2020届金太阳联考新高考原创冲刺模拟试卷(五)文科数学

1第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1．i (1i)(2i)
=++（）A ．3i
10-B ．3i
10+C ．3i
10-+D ．
3i
10--2．已知集合{}ln A x y x ==，{}3B x x =∈≤N ，则（
）A ．B A ⊆B ．{}0A B x x => C ．A B
⊆D ．{}1,2,3A B = 3．“民以食为天，食以安为先.”食品安全是关系人们身体健康的大事.某店有四类食品，其中果蔬类、粮食类、动物性食品类、植物油类分别有48种、24种、30种、18种，现从中抽取一个容量为40的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的动物性食品类种数是（
）A ．10B ．9C ．8
D ．74．若向量(1,2)AC = ，(1,4)AB BC -=- ，则AB = （
）A ．(1,1)
-B ．(0,6)C ．(2,2)-D ．(0,3)
5．已知圆221:1C x y +=，222:(2)1C x y -+=，223:(1)1C x y +-=，224:4C x y +=，若从这4个圆中任意选取2个，则这2个圆的半径相等的概率为（）
高三数学试卷（文科）。

普通高等学校招生全国统一考试模拟试题文数（五）本试卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U 为实数集R ，集合{|ln(32)}A x y x ==-，{|(1)(3)0}B y y y =--≤，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）A ．3(,1),2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭U B ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．[3,)+∞ D ．3,[3,)2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭U 2.已知复数z 满足3(1)(34)(2)z ai i ai =++-++（i 为虚数单位），若zi为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．45 B ．2 C ．54- D ．12- 3.已知命题p ：x R ∀∈，210x x -+>，命题q ：0x R ∃∈，002sin 2cos 3x x +=.则下列命题为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ∧⌝D ． ()p q ⌝∧ 4.已知函数()cos 22f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，21()1g x x =+，则下列结论中不正确是（ ） A ．()g x 的值域为(]0,1 B ．()f x 的单调递减区间为3,()44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C．()()f xg x⋅为偶函数D ．()f x的最小正周期为π5.若实数x，y满足113xyx y≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则21yzx-=的取值范围是（）A．2,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D．13,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦6.某教育局为了解“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2017年1月至2017年11月期间“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图.根据折线图，下列结论正确的是（）A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数B．月跑步平均里程逐月增加C．月跑步平均里程高峰期大致在8、9月D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．25B．26C．24D．238.过点(3,4)P作圆224x y+=的两条切线，切点分别为A，B，则AB=（）A．53- B．52- C．2215D．42159.已知等差数列{}na的前n项和为nT，34a=，627T=，数列{}nb满足1123nb b b b+=++nb+⋅⋅⋅+，121b b==，设n n nc a b=+，则数列{}nc的前11项和为（）A．1062 B．2124 C．1101 D．110010.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．104π+B．68π+C ．108π+D ．64π+11.已知动点(,)M x y 满足22(1)21x y x -+=+-，设点M 的轨迹为曲线E ，A ，B 为曲线E 上两动点，N 为AB 的中点，点N 到y 轴的距离为2，则弦AB 的最大值为（ ） A ．6B ．4 C ．5 D ．5412.如图所示的四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 与侧面PAD 垂直，且四边形ABCD 为正方形，AD PD PA ==，点E 为边AB 的中点，点F 在边BP 上，且14BF BP =，过C ，E ，F 三点的截面与平面PAD 的交线为l ，则异面直线PB 与l 所成的角为（ ）A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020届金太阳高三4月联考数学（文）试题一、单选题1．设集合{}20A x x x =-=，则集合A 的真子集的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】可用列举法列出所有真子集即可. 【详解】由题可解集合{}0,1A =，则集合A 的真子集有∅、{}0、{}1. 故选：C . 【点睛】本题考查集合的真子集，可用列举法或公式计算即可，易错点为列举法容易忽略空集，属于基础题.2．如图，复数1z ，2z 在复平面上分别对应点A ，B ，则12z z ⋅=（ ）A ．0B ．2i +C ．2i --D ．12i -+【答案】C【解析】由图可得点A ，B ，即可得复数1z ，2z 的代数形式，进行复数相乘即可. 【详解】由图可得：112z i =-+，2z i =， ∴()12122z z i i i ⋅=-+⋅=--. 故选：C . 【点睛】本题考查复数的几何意义及复数的运算，解题关键是根据复数的几何性质求复平面所表示的复数，运用乘法法则进行复数运算即可，属于基础题.3．若向量()4,2a x =-与向量()1,1b =-平行，则a =( ).A ．B ．2CD ．8【答案】A【解析】由a b ，可解得2x =，所以可得()2,2a =-，即可求得a . 【详解】由a b ，可得()()41210x -⨯--⨯=，解得2x =， 所以()2,2a =-，可得()22a =-=故选：A . 【点睛】本题考查向量的共线定理及向量模的运算，属于基础题.4．若函数()221x x af x -=+的图像关于y 轴对称，则常数a =( )A ．1-B ．1C ．1或1-D ．0【答案】A【解析】方法一：可知()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，可解出a ；方法二：可知()f x 是偶函数，利用特殊值，令()()11f f -=，可解出a . 【详解】方法一：可知()f x 是偶函数，则()()f x f x -=，即222121x x x x a a ----=++， 解得1a =-.方法二：可知()f x 是偶函数，令()()11f f -=，即1111222121a a ----=++， 解得1a =-.此时()1f x =为偶函数， 故选：A .本题考查函数奇偶性的应用，由函数是偶函数求参数值，常用()()f x f x -=或代入特殊值建立方程求解，属于基础题.5．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2016年1月至2018年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，判断下列结论： （1）月接待游客量逐月增加； （2）年接待游客量逐年增加；（3）各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月；（4）各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳. 其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】由题图可知逐一分析即可，这三年8月到9月的月接待游客量在减少，则结论（1）错误，（2）（3）（4）正确. 【详解】由题图可知，这三年8月到9月的月接待游客量在减少，则结论（1）错误； 年接待游客数量逐年增加，故（2）正确；各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月，故（3）正确；各年1月至6月的月接待游客量相对变化较小，而7月至12月则变化较大，故（4）正确； 故选：C . 【点睛】本题考查折线统计图，考查统计思想与分析数据能力，属于简单题.6．若抛物线()220y px p =>的焦点是双曲线2213-=x y p p的一个焦点，则p =( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16【解析】分别求出抛物线的焦点及双曲线的一个焦点，由条件得2162pp p =⇒=. 【详解】抛物线()220y px p =>的焦点是02p ⎛⎫⎪⎝⎭，， 双曲线2213-=x y p p的一个焦点是()20p ，， 由条件得22pp =，解得16p =. 故选：D . 【点睛】本题考查抛物线与双曲线的性质，属于综合题，但是难度不大，注重基础知识点考查，属于简单题.7．函数()32xy x x =-⋅的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】排除法：根据函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称；函数有1-，0，1三个零点；当2x =时，函数值为正数，进行选项排除即可. 【详解】函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D ； 函数有1-，0，1三个零点，故排除A ； 当2x =时，函数值为正数，故排除B . 故选：C . 【点睛】本题考查函数的图象，根据解析式求图像通常利用排除法，依据有函数奇偶性、单调性、零点、定义域、值域、特殊值等，属于中等题.8．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中间的实线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为（ ）A ．13B ．23C ．1D ．2【答案】D【解析】由三视图及条件可知：此直三棱柱的底面是等腰直角三角形，得出底面上的高和边长，再由直三棱柱的高为2，利用体积公式可求体积. 【详解】由三视图可知：此直三棱柱的底面是等腰直角三角形， 底面上的高为1221+12=，斜边为2.直三棱柱的高为2，故121222V Sh ==⋅⋅⋅=， 故选：D . 【点睛】本题考查几何体三视图及体积公式，考查转化和空间想象能力，属于基础题. 9．已知4log 7x =，3log 2y =，32z =，则（ ） A ．x y z << B ．y x z <<C ．z y x <<D ．y z x <<【答案】B【解析】由对数函数的性质可得4433log 7log 81,22x x ⎛⎫=<=⇒∈ ⎪⎝⎭，()3log 20,1y =∈，可得y x z <<.【详解】∵443log 7log 82x =<=，∴31,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∵()3log 20,1y =∈， ∴y x z <<.故选：B . 【点睛】本题考查对数的大小比较，若同底采用对数函数的单调性比较，不同底则引入中间值进行比较，属于基础题.10．在ABC 中有，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，6A π=，2sin a b A =，则角C 为（ ） A ．12πB ．712πC ．12π或712π D ．4π 【答案】C【解析】根据题意，由正弦定理得：4B π=或34π，即可求角C . 【详解】 ∵6A π=，∴50,6B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 由正弦定理得：2sin a b A =，即sin 2sin sin A B A =， sin 0,A ≠可得()2sin 0,24πB B B π=∈∴=，或34π， ∴()712πC πA B =-+=或12π， 故选：C . 【点睛】本题考查正弦定理的应用，易错点为利用正弦求三角形内角容易忽略为钝角的情况，本题属于简单题.11．如图长方体中，过同一个顶点的三条棱的长分别为2、4、6，A 点为长方体的一个顶点，B 点为其所在棱的中点，则沿着长方体的表面从A 点到B 点的最短距离为（ ）A ．29B ．35C 41D ．13【答案】C【解析】由长方体的侧面展开图可得有3种情况如下：①当B 点所在的棱长为2；②当B 点所在的棱长为4；③当B 点所在的棱长为6，分别再求出展开图AB 的距离即可得最短距离. 【详解】由长方体的侧面展开图可得：（1）当B 点所在的棱长为2，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为===.（2）当B 点所在的棱长为4，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为===（3）当B 点所在的棱长为6，则沿着长方体的表面从A 到B 的距离可能为===综上所述，沿着长方体的表面从A 点到B . 故选：C . 【点睛】本题考查长方体的展开图，考查空间想象与推理能力，属于中等题.12．倾斜角为45︒的直线与双曲线22214x y b-=交于不同的两点P 、Q ，且点P 、Q 在x 轴上的投影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的焦距为（ ）A ．2B ．2C 1D 1【答案】B【解析】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，可得2Rt QOF △为等腰三角形且245QOF ∠=︒，根据勾股定理及双曲线的定义可得：1c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，可得22b QF a =，且2b c a=.又根据222b a c =-，联立可解得1c =. 【详解】方法一；由双曲线的对称性可知直线过原点，在等腰2Rt QOF △中，245QOF ∠=︒，则122F F c =，2QF c =，1QF =. 由双曲线的定义可得：122QF QF a-=，41c c -==，，故22c =.方法二：等腰2Rt QOF △中，22bQF a=，∴2b c a=. 又222b a c =-， ∴2240c c --=，得1c =.∴22c =. 故选：B . 【点睛】本题考查双曲线的性质，解题关键是将题目条件进行转化，建立等量关系求解，属于中等题.二、填空题13．已知数列{}n a 满足1n n a ta +=，*n N ∈，t 为常数，12a =，8256a =，则t =__________.【答案】2【解析】数列{}n a 是公比为t 的等比数列，根据条件及等比数列通项公式列方程求解即可. 【详解】数列{}n a 是公比为t 的等比数列，且12a =，8256a =，则782256a t ==，可得2t =.故答案为：2. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式，根据通项公式求公比，通常借助方程求解，属于基础题. 14．曲线()cos x xf x e=在点()()0,0f 处的切线方程为__________. 【答案】10x y +-=【解析】由题意可得切点()0,1，对()cos x xf x e=求导可得()01f '=-，即为切线斜率，由此可求其切线方程. 【详解】 由()0cos00=1f e =，可得切点()0,1， ()sin cos xx xf x e--'=，()01f '=-， 其切线方程为1y x -=-，即10x y +-=. 故答案为：10x y +-=. 【点睛】本题考查应用导数求切线方程，求出函数的导数即可得到切线斜率，再根据点斜式即可求出切线方程，属于简单题. 15．函数()3cos 4cos 2πf x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭在0x x =处取得极大值，则0tan x =__________.【答案】43【解析】根据诱导公式及辅助角公式化简()()5cos f x x α=-，由题意可得()f x 取得极大值时02x k πα=+，代入0tan x 结合同角三角函数商数关系可得结果. 【详解】()343cos 4cos 3cos 4sin 5cos sin 255f x x x x x x x π⎛⎫⎛⎫=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；令3cos 5α=，4sin 5α，则()()5cos f x x α=-. 由题意得：()0cos 1x α-=，∴02x k πα=+.∴04sin 45tan tan 3cos 35x ααα====. 故答案为：43.【点睛】本题考查三角函数恒等变换及同角三角函数关系，解题的关键是利用诱导公式及辅助角公式化简，再根据三角函数性质及同角三角函数关系可得结论，属于中等题.16．若函数()2121x x f x -=+则不等式()719f x +<的解集为__________.【答案】{}42x x -<<【解析】方法一：可判断()2121x x f x -=+为奇函数，且为R 上的增函数，又()739f =，()739f -=-，结合函数图象及性质可得不等式求解；方法二：直接带入建立不等式1172179219x x ++--<<+，求解即可. 【详解】方法一：()()21122112x xx xf x f x -----===-++， ()2121x x f x -=+为奇函数，()21212121x x xf x -==-++为R 上的增函数. 又()739f =，()739f -=-， 结合函数图象及性质可得：313x -<+<，即42x -<<.方法二：()1121121x x f x ++-+=+，()719f x +<，即1172179219x x ++--<<+，解得11288x +<<，即42x -<<. 故答案为：{}42x x -<<. 【点睛】本题为函数与不等式的综合题，可依据函数的单调性建立不等式求解，考查计算求解能力及函数的基本性质，属于中等题.三、解答题17．某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示：（1）根据表中的数据判断从2014年到2019年哪个跨年度的人口增长数量最大？并描述该地人口数量的变化趋势； （2）研究人员用函数()0.65444502000 4.48781tP t e -=++拟合该地的人口数量，其中t 的单位是年，2014年年初对应时刻0t =，()P t 的单位是千人，经计算可得()6.52450P ≈，请解释()6.52450P ≈的实际意义.【答案】（1）2016年到2017年的人口的增长数量最大，2014年到2019年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势（或2014年到2019年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势）；（2）到2020年中，该地的总人数大约可增长到2450千人（或到2020年6月末或7月初，该地的总人数大约可增长到2450千人）【解析】（1）根据表中的数据，逐年作差，可得从2014年到2019年每年增加的数量，逐年增多，从2017后，增加的人数逐年减少；（2）根据函数的表达式及题意，可得()P t 表示2014+t 年的人口数量，不难得到()6.52450P ≈的实际意义．【详解】（1）从2014年到2015年该地的人口增长数量：2135208253-=； 从2015年到2016年该地的人口增长数量：2203213568-=； 从2016年到2017年该地的人口增长数量：2276220373-=； 从2017年到2018年该地的人口增长数量：2339227663-=； 从2018年到2019年该地的人口增长数量：2385233946-=； 故2016年到2017年的人口的增长数量最大.2014年到2019年该地每年人口的增长数量呈先递增后递减的趋势. （或2014年到2019年该地每年人口总数呈逐渐递增的趋势）.（2）由题意，2014年年初对应时刻0t =，()P t 表示2014+t 年的人口数量，6.5t =，()P t 表示2014+6.5=2020.5年的人口数量，故()6.52450P ≈其实际意义为：到2020年中，该地的总人数大约可增长到2450千人. 或到2020年6月末或7月初，该地的总人数大约可增长到2450千人.本题考查统计表及函数模型的应用，考查运算求解及数学分析能力，属于简单题. 18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S 满足36S =，33a =，数列{}n b 满足210n n b b +-=，且0n b >，数列{}n b 的前n 项和为n T .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求99T .【答案】（1）n a n =；（2）9【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由36S =，33a =列方程解得首项与公差，由此可得通项；（2）将{}n a 通项代入210n n b b +-=，由一元二次方程的求根公式可得n b ，再利用裂项相消求出99T . 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .由36S =，33a =得：1336a d +=，123a d +=. 解得：11a =，1d =. ∴n a n =.（2）由（1）得：210n n b +-=.由一元二次方程的求根公式得：n b ==∵0n b >，∴n b =∴)991299119T b b b =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==.【点睛】本题考查等差数列通项及裂项相消求和，等差数列通项一般根据条件列方程解出首项与公差即可，本题求解99T 的关键是求n b ，考查一元二次方程与数列的综合应用，属于中等题.19．已知椭圆C 的中心为O ，左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，右顶点为B ，（1）求椭圆C 的离心率；（2）判断1F AB 的形状，并说明理由.【答案】（1）12e -+=；（2）直角三角形，理由见解析 【解析】（1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a 、2b 、2c ，由题设可得2b ac =及222b a c =-，消b 得a 、c 齐次式，解得离心率；（2）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =.方法一：利用向量10AF AB ⋅=，方法二：利用斜率11AF AB k k ⋅=-，方法三：利用勾股定理22211F A AB F B +=，可得到1F AB 是直角三角形. 【详解】（1）设椭圆的长轴、短轴、焦距分别为2a 、2b 、2c ， 则OB a =、OA b =、2OF c =.由题设2b ac =及222b a c =-，消b 得：22ac a c =-即210e e +-=.解得：e =或e =又01e <<，则e =. （2）方法一：设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =. ∴()1,AF c b =--，(),AB a b =-，∴210AF AB ac b ⋅=-+=，∴1AF AB ⊥， 故190F AB ∠=︒，∴1F AB 是直角三角形.方法二：设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，则()0,A b ，(),0B a ，()1,0F c -，2b ac =.∴1AF b k c =，AB b k a=-， ∴121AF AB b k k ac⋅=-=-，∴1AF AB ⊥，故190F AB ∠=︒，∴1F AB 是直角三角形.方法三：由条件得：在1F AB 中，221F A b c a =+=，1F B c a =+，22AB a b =+.222212F A AB a b +=+，()22222222221222F B c a c ac a a b b a a b =+=++=-++=+，∴22211F A AB F B +=，故190F AB ∠=︒，∴1F AB 是直角三角形. 【点睛】本题考查椭圆离心率及三角形形状判断，离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解，本题属于简单题． 20．如图，在四棱锥C ABEF -中，底而ABEF 为菱形，且菱形ABEF 所在的平面与ABC 所在的平面相互垂直，4AB =，2BC =，BC BE ⊥，60ABE ∠=︒.（1）求证：//AB 平面CEF ；（2）求四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）13【解析】（1）在菱形ABEF 中，AB EF ，AB ⊄平面CEF ，EF ⊂平面CEF ，由此可证.（2）取AB 中点O ，连结OE ，BF ，由已知易得：ABE △是正三角形，OE AB ⊥，进一步可证BC ⊥平面ABEF ，由勾股定理可求出侧棱CB ，CE ，CF ，CA 的长度，得到最长的是CF ，或可先判断CF 最长，求解出长度即可. 【详解】（1）在菱形ABEF 中，ABEF ，AB ⊄平面CEF ，平面CEF .∴AB ∥平面CEF .（2）方法一：取AB 中点O ，连结OE ，BF ， 由已知易得：ABE △是正三角形，∴OE AB ⊥.又∴平面ABEF ⊥平面ABC 且交线为AB ，∴OE ⊥平面ABC ， 又BC ⊂平面ABC ，∴OE BC ⊥， 又∵BC BE ⊥，OE BE E =，∴BC ⊥平面ABEF ，又AB ，BF ⊂平面ABEF ，∴BC AB ⊥，BC BF ⊥，在菱形ABEF 中，4AB BE EF FA ====，60ABE ∠=︒，120BEF ∠=︒，BC BE ⊥，2BC =.在Rt ABC △中，2225AC AB BC =+=. 在Rt EBC 中，2225EC EB BC =+=.在Rt FBC △中，2222cos 48BF BE EF BE EF BEF =+-⋅∠=， ∴22213CF CB BF =+=.显然在侧棱CB ，CE ，CF ，CA 中最长的是CF . ∴四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长为213.方法二：取AB 中点O ，连结OE ，BF ， 由已知易得：ABE △是正三角形，∴OE AB ⊥，又∵平面ABEF ⊥平面ABC 且交线为AB ，∴OE ⊥平面ABC ， 又BC ⊂平面ABC ，∴OE BC ⊥， 又∵BC BE ⊥，OEBE E =，∴BC ⊥平面ABEF .又AB ，BF ⊂平面ABEF ∴BC AB ⊥，BC BF ⊥. 在菱形ABEF 中，BF AB >，BF BE >，∴CF 最长. 在Rt BCF 中，22213CF CB BF =+=∴四棱锥C ABEF -的最长侧棱的长为213本题考查线面平行的证明及棱长求解，考查棱长的关键是垂直判定定理及性质定理的应用，在借助勾股定理求解即可，考查空间思维及推理能力，属于中等题. 21．已知函数()ln f x x x =-+，()f x 的最大值为a . （1）求a 的值；（2）试推断方程()2ln 2ln x x a x x x +=+是否有实数解？若有实数解，请求出它的解集.【答案】（1）1-；（2）无实数解【解析】（1）由题意，对函数f （x ）=-x +lnx 求导数，研究出函数在定义域上的单调性，判断出最大值，即可求出；（2）由于函数的定义域是正实数集，故方程|2x （x -lnx ）|=2lnx +x 可变为12lnx x lnx x -=+，再分别研究方程两边对应函数的值域，即可作出判断． 【详解】(1)已知函数()ln f x x x =-+，则0x >， 可得()111f x x x x-=-+='， 令()0f x '=，x =1，当0<x <1时,f ′(x )>0;当x >1时,f ′(x )<0.∴f (x )在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数， ∴()()11max x a f f ==-=； (2)|2x (x −lnx )|=2lnx +x 可得12lnx x lnx x -=+， 由(1)知f (x )max =f (1)=−1，即−x +lnx ≤−1， ∴|x −lnx |≥1， 又令()12lnx g x x =+,()21lnx g x x-'=， 令g ′(x )>0,得0<x <e ;令g ′(x )<0，得x >e ， ∴g (x )的增区间为(0,e ),减区间为(e ,+∞)，∴()()1112max g x g e e ==+<,∴g (x )<1， ∴|x −lnx |>g (x ),即12lnx x lnx x ->+恒成立， ∴方程12lnx x lnx x -=+即方程|2x (x −lnx )|=2lnx +x 没有实数解.本题考查利用导数求函数的最值，根的存在性及根的个数判断，根的存在性及根的个数判断稍难，此类问题通常是利用转化思想和方程思想将问题进行转化为求新函数值域问题，属于中等题.22．曲线1C 的极坐标方程为r ρ=（常数0r >），曲线2C 的参数方程为()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，求实数r 的取值范围. 【答案】（1）1C ：222x y r +=，2C ：()2100x y y +-=≠；（2）11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【解析】（1）根据直角坐标与极坐标关系及题目条件cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得曲线1C 的直角坐标方程，利用消元法消去t 可得2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，法一：方程联立利用根与系数关系，利用判别式解出即可求实数r 的取值范围；法二：数形结合可得圆心到直线距离小于半径，解出即可求实数r 的取值范围. 【详解】（1）方法一：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=.由()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩得：21x y +=，即()2100x y y +-=≠. ∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.方法二：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=.2t -3y -∴22312x yx y+-=-.整理得2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠. （2）方法一：由22221x y x y r+=⎧⎨+=⎩消y 得：225410x x r -+-=.由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：22040r ∆=->，0r >解得：5r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线. ∴12r ≠.∴实数r 的取值范围为11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.方法二：圆心()0,0到直线210x y +-=的距离为：d =由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：d r <，即5r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线. ∴12r ≠.∴实数r 的取值范围为11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直角坐标与极坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系，解题的关键是熟记直角坐标与极坐标的互化关系，直线与圆的位置关系可借助二次方程判别式或距离关系求解，属于中等题. 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()|1,(0)f x m x m =--，且(1)0f x +≥的解集为[3,3]-．（Ⅰ）求m 的值； （Ⅱ）若正实数,,a b c 满足11123m a b c++=，求证：233a b c ++≥． 【答案】（1）3m =（2）见解析 【解析】试题分析：(1)求解绝对值不等式可得3m = ；(2)由题意结合柯西不等式即可证得结论，注意等号成立的条件. 试题解析：解：（Ⅰ）因为()1f x m x -=-， 所以()10f x -≥等价于x m ≤， 由x m ≤，得解集为[],,(0)m m m -> 又由()10f x -≥的解集为[]3,3-，故3m =． （Ⅱ）由（Ⅰ）知111323a b c++=， 又∵,,a b c 是正实数，∴23a b c ++=()111123323a b c a b c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭2133≥=． 当且仅当111,,23a b c ===时等号成立，所以233a b c ++≥．点睛：根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明，证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式．。

高考冲刺2020年新高考数学全真模拟演练（五）数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知集合2{|10}A x x =-=，2{|230}B x x x =--<.则A B =I （ ）A ．{1,1}-B ．{1}C ．[1,1]-D ．[1,3]- 2．已知复数3z i =-，则||z =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．2 3．设x ∈R ，则“38x >”是“2x >” 的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ）A ．138B ．135C ．95D ．235．如图所示，过ABC V 的重心G 作一直线分别交AB AC ，于点D E ，.若(0)AD x AB AE y AC xy ==≠u u u v u u u v u u u v u u u v ，，则11x y+=（）A ．4B ．3C ．2D ．16．函数()sin()x x f x e e -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．7．在高中阶段，我们学习的数学教材有必修1～5，选修2系列3册，选修4系列2册，某天晚自习小明准备从上述书中随机取两册进行复习，则他今晚复习的两本均是必修教材的概率是（ ）A ．13B ．29C ．59D ．158．如图，已知BD 是圆O 的直径，A ，C 在圆上且分别在BD 的两侧，其中2BD =，AB CD =.现将其沿BD 折起使得二面角A BD C --为直二面角，则下列说法不正确的是（ ）A ．A ，B ，C ，D 在同一个球面上B ．当AC BD ⊥时，三棱锥A BCD -的体积为13C ．AB 与CD 是异面直线且不垂直D ．存在一个位置，使得平面ACD ⊥平面ABC二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A ．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样B ．某地气象局预报：5月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C ．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D ．在回归直线方程0.110ˆyx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 增加0.1个单位10．关于函数22()cos sin 1f x x x =-+，下列说法正确的是（ ）A ．函数()f x 以π为周期且在()2k x k Z π=∈处取得最大值 B ．函数()f x 以2π为周期且在区间,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增 C ．函数()f x 是偶函数且在区间,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 D ．将()f x 的图像向右平移1个单位得到()|cos(21)|1g x x =-+11．已知函数229,1()4,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为(1)f ，则实数a 的值可以是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点为F ，准线为l.设l 与x 轴的交点为K ，P 为C 上异于O 的任意一点，P 在l 上的射影为E ，EPF ∠的外角平分线交x 轴于点Q ，过Q 作QN PE ⊥交EP 的延长线于N ，作QM PF ⊥交线段PF 于点M ，则（ ）A ．||||PE PF =B ．||||PF QF =C ．||||PN MF =D ．||||PN KF =三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数()1xe f x x =+的图象在点()()0,0f 处的切线方程是_______________. 14．定义运算a bad bc c d =-，若1cos 7α=，sin sin 33cos cos αβαβ=，02πβα<<<，则β=__________． 15．在代数式721x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，一次项的系数是_____．（用数字作答）16．已知1F ，2F 分别为双曲线221927x y C -=：的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则2AF =_______四、解答题：本小题共6小题，共70分。

2020届全国金太阳联考新高考押题仿真模拟（五）数学试卷（文科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题相应答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题相应答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持答题卡卡面清洁，无污渍，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意，请将正确答案填入答题卷中．）1.已知集合{}2|60A x x x =--≤，{|2}B x x =>，则集合A B I 等于（ ）A. (2,3)B. (2,3]C. (3,2)-D. [3,2)-【答案】B 【解析】 【分析】可以求出集合A ，然后进行交集的运算即可．【详解】解：{|23},{|2}A x x B x x =-=>Q 剟，(2,3]A B ∴=I .故选B.【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.若复数z 满足(12)5z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的共轭复数z =（ ） A. 12i -B. 12i +C. 12i -+D. 12i --【答案】B 【解析】 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】解：由(12)5z i +=，得55(12)1212(12)(12)i z i i i i -===-++-， 12z i ∴=+.故选B .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.设()f x 在(,)a b 内的导数有意义，则()0f x '<是()f x 在(,)a b 内单调递减的（ ） A .充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】因为()0f x '<能推出()f x 在(,)a b 内单调递减，而()f x 在(,)a b 内单调递减不能推出()0f x '<（例如()3f x x =-在(1,1)-递减，但(0)0f '=），所以()0f x '<是()f x 在(,)a b 内单调递减的充分而不必要条件，故选A4.已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,1),(,1)A B m -若//OA OB u u u r u u u r，则m =（ ）A. 2B. -2C.12D. 12-【答案】B 【解析】 【分析】可得出(2,1),(,1)OA OB m ==-u u u r u u u r ，根据//OA OB u u u r u u u r即可得出20m --=，解出m 即可．【详解】解：(2,1),(,1)OA OB m ==-u u u r u u u r Q ，且//OA OB u u u r u u u r，20m ∴--=，2m ∴=-.故选B.【点睛】本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．5.设变量x y ，满足约束条件20201x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪⎩………，则目标函数2z x y =+的最小值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 5【答案】B 【解析】 【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】解：由约束条件20201x y x y y +-⎧⎪--⎨⎪⎩………画出可行域如图，化目标函数为22xz y =-+，由图可知，当直线22x zy =-+过(2,0)C 时，直线在y 轴上的截距最小，z 有最小值为2. 故选B.【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． 6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若532a a =,则95S S =（ ） A.910B.1518 C.95D.185【答案】D 【解析】根据等差数列的前n 项和21(21)n n S n a -=-，将95S S 转化为5a 和3a 的算式即可得到所求． 【详解】解：依题意，数列{}n a 为等差数列，所以19951553992552a a S a a a S a +⨯⨯==+⨯⨯，又因为532a a =，所以955399182555S a S a ⨯==⨯=⨯， 故选D.【点睛】等差数列的性质，等差数列的前n 项和，考查分析解决问题的能力和运算能力，属于基础题． 7.设0.50.52,log 2,tan 5a b c π===，则（ ）A. b a c <<B. c b a <<C. b c a <<D. c a b <<【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数和正切函数的单调性，把已知数与0，1比较即可得出a ，b ，c 的大小关系． 【详解】解：0.500.50.5221,log 2log 10,0tantan154ππ>=<=<<=Q ，b c a ∴<<.故选C.【点睛】本题考查了指数函数、对数函数和正切函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题． 8.我们知道：在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式d =，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,3)到直线2220x y z +++=的距离为（ ） A. 3 B. 5C. 6D.5【答案】C【分析】类比平面内点到直线的距离公式，计算空间中点到直线2220x y z +++=的距离． 【详解】解：平面内点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式0022Ax By C d A B++=+，类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(2,4,3)到直线2220x y z +++=的距离为2221863122d ===++. 故选C.【点睛】本题考查了类比推理的问题，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．9.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为51-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A. (35)π-B. 51)πC. 51)πD. 52)π【答案】A 【解析】 【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角. 【详解】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比， 设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则512αβ=，又2αβπ+=，解得(35)απ=-【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易.扇形的面积公式：21122S r lr α==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l 是扇形的弧长. 10.函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，以下结论错误的是（ ） A. 图象C 关于直线56x π=对称 B. 图象C 关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C. 函数()f x 在区间,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内是增函数 D. 由2sin 2y x =图象向右平移6π个单位长度可以得到图象C 【答案】D 【解析】 【分析】由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，得到()g x 的解析式，再利用正弦函数的单调性以及它的图象的对称性，得出结论．【详解】解：对于函数()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，令56x π=，求得()2f x =-，为最小值，故图象C 关于直线56x π=对称，故A 正确； 令712x π=，求得()0f x =，故图象C 关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故B 正确； 在区间,63ππ⎛⎫-⎪⎝⎭内，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，函数()f x 单调递增，故C 正确；由2sin 2y x =图象向右平移6π个单位长度可以得到函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故D 错误， 故选D.【点睛】本题主要考查函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.已知直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,2ABC AB BC CC ︒∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（）A. 35B.35-C.45D.45-【答案】C【解析】【分析】以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，1BB为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1AB 与1BC所成角的余弦值．【详解】解：以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，1BB为z轴，建立空间直角坐标系，则11(1,0,0),(0,0,2),(0,0,0),(0,1,2)A B B C，11(1,0,2),(0,1,2)AB BC=-=，设异面直线1AB与1BC所成角为θ，则1111||4cos5||||55AB BCAB BCθ⋅===⋅⋅u u u r u u u u ru u u r u u u u r.∴异面直线1AB与1BC所成角的余弦值为45.故选C.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.已知实数a b ，满足24ln 0,a a b c R --=∈，则22()(2)a c b c -++的最小值为（ ）B.95D.15【答案】B 【解析】 【分析】利用转化思想，将x 代换a ，y 代换b ，则x ，y 满足：240x lnx y --=，即24(0)y x lnx x =->，再以x 代换c ，可得点(,2)x x -，满足20x y +=．因此求22()(2)a c b c -++的最小值，即为求曲线24y x lnx =-上的点到直线20x y +=的距离的最小值的平方．利用导数的几何意义，研究曲线24y x lnx =-和直线20x y +=平行的切线性质即可得出答案．【详解】解：x 代换a y ，代换b ，则x y ，满足：24ln 0x x y --=，即24ln (0)y x x x =->，以x 代换c ，可得点(,2)x x -，满足20x y +=.因此求22()(2)a c b c -++的最小值，即为求曲线24ln y x x =-上的点到直线20x y +=的距离的最小值的平方. 设直线20x y m ++=与曲线24ln ()y x x f x =-=相切于点()00,P x y ，4()2f x x x'=-，则()0004'22f x x x =-=-，解得01x =，∴切点为(1,1)P .∴点P 到直线20x y +=的距离d ==， ∴则22()()a c b c -++的最小值为295=.故选B.【点睛】本题考查了利用导数研究曲线的切线性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，问题转化是解题的关键，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入答题卷中）13.已知第一象限的点(,)a b 在直线210x y +-=上，则12a b+的最小值为________. 【答案】9 【解析】 【分析】由第一象限的点(,)a b 在直线210x y +-=上，可知21,0,0a b a b +=>>，121222(2)()59b a a b a b a b a b+=++=++…，即可得最小值． 【详解】解：因为第一象限的点(,)a b 在直线210x y +-=上，所以21,0,0a b a b +=>>，所以121222(2)59b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭…，当且仅当11,33a b ==时等号成立， 故答案为9.【点睛】本题主要考查基本不等式，属于基础题．14.设数列{}n a 中，12a =，11n n na a n +=+，则n a =_________． 【答案】2n【解析】 【分析】将等式11n n na a n +=+变形为()11n n n a na ++=，可得出数列{}n na 为常数列，由1n na a =可求出数列{}n a 的通项公式.【详解】由11n n na a n +=+，得()11n n n a na ++=，所以，数列{}n na 是常数列，且12n na a ==， 因此，2n a n=. 故答案为2n. 【点睛】本题考查利用构造法求数列通项，也可以利用累乘法求数列通项，考查计算能力，属于中等题. 15.在ABC △中，内角,,A B C 所对应的边长分别为,,a b c ，且3cos 5A =，cos cos 2b C cB +=，则ABC △的外接圆面积为________. 【答案】2516π 【解析】【分析】利用正弦定理化简边角混合式，根据两角和差公式结合cos A 求出外接圆半径R 的值，从而求解外接圆面积． 【详解】解：cos cos 2b C c B +=Q ，∴由正弦定理2sin sin b cR B C==（R 为ABC △外接圆的半径），可得： 2sin cos 2sin cos 2R B C R C B +=，即，2sin()2R B C +=，即，sin()1R A π-=，从而sin 1R A =.1sin A R ∴=， 3cos 5A =Q ，2234sin 1cos 155A A ⎛⎫∴=-=-= ⎪⎝⎭，145R ∴=， 从而54R =，所以ABC △外接圆面积为22525416R πππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭. 故答案为2516π. 【点睛】本题属于基础题目，遇到边角混合式到底是选择边化角还是角化边，是解题的关键．16.已知()f x 是R 上的偶函数，且3,01()11,13x x x f x x <⎧⎪=⎨⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎩……，若x 方程2()()0f x mf x -=有三个不相等的实数根，则m 的取值范围________. 【答案】4(0,1],33⎛⎫⎪⎝⎭U 【解析】 【分析】本题利用数形结合思想，画出图象后，结合图象求解． 【详解】解：2()()0f x mf x -=Q 有三个不相等的实数根，即(())()0f x m f x -=有三个不相等的实数根，()0f x =Q 有一个解，∴转化为()0f x m -=有两个根即()y f x =和y m =有两个交点.()f x Q 是R 上的偶函数，()f x ∴图象如下：4(1)(1)3f f =-=Q ， ∴由图可知m 的范围为4(0,1],33⎛⎫⎪⎝⎭U ，故答案为4(0,1],33⎛⎫⎪⎝⎭U .【点睛】本题考查了数形结合思想，以及偶函数的图象的性质，难度较低，属于基础题．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数21()3cos sin 2f x x x x =++. （1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的取值范围. 【答案】（1）5,,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式及变形，两角和的正弦公式化简解析式，由正弦函数的减区间求出()f x 的单调递减区间；（2）由x 的范围和正弦函数图象与性质，求出()f x 在[0,]2x π∈上的值域． 【详解】解：（1）函数21111()cos sin sin 2cos 2sin 21222226f x x x x x x x π⎛⎫=++=-++=-+ ⎪⎝⎭ 由3222,262k x k k Z πππππ+-+∈剟，得5,36k x k k Z ππππ++∈剟， ∴函数21()cos sin 2f x x x x =++的单调递减区间为5,36k k k Z ππππ⎡⎤++⋅∈⎢⎥⎣⎦， （2）由（1）知函数21()cos sin sin 2126f x x x x x π⎛⎫=++=-+ ⎪⎝⎭， 50,,2,2666x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈∴-∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦Q ，1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，1(),22f x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.故()f x 在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的取值范围为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查正弦的图象与性质，三角恒等变换中的公式，考查整体思想，化简、变形能力．属于中档题．18.已知数列{}n a 的前n 项和为1*,22,n n n S S n N +=-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列2211log log n n n b a a +=⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：1n T <.【答案】（1）*2,n n a n N =∈；（2）详见解析.【解析】 【分析】（1）作差法求通项公式，当1n =时，11a S =，当2n …时，1n n n a S S -=-，即可求出数列{}n a 的通项公式；（2）利用裂项相消法求和．【详解】解：（1）当1n =时，11422a s ==-=，当2n …时，()()1112222222n n n n n n n n a S S ++-=-=---=-=，又12a =满足上式，所以*2n n a n N =⋅∈；（2）证明：由（1）得2nn a =.2211111log log (1)1n n n b a a n n n n +∴===-⋅++1211111111122311n n T b b b n n n ∴=++⋯+=-+-+⋯+-=-<++所以1n T <.【点睛】本题考查作差法求数列的通项公式，注意1n =时的验证；及利用裂项相消法求和，属于中档题． 19.已知函数21()32xf x e x ax =--. （1）若函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为2y x b =+，求,a b 的值； （2）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的最大值.【答案】（1）13a b =⎧⎨=⎩；（2）1ln3+.【解析】 【分析】（1）先对函数()f x 求导，再根据在0x =处的切线斜率可得到参数a 的值，然后代入0x =，求出(0)f 的值，则b 即可得出；（2）根据函数()f x 在R 上是增函数，可得()0f x '…，即30x e x a --…恒成立，再进行参变分离3x a e x -…，构造函数()3xg x e x =-，对()g x 进行求导分析，找出最小值，即实数a 的最大值．【详解】解：（1）由题意，函数21()32xf x e x ax =--. 故()3xf x e x a '=--， 则(0)3f a '=-，由题意，知32a -=，即1a =. 又21()32xf x e x x =--Q ，则(0)3f =. 203b ∴⨯+=，即3b =. 13a b =⎧∴⎨=⎩. （2）由题意，可知()0f x ''…，即30x e x a --…恒成立，3x a e x ∴-…恒成立.设()3xg x e x =-，则()31xg x e '=-. 令()310x g x e '=-=，解得ln3x <-. 令()0g x '<，解得ln3x <-. 令()0g x '>，解得x ln3x >-.()g x ∴在(,ln 3)-∞-上单调递减，在(ln 3,)-+∞上单调递增，在ln3x =-处取得极小值.min ()(ln 3)1ln 3g x g ∴=-=+.1ln3a ∴+…，故a的最大值为1ln3+.【点睛】本题主要考查利用某点处的一阶导数分析得出参数的值，参变量分离方法的应用，不等式的计算能力．本题属中档题．20.如图，在底面为梯形的四棱锥S ABCD -中，已知AD BC ∥，90ASC ︒∠=，2,2DA DC DS SA SC =====.（1）求证：AC SD ⊥；（2）求三棱锥B SAD -的体积.【答案】（1）详见解析；（2【解析】 【分析】（1）取AC 的中点O ，连接OS ，OD ，得出OS AC ⊥，DO AC ⊥，可证明AC ⊥平面SOD ，和AC SD ⊥； （2）判断ASC ∆为等腰直角三角形，ACD ∆为等边三角形，SOD ∆为直角三角形， 证明SO ⊥平面ABCD ，利用等体积法计算B SAD V -三棱锥的值． 【详解】解：（1）设O 为AC 的中点，连接OS OD ，，如图所示；,SA SC OS AC =∴⊥Q ， ,DA DC DO AC =∴⊥Q ，又,OS OD ⊂平面SOD ，且OS OD O =I ，AC ∴⊥平面SOD ，又SD ⊂平面SOD ，AC SD ∴⊥.（2）Q 在ASC V 中，,90SA SC ASC ︒=∠=，O 为AC 的中点，ASC V 为等腰直角三角形，且2,1AC OS ==，Q 在ACD V 中，,DA DC DC O ==为AC 的中点，ACD V ∴为等边三角形，且OD =Q 在SOD V 中，222OS OD SD +=，SOD ∴V 为直角三角形，且90SOD ︒∠=， SO OD ∴⊥；又OS AC ⊥，且AC OD O ⋂=，AC ⊂平面ABCD ，OD ⊂平面ABCD ，SO ∴⊥平面ABCD .1=3BAD B SAD S BAD V V S SO --∴=⋅⋅V 三棱锥三棱锥Q 梯形高相等，11222BAD CAD S S AC OD ∴==⋅⋅=⨯=V V13313B SAD V -∴=⨯⨯=三棱锥.【点睛】本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了三棱锥体积计算问题，是中档题． 21.已知1()ln ,(,0)xf x x a R a ax-=+∈≠. （1）试讨论函数()y f x =的单调性；（2）若0(0,)x ∃∈+∞使得(0,)x ∀∈+∞都有()0()f x f x …恒成立，且()00f x …，求满足条件的实数a 的取值集合.【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）{}1. 【解析】 【分析】（1）求出()f x 的定义域，然后对()f x 求导，再分0a <和0a >两种情况求出单调区间即可；（2）根据条件可知，函数存在最小值0()f x 且0()0f x …，求出()f x 的最小值，求出使得()0min f x …时，a 的值即可．【详解】解：（1）由1()ln xf x x ax-=+，得21()(0)ax f x x ax -+'=>. ①当0a <时，()0f x '>在(0,)+∞上恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增；②当0a >时，由()0f x '>得1x a >，由()0f x '<，得10x a<<， ()f x ∴在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.综上：①当0a <时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，无递减区间；②当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）由题意函数存在最小值()0f x 且()00f x …， ①当0a <时，由（1）上单调递增且(1)0f =， 当x (0,1)x ∈时，()0f x <，不符合条件；②当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，min 111()1ln f x f a a a ⎛⎫∴==-+ ⎪⎝⎭，∴只需()0mn f x …即111ln 0a a-+…， 记()1ln (0)g x x x x =-+>则1()1g x x'=-+， 由()0g x '>得01x <<，由()0g x '<得1x >，()g x ∴在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，1()(1)0,1,1g x ga a∴=∴=∴=…，即满足条件a 的取值集合为{}1.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间和导数的综合应用，考查了分类讨论思想和函数思想，属难题．选考题：请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，其中α为参数，(0,)απ∈.在以坐标原点O 为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点P 的极坐标为2,4π⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 的极坐标方程为52sin 042πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.（1）求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；（2）若Q 是曲线C 上的动点，M 为线段PQ 的中点.求点M 到直线l 的距离的最大值.【答案】（1）直线的直角坐标方程为50x y --=，曲线C 的普通方程为221(0)3x y y +=>；（2）32. 【解析】 【分析】（1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=，可将直线l 的方程转化为直角坐标方程，由曲线C 的参数方程消去参数α，可得其普通方程；（2）设(3cos Q α，sin )(0)ααπ<<，由条件可得31(cos 1,sin 1)2M αα++，再由M 到直线的距离|sin()5|32d πα-+=求出最大值即可． 【详解】解：（1）Q 直线的极坐标方程为52sin 042πρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即sin cos 50ρθρθ-+=. 由cos ,sin x y ρθρθ==，可得直线的直角坐标方程为50x y --=，将曲线C 的参数方程3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去参数α，得曲线C 的普通方程为221(0)3x y y +=>；（2）设(3cos ,sin )(0)Q αααπ<<，点P 的极坐标22,4π⎛⎫⎪⎝⎭,化为直角坐标为(2,2)， 则311,sin 122M αα⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭， ∴点M 到直线l 的距离31cos sin 5sin 52233222d πααα⎛⎫---+ ⎪⎝⎭== 当sin 13πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即56πα=时等号成立. ∴点M 到直线的距离的最大值为32【点睛】本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，参数方程转化为普通方程和利用参数法求点到直线的距离，考查了转化思想和计算能力，属中档题． 23.设函数()||f x x =.（1）设(1)(2)4f x f x -++<的解集为A ，求集合A ；（2）已知m 为（1）中集合A 中的最大整数，且a b c m ++=（其中,,a b c 均为正实数），求证：1118a b ca b c---⋅⋅…. 【答案】（1）53|22A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）根据()||f x x =，可得21,1(1)(2)3,2121,2x x f x f x x x x +>⎧⎪-++=-⎨⎪--<-⎩剟，然后由(1)(2)4f x f x -++<，分别解不等式即可；（2）根据（1）可得1a b c m ++==，然后利用基本不等式可知1112228a b c bc ac aba b c ---⋅⋅⋅⋅=…，从而证明1118a b ca b c---⋅⋅…． 【详解】解：（1）()||f x x =，则21,1(1)(2)123,221,2x x f x f x x x x x x +>⎧⎪-++=-++=-≤⎨⎪--<-⎩…. 因为(1)(2)4f x f x -++<， 所以2141x x +<⎧⎨>⎩或21x -剟或2142x x --<⎧⎨<-⎩， 所以5322x -<<， 所以不等式的解集53|22A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭； （2）由（1）知1m =，则1a b c ++=， 又,,a b c 均为正实数，则120a b c bca a -+=>…同理0,0a c a bb c ++>>，所以1118a b c a b c a b c---⋅⋅⋅=…， 所以1118a b c a b c---⋅⋅…. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．21。

2020届高考文科数学模拟卷1、已知复数:2i z =+，则z z ⋅=( )C.3D.5 2、已知集合{}{}1,3,5,7,2,3,4,5A B ==，则 A B =I ()A.{}3B.{}5C.{}3,5D.{}1,2,3,4,5,73、若1sin =3α，则cos 2a =（ ） A.89B.79C.79-D.89-4、下列函数为奇函数的是（ ）A.()323f x x x =+B.()22x x f x -=+C.()sin f x x x =D.()3ln 3xf x x +=-5、生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为( ) A.23B.35C.25D.156、已知圆柱的上、下底面的中心分别为12,O O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A.B.12πC.D.10π7、已知双曲线221mx ny +=与抛物线28x y =有共同的焦点F ，且点F 到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（ ）A.2213y x -= B.2213x y -= C.2215y x -= D.2215x y -=8、已知数列{}n a ，对任意不相等的正整数m n ,均有2m na a m n-=-且2610a a +=，则数列{}n a 的前n 项和n S =（ ） A.2n n -B.2122n n -C.22n n -D.223n n -9、如图所示的程序框图是为了求出满足321000n n -＞的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入（ ）A.1000A >和1n n =+B.1000A >和2n n =+C.1000A ≤和1n n =+D.1000A ≤和2n n =+10、已知点(2)8,在幂函数()nf x x =的图像上，设0.512a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，()0.22b f =，21log 2c f ⎛⎫ ⎪⎝⎭=，则a b c ,,的大小关系为（）A.b a c >>B.a b c >>C.c b a >>D.b c a >>11、ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin sin 4sin a A b B c C -=，1cos 4A =-，则b c=( )A ．6B ．5C ．4D ．312、设12F F ，为椭圆22:13620x y C +=的两个焦点，M为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为 . 13、曲线2()32ln f x x x x =-+在1x =处的切线方程为________.14、设实数x y ,满足约束条件100240x y x y x y --≤⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =-的最大值为 。