义是表示连接函数图像上两点割线的斜率。
如图所示，函数的平均变化率的几何意义是：直线AB的斜率。
事实上，。
作用：根据平均变化率的几何意义，可求解有关曲线割线的斜率。
知识点二：导数的概念：
1．导数的定义：
对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或）
注意：
①增量可以是正数，也可以是负数；
②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。
2．导函数：
如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。
3．导数几何意义：
（1）曲线的切线
曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。
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1 / 2 定积分的概念与计算
目的要求
1．理解定积分的线性性质和对区间的可加性．
2．了解微积分基本公式，知道这一公式显示了定积分与不定积分之间的关系．
内容分析
1．定积分概念的确立，给出了定积分的一种可操作的方法．但是这种方法既繁杂，技巧性又很强，甚至可能进行不下去．简化定积分的计算必然成为本节课的重点内容．它包括两个方面，一是定积分的线性性质和对区间的可加性，另一是微积分基本公式．
2．微积分基本公式是17世纪英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨在研究微分与积分的互逆关系的基础上各自独立提出来的．它使定积分的计算变得十分简捷，为积分学的广泛应用提供了较多方便的条件，也沟通了定积分与不定积分之间的关系．
3．证明微积分基本公式要用到微分中值定理或积分中值定理，超出了中学阶段的要求．教科书只是利用变速直线运动的路程函数与速度函数之间的关系加以说明．正确应用这一公式计算定积分却是本节课的重点与难点．
4．定积分的简单性质是为利用微积分基本公式计算定积分扫清障碍，从而也简化了定积分的计算工作．尤其是定积分对区间的可加性在计算分段连续函数的定积分方面发挥着独特的优势，教学时宜补充适当的例子．定积分的简单性质可以利用定积分的定义及极限的运算法那么加以说明，或利用定积分的几何意义加以解释．但为了沟通内容间的联系，教学时建议利用微积分基本公式证明定积分的简单性质．
教学过程
1．复习引入
设某物体沿直线运动，其中速度函数v(t)是连续函数，且v(t)≥0，路程函数s(t)是可导函数．
(1)两个函数v(t)与s(t)之间存在什么关系？(s′(t)＝v(t)．)
(2)用两种方法计算物体从时刻t＝a到时刻t＝b这段时间所经过的
2．新课
(1)推广上例中的计算方法，便得到微积分基本公式．简述其又名牛顿——莱布尼茨公式的原因．
(2)阐述公式的意义：公式只对[a，b]上的连续函数适用，要计算定
函数F(x)，再计算F(x)在区
1 第四章 导数
第1讲 导数的意义及运算
1．已知函数f(x)＝sinx＋a2，则f′(x)＝( )
A．cosx＋2a B．cosx
C．sinx＋2a D．2a
2．若f′(x0)＝2，则limk→0 fx0－k－fx02k等于( )
A．－1 B．－2 C．－1 D.12
3．若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是(
)
4．(2011年山东)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3 C．9 D．15
5．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线的斜率为( )
A．4 B．－14 C．2 D．－12
6．(2011年“江南十校”联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋lnx，则f′(1)＝( )
A．－e B．－1 C．1 D．e
7．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝12x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.
8．物体的运动方程是s＝－13t3＋2t2－5，则物体在t＝3时的瞬时速度为________，加速度为________．
9．(2010年全国)若曲线y＝x－12在点(a，a－12)处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，求a的值．
10．已知曲线y＝2x2＋3.
(1)求曲线在点P(1,5)处的切线方程；
(2)求曲线过点Q(2,9)的切线方程．
2 第2讲 导数在函数中的应用
1．(2011届河北唐山一中统测)若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有极值，则导函数f′(x)的图象不可能是(
)
2．(2011年海南海口调研测试)函数y＝f(x)在定义域－32，3内可导，其图象如图K4－2－1所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为(
