第4讲 三角函数的图象与性质(假期精品辅导资料)

《三角函数的图象与性质》讲义一、引言三角函数是数学中的重要概念，其图象和性质在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

掌握三角函数的图象与性质，对于理解和解决相关问题具有关键意义。

二、三角函数的定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别定义为：正弦（sin）：对边与斜边的比值。

余弦（cos）：邻边与斜边的比值。

正切（tan）：对边与邻边的比值。

用角度θ表示，即：sinθ ＝对边／斜边cosθ ＝邻边／斜边tanθ ＝对边／邻边三、常见的三角函数1、正弦函数：y ＝ sin x定义域：R（全体实数）值域：－1, 1周期性：周期为2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sin x奇偶性：奇函数，即 sin(x) ＝ sin x图象特点：图象是一条波浪线，在 x ＝kπ ＋π/2 （k∈Z）处取得最大值 1，在 x ＝kπ π/2 （k∈Z）处取得最小值－1。

2、余弦函数：y ＝ cos x定义域：R值域：－1, 1周期性：周期为2π，即 cos(x ＋2π) ＝ cos x奇偶性：偶函数，即 cos(x) ＝ cos x图象特点：图象也是一条波浪线，在 x ＝kπ（k∈Z）处取得最大值 1，在 x ＝kπ ＋π（k∈Z）处取得最小值－1。

3、正切函数：y ＝ tan x定义域：｛x ｜x ≠ kπ ＋π/2，k∈Z}值域：R周期性：周期为π，即 tan(x ＋π) ＝ tan x奇偶性：奇函数，即 tan(x) ＝ tan x图象特点：图象是由一系列不连续的曲线组成，在每个周期内，在x ＝kπ ＋π/2 （k∈Z）处有垂直渐近线。

四、三角函数图象的变换1、平移变换对于正弦函数 y ＝ sin(x ＋φ)，当φ ＞ 0 时，图象向左平移φ个单位；当φ ＜ 0 时，图象向右平移|φ|个单位。

对于余弦函数 y ＝ cos(x ＋φ)，规律与正弦函数相同。

2、伸缩变换对于正弦函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)，A 决定了图象的振幅，ω决定了图象的周期。

第四讲三角函数图像和性质[玩前必备]1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质π2．用“五点法”作图，就是令ωx ＋φ取下列5个特殊值：0, π2, π, 3π2, 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象.3．三角函数图象变换4[常用结论]（1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期． （2）与三角函数的奇偶性相关的结论若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )．若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．[玩转典例]题型一 三角函数的5大性质例1 (安老师原创)已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求函数f (x )的最大值及最小值； (3)写出函数f (x )的单调递增区间． (4)写出函数f (x )的对称轴和对称中心.(5)函数f (x )向右平移t 个单位为偶函数，求t 的最小正值。

[玩转跟踪]1．（2020·山东高三下学期开学）函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为（ ） A ．4π B ．2πC ．2π D ．π2．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A ．56πϕ= B ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C ．()2fϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴3.（2019·呼和浩特开来中学）已知函数21()2cos 2f x x x =-+. (1)求2()3f π的值及f (x )的对称轴； (2)将()f x 的图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递增区间.题型二 三角函数模型中“ω”范围的求法探究例2 (2020·洛阳尖子生第二次联考)已知函数 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤－π4，2π3上单调递增，则ω的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，83 B.⎝⎛⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎦⎤12，83D.⎣⎡⎦⎤38，2例3 已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的一条对称轴x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω有( )A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1例4 已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________． [玩转跟踪]1．(2020·湖南师大附中3月月考)若函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－3π2，3π2上单调递增，则正数ω的最大值为( ) A.18 B ．16C.14D.132.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是单调函数，且f (－π)＝f (0)＝－f ⎝⎛⎭⎫π2，则ω的值为( ) A.23 B ．23或2C.13D ．1或133.设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)．若f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π4对任意的实数x 都成立，则 ω的最小值为________． 题型三 三角函数的图像和图像变换 例5 （2017山东）设函数，其中．已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值．[玩转跟踪]1．(2014·辽宁卷) 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) ()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-03ω<<()06f π=ω()y f x =4π()y g x =()g x 3[,]44ππ-A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增 C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减 D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增 2.【2017课标1，9】已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23.（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）将函数()213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ） A 12x π=对称 B ．图象关于y 轴对称 C ．最小正周期为π D ．图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 题型四 由图象求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例6 (1)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝ .(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为 ．[玩转跟踪]1．(四川，6)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2 的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6D ．4，π32.(2020·石家庄质检)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫π3，32对称，则m 的值可能为( )A.π6B.π2 C.7π6D.7π12题型五 三角函数大题例7 已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．[玩转跟踪]1．（2020届山东省泰安市肥城市一模）已知函数4()cos f x x =-42sin cos sin x x x -（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及取最小值时的x 的集合.2．(山东，18)设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值；(2)求f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值．[玩转练习]1．(2020·永州模拟)函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象大致是( )2．(2020·河南中原名校联盟联考)已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．在同一周期内，当x ＝π6时取最大值，当x ＝－π3时取最小值，则φ的值可能为( )A.π12 B.π3 C.13π6D.7π63．将曲线y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2向右平移π6个单位长度后得到曲线y ＝f (x )，若函数f (x )的图象关于y 轴对称，则φ＝( ) A.π3 B ．π6C ．－π3D ．－π64．(2020·郑州市第一次质量预测)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3，则下列结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 25.(多选)已知函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)与g (x )＝A2cos ωx 的部分图象如图所示，则( )A ．A ＝1B ．A ＝2C ．ω＝π3D ．ω＝3π6．(多选)函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，如下结论正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为πB ．对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋f ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝0 C ．f (x )在⎝⎛⎭⎫－π12，5π12上是减函数 D ．由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C7．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是____________．8．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是________． 9．(2020·安徽合肥一中等六校教育研究会联考)将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6的图象，则φ＝________. 10．(一题两空)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2一部分图象如图所示，则ω＝________，函数f (x )的单调递增区间为________．11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．12．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0<ω<3，且f ⎝⎛⎭⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值．。