高中数学导数及其应用

高中数学导数及其应用

一、知识网络

二、高考考点

1、导数定义的认知与应用；

2、求导公式与运算法那么的运用；

3、导数的几何意义；

4、导数在研究函数单调性上的应用；

5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；

6、导数在解决实际问题中的应用。

三、知识要点

〔一〕导数

1、导数的概念

〔1〕导数的定义 〔Ⅰ〕设函数 在点 及其附近有定义，当自变量x在 处有增量△x〔△x可正可负〕，那么函数y相应地有增量 ，这两个增量的比 ，叫做函数 在点 到 这间的平均变化率。假如 时， 有极限，那么说函数 在点 处可导，并把这个极限叫做 在点 处的导数〔或变化率〕，记作 ，即 。

〔Ⅱ〕假如函数 在开区间〔 〕内每一点都可导，那么说 在开区间〔 〕内可导，此时，对于开区间〔 〕内每一个确定的值 ，都对应着一个确定的导数 ，这样在开区间〔 〕内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做 在开区间〔 〕内的导函数〔简称导数〕，记作 或 ， 即 。

认知：

〔Ⅰ〕函数 的导数 是以x为自变量的函数，而函数 在点 处的导数 是一个数值； 在点 处的导数 是 的导函数 当 时的函数值。

〔Ⅱ〕求函数 在点 处的导数的三部曲：

①求函数的增量 ；

②求平均变化率 ；

③求极限

上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

〔2〕导数的几何意义：

函数 在点 处的导数 ，是曲线 在点 处的切线的斜率。

〔3〕函数的可导与连续的关系

函数的可导与连续既有联络又有区别：

〔Ⅰ〕假设函数 在点 处可导，那么 在点 处连续；

假设函数 在开区间〔 〕内可导，那么 在开区间〔 〕内连续〔可导一定连续〕。

事实上，假设函数 在点 处可导，那么有 此时，

记 ,那么有 即 在点 处连续。

〔Ⅱ〕假设函数 在点 处连续，但 在点 处不一定可导〔连续不一定可导〕。

反例： 在点 处连续，但在点 处无导数。

事实上， 在点 处的增量 当 时， ， ；

当 时， ，

由此可知， 不存在，故 在点 处不可导。

2、求导公式与求导运算法那么

〔1〕根本函数的导数〔求导公式〕

公式1 常数的导数： 〔c为常数〕，即常数的导数等于0。

公式2 幂函数的导数： 。

公式3 正弦函数的导数： 。

公式4 余弦函数的导数：

公式5 对数函数的导数：

〔Ⅰ〕 ；

〔Ⅱ〕

公式6 指数函数的导数：

〔Ⅰ〕 ；

〔Ⅱ〕 。

〔2〕可导函数四那么运算的求导法那么

设 为可导函数，那么有

法那么1 ；

法那么2 ；

法那么3 。

3、复合函数的导数

〔1〕复合函数的求导法那么

设 ， 复合成以x为自变量的函数 ，那么复合函数 对自变量x的导数 ，等于函数对中间变量 的导数 ，乘以中间变量u对自变量x的导数 ，

即 。

引申：设 ， 复合成函数 ， 那么有

〔2〕认知

〔Ⅰ〕认知复合函数的复合关系循着“由表及里〞的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数构造设出 ，由第一层中间变量 的函数构造设出 ，由第二层中间变量 的函数构造设出 ，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量 为自变量x的简单函数 为止。于是所给函数便“分解〞为假设干互相联络的简单函数的链条：

；

〔Ⅱ〕运用上述法那么求复合函数导数的解题思路

①分解：分析所给函数的复合关系，适中选定中间变量，将所给函数“分解〞为互相联络的假设干简单函数；

②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法那么和根本公式求；

③复原：将上述求导后所得结果中的中间变量复原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。

二、导数的应用

1、函数的单调性

〔1〕导数的符号与函数的单调性：

一般地，设函数 在某个区间内可导，那么假设 为增函数；假设 为减函数；假设在某个区间内恒有 ，那么在这一区间上为常函数。

〔2〕利用导数求函数单调性的步骤

〔Ⅰ〕确定函数 的定义域；

〔Ⅱ〕求导数 ；

〔Ⅲ〕令 ，解出相应的x的范围

当 时， 在相应区间上为增函数；当 时 在相应区间上为减函数。

〔3〕强调与认知

〔Ⅰ〕利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。假设由不等式 确定的x的取值集合为A，由 确定的x的取值范围为B，那么应用 ；

〔Ⅱ〕在某一区间内 〔或 〕是函数 在这一区间上为增〔或减〕函数的充分〔不必要〕条件。因此方程 的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定 的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。

举例：

〔1〕 是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时， 。

〔2〕 在点x=0处连续，点x=0处不可导，但 在〔-∞，0〕内递减，在〔0，+∞〕内递增。

2、函数的极值

〔1〕函数的极值的定义

设函数 在点 附近有定义，假如对 附近的所有点，都有 ，那么说 是函数 的一个极大值，记作 ；

假如对 附近的所有点，都有 ，那么说 是函数 的一个极小值，记作 。

极大值与极小值统称极值

认知：由函数的极值定义可知：

〔Ⅰ〕函数的极值点 是区间 内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处获得；

〔Ⅱ〕极值是一个部分性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；

〔Ⅲ〕当函数 在区间 上连续且有有限个极值点时，函数 在 内的极大值点，极小值点交替出现。

〔2〕函数的极值的断定

设函数 可导，且在点 处连续，断定 是极大〔小〕值的方法是

〔Ⅰ〕假如在点 附近的左侧 ，右侧 ，那么 为极大值；

〔Ⅱ〕假如在点 附近的左侧 ，右侧 ，那么 为极小值；

注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数 的导数研究中悟出这一点。

〔3〕探求函数极值的步骤：

〔Ⅰ〕求导数 ；

〔Ⅱ〕求方程 的实根及 不存在的点；

考察 在上述方程的根以及 不存在的点左右两侧的符号：假设左正右负，那么 在这一点获得极大值，假设左负右正，那么 在这一点获得极小值。

3、函数的最大值与最小值

〔1〕定理

假设函数 在闭区间上连续，那么 在 上必有最大值和最小值；在开区间 内连续的函数 不一定有最大值与最小值。

认知：

〔Ⅰ〕函数的最值〔最大值与最小值〕是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。

〔Ⅱ〕函数的极大值与极小值是比拟极值点附近的函数值得出的〔具有相对性〕，极值只能在区间内点获得；函数的最大值与最小值是比拟整个定义区间上的函数值得出的〔具有绝对性〕，最大〔小〕值可能是某个极大〔小〕值，也可能是区间端点处的函数值。

〔Ⅲ〕假设 在开区间 内可导，且有唯一的极大〔小〕值，那么这一极大〔小〕值即为最大〔小〕值。

〔2〕探求步骤：

设函数 在 上连续，在 内可导，那么探求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下：

〔 I 〕求 在 内的极值；

〔 II 〕求 在定义区间端点处的函数值 ， ；

〔 III 〕将 的各极值与 ， 比拟，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。

引申：假设函数 在 上连续，那么 的极值或最值也可能在不可导的点处获得。对此，假如仅仅是求函数的最值，那么可将上述步骤简化：

〔 I 〕求出 的导数为0的点及导数不存在的点〔这两种点称为可疑点〕；

〔 II 〕计算并比拟 在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最大值与最小值。

〔3〕最值理论的应用

解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，根本解题思路为：

〔 I 〕认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联络，引入变量，建立适当的函数关系；

〔 II 〕探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；

〔 III 〕检验、作答：利用实际意义检查〔2〕的结果，并答复所提出的问题，特殊地，假如所得函数在区间内只有一个点 满足 ，并且 在点 处有极大〔小〕值，而所给实际问题又必有最大〔小〕值，那么上述极大〔小〕值便是最大〔小〕值。

四、经典例题

例1、设函数 在点 处可导，且 ，试求

〔1〕 ；

〔2〕 ；

〔3〕 ；

〔4〕 〔 为常数〕。

解：注意到

当 〕

〔1〕 ；