导数
一、考纲要求
1.了解函数单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．
3．会利用导数解决某些实际问题.
二、知识梳理
1．函数的单调性与导数
在某个区间(a，b)内，如果 ，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 ，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．如果 ，那么函数y＝f(x)在这个区间上是常数函数．
问题探究：若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0吗？f′(x)>0是否是f(x)在(a，b)内单调递增的充要条件？
2．函数的极值与导数
(1)函数的极小值
若函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值 ，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧 ，右侧 ，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．
(2)函数的极大值
若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值 ，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧 ，右侧 ，则b点叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值， 和 统称为极值．
3．函数的最值与导数
函数f(x)在[a，b]上有最值的条件
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值．
三，考点探究
考点一：函数的单调性与导数
【例1】 设函数f(x)＝x3—3x2－9x－1．求函数f(x)的单调区间．
第4章 中值定理与导数的应用
1
第4章 中值定理与导数的应用
§4.1 微分中值定理
1．费马定理 设()fx在0x的某邻域连续，且0()fx存在，则
0()()fxfx或0()()fxfx 0()0fx
2．罗尔定理 若)(xf在ba,连续，在),(ba内可导，且)()(bfaf，则至少存在一点),(ba，使得0)(f
几何意义：()yfx在点))(,(f处有水平切线。
3. 拉格朗日定理 若)(xf在ba,连续，在),(ba内可导，则至少存在一点),(ba，使得)()()(fabafbf
几何意义：()yfx在点))(,(f的切线平行于连接曲线在区间两端点的直线。
推论1：若)(xf在),(ba内恒有0)(f，则cxf)(，),(bax
推论2：若在),(ba内，)()(xgxf，则cxf)(，),(bax
4. 柯西定理 若)(),(xgxf在ba,连续，在),(ba内可导，且0)(xf，则至少存在一点),(ba，使得 )()()()()()(gfagbgafbf
几何意义：在参数坐标系下点((),())gf的切线平行于连接曲线两端点直线。
5. 泰勒公式 若)(xf在0()Ux具有1n阶导数，则00(,)xxx，有
()(1)10000()()()()()!(1)!knnknkfxffxxxxxkn，介于0x与x之间
余项估计式：设(1)max()nMfx，,xab，则
(1)110()()()()(1)!(1)!nnnnfMRxxxbann 第4章 中值定理与导数的应用
2 常用函数的麦克劳林（当00x时的泰勒公式）展开式：
21()2!!nxnxxexRxn；
2ln(1)(1)()2nnnxxxxRxn；
甘肃科技纵横２００７年（第３６卷）第５期摘要：导数概念的教学是一个难点，也是一个重点。本文讲述了在导数概念的教学中应紧抓的几个方面。关键词：教学瞬时速度导数概念可导连续导数是微积分中的一个很重要的概念，又是不易理解的概念，是一个难点。因此，如何在教学中更好的讲清概念，使学生真正透彻理解概念，掌握概念，就成为导数教学中的关键。下面谈谈我的一些教学体会。概念的引入要结合实际问题，从分析瞬时速度的计算方法这个物理背景入手引入导数概念，讲解导数定义。以自由落体运动为例，运动规律为Ｓ＝１２ｇｔ２ｇ＝９．８米／秒２让学生在理解什么是时间改变量，位置改变量，平均速度的情况下，考察在２秒到３秒时间间隔内的运动情况，时间改变量Δｔ＝ｔ１－２位置改变量Δｓ＝１２ｇ（２＋Δｔ）２－１２ｇ・２２平均速度Ｖ!＝ΔＳΔｔΔｔ取不同的值，使其越来越小，按上式计算在不同时间区间内的平均速度的值，［２，２＋１］Ｖ!＝２４．５［２，２＋０．１］Ｖ!＝２０．０９［２，２＋０．０１］Ｖ!＝１９．６４９［２，２＋０．００１］Ｖ!＝１９．６０４９［２，２＋０．０００１］Ｖ!＝１９．６００４９可以看出，有一个趋向定值的趋势，即在［２，２＋Δｔ］时间内，当Δｔ很小时，速度变化不大，平均速度近似于２秒时的速度。Δｔ越小，平均速度就越接近２秒时的速度。于是，我们规定：当Δｔ→０时，平均速度Ｖ!的极限值就是２秒时的瞬时速度。ｖｔ０＝２＝ｌｉｍΔｔ→０ΔｓΔｔ＝ｌｉｍΔｔ→０１２ｇ（２＋Δｔ）２－１２ｇ・２２Δｔ＝ｇｌｉｍΔｔ→０（２＋１２Δｔ）＝１９．６（米／秒）对一般的非匀速直线运动Ｓ＝Ｓ（ｔ）在（ｔ０，ｔ０＋Δｔ）时间区间内的平均速度为：Ｖ!＝ΔＳΔｔ＝ｓ（ｔ０＋Δｔ）－Ｓ（ｔ０）Δｔ规定ｌｉｍΔｔ→０Ｓ（ｔ０＋Δｔ）－Ｓ（ｔ０）Δｔ是ｔ０时的瞬时速度ｖ（ｔ０）。求瞬时速度的基本观点和基本方法就是用变化的观点来研究问题，对非匀速直线运动，在局部小范围（ｔ０，ｔ０＋Δｔ）内先以匀速代替变速，即以（ｔ０，ｔ０＋Δｔ）时间区间内的平均速度作为ｔ０时的瞬时速度的近似值，当Δｔ→０时，平均速度就转化为瞬时速度，近似值就转化为精确值了。这就是变量数学与常量数学的不同之处，在教学中，首先要紧抓位置改变量与时间改变量之比的极限这一关键，使学生接受微积分中这种处理问题的方法。接着将计算瞬时速度的问题抽象成数学概念，就得到导数的定义。定义：设函数ｙ＝ｆ（ｘ）在点ｘ０的某一邻域内有定义，给ｘ０以改变量Δｘ，（点ｘ０＋Δｘ仍在该邻域内），设函数相应的改变量Δｙ＝ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）如果当Δｘ→０时，这两个改变量之比的极限ｌｉｍΔｘ→０ΔｙΔｘ＝ｌｉｍΔｘ→０ｆ（ｘ０＋Δｘ）－ｆ（ｘ０）Δｘ存在，则称这个极限值为函数ｆ（ｘ）在ｘ０的导数，记作ｆ＇（ｘ０）或ｙ＇ｘ＝ｘ０根据导数的定义，非匀速直线运动在ｔ０时的瞬时速度就是路程函数Ｓ（ｔ）在ｔ０处的导数。即ｖ（ｔ０）＝Ｓ＇（ｔ０）如果ｙ＝ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内可导，对于（ａ，ｂ）中的每一个ｘ，都有ｆ＇（ｘ），那么ｆ＇（ｘ）就成了ｘ的函数，叫做导函数，简称导数，也叫变化率。关于导数的定义，学生不容易一下子掌握，为此，以下几个问题一定要讲清楚：（１）ｆ＇（ｘ０）和ｆ＇（ｘ）是不同的，ｆ＇（ｘ０）是个常数，而ｆ＇（ｘ）是ｘ的函数。ｆ＇（ｘ０）是ｆ＇（ｘ）在ｘ＝ｘ０时的值。一般先求ｆ＇（ｘ），再以ｘ０代ｆ＇（ｘ）中的ｘ，即得ｆ＇（ｘ０）。要告诉学生ｆ＇（ｘ０）≠（ｆ（ｘ０））＇。（２）在求导过程中，Δｘ是变量，Δｘ→０但Δｘ≠０，ｘ是常量。（３）Δｘ可正（从右边趋向该点），Δｘ亦可负（从左边趋向该点），Δｙ可正，可负也可为零。（４）导数又称变化率，因为比值ΔｙΔｘ表示在ｘ处，ｘ变化一个单位时，ｆ（ｘ）产生变化的平均数量，而ΔｙΔｘ的极限则精确地表示在ｘ处，当ｘ变化时，函数ｆ（ｘ）随之而变化的快慢程度，所以导数又叫变化率，例如瞬时速度就反应了物体运动的快慢程度。除瞬时速度外，还有很多变化率的问题，如ｔ时刻的化学反应浓度变化率；电流就是电量Ｑ对时间ｔ的导数；比热Ｃ是热量Ｑ的导数等问题。从这三个问题看，化学反应浓度变化率，电流，比热虽是不同的物理量，但在数学上都是求函数改变量和自变量改变量的比的极限，凡是这类问题，抽象成数学问题就是导数的概念。通过这些例题，要向学生说明导数定义是从很多实际问题中抽象出来的数学概念。教学时，首先应围绕函数改变量，函数改变量与自变量改变量之比及比的极限这三个关键量，要求学生掌握按定义求导的三个步骤：第一步写出函数改变量Δｙ＝ｆ（ｘ＋Δｘ）－ｆ（ｘ）。为此，可以做下面的练习来作点准备：已知ｆ（ｘ）＝２ｘ３＋４ｘ２＋ｘ＋５，求ｆ（１ｘ），ｆ（ｘ２），ｆ（１ｅｘ），ｆ（ｘ＋Δｘ）已知ｆ（ｘ）＝１ｘ－１"，求ｆ（ｘ－１），ｆ（ｘ＋Δｘ）第二步算出比值ΔｙΔｘ，这一步有时要先化简或作些运算。谈谈在高数中如何进行导数概念的教学冯爱军（兰州职业技术学院，甘肃兰州７３００７０）１概念的引入文化教育２要讲清楚几个问题３紧抓定义求导的三个步骤１５２甘肃科技纵横２００７年（第３６卷）第５期（上接１１１页）位围绕应急预案组织的指挥体系演练少，现场演练针对性差。由于职责不明晰，造成在事故抢险中的多头指挥和越级指挥时有发生，部分员工只知道自己岗位的抢险救援对策措施，对应急预案整体了解不够深入，造成抢险救援时措施执行不到位，使参战员工忽视了相互之间的配合和协同。（２）应急预案的审核还有待加强。应急预案的审核重点就是要侧重对实施效果的评估。评估要结合现场演练和事故抢险来进行，对应急预案存在的问题及时进行修改。２．２对策措施提起应急预案我们思想普遍存在一个误区，认为应急预案是事故发生后的应急对策，其实应急预案还应包括事故发生前的紧急措施和事故初期的有效控制。石化企业发生的工艺、设备等事故，在发生前都是有征兆的。目前，从国内石化企业的应急预案来看，普遍存在重事故抢险、轻防控的倾向，对事故发生征兆的确定和所应采取的应急对策分析不够，存在对策不细、措施不够具体等问题。存在的这些问题，直接导致员工在学习、工作、培训、现场演练过程中的缺陷，影响员工在事故状态下的应变能力，影响事故抢险作业的成效。（１）建立和完善危机管理机制。应急预案的价值在于在事故抢险中的应用。石化企业要以应急预案为中心，在企业内部逐步建立和完善两级危机管理机制，定期组织进行演练，不断进行危机管理机制的完善与改进，使危机管理机制真正在企业内部建立起来，成为企业应对重特大事故的有效手段。（２）各级指挥人员应积极参加应急演练，以提高指挥机关驾驭全局的能力。在日常的事故抢险演练中，应专门进行针对指挥人员的演习和训练，以提高各级指挥人员的指挥水平和能力。（３）应急预案作为企业事故抢险的行动纲领，不是编制完成以后就万事大吉了，应该定期结合设备改造、工艺的改进进行完善。通过不断的改进和完善，使应急预案能够随着生产的发展和技术的进步而逐步完善，使之与装置特点紧密结合，使应急预案的针对性和操作性逐步提高，真正成为企业抢险救援的行动指南。（４）专业管理部门要加强监督，指导应急预案的制定、培训、演练和宣传教育，协调参与抢险救援相关方的衔接与协调，对应急预案所涉及的资源和保障措施的落实情况定期进行监督检查。（上接１７９页）本题联系到了图形求解，利用对称使解法直观、简捷而且准确，易于入手。例４：一光线经点Ｍ（－３，２）后射到ｘ轴上点Ｐ处，经ｘ轴反射后又射在ｙ轴上点Ｑ处，再经ｙ轴反射后，光线恰好经过点Ｎ（－１，６），求Ｐ，Ｑ两点的坐标及直线ＭＰ，ＰＱ，ＱＮ的方程。分析：根据光学原理，入射光线上的点关于镜面的对称点必在反射光线上，所以该题可以根据点关于直线的对称解决。解：如图，Ｍ点关于ｘ轴的对称点Ｍ＇（－３，－２）必在直线ＰＱ上，同理，Ｎ点关于ｙ轴的对称点Ｎ＇（１，６）也必在直线ＰＱ上，故直线ＰＱ的方程可由Ｍ＇，Ｎ＇的坐标利用两点式得到，ＰＱ：２ｘ－ｙ＋４＝０．令ｙ＝０得ｘ＝－２，令ｘ＝０得ｙ＝４，即Ｐ（－２，０），Ｑ（０，４）在坐标系中以坐标轴为镜面时，入射线与反射线的倾斜角必互补，它们的斜率必互为相反数。∴ｋＰＭ＝ｋＱＮ＝－ｋＰＱ＝－２，因此，直线ＰＭ，ＱＮ的直线方程分别为：ｙ＝－２ｘ－４
导数概念 单元教学设计
一、教案头
单元标题： 导数概念 单元教学学时 4
在整体设计中的位置 第15、16次
授课班级 上课地点
教学
目标 能力目标 知识目标 素质目标
➀能够变速直线运动速度、切线斜率
➁能够抽象出导数概念
➂能够利用导数概念计算导数
➃能够计算高阶导数
➄能够总结基本函数的导数运导数概念
左右导数
计算导数 ➀深刻思维能力
➁团结合作能力
➂语言表达能力 算公式
能力训练任务
及案例 任务1 理解变速直线运动速度、切线斜率
任务2 抽象导数概念
任务3 简单计算导数、高阶导数
任务4 总结基本函数的导数运算公式
案例1（电流强度模型） 电流强度模型 设在时间]t[0,0这段时间内通过导线横截面的电流是)(tQQ，利用导数概念分析电流强度
案例2 （细杆的线密度模型） 设一根质量非均匀分布的细杆放在x轴上，在[0,x]上的质量是x的函数m=m(x),求杆上点0x处的线密度
教学
材料 高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社
高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社
高等数学应用205例 李心灿主编高等教育出版社 经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社 二、教学设计
步骤 教学内容 教学方法 教学手段 学生活动 时间
分配
1
（告知） 本单元学习目标：
瞬时速度，切线斜率
导数概念，高阶导数 陈述 板书 识记 5分钟
2
（引入
任务1） （1）瞬时速度
设一个物体的路程与时间的函数是s=s(t)，试研究在时刻0t时的瞬时速度
tsttstvt(t)-)(lim000
（2）切线斜率
函数y=f(x)在0x处的切线斜率
xfxxfx(x)-)(limtan00 教师画图讲解 教师提示 学生认真听讲
分组研50分钟 α+ΔxTx0x0M(x0,f(x0))M1N 讨
3
（任务2） 导数
通过任务2，抽象出任意函数f=f(x)在0x的导数概念
