高中数学：高中数学人教A版必修四课时跟踪训练24 平面向量应用举例

课时规范练24平面向量应用举例一、选择题1.已知三个力f1=(-2,-1),f2=(-3,2),f3=(4,-3)同时作用于某物体上一点,为使物体保持平衡,再加上一个力f4,则f4等于()A.(-1,-2)B.(1,-2)C.(-1,2)D.(1,2)答案:D2.已知m=(-5,3),n=(-1,2),当(λm+n)⊥(2n+m)时,实数λ的值为()A. B.- C.- D.答案:C解析:由已知得|m|=,|n|=,m·n=11.∵(λm+n)⊥(2n+m),∴(λm+n)·(2n+m)=λm2+(2λ+1)m·n+2n2=0,即34λ+(2λ+1)×11+2×5=0,解得λ=-.3.已知向量a=(cosθ,sinθ),向量b=(,-1),则|2a-b|的最大值和最小值分别是()A.4,0B.4,2C.16,0D.4,0答案:D解析:由于|2a-b|2=4|a|2+|b|2-4a·b=8-4(cosθ-sinθ)=8-8cos,易知0≤8-8cos≤16,故|2a-b|的最大值和最小值分别为4和0.4.已知平面上三点A,B,C满足||=6,||=8,||=10,则的值等于()A.100B.96C.-100D.-96答案:C解析:∵||=6,||=8,||=10,62+82=102,∴△ABC为直角三角形,即·=0.∴····()=·=-||2=-100.5.在△ABC中,有如下命题,其中正确的是()①;②=0;③若()·()=0,则△ABC为等腰三角形;④若>0,则△ABC为锐角三角形.A.①②B.①④C.②③D.②③④答案:C解析:①中应为;④中·>0可化为·<0,∴∠B为钝角,∴△ABC为钝角三角形;②,③显然正确.6.已知向量=(2,2),=(4,1),在x轴上存在一点P使有最小值,则P点的坐标是()A.(-3,0)B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)答案:C解析:设P点坐标为(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1).·=(x-2)(x-4)+(-2)×(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,·有最小值1.故点P坐标为(3,0),故选C.二、填空题7.已知e1,e2是夹角为的两个单位向量,a=e1-2e2,b=k e1+e2.若a·b=0,则实数k的值为.答案:解析:由题意知a·b=(e1-2e2)·(k e1+e2)=0,即k+e1·e2-2k e1·e2-2=0,即k+cos-2k cos-2=0,化简可求得k=. 8.在平行四边形ABCD中,已知AB=2,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点,则=.答案:-解析:··()=·()=·=1-×1×2cos60°-×4=-.9.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(3b-c)cos A=a cos C,S△ABC=,则=.答案:-1解析:依题意得(3sin B-sin C)cos A=sin A cos C,即3sin B cos A=sin A cos C+sin C cos A=sin(A+C)=sinB>0,于是有cos A=,sin A=.又因为S△ABC=·bc sin A=bc×,所以bc=3,·=bc cos(π-A)=-bc cos A=-3×=-1.10.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=.答案:解析:a+c=(3,3m),由(a+c)⊥b,可得(a+c)·b=0,即3(m+1)+3m=0,解得m=-,则a=(1,-1),故|a|=.11.已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为.答案:5解析:以D为原点,分别以DA,DC所在直线为x,y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设DC=a,DP=x.∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,x),=(2,-x),=(1,a-x),∴+3=(5,3a-4x),|+3|2=25+(3a-4x)2≥25,∴|+3|的最小值为5.三、解答题12.已知非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|=|a|,求a+b与a-b的夹角.解:将|a+b|=|a-b|两边同时平方得a·b=0;将|a-b|=|a|两边同时平方得:b2=a2.所以cos<a+b,a-b>=.所以<a+b,a-b>=60°.13.在△ABC中,A=120°.(1)若三边长构成公差为4的等差数列,求△ABC的面积.(2)已知AD是△ABC的中线,若=-2,求||的最小值.解:(1)因为A=120°,设三边长为a,a-4,a-8,由余弦定理得a2=(a-4)2+(a-8) 2-2(a-4)(a-8)cos120°,即a2-18a+56=0,所以a=14,a=4(舍),S△ABC=×A B×AC×sin A=×10×6×=15.(2)因为·=||||cos A=-2,所以||·||=4.因为),所以||2=(||2+||2+2·)=(||2+||2-4)≥(2||·||-4)=×(2×4-4)=1.所以||2≥1(当且仅当|AB|=|AC|=2时等号成立).所以||min=1.14.已知A,B,C的坐标分别为A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),α∈.(1)若||=||,求角α的值;(2)若=-1,求的值.解:(1)∵=(cosα-3,sinα),=(cosα,sinα-3),∴=(cosα-3)2+sin2α=10-6cosα,=cos2α+(sinα-3)2=10-6sinα.由||=||,可得,即10-6cosα=10-6sinα,得sinα=cosα.又∵α∈,∴α=.(2)由·=-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1,∴sinα+cosα=.①又=2sinαcosα.由①式两边分别平方,得1+2sinαcosα=,∴2sinαcosα=-,∴=-.15.已知△ABC的角A,B,C所对的边分别是a,b,c,设向量m=(a,b),n=(sin B,sin A),p=(b-2,a-2).(1)若m∥n,求证:△ABC为等腰三角形;(2)若m⊥p,边长c=2,角C=,求△ABC的面积.(1)证明:∵m∥n,∴a sin A=b sin B,即a·=b·,其中R是三角形ABC外接圆半径,a=b,∴△ABC为等腰三角形.(2)解:由题意可知m·p=0,即a(b-2)+b(a-2)=0,∴a+b=ab.由余弦定理可知,4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,即(ab)2-3ab-4=0,∴ab=4(舍去ab=-1),∴S=ab sin C=·4·sin.四、选做题1.设向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),其中0<α<β<π,若|2a+b|=|a-2b|,则β-α=()A. B.-C. D.-答案:A解析:由|2a+b|=|a-2b|得3|a|2-3|b|2+8a·b=0,而|a|=|b|=1,故a·b=0,∴cosαcosβ+sinαsinβ=0,即cos(α-β)=0,由于0<α<β<π,故-π<α-β<0,∴α-β=-,即β-α=.2.已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)满足|β|=1,且α与β-α的夹角为120°,则|α|的取值范围是. 答案:3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(cos(A-B),sin(A-B)),n=(cos B,-sin B),且m·n=-.(1)求sin A的值;(2)若a=4,b=5,求角B的大小及向量方向上的投影.解:(1)由m·n=-,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-,∴cos(A-B+B)=-,∴cos A=-.∵0<A<π,∴sin A=.(2)由正弦定理,有,∴sin B=.∵a>b,∴A>B,∴B=.由余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×,∴c=1或c=-7(舍去).故向量方向上的投影为||cos B=c cos B=1×.。

课时达标检测（二十四） 平面向量应用举例一、选择题1．若向量1OF ＝(1,1)，2OF ＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A.10B ．2 5 C. 5 D.15答案：C2．设a ，b ，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且a 与b 不共线，a ⊥c ，|a |＝|c |，则|b ·c |的值一定等于( )A ．以a ，b 为邻边的平行四边形的面积B ．以b ，c 为两边的三角形的面积C ．以a ，b 为两边的三角形的面积D ．以b ，c 为邻边的平行四边形的面积答案：A3．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20 N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．20 2 ND ．10 3 N 答案：B 4．已知△ABC 满足AB 2＝AB ·AC ＋BA ·BC ＋CA ·CB ，则△ABC 是( ) A ．等边三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形答案：C5．△ABC 中，D ，E ，F 分别为BC ，CA ，AB 的中点，则AD ＋BE ＋CF ＝( )A ．0B ．0C ．ABD ．AC 答案：B二、填空题6．平面上有三个点A (－2，y )，B ⎝⎛⎭⎫0，y 2，C (x ，y )，若AB ⊥BC ，则动点C 的轨迹方程为________．答案：y 2＝8x 7．已知A ，B 是圆心为C ，半径为5的圆上的两点，且|AB |＝5，则AC ·CB ＝________.答案：－528．用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具，已知灯具重量为10 N ，则每根绳子的拉力大小为________ N.答案：10三、解答题9．如图所示，若D 是△ABC 内的一点，且AB 2－AC 2＝DB 2－DC 2，求证：AD ⊥BC .证明：设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝e ，DB ＝c ，DC ＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ，所以a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2.由已知可得a 2－b 2＝c 2－d 2，所以c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，所以e ·(c －d )＝0.因为BC ＝BD ＋DC ＝d －c ，所以AD ·BC ＝e ·(d －c )＝0，所以AD ⊥BC ，即AD ⊥BC .10．如图，用两根分别长52米和10米的绳子，将100 N 的物体吊在水平屋顶AB 上，平衡后，G 点距屋顶距离恰好为5米，求A 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计)．解：如图，由已知条件可知AG 与铅直方向成45°角，BG 与铅直方向成60°角． 设A 处所受力为F a ，B 处所受力为F b ，物体的重力为G ，∠EGC ＝60°，∠EGD ＝45°，则有|F a |cos 45°＋|F b |cos 60°＝|G |＝100，①且|F a |sin 45°＝|F b |sin 60°.②由①②解得|F a |＝1502－506，∴A 处所受力的大小为(1502－506) N.11.如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，AB 的中点，G 为BE 与DF 的交点．若AB ＝a ，AD ＝b .(1)试以a ，b 为基底表示BE ，DF ；(2)求证：A ，G ，C 三点共线．解：(1)BE ＝AE －AB ＝12b －a ，DF ＝AF －AD ＝12a －b .(2)证明：D ，G ，F 三点共线，则DG ＝λDF ，AG ＝AD ＋λDF ＝12λa ＋(1－λ)b .B ，G ，E 三点共线，则BG ＝μBE ，AG ＝AB ＋μBE ＝(1－μ)a ＋12μb ，由平面向量基本定理知⎩⎨⎧ 12λ＝1－μ，1－λ＝12μ，解得λ＝μ＝23，∴AG ＝13(a ＋b )＝13AC ，所以A ，G ，C 三点共线．。

课后提升作业二十四平面向量应用举例(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们夹角为90°时,合力大小为20N,则当它们的夹角为120°时,合力大小为( )A.40NB.10NC.20ND.10N【解析】选B.|F1|=|F2|=|F|cos45°=10,当θ=120°,由平行四边形法则知:|F合|=|F1|=|F2|=10N.2.共点力F1=(lg2,lg2),F2=(lg5,lg2)作用在物体M上,产生位移s=(2lg5,1),则共点力对物体做的功W为( )A.lg2B.lg5C.1D.2【解析】选D.因为F1+F2=(1,2lg2),所以W=(F1+F2)·s=(1,2lg2)·(2lg5,1)=2lg5+2lg2=2.3.(2016·杭州高一检测)在△ABC中,若·+=0,则△ABC是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选C.因为·+=0,所以·(+)=0,所以·=0,所以⊥,所以∠BAC是直角,△ABC是直角三角形.【补偿训练】已知△ABC满足=·+·+·,则△ABC是( )A.等边三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形【解析】选C.·+·=·(-)=·(+)=,又=·+·+·,所以=+·,即·=0,从而⊥.4.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足++=,则点P与△ABC的关系为( )A.P在△ABC内部B.P在△ABC外部C.P在AB边所在直线上D.P是AC边的一个三等分点【解析】选D.因为++=,所以++=-,所以=-2=2,所以P是AC边的一个三等分点.5.(2016·合肥高一检测)已知,是非零向量且满足(-2)⊥,(-2)⊥,则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【解析】选D.因为(-2)⊥,所以(-2)·=0,所以-2·=0,所以=2·,因为(-2)⊥,所以(-2)·=0,所以-2·=0,所以=2·,所以=,所以||=||,因为=2·=2·cosA,所以2cosA=1,cosA=,∠A=60°,所以△ABC是等边三角形.6.在四边形ABCD中,=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为( )A. B.2 C.5 D.10【解析】选C.因为·=0,所以AC⊥BD.所以四边形ABCD的面积S=||||=××2=5.7.已知作用在点A的三个力f1=(3,4),f2=(2,-5),f3=(3,1)且A(1,1),则合力f=f1+f2+f3的终点坐标为( )A.(9,1)B.(1,9)C.(9,0)D.(0,9)【解析】选A.f=f1+f2+f3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),设合力f的终点为P(x,y),则=+f=(1,1)+(8,0)=(9,1).8.在△ABC中,·=7,|-|=6,则△ABC面积的最大值为( )A.24B.16C.12D.8【解析】选C.设A,B,C所对边分别为a,b,c,由·=7,|-|=6,得bccosA=7,a=6 ①,S△ABC=bcsinA=bc=bc=,由余弦定理可得b2+c2-2bccosA=36 ②,由①②消掉cosA得b2+c2=50,因为b2+c2≥2bc,所以bc≤25,当且仅当b=c=5时取等号,所以S△ABC=≤12,故△ABC的面积的最大值为12.二、填空题(每小题5分,共10分)9.已知A,B是圆心为C,半径为的圆上的两点,且|AB|=,则·= .【解析】由题意知,△ABC为等边三角形,则·=××cos120°=-.答案:-10.用两条成120°角的等长绳子悬挂一个灯具,已知灯具重量为10 N,则每根绳子的拉力大小为.【解析】设两根绳子的拉力分别为F1,F2,灯具的重力为F3,则|F1|=|F2|,|F3|=10,由题意知F1+F2+F3=0,则F3=-(F1+F2),由=+2F1·F2+得,|F1|2=100,从而|F1|=10.答案:10N三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2016·洛阳高一检测)平面直角坐标系xOy中,已知向量=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),且∥.(1)求x与y间的关系.(2)若⊥,求x与y的值及四边形ABCD的面积.【解析】(1)由题意得=++=(x+4,y-2),=(x,y),因为∥,所以(x+4)y-(y-2)x=0,即x+2y=0 ①(2)由题意得=+=(x+6,y+1),=+=(x-2,y-3),因为⊥,所以·=0,即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0,即x2+y2+4x-2y-15=0 ②由①②得或当时,=(8,0),=(0,-4),则S四边形ABCD=||||=16,当时,=(0,4),=(-8,0),则S四边形ABCD=||||=16,所以或四边形ABCD的面积为16.12.如图,在直角三角形ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以A 为中点,问与的夹角θ取何值时,·的值最大,并求出这个最大值.【解题指南】以A为坐标原点建立平面直角坐标系,设出点B,C的坐标,根据数量积公式的坐标表示,写出·关于与的夹角θ的函数关系式,利用函数的知识求解.【解析】以直角顶点为坐标原点,两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系,设AB=c,AC=b,则A(0,0),B(c,0),C(0,b),且PQ=2a,BC=a,设点P(x,y),则Q(-x,-y),所以=(x-c,y),=(-x,-y-b),=(-c,b),=(-2x,-2y),所以·=(x-c)(-x)+y(-y-b)=-(x2+y2)+cx-by.所以cosθ==,所以cx-by=a2cosθ,所以·= -a2+ a2cosθ,故当cosθ=1,即θ=0时,·最大,其最大值为0.【能力挑战题】如图,用两条同样长的绳子拉一物体,物体受到重力为G.两绳受到的拉力分别为F1,F2,夹角为θ.(1)求其中一根绳子受的拉力|F1|与|G|的关系式,用数学观点分析F1的大小与夹角θ的关系.(2)求F1的最小值.(3)如果每根绳子的最大承受拉力为|G|,求θ的取值范围.【解析】(1)由力的平衡得F1+F2+G=0,设F1,F2的合力为F,则F=-G.由F1+F2=F且|F1|=|F2|,|F|=|G|,解直角三角形得cos=,所以|F1|=,0°≤θ≤180°,由于函数y=cos在0°≤θ≤180°时为减函数,所以θ逐渐增大时,cos逐渐减小,即逐渐增大.所以θ增大时,|F1|也增大.(2)由上述可知,当θ=0°时,|F1|有最小值为.(3)由题意,≤|F1|≤|G|,所以≤≤1,即≤cos≤1.由于y=cosθ在0°≤θ≤180°时为减函数,所以0°≤≤60°,所以0°≤θ≤120°.关闭Word文档返回原板块。

2.5.2 向量在物理中的应用举例课时目标 经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他的一些实际问题的过程，体会向量是一种处理物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．1．力向量力向量与前面学过的自由向量有区别．(1)相同点：力和向量都既要考虑________又要考虑________．(2)不同点：向量与________无关，力和________有关，大小和方向相同的两个力，如果________不同，那么它们是不相等的． 2．向量方法在物理中的应用(1)力、速度、加速度、位移都是________．(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________运算，运动的叠加亦用到向量的合成．(3)动量m ν是______________．(4)功即是力F 与所产生位移s 的________．一、选择题1．用力F 推动一物体水平运动s m ，设F 与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为( ) A ．|F |·s B ．F cos θ·s C ．F sin θ·s D ．|F |cos θ·s2．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为90°时，合力大小为20N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．10 2 NC ．202ND ．10 3 N3．共点力F 1＝(lg2，lg2)，F 2＝(lg5，lg2)作用在物体M 上，产生位移s ＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W 为( ) A ．lg2B ．lg5C ．1D ．24．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F 1，F 2成90°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( ) A ．6B ．2C ．25D ．275．质点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P 的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)6．已知作用在点A 的三个力f 1＝(3,4)，f 2＝(2，－5)，f 3＝(3,1)且A (1,1)，则合力f ＝f 1＋f 2＋f 3的终点坐标为( )A ．(9,1)B ．(1,9)C ．(9,0)D ．(0,9) 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题7．若OF 1→＝(2,2)，OF 2→＝(－2,3)分别表示F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为________． 8．一个重20N 的物体从倾斜角30°，斜面长1m 的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．9．在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________．10.如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．三、解答题11.如图所示，两根绳子把重1kg的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g＝10N/kg)．12．已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)，作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．(1)求F1，F2分别对质点所做的功；(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．能力提升13.如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.(1)求|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．14．已知e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，今有动点P 从P 0(－1,2)开始，沿着与向量e 1＋e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为e 1＋e 2；另一动点Q 从Q 0(－2，－1)开始，沿着与向量3e 1＋2e 2相同的方向做匀速直线运动，速度为3e 1＋2e 2，设P 、Q 在t ＝0s 时分别在P 0、Q 0处，问当PQ →⊥P 0Q 0→时所需的时间t 为多少？用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．2．5.2 向量在物理中的应用举例答案知识梳理1．(1)大小 方向 (2)始点 作用点 作用点 2．(1)向量 (2)加、减 (3)数乘向量 (4)数量积 作业设计 1．D2．B [|F 1|＝|F 2|＝|F |cos45°＝102， 当θ＝120°，由平行四边形法则知： |F 合|＝|F 1|＝|F 2|＝102N ．] 3．D [F 1＋F 2＝(1,2lg2)． ∴W ＝(F 1＋F 2)·s ＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2.]4．C [因为力F 是一个向量，由向量加法的平行四边形法则知F 3的大小等于以F 1、F 2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F 3|2＝|F 1＋F 2|2＝|F 1|2＋|F 2|2＝4＋16＝20，∴|F 3|＝2 5.] 5．C [设(－10,10)为A ，设5秒后P 点的坐标为A 1(x ，y )， 则AA 1→＝(x ＋10，y －10)，由题意有AA 1→＝5ν.即(x ＋10，y －10)＝(20，－15)⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋10＝20y －10＝－15⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10y ＝－5.]6．A [f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)， 设合力f 的终点为P (x ，y )，则 OP →＝OA →＋f ＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)．] 7．5 [∵F 1＋F 2＝(0,5)， ∴|F 1＋F 2|＝02＋52＝5.] 8．10J解析 W G ＝G·s ＝|G|·|s |·cos60°＝20×1×12＝10J.9．45km/h解析 如图用v 0表示水流速度，v 1表示与水流垂直的方向的速度． 则v 0＋v 1表示船实际航行速度， ∵|v 0|＝4，|v 1|＝8，∴解直角三角形|v 0＋v 1|＝42＋82＝4 5. 10．①③解析 设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，F 与水平方向夹角为θ(0<θ<π2)．则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝|f |cos θ. ∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大． ∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小． 11．解设A 、B 所受的力分别为f 1、f 2，10N 的重力用f 表示，则f 1＋f 2＝f ，以重力的作用点C 为f 1、f 2、f 的始点，作右图，使CE →＝f 1，CF →＝f 2，CG →＝f ，则∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°.∴|CE →|＝|CG →|·cos30°＝10×32＝5 3.|CF →|＝|CG →|·cos60°＝10×12＝5.∴在A 处受力为53N ，在B 处受力为5N.12．解 (1)AB →＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)． ∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99J 和－3J.(2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J)．∴合力F 对质点所做的功为－102J. 13．解(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G ＝F 1＋F 2，|F 1|＝|G |cos θ，|F 2|＝|G |tan θ， 当θ从0°趋向于90°时，|F 1|，|F 2|都逐渐增大．(2)由|F 1|＝|G |cos θ，|F 1|≤2|G |，得cos θ≥12.又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°. 14．解 e 1＋e 2＝(1,1)，|e 1＋e 2|＝2，其单位向量为(22，22)；3e 1＋2e 2＝(3,2)，|3e 1＋2e 2|＝13，其单位向量为(313，213)，如图．依题意，|P 0P →|＝2t ，|Q 0Q →|＝13t ，∴P 0P →＝|P 0P →|(22，22)＝(t ，t )，Q 0Q →＝|Q 0Q →|(313，213)＝(3t,2t )，由P 0(－1,2)，Q 0(－2，－1)，得P (t －1，t ＋2)，Q (3t －2,2t －1)， ∴P 0Q 0→＝(－1，－3)，PQ →＝(2t －1，t －3)，由于PQ →⊥P 0Q 0→，∴P 0Q 0→·PQ →＝0，即2t －1＋3t －9＝0，解得t ＝2.∴当PQ →⊥P 0Q 0→时所需的时间为2s.。

课后训练1．若向量1OF ＝(3,3)，2OF ＝(－3,2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|＝( )A ．5B ．25C ．22D ．52．两个大小相等的共点力F 1，F 2，当它们夹角为0°时，合力大小为202N ，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )A ．40 NB ．102NC ．202ND ．103N3．已知作用在点A (1,1)的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标是( )A ．(8,0)B ．(9,1)C ．(－1,9)D ．(3,1)4．已知非零向量a ，b 满足a ⊥b ，则函数f (x )＝(a x ＋b )2是( )A ．既是奇函数又是偶函数B ．非奇非偶函数C ．奇函数D ．偶函数5．设O 为△ABC 内部的一点，且OA ＋2OB ＋3OC ＝0，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为( )A ．32B ．53C ．2D ．3 6．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足(BO ＋OC )·(OC －OA )＝0，则△ABC 一定是________三角形．7．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA ·OB ＝__________．8．飞机以300 km/h 的速度向上飞行，方向与水平面成30°角，则飞机在水平方向的分速度是__________km/h ．9．如图所示，已知四边形ABCD 是菱形，AC 和BD 是它的两条对角线．求证：AC ⊥BD ．F．求证：AF＝AE．参考答案1答案：D解析：|F1＋F2|＝|(3,3)＋(－3,2)|＝|(0,5)|＝5．2答案：B3答案：B解析：由已知可得F＝(8,0)，设终点坐标为(x，y)，则(x－1，y－1)＝(8,0)，∴18,10,xy-=⎧⎨-=⎩∴9,1.xy=⎧⎨=⎩∴终点坐标为(9,1)．4答案：D解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，∴f(x)＝(a x＋b)2＝|a|2x2＋|b|2，∴f(x)为偶函数．5答案：C解析：设AC的中点为D，BC的中点为E，则(OA＋OC)＋(2OB＋2OC)＝2OD＋4OE＝0，∴OD＝－2OE，即O，D，E三点共线．∴S△OCD＝2S△OCE，∴S△AOC＝2S△BOC．6答案：直角解析：由已知得BC·AC＝0，即BC⊥AC，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形．7答案：12-解析：如图，∵AB=3，取D为AB的中点，又OA=1，∴∠AOD=π3．∴∠AOB=2π3．∴OA·OB=1×1×2πcos3=12-．8答案：1503解析：由速度的分解可知水平方向的分速度为300×cos 30°＝1503km/h．9答案：证明：方法一：因为AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，所以AC·BD＝(AB＋AD)·(AD－AB)＝|AD|2－|AB|2＝0，所以AC⊥BD，即AC⊥BD．方法二：如图，以B为原点，以BC所在直线为x轴，建立直角坐标系．设B(0,0)，A(a，b)，C(c,0)，则由|AB|＝|BC|，得a2＋b2＝c2．因为AC＝BC－BA＝(c,0)－(a，b)＝(c－a，－b)，BD＝BA＋BC＝(a，b)＋(c,0)＝(c＋a，b)，所以AC·BD＝c2－a2－b2＝0，所以AC⊥BD，即AC⊥BD．20答案：证明：如图所示．建立直角坐标系，设正方形边长为1，则A (－1,1)，B (0,1)，设E (x ，y )，则BE ＝(x ，y －1)，AC ＝(1，－1)．又AC ∥BE ，∴x ·(－1)－1×(y －1)＝0，∴x ＋y －1＝0．又|CE |＝|AC |，∴x 2＋y 2－2＝0． 由2220,10,x y x y ⎧+--⎨+-=⎩ 得13,2132x y ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩或13,2132x y ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩(舍去)．即E 1313,22⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭．又设F (x ′，1)，由CF ＝(x ′，1)和CE ＝1313,22⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭共线得1313'022x -+-=，解得x ′＝23--，∴F (23--，1)，∴AF ＝(13--，0)，AE ＝3313,22⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭，∴|AE |＝22331322⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1+3＝|AF |，∴AF ＝AE ．。

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课时提升作业(二十四)平面向量应用举例(25分钟60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2015·绵阳高一检测)速度|v1|=10m/s，|v2|=12m/s，且v1与v2的夹角为60°，则合速度的大小是( )A.2m/sB.10m/sC.12m/sD.2m/s【解析】选D.|v|2=|v1+v2|2=|v1|2+2v1·v2+|v2|2=100+2×10×12cos60°+144=364.所以|v|=2m/s.2.已知点A(-2，0)，B(0，0)，动点P(x，y)满足·=x2，则点P的轨迹方程是( )A.x2+y2=1B.x2-y2=1C.y2=2xD.y2=-2x【解析】选D.=(-2-x，-y)，=(-x，-y)则·=(-2-x)(-x)+y2=x2，所以y2=-2x.3.(2015·孝感高一检测)点O是△ABC所在平面内的一点，满足·=·=·，则点O是△ABC的( )A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高线的交点【解析】选D.由·=·，得·-·=0，所以·(-)=0，即·=0.所以⊥.同理可证⊥，⊥.所以OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点O是△ABC的三条高线的交点.4.(2015·抚顺高一检测)一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )A.6B.2C.2D.2【解析】选D.因为力F是一个向量，由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1，F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|·cos60°=4+16+8=28，所以|F3|=2.5.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且++=0，则△ABC的内角A等于( ) A.30°B.60° C.90°D.120°【解题指南】先将++=0变形为+=，判断点O，A，B，C的位置关系，然后由点O为△ABC外接圆的圆心判断四边形OACB的形状.【解析】选A.由++=0得+=，所以四边形OACB为平行四边形，如图.由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，所以∠CAO=60°，所以△ABC的内角A等于30°.二、填空题(每小题5分，共15分)6.若菱形ABCD的边长为2，则|-+|=________.【解析】|-+|=|++|=|+|=||=2.答案：27.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力大小是________.【解析】因为绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力都是10N.答案：10N8.(2015·大庆高一检测)向量，在正方形网格中的位置如图所示.设向量a=-λ，若a⊥，则实数λ=________.【解析】以A为原点，AB为x轴建立直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(3，2)，a=-λ=(3，2)-λ(2，0)=(3-2λ，2)，=(2，0)，因为a⊥，所以a·=2(3-2λ)+0=0，λ=.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9.已知△ABC是直角三角形，CA=CB，D是CB的中点，E是AB上的一点，且AE=2EB.求证：AD⊥CE.【证明】以C为原点，CA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.设AC=a，则A(a，0)，B(0，a)，D，C(0，0)，E.因为=，=.所以·=-a·a+·a=0，所以⊥，即AD⊥CE.10.如图所示，已知在▱ABCD中，AB=3，AD=1，∠DAB=，求对角线AC和BD的长.【解析】设=a，=b，a与b的夹角为θ，则|a|=3，|b|=1，θ=.所以a·b=|a||b|cosθ=.又因为=a+b，=a-b，所以||==||==所以AC的长为，DB的长为.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1.若M为△ABC所在平面内一点，且满足(-)·(+-2)=0，则△ABC 为( )A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.由(-)·(+-2)=0，可知·(+)=0，设BC的中点为D，则+=2，故·=0，所以⊥.又D为BC中点，故△ABC为等腰三角形.【补偿训练】△ABC的三个内角满足2B=A+C，且(+)·=0，则△ABC一定是( )A.等腰直角三角形B.非等腰直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形【解析】选C.由(+)·=0可知△ABC中BC边的中线又是BC边的高，故△ABC为等腰三角形，又2B=A+C，故B=，则△ABC为等边三角形.2.一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°方向移动了8m，已知|F1|=2N，方向为北偏东30°，|F2| =4N，方向为北偏东60°，|F3| =6N，方向为北偏西30°，则这三个力的合力所做的功为( )A.24 JB.24JC.24JD.24J【解题指南】解答本题的关键是根据任意角三角函数的定义求出三个力对应向量的坐标.【解析】选D.如图，建立直角坐标系，则F1=(1，)，F2=(2，2)，F3=(-3，3)，则F= F1+ F2+ F3=(2-2，2+4).又位移s=(4，4)，故合力F所做的功为W=F·s=(2-2)×4+(2+4)×4=4×6=24(J).二、填空题(每小题5分，共10分)3.在三角形ABC中，AP为BC边上的中线，||=3，·=-2，则||=__________.【解题指南】解答本题要注意+=2，+=，=||2的应用.【解析】因为AP为BC边上的中线，所以+=2，=+，所以=(+)2=+2·+=9+(2+)·=9+(++)·=9+(+)·=9+2·=9+2×(-2)=5，所以=||2=5，所以||=.答案：4.(2015·聊城高一检测)若平面向量，满足||=1，||≤1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角θ的取值范围是________.【解析】以，为邻边的平行四边形的面积为：S=||||sinθ=||sinθ=，所以sinθ=，又因为||≤1，所以≥，即sinθ≥且θ∈[0，π]，所以θ∈.答案：【补偿训练】已知△ABD是等边三角形，且+=，||=，那么四边形ABCD的面积为( )A. B. C.3 D.【解析】选B.如图所示，=-=-，所以=，即3=+-·，因为||=||，所以||2-||||cos60°=3，所以||=2.又=-=，所以||=||=1，所以||2+||2=||2，所以BC⊥CD.所以S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×22×sin60°+×1×=.三、解答题(每小题10分，共20分)5.已知点P(-3，0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线AQ上，满足·=0，=-，当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹方程.【解析】设点M(x，y)为轨迹上的任意一点，设A(0，b)，Q(a，0)(a>0)，则=(x，y-b)，=(a-x，-y)，因为=-，所以(x，y-b)=-(a-x，-y)，所以a=(x>0)，b=-，则A，Q=，=，因为·=0，所以3x-y2=0，所以所求轨迹方程为y2=4x(x>0).【延伸探究】若本题其他条件不变，把=-改成=呢？【解析】设点M(x，y)为轨迹上的任意一点，设A(0，b)，Q(a，0)(a>0)，由=知M为线段AQ的中点，所以x=(a>0)，y=，所以A(0，2y)，Q(2x，0)，所以=(3，2y)，=(x，-y).因为·=0，所以3x-2y2=0所以所求的轨迹方程为y2=x(x>0).6.今有一小船位于宽d=60m的河边P处，从这里起，在下游l=80m处河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指向下游(与河岸平行)，水速大小为5m/s，如图，为了使小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小时，划速方向如何？【解析】如图，由题设可知，船的实际速度v=v水+v划，其方向为PO所在的方向.则最小划速|v划|=|v水|·sinθ，sinθ===，所以θ=37°.所以最小划速应为v划=5×sinθ=5×=3(m/s).当划速最小时，划速的方向与水流方向的夹角为127°.关闭Word文档返回原板块。

2016-2017学年高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例课时训练新人教A版必修4编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章平面向量2.5平面向量应用举例课时训练新人教A版必修4）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2.5 平面向量应用举例2。

5.1 平面几何中的向量方法 2.5.2 向量在物理中的应用举例一、向量在平面几何中的应用1．利用向量研究平面几何问题的思想向量集数与形于一身,既有代数的抽象性又有几何的直观性,因此,用向量解决平面几何问题，就是将几何的证明问题转化为 的运算问题，将“证”转化为“算”,思路清晰，便于操作。

2．向量在平面几何中常见的应用已知1122(,),(,)x y x y ==a b 。

（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题,常用向量共线的条件：λ⇔=⇔∥a b a b 0(0)=≠b（2)证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向量垂直的条件:0⊥⇔⋅=⇔a b a b 0=（其中,a b 为非零向量）（3）求夹角问题,若向量a 与b 的夹角为θ，利用夹角公式：cos θ= = （其中,a b 为非零向量）（4）求线段的长度或说明线段相等,可以用向量的模：||=a ，或||||AB AB == (其中,A B 两点的坐标分别为3344(,),(,)x y x y )（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题。

§平面向量应用举例．平面几何中的向量方法课时目标经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．．向量方法在几何中的应用()证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：∥(≠)⇔⇔.()证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：非零向量，，⊥⇔⇔.()求夹角问题，往往利用向量的夹角公式θ＝＝.()求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：＝．直线的方向向量和法向量()直线＝＋的方向向量为，法向量为．()直线＋＋＝的方向向量为，法向量为．一、选择题．在△中，已知()、()、(－)，则边的中线的长是()．．．点是三角形所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点是△的()．三个内角的角平分线的交点．三条边的垂直平分线的交点．三条中线的交点．三条高的交点．已知直线：＋－＝，：＋－＝，则直线与的夹角是()．°．°．°．°．若是△所在平面内一点，且满足－＝＋－，则△的形状是()．等腰三角形．直角三角形．等腰直角三角形．等边三角形．已知点(，)，()，(，)，设∠的平分线与相交于，那么有＝λ，其中λ等于() ．．－．－．已知非零向量与满足·＝且·＝，则△的形状是()．三边均不相等的三角形．直角三角形．等腰(非等边)三角形．等边三角形题号答案二、填空题．如图，在△中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若＝，＝，则＋的值为．．已知平面上三点、、满足＝，＝，＝.则·＋·＋·＝.．设平面上有四个互异的点、、、，已知(＋－)·(－)＝，则△的形状一定是．．在直角坐标系中，已知点()和点(－)，若点在∠的平分线上且＝，则＝.三、解答题．在△中，()，()，(－)，求∠的平分线的方程．。

2.5 平面向量应用举例问题导学一、向量在平面几何中的应用活动与探究1如图所示，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2=DB2－DC2．求证：AD⊥BC．迁移与应用如图，已知直角梯形ABCD，AD⊥AB，AB=2AD=2CD，过点C作CE⊥AB于E，M为CE的中点，用向量的方法证明：(1)DE∥BC；(2)D，M，B三点共线．(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．(2)要掌握向量的常用知识：①共线；②垂直；③模；④夹角；⑤向量相等则对应坐标相等．二、向量在物理中的应用活动与探究2在风速为75(6－2)km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．迁移与应用如图，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1．求：(1)|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，角θ的取值范围．向量在物理学中的应用一般涉及力或速度的合成与分解，充分借助向量平行四边形法则把物理问题抽象转化为数学问题．同时该类题目往往涉及三角形问题，能够正确作图是解决问题的关键．当堂检测1．若向量1OF ＝(2,2)，2OF ＝(－2,3)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A ．(0,5) B ．(4，－1) C ．2 2 D ．52．在四边形ABCD 中，若AB ＋CD ＝0，AC ·BD ＝0，则四边形为( ) A ．平行四边形 B ．矩形 C ．等腰梯形 D ．菱形3．坐标平面内一只小蚂蚁以速度ν＝(1,2)从点A (4,6)处移动到点B (7,12)处，其所用时间长短为( )A ．2B ．3C ．4D ．84．在△ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，则BA ·BC ＝__________． 5．已知力F ＝(2,3)作用于一物体，使物体从A (2,0)移动到B (－2,3)，则力F 对物体所做的功为________．答案：课前预习导学 【预习导引】 1．向量 2．加3．向量 向量问题 数量积预习交流 提示：所选择基向量的长度和夹角应该是已知的． 课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 思路分析：解答本题可先表示出图中线段对应的向量，找出所给等式所蕴含的等量关系，再利用它计算所需向量的数量积．证明：设AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝e ，DB ＝c ，DC ＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d ． ∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2． 由已知a 2－b 2＝c 2－d 2，∴c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，即e ·(c －d )＝0． ∵BC ＝BD ＋DC ＝d －c ，∴AD·BC＝e·(d－c)＝0．∴AD⊥BC，即AD⊥BC．迁移与应用证明：以E为原点，AB所在直线为x轴，EC所在直线为y轴建立直角坐标系．令|AD|=1，则|DC|=1，|AB|=2．∵CE⊥AB，而AD=DC，∴四边形AECD为正方形．∴可求得各点坐标分别为：E(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，D(－1,1)，A(－1,0)．(1)∵ED=(－1,1)－(0,0)=(－1,1)，BC=(0,1)－(1,0)=(－1,1)，∴ED=BC，∴ED∥BC，即DE∥BC．(2)连接MB，MD，∵M为EC的中点，∴M1 0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴MD=(－1,1)－10,2⎛⎫⎪⎝⎭=11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，MB=(1,0)－10,2⎛⎫⎪⎝⎭=11,2⎛⎫-⎪⎝⎭．∴MD=－MB，∴MD∥MB．又MD与MB有公共点M，∴D，M，B三点共线．活动与探究2思路分析：解本题首先根据题意作图，再把物理问题转化为向量的有关运算求解．解：设ω=风速，v a=有风时飞机的航行速度，νb=无风时飞机的航行速度，νb=νa－ω．如图所示．设|AB |=|νa |，|CB |=|ω|，|AC |=|νb |， 作AD ∥BC ，CD ⊥AD 于D ，BE ⊥AD 于E ， 则∠BAD =45°．设|AB |=150，则|CB |=2)-．∴|CD |=|BE |=|EA |=|DA |=从而|AC |=CAD =30°．∴|νb |=km/h ，方向为北偏西60°．迁移与应用 解：(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则得G =F 1+F 2，|F 1|=cos θG，|F 2|=|G |tan θ，当θ从0°趋向于90°时，|F 1|，|F 2|都逐渐增大．(2)令|F 1|=cos θG ，由|F 1|≤2|G |得 cos θ≥12． 又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°．【当堂检测】1．D 解析：|F 1＋F 2|＝|1OF ＋2OF | ＝|(2,2)＋(－2,3)|＝|(0,5)|＝5．2．D 解析：∵AB ∥CD ，|AB |＝|CD |，且AC ⊥BD ， 故四边形为菱形． 3．B 解析：|ν|＝12＋22＝5，又|AB |＝(7－4)2＋(12－6)2＝45，∴时间t ＝455＝3． 4．16 解析：由∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，知△ABC 是等腰直角三角形， ∴BA ＝42，∠ABC ＝45°，∴BA ·BC ＝42×4×cos 45°＝16．5．1 解析：W ＝F·s ＝F ·AB ＝(2,3)·(－4,3)＝。

姓名，年级：时间：温馨提示:此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。

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课时分层作业二十四平面向量应用举例(30分钟60分）一、选择题(每小题5分,共30分)1.若向量=(1，1），=(—3，-2）分别表示两个力F1,F2,则|F1+F2|为( )A。

（5,0） B.(-5,0）C。

D。

—【解析】选C。

因为=(1，1)，=(-3,-2),所以|F1+F2|==.2。

人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度为( ) A.v1-v2 B.v1+v2C.|v1|-|v2|D.【解析】选B。

由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为v1+v2。

注意速度是有方向和大小的,是一个向量。

3.(2019·芜湖高一检测)设点O在△ABC的内部，且有=(+），则△ABC的面积与△BOC的面积之比为( )A。

3 B. C. 2 D。

【解析】选A。

如图,取BC的中点D,则+=2,所以=（+)=3，过O作OE∥BC交AB于点E，AB∥OD,所以四边形BDOE为平行四边形,所以=,所以==3。

4。

设△ABC的外心为O,AC=4，AB=3，则·=( ）A.—B.C.7D.—7【解析】选B。

过O作OD⊥AC,OE⊥AB，D，E为垂足,则·=｜｜·|｜·cos∠BAO=||·（｜｜·cos∠BAO)=｜|·==,同理·===8,所以·=·(-）=·-·=8—=.5。

点O是△ABC所在平面内的一点,满足·=·=·，则点O是△ABC的（）A。

三个内角的角平分线的交点B。

三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高线的交点【解析】选D.由·=·,得·-·=0，所以·（-）=0，即·=0.所以⊥。