高中数学导数及其应用

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

1文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 高中数学导数及其应用

一、知识网络

二、高考考点

1、导数定义的认知与应用；

2、求导公式与运算法则的运用；

3、导数的几何意义；

4、导数在研究函数单调性上的应用；

5、导数在寻求函数的极值或最值的应用；

6、导数在解决实际问题中的应用。

三、知识要点

（一）导数

1、导数的概念

（1）导数的定义

（Ⅰ）设函数 在点 及其附近有定义，当自变量x在 处有增量△x（△x可正可负），则函数y相应地有增量

，这两个增量的比 ，叫做函数 在点 到 这间的平均变化率。如果 时， 有极限，则说函数 在点 处可导，并把这个极限叫做

在点 处的导数（或变化率），记作

，即 。

（Ⅱ）如果函数 在开区间（ ）内每一点都可导，则说 在开区间（ ）内可导，此时，对于开区间（ ）内每一个确定的值 ，都对应着一个确定的导数 ，这样在开区间（ ）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做 在开区间（ ）文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

2文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 内的导函数（简称导数），记作 或 ，

即 。

认知：

（Ⅰ）函数 的导数 是以x为自变量的函数，而函数 在点

处的导数 是一个数值； 在点 处的导数 是 的导函数 当 时的函数值。

（Ⅱ）求函数 在点 处的导数的三部曲：

①求函数的增量 ；

②求平均变化率 ；

③求极限

上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。

（2）导数的几何意义：

函数 在点 处的导数 ，是曲线 在点 处的切线的斜率。

（3）函数的可导与连续的关系

函数的可导与连续既有联系又有区别：

（Ⅰ）若函数 在点 处可导，则 在点 处连续；

若函数 在开区间（ ）内可导，则 在开区间（ ）内连续（可导一定连续）。

事实上，若函数 在点 处可导，则有 此时，文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

3文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.

记 ,则有 即 在点 处连续。

（Ⅱ）若函数 在点 处连续，但 在点 处不一定可导（连续不一定可导）。

反例： 在点 处连续，但在点 处无导数。

事实上， 在点 处的增量

当 时， ， ；

当 时， ，

由此可知， 不存在，故 在点 处不可导。

2、求导公式与求导运算法则

（1）基本函数的导数（求导公式）

公式1 常数的导数： （c为常数），即常数的导数等于0。

公式2 幂函数的导数： 。

公式3 正弦函数的导数： 。

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

4文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 公式4 余弦函数的导数：

公式5 对数函数的导数：

（Ⅰ） ；

（Ⅱ）

公式6 指数函数的导数：

（Ⅰ） ；

（Ⅱ） 。

（2）可导函数四则运算的求导法则

设 为可导函数，则有

法则1 ；

法则2 ；

法则3 。

3、复合函数的导数

（1）复合函数的求导法则

设 ， 复合成以x为自变量的函数 ，则复合函数

对自变量x的导数 ，等于已知函数对中间变量 的导数 ，乘以中间变量u对自变量x的导数 ，

即 。

引申：设 ， 复合成函数 ， 则有文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

5文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.

（2）认知

（Ⅰ）认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出 ，由第一层中间变量 的函数结构设出 ，由第二层中间变量 的函数结构设出 ，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量 为自变量x的简单函数 为止。于是所给函数便“分解”为若干相互联系的简单函数的链条：

；

（Ⅱ）运用上述法则求复合函数导数的解题思路

①分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数；

②求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；

③还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。

二、导数的应用

1、函数的单调性

（1）导数的符号与函数的单调性：

一般地，设函数 在某个区间内可导，则若

为增函数；若 为减函数；若在某个区间内恒有 ，则在这一区间上为常函数。

（2）利用导数求函数单调性的步骤

（Ⅰ）确定函数 的定义域；

（Ⅱ）求导数 ；

（Ⅲ）令 ，解出相应的x的范围

当 时， 在相应区间上为增函数；当 时 在相应区间上为减函数。

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

6文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. （3）强调与认知

（Ⅰ）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式 确定的x的取值集合为A，由 确定的x的取值范围为B，则应用 ；

（Ⅱ）在某一区间内 （或 ）是函数 在这一区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。因此方程 的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定 的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。

举例：

（1） 是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时， 。

（2） 在点x=0处连续，点x=0处不可导，但 在（-∞，0）内递减，在（0，+∞）内递增。

2、函数的极值

（1）函数的极值的定义

设函数 在点 附近有定义，如果对 附近的所有点，都有

，则说 是函数 的一个极大值，记作 ；

如果对 附近的所有点，都有 ，则说 是函数 的一个极小值，记作 。

极大值与极小值统称极值

认知：由函数的极值定义可知：

（Ⅰ）函数的极值点 是区间 内部的点，并且函数的极值只有在区间内的连续点处取得；

（Ⅱ）极值是一个局部性概念；一个函数在其定义域内可以有多个极大值和极小值，并且在某一点的极小值有可能大于另一点处的极大值；

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

7文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. （Ⅲ）当函数 在区间 上连续且有有限个极值点时，函数 在 内的极大值点，极小值点交替出现。

（2）函数的极值的判定

设函数 可导，且在点 处连续，判定 是极大（小）值的方法是

（Ⅰ）如果在点 附近的左侧 ，右侧 ，则 为极大值；

（Ⅱ）如果在点 附近的左侧 ，右侧 ，则 为极小值；

注意：导数为0的不一定是极值点，我们不难从函数 的导数研究中悟出这一点。

（3）探求函数极值的步骤：

（Ⅰ）求导数 ；

（Ⅱ）求方程 的实根及 不存在的点；

考察 在上述方程的根以及 不存在的点左右两侧的符号：若左正右负，则

在这一点取得极大值，若左负右正，则 在这一点取得极小值。

3、函数的最大值与最小值

（1）定理

若函数 在闭区间上连续，则 在 上必有最大值和最小值；在开区间

内连续的函数 不一定有最大值与最小值。

认知：

（Ⅰ）函数的最值（最大值与最小值）是函数的整体性概念：最大值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义区间上所有函数值中的最小值。

（Ⅱ）函数的极大值与极小值是比较极值点附近的函数值得出的（具有相对性），极值只能在区间内点取得；函数的最大值与最小值是比较整个定义区间上的函数值得出的（具有绝对性），最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值。

文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

8文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. （Ⅲ）若 在开区间 内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值。

（2）探求步骤：

设函数 在 上连续，在 内可导，则探求函数 在 上的最大值与最小值的步骤如下：

（ I ）求 在 内的极值；

（ II ）求 在定义区间端点处的函数值 ， ；

（ III ）将 的各极值与 ， 比较，其中最大者为所求最大值，最小者为所求最小值。

引申：若函数 在 上连续，则 的极值或最值也可能在不可导的点处取得。对此，如果仅仅是求函数的最值，则可将上述步骤简化：

（ I ）求出 的导数为0的点及导数不存在的点（这两种点称为可疑点）；

（ II ）计算并比较 在上述可疑点处的函数值与区间端点处的函数值，从中获得所求最大值与最小值。

（3）最值理论的应用

解决有关函数最值的实际问题，导数的理论是有力的工具，基本解题思路为：

（ I ）认知、立式：分析、认知实际问题中各个变量之间的联系，引入变量，建立适当的函数关系；

（ II ）探求最值：立足函数的定义域，探求函数的最值；

（ III ）检验、作答：利用实际意义检查（2）的结果，并回答所提出的问题，特殊地，如果所得函数在区间内只有一个点 满足 ，并且 在点 处有极大（小）值，而所给实际问题又必有最大（小）值，那么上述极大（小）值便是最大（小）值。

四、经典例题

例1、设函数 在点 处可导，且 ，试求