高中数学导数及其应用

高中数学导数及其应用

高中数学导数及其应用

一、知识网络

二、高考考点

1、导数的定义和应用；

2、求导公式和运算法则的应用；

3、导数的几何意义；

4、导数在研究函数单调性上的应用；

5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；

6、导数在解决实际问题中的应用。

三、知识要点

一）导数

1、导数的概念

1）导数的定义

设函数在点及其附近有定义，当自变量x在处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量，这两个增量的比，叫做函数在点到这间的平均变化率。如果极限存在，则函数在点处可导，并把这个极限叫做在点处的导数（或变化率），记作，即。

如果函数在开区间（）内每一点都可导，则说在开区间（）内可导，此时，对于开区间（），这样在开区间（）内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数。在开区间（）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做原函数或，即内的导函数（简称导数），记作。

认知：

Ⅰ）函数的导数在点是以x为自变量的函数，而函数处的导数是的导函数在点处的导数时是一个数值；的函数值。

Ⅱ）求函数

①求函数的增量；

②求平均变化率；

③求极限。

上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

2）导数的几何意义

函数的导数表示函数在某一点处的切线斜率。

3）函数的可导与连续的关系

函数的可导与连续既有联系又有区别：

Ⅰ）若函数在点处可导，则在点处连续；若函数在开区间（）内可导，则在开区间（）内连续（可导一定连续）。

在点处的导数，是曲线在点处的切线的斜率。

Ⅱ）若函数在点处连续，但在点处不一定可导（连续不一定可导）。

反例：在点处连续，但在点处无导数。事实上，在点处的增量不存在，故在点处不可导。

2、求导公式和求导运算法则

1）基本函数的导数（求导公式）

公式1：常数的导数：即常数的导数等于0.

公式2：幂函数的导数：

公式3：正弦函数的导数：

公式4：余弦函数的导数：

公式5：对数函数的导数：

c为常数）

公式6：指数函数的导数：

2）可导函数四则运算的求导法则

设为可导函数，则有：

法则1：

法则2：

法则3：

3、复合函数的导数

1）复合函数的求导法则

设。 复合函数的导数可以通过已知函数对中间变量的导数和中间变量对自变量的导数相乘得到。其中，中间变量的导数可以通过链式法则求得。例如，设$f(u)$和$g(x)$都是可导函数，且$y=f(g(x))$，则有$y'=f'(g(x))\cdot g'(x)$。

在求复合函数的导数时，可以采用“由表及里”的顺序，从外向内分析。首先确定最外层的主体函数结构，然后设出中间变量，并逐层分析，直到最里层的简单函数为止。最终，将函数“分解”为若干相互联系中间变量为自变量的简单函数的链条。

利用导数可以讨论函数的单调性。一般地，如果函数在某个区间内可导，那么如果导数恒大于零，则函数在该区间上为增函数；如果导数恒小于零，则函数在该区间上为减函数；如果导数恒等于零，则函数在该区间上为常函数。

为了求函数的单调性，可以采用以下步骤：首先确定函数的定义域，然后求出导数，并解出导数为零的点，将这些点作为分界点，将函数的定义域分为若干区间，在每个区间内讨论导数的符号，从而确定函数的单调性。

函数的极值是指函数在某点处取得的最大值或最小值。如果函数在某点处导数存在且为零，那么该点就是函数的极值点。极大值和极小值统称为极值。

Ⅱ）极值是一个局部性概念，即在函数定义域的某一点附近的最大值和最小值。同一个函数可以有多个极大值和极小值，且在不同点处的极小值有可能大于另一点处的极大值。

Ⅲ）当函数在区间上连续且有有限个极值点时，函数的极值只存在于区间内的连续点处。如果一个点附近的所有点都比它小，则该点是一个极小值；如果附近的所有点都比它大，则该点是一个极大值。极大值点和极小值点交替出现。

2）函数的极值的判定方法：设函数可导，且在点处连续，则判定右侧导数为负（正）则为极大（小）值；左侧导数为负（正）则为极小（大）值。注意：导数为零的点不一定是极值点。

3）探求函数极值的步骤：（Ⅰ）求导数；（Ⅱ）求方程的实根及不存在的点；（Ⅲ）考察在方程实根和不存在的点左右两侧的符号，确定极值类型。

1）定理：若函数在闭区间上连续，则必有最大值和最小值；在开区间内不一定有最大值和最小值。函数的最值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值和最小值。函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，极值只能在区间内点取得。

Ⅲ）若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值。

2）探求函数最值的步骤：设函数在闭区间上连续，在内可导。步骤为：（I）求导数；（II）求导数为零的点及导数不存在的点；（III）将这些点的函数值与区间端点处的函数值比较，得出最大值和最小值。

引申：若函数在上连续，则极值或最值也可能在不可导的点处取得。

解决关于函数最值的实际问题，导数理论是一个有力的工具。基本的解题思路包括：（I）认知、立式，即分析实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；（II）探求最值，即立足函数的定义域，探求函数的最值；（III）检验、作答，利用实际意义检查结果，并回答所提出的问题。特别地，如果所得函数在区间内只有一个点满足，并且在点处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。

经典例题：

例1、设函数在点处可导，且，试求（1）；（2）；（3）；（4）（为常数）。

解：注意到当时，（1）；（2）；=A+A=2A（3）令，则当时，∴（4）

点评：注意增量的形式是多种多样的，但是不论本质如何，在这一定义中，自变量x在选择哪一种形式，相应的函数f(x)也必须选择相应的形式。这种步调的一致是求值成功的保障。

例2、已知，求（1）；（2）。

解：（1）令，则，求，且当时。注意到这里∴（2）∵，∴①。注意到，∴由已知得②。∴由①、②得。

例3、求下列函数的导数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。

解：（1）；（2）；∴；（6）。（3）；∴（4）；∴（5）；∴当时，时。

点评：为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算。特别是积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为XXX的形式时，“先变后求”的手法显然更为灵巧。

例4、在曲线C：C关于该点对称。上，求斜率最小的切线所对应的切点，并证明曲线。

解：（1）∴当又当时，取得最小值-13.所以斜率最小的切线对应的切点为A（2，-12）；（2）证明：设为曲线C上任意一点，则点P关于点A的对称点Q的坐标为且有。∴将代入，得到。注意到P，Q的任意性，由此断定曲线C关于点A成中心对称。

例5、已知曲线，求证：两曲线在公共点处相切。

证明：注意到两曲线在公共点处相切当且仅当它们在公共点处的切线重合。设上述两曲线的公共点为，则有。其中，且均为可导函数。坐标为方程的解代入①的解析式得。于是，对于，有。对于，有。

1) 已知函数的最大值为3，最小值为-29，求常数k的值。

解：由题意可得：

f(x)_{max}=3$$

f(x)_{min}=-29$$

又因为$f(x)$是一个二次函数，所以它的顶点横坐标为：

x_0=-\frac{b}{2a}$$

代入函数得：

f(x_0)=-\frac{b^2}{4a}+c$$

由于$f(x_0)$是函数的最大值，所以有：

f(x_0)=3$$

同理，函数的最小值为： f(x_0)=-29$$

代入上式得：

frac{b^2}{4a}+c=-29$$

frac{b^2}{4a}+c=3$$

将$c$消去得：

frac{b^2}{4a}=32$$

又因为$f(x)$是一个二次函数，所以有：

a>0$$

所以：

b^2>0$$

代入上式得：

a<0$$

由此可得：

k=a-2b+c<0$$

即：

a-2b+c<0$$

2) 设$f(x)$的最大值为1，最小值为-3，求常数$k$的值。

解：由题意可得：

f(x)_{max}=1$$

f(x)_{min}=-3$$ 又因为$f(x)$是一个二次函数，所以它的顶点横坐标为：

x_0=-\frac{b}{2a}$$

代入函数得：

f(x_0)=-\frac{b^2}{4a}+c$$

由于$f(x_0)$是函数的最大值，所以有：

f(x_0)=1$$

同理，函数的最小值为：

f(x_0)=-3$$

代入上式得：

frac{b^2}{4a}+c=-3$$

frac{b^2}{4a}+c=1$$

将$c$消去得：

frac{b^2}{4a}=4$$

又因为$f(x)$是一个二次函数，所以有：

a>0$$

所以：

b^2>0$$

代入上式得：

a<0$$

由此可得：