专题01集合与常用逻辑用语(易错训练)Word版含解析 2018年高考数学(理)备考易错点

2．已知集合A ＝{－1，12}，B ＝{x |mx －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则所有实数m 组成的集合是________．3．已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是________．4．(2017·烟台质检)已知命题p ：∃x ∈R ，mx 2＋2≤0；q ：∀x ∈R ，x 2－2mx ＋1＞0.若p ∨q 为假命题，则实数m 的取值范围是________．5．下列四个结论：①命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”；②若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题；③若命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋3＜0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋3≥0；④设a ，b 为两个非零向量，则“a ·b ＝|a |·|b |”是“a 与b 共线”的充要条件．其中正确结论的序号是________．6．满足条件{1,2}M ⊆{1,2,3,4,5}的集合M 的个数是________．7．设命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1＞0，则綈p 为____________________．8．下列命题中，真命题的序号是________．①存在x ∈0，π2]，使sin x ＋cos x ＞2； ②存在x ∈(3，＋∞)，使2x ＋1≥x 2；③存在x ∈R ，使x 2＝x －1；④对任意x ∈(0，π2]，均有sin x ＜x .9．(2016·江西赣州十二县(市)期中联考)设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，若M ∩N ＝N ，则a ＝________.10．已知命题p：函数f(x)＝2ax2－x－1(a≠0)在(0,1)内恰有一个零点；命题q：函数y＝x2－a在(0，＋∞)上是减函数．若p且綈q为真命题，则实数a的取值范围为________．11．已知全集为U＝R，集合M＝{x|x＋a≥0}，N＝{x|log2(x－1)＜1}，若M∩(∁U N)＝{x|x＝1或x≥3}，则a的值是________．12．(2016·上饶三模)命题p：∃x∈－π6，π4]，2sin(2x＋π6)－m＝0，命题q：∃x∈(0，＋∞)，x2－2mx＋1＜0，若p∧(綈q)为真命题，则实数m的取值范围为__________．13．(2016·安阳月考)已知两个命题r(x)：sin x＋cos x＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0.如果对∀x∈R，r(x)∧s(x)为假，r(x)∨s(x)为真，那么实数m的取值范围为________________．14．已知命题p：关于x的方程a2x2＋ax－2＝0在－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，则a的取值范围是__________________．答案精析1．4 2.{－1,0,2} 3.－1,1] 4.1，＋∞)5．①③ 6.7 7.∃x ∈R ，x 2＋1≤08．④解析 ①中，sin x ＋cos x ＞2⇒1＋sin2x ＞2⇒sin2x ＞1，命题为假；②中，令f (x )＝x 2－2x －1，则当x ∈(3，＋∞)时，f (x )∈(2，＋∞)，即x 2＞2x ＋3，故不存在x ∈(3，＋∞)，使2x ＋1≥x 2，命题为假；③中，x 2－x ＋1＝0⇔(x －12)2＋34＝0，命题为假；④中，sin x ＜x ⇔x －sin x ＞0，令f (x )＝x －sin x ，求导得f ′(x )＝1－cos x ≥0，∴f (x )是增函数，故f (x )＞f (0)＝0，命题为真，故填④.9．－1解析 因为集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{a ，a 2}，M ∩N ＝N ，又a 2≥0，所以当a 2＝0时，a ＝0，此时N ＝{0,0}，不符合集合元素的互异性，故a ≠0；当a 2＝1时，a ＝±1，a ＝1时，N ＝{1,1}，不符合集合元素的互异性，故a ≠1，当a ＝－1时，N ＝{－1,1}，符合题意．故a ＝－1.10．(1,2]解析 若命题p 为真，则⎩⎨⎧1＋8a ≥0，f (0)·f (1)＝－1·(2a －2)＜0， 得a ＞1.若命题q 为真，则2－a ＜0，得a ＞2，故由p 且綈q 为真命题，得1＜a ≤2.11．－1解析 因为x ＋a ≥0，所以M ＝{x |x ≥－a }．又log 2(x －1)＜1，所以0＜x －1＜2，所以1＜x ＜3，所以N ＝{x |1＜x ＜3}．所以∁U N ＝{x |x ≤1或x ≥3}．又因为M ∩(∁U N )＝{x |x ＝1或x ≥3}，所以a ＝－1.12．－1,1]解析∵x∈－π6，π4]，∴2x＋π6∈－π6，2π3]，∴sin(2x＋π6)∈－12，1]，2sin(2x＋π6)∈－1,2]．∃x∈－π6，π4]，2sin(2x＋π6)－m＝0，即2sin(2x＋π6)＝m，∴m∈－1,2]．∃x∈(0，＋∞)，x2－2mx＋1＜0，即m＞x2＋12x＝x2＋12x≥2x2·12x＝1，当且仅当x2＝12x，即x＝1时，取“＝”．∴綈q为真命题时，m∈(－∞，1]．∴p∧(綈q)为真命题时，m∈－1,1]．13．(－∞，－2]∪－2，2)解析∵sin x＋cos x＝2sin(x＋π4)≥－2，∴当r(x)是真命题时，m＜－ 2.当s(x)为真命题时，x2＋mx＋1＞0恒成立，有Δ＝m2－4＜0，∴－2＜m＜2.∵r(x)∧s(x)为假，r(x)∨s(x)为真，∴r(x)与s(x)一真一假，∴当r(x)为真，s(x)为假时，m＜－2，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2；当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－2，且－2＜m＜2，即－2≤m＜2.综上，实数m的取值范围是m≤－2或－2≤m＜2.14．{a|－1＜a＜0或0＜a＜1}解析由a2x2＋ax－2＝0，得(ax＋2)(ax－1)＝0，显然a≠0，所以x＝－2a或x＝1a.因为x∈－1,1]，故|－2a|≤1或|1a|≤1，所以|a|≥1.“只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，所以Δ＝4a2－8a＝0.所以a＝0或a＝2.所以命题“p或q”为真命题时，|a|≥1或a＝0.因为命题“p或q”为假命题，所以a的取值范围为{a|－1＜a＜0或0＜a＜1}．。

真题演练集训1．[2016·浙江卷]命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2答案：D解析：原命题是全称命题，条件为∀x∈R，结论为∃n∈N*，使得n≥x2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D选项符合．2．[2015·浙江卷]命题“∀n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是()A．∀n∈N*，f(n)∉N*且f(n)＞nB．∀n∈N*，f(n)∉N*或f(n)＞nC．∃n0∈N*，f(n0)∉N*且f(n0)＞n0D．∃n0∈N*，f(n0)∉N*或f(n0)＞n0答案：D3．[2015·新课标全国卷Ⅰ]设命题p：∃n∈N，n2＞2n，则綈p 为()A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2＝2n答案：C解析：将命题p的量词“∃”改为“∀”，“n2＞2n”改为“n2≤2n”．4．[2014·新课标全国卷Ⅰ]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( )A ．p 2，p 3B ．p 1，p 2C ．p 1，p 4D ．p 1，p 3 答案：B解析：由线性规划知识可得，p 1，p 2为真命题．5．[2015·山东卷]若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．答案：1解析：∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.。

真题演练集训．命题“∀∈，∃∈*，使得≥”的否定形式是( )．∀∈，∃∈*，使得<．∀∈，∀∈*，使得<．∃∈，∃∈*，使得<．∃∈，∀∈*，使得<答案：解析：根据含有量词的命题的否定的概念可知，选.．命题“∀∈*，()∈*且()≤”的否定形式是( )．∀∈*，()∉*且()>．∀∈*，()∉*或()>．∃∈*，()∉*且()>．∃∈*，()∉*或()>答案：解析：写全称命题的否定时，要把量词∀改为∃，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．．设命题：∃∈，＞，则綈为( )．∃∈，≤．∀∈，＞．∀∈，≤．∃∈，＝答案：解析：因为“∃∈，()”的否定是“∀∈，綈()”，所以命题“∃∈，＞”的否定是“∀∈，≤”．故选.．若“∀∈，≤”是真命题，则实数的最小值为．答案：解析：由题意，原命题等价于≤在区间上恒成立，即＝在上的最大值小于或等于.又＝在上的最大值为，所以≥，即的最小值为.课外拓展阅读利用含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围以逻辑联结词为工具，与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，根据命题的真假求参数的取值范围在模拟题中也常出现，题型为选择题或填空题．给定命题：对任意实数都有＋＋>成立；：关于的方程－＋＝有实数根．如果“∨”为真命题，“∧”为假命题，那么实数的取值范围为．(－∞，)∪当为真命题时，“对任意实数都有＋＋>成立”⇔＝或(\\(>，,Δ<，))所以≤<.当为真命题时，“关于的方程－＋＝有实数根”⇔Δ＝－≥，所以≤.因为“∨”为真命题，“∧”为假命题，所以，一真一假．若真假，则<<；若假真，则<.综上，实数的取值范围为(－∞，)∪.根据命题的真假求参数取值范围的方法步骤：()求出当命题，为真命题时，所含参数的取值范围；()判断命题，的真假性；()根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围．考法总结含分式不等式的命题的否定对于含分式不等式的命题的否定，一定要注意，除了改变不等式的符号，还要加上分式无意义的情况，如果要彻底避免这类问题引发的错误，我们可以先求出命题所表示的范围，再对范围进行否定．设函数()＝的定义域为，若命题：∈与命题：∈有且只有一个为真命题，求实数的取值范围．由题意，可知，两个命题一真一假，命题等价于{≤<}，命题等价于<)))).()若真假，则需满足(\\(≤<，<()或≥))⇒∈∅.()若假真，则需满足(\\(<或≥，,()≤<))⇒∈∪[)．综上所述，的取值范围为∪[)．点评对于含分式不等式的命题的否定，有两种解法，一是先写出否定形式，再求范围，二是先求范围，再对范围进行否定，但解法一容易遗漏分式无意义的情况，推荐使用解法二进行解题．。

第一章集合与常用逻辑用语【易错题型专项训练】易错点一：对集合概念的理解1．下列四组对象中能构成集合的是（）A．宜春市第一中学高一学习好的学生B．在数轴上与原点非常近的点C．很小的实数D．倒数等于本身的数【答案】D【分析】根据集合的含义分别分析四个选项，A，B，C都不满足函数的确定性故排除，D确定，满足．【详解】解：A：宜春市第一中学高一学习好的学生，因为学习好的学生不确定，所以不满足集合的确定性，故A错误；B：在数轴上与原点非常近的点，因为非常近的点不确定，所以不满足集合的确定性，故B 错误；C：很小的实数，因为很小的实数不确定，所以不满足集合的确定性，故C错误；D：倒数等于它自身的实数为1与﹣1，∴满足集合的定义，故正确．故选：D．2．下列给出的对象中，能组成集合的是（）A．一切很大数B．方程210x-=的实数根C．漂亮的小女孩D．好心人【答案】B【分析】根据集合的概念，逐项判断，即可得出结果.【详解】A选项，很大数没有明确的定义，即元素不确定，不能构成集合；排除A；B选项，方程210x-=的实数根为±1，能构成集合；B正确；C选项，漂亮没有明确的定义，即元素不确定，不能构成集合，排除C；D选项，好心人没有明确的定义，即元素不确定，不能构成集合，排除D.故选：B.3．下列说法中能构成集合的是________(填序号)．①2019年参加江苏高考的所有学生；②2019年江苏高考数学试题中的所有难题；③美丽的花；④与无理数π无限接近的数．【答案】①【分析】利用集合的概念依次判断即可.【详解】因为未规定“难”的标准，所以②不能构成集合；同理“美丽”、“无限接近”都没有规定标准，所以③④不能构成集合；由于①中的对象具备确定性、互异性，所以①能构成集合．故答案为：①【点睛】本题主要考查集合的概念，属于简单题.易错点二：元素与集合的关系1．设集合M 是由不小于a ）A ．a ∈MB ．a ∉MC ．a ＝MD ．a ≠M 【答案】B【分析】通过比较进而判定AB ；根据集合与元素的关系的概念否定CD ．【详解】∵1520,<<a ∉M ,故A 错误，B 正确；实数与实数构成的集合是元素与集合的关系，只有属于和不属于的关系，没有相等不相等的关系，故CD 错误.故选：B.2．已知集合{10}A x x = ，a =a 与集合A 的关系是（）A ．a A∈B ．a A ∉C ．a A =D ．{}a A ∈【答案】A【分析】由已知可得10a <，利用集合与元素的关系即可得解【详解】解：{|10}A x x = ，224a =+=，a A ∴∈，故选：A ．【点睛】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题．3．已知集合M 有2个元素x ，2－x ，若－1∉M ，则下列说法一定错误的是________．①2∈M ；②1∈M ；③x ≠3.【答案】②【分析】先由－1∉M 求出x ≠－1，x ≠1且x ≠3，，然后对①、②、③分别验证即可.【详解】依题意1212x x x x ≠-⎧⎪-≠-⎨⎪≠-⎩解得x ≠－1，x ≠1且x ≠3，对于①：当x ＝2或2－x ＝2，即x ＝2或0时，M 中的元素为0，2，故①可能正确；对于②：当x ＝1或2－x ＝1，即x ＝1时，M 中两元素为1，1不满足互异性，故②不正确，③显然正确．故答案为：②易错点三：集合间关系的判断1．若集合A ＝{x |x ＝2k ＋1，k ∈Z }，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z }，C ＝{x |x ＝4k －1，k ∈Z }，则A ，B ，C 的关系是（）A ．C ⊆A ＝BB ．A ⊆C ⊆B C ．A ＝B ⊆CD ．B ⊆A ⊆C【答案】A【分析】由整数的整除性，可得A 、B 都表示奇数集，C 表示除以4余3的整数．将A 、B 、C 尽可能形式表达统一，由此利用集合间的关系求解．【详解】∵A ＝{x |x ＝2(k ＋1)－1，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝2k －1，k ∈Z}，C ＝{x |x ＝2·2k －1，k ∈Z}，A B ∴=,C 集合中2k 只能取偶数，C A B ∴⊆=故选：A.2．若集合{}202A =-，，，{0}B =，则（）A ．A B ∈B ．B A ∈C ．A B ⊆D ．B A⊆【分析】分析两个给定的有限集中的元素与另一集合的关系即可得解.【详解】因集合B 中只有一个元素0，并且0A ∈，于是得集合B 是集合A 的子集，从而得B A ⊆，所以B A ⊆.故选：D3．已知集合M 满足{}{}1,21,2,5,6,7M ⊆Ü，则符合条件的集合M 有______个．【答案】7【分析】根据集合包含关系的定义，将满足条件的集合逐个列出，即可得到本题答案.【详解】据子集的定义，可得集合M 必定含有1、2两个元素，而且含有5,6,7中的至多两个元素，因此，满足条件{}{}1,21,2,5,6,7M ⊆Ü的集合M 有：{1,2}，{1,2,5}，{1,2,6}，{1,2,7}，{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,2,6,7}共7个，故答案为：7.易错点四：确定集合的子集、真子集1．已知集合A ＝{x |x 2﹣3x +2＝0}，B ＝{x |0＜x ＜6，x ∈N }，则满足A ⫋C ⊆B 的集合C 的个数为（）A ．4B ．7C ．8D ．16【答案】B【分析】求出集合A ，B ，由此利用列举法能求出满足A ⫋C ⊆B 的集合C 的个数．【详解】：集合A ＝{x |x 2﹣3x +2＝0}＝{1，2}，B ＝{x |0＜x ＜6，x ∈N }＝{1，2，3，4，5}，∴满足A ⫋C ⊆B 的集合C 有：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．故选：B ．2．适合条件{1}⊆A Ü{1，2，3，4，5}的集合A 的个数是（）A ．15B ．16C ．31D ．32【答案】A由子集的定义求解，集合A 中元素除1以外，其他可以从2、3、4、5四个至多选3组成，由此可得A 的个数．【详解】因为集合A 中必须包含元素1，但从元素2、3、4、5中至多选取3个，于是集合A 的个数24－1＝15个，故选：A.3．已知集合{}2(1)320A xa x x =-+-=∣，若A 的子集个数为2个，则实数a =______．【答案】18-或1【分析】由已知可得：集合A 只有一个元素，即关于x 的方程2(1)320a x x -+-=只有一个根.分类讨论求出a 的值.【详解】A 的子集个数为2个，所以集合A 只有一个元素，即关于x 的方程2(1)320a x x -+-=只有一个根.当1a =时，方程320x -=只有一个根2=3x 符合题意；当1a ≠时，关于x 的方程2(1)320a x x -+-=只有一个根，只需()()=94120a ∆---=，解得：1=8a -.故1=8a -或1.故答案为：18-或1.【点睛】集合A 有n 个元素，则A 的子集的个数为2n .易错点五：含字母的集合运算忽视空集或检验1．已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(U B ð)＝R ，则实数a 的取值范围是（）A ．{a |a ≤1}B ．{a |a <1}C ．{a |a ≥2}D ．{a |a >2}【答案】C【分析】先求得U B ð，再由并集的结果可得选项.【详解】因为B ＝{x |1<x <2}，所以U B ð＝{x |x ≤1或x ≥2}，又∵A ∪(U B ð)＝R ，∴a ≥2.故选：C.2．已知M ＝{2，a 2－3a ＋5,5}，N ＝{1，a 2－6a ＋10,3}，M ∩N ＝{2,3}，则a 的值是()A ．1或2B ．2或4C ．2D ．1【答案】C【分析】∵M ∩N ＝{2,3}，∴a 2－3a ＋5＝3，∴a ＝1或2.当a ＝1时，N ＝{1,5,3}，M ＝{2,3,5}，不合题意；当a ＝2时，N ＝{1,2,3}，M ＝{2,3,5}，符合题意．3．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－2x ＋a －1＝0}，若A ∩B ＝B ，则a 的取值范围为________．【答案】{a |a ≥2}【分析】由题意，得A ＝{1,2}．∵A ∩B ＝B ，∴B ⊆A ，∴当B ＝∅时，(－2)2－4(a －1)<0，解得a >2；当1∈B 时，1－2＋a －1＝0，解得a ＝2，且此时B ＝{1}，符合题意；当2∈B 时，4－4＋a －1＝0，解得a ＝1，此时B ＝{0,2}，不合题意．综上所述，a 的取值范围是{a |a ≥2}．易错点六：充分、必要、充要条件的判断1．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要不充分条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】本题主要考查连锁关系的充分性、必要性的判断即可.【详解】根据充分条件的定义可知如果p 是r 的充分不必要条件p ⇒r ,s 是r 的必要不充分条件，可知r s ⇒,,同理q 是s 的必要条件,,s q ⇒所以p ⇒q ,且反之不成立，可知p 是q 成立的充分不必要条件，故选：A.2．已知四边形ABCD ，则“A ，B ，C ，D 四点共圆”是“180A C ∠+∠=”成立的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得正确答案.【详解】因为圆的内接四边形对角互补，若“A ，B ，C ，D 四点共圆”，可得180A C ∠+∠=因为对角互补的四边形内接于圆，所以若180A C ∠+∠=可得“A ，B ，C ，D 四点共圆”，所以“A ，B ，C ，D 四点共圆”是“180A C ∠+∠=”成立的充要条件，故选：C.3．设A 、B 是两个非空集合，则“A B A =”是“A B =”的_______条件（“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）.【答案】必要不充分【分析】由A B A =得出A B ⊆，结合充分条件和必要条件的定义判断可得出结论.【详解】由A B A =，得A B ⊆，但推不出A B =，因此“A B A =”不是“A B =”的充分条件；反过来，由A B =，得A B ⊆，能推出AB A =，因此“A B A =”是“A B =”的必要条件，故“A B A =”是“A B =”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.易错点七：全称量词命题与存在量词命题的真假的判断1．“存在集合A ，使∅A ”，对这个命题，下面说法中正确的是（）A ．全称量词命题、真命题B ．全称量词命题、假命题C ．存在量词命题、真命题D ．存在量词命题、假命题【答案】C【分析】A ≠∅时，∅A 可得结果.【详解】当A ≠∅时，∅A ，是存在量词命题，且为真命题.故选:C.2．下列全称量词命题中真命题的个数为（）①对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ；②二次函数y ＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点；③∀x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0．A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】B【分析】根据实数的性质，二次函数的性质证明命题①②正确，举反例说明③错误．【详解】因为2()0a b -≥，所以2220a ab b -+≥，即222a b ab +≥，命题①正确；二次函数y ＝x 2－ax －1中240a ∆+>=，210x ax --=恒有两个不等实根，即二次函数y ＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点，命题②正确；0,0x y ==时，20x y +=，命题③错误．正确的命题有2个．故选：B ．3．下列命题中，是全称量词命题的有________．(填序号)①有的实数是整数；②三角形是多边形；③矩形的对角线互相垂直；④∀x ∈R ，x 2＋2>0；⑤有些素数是奇数．【答案】②③④【分析】根据全称题词的定义判断．【详解】①有的实数是整数表示存在实数，是整数，不是全称命题；②三角形是多边形，表示任意的三角形都是多边形，是全称命题；③矩形的对角线互相垂直，表示所有的矩形的对角线互相垂直，是全称命题；④∀x ∈R ，x 2＋2>0，表示任意的实数x ，满足220x +>是全称命题；⑤有些素数是奇数．表示存在素数是奇数，不是全称命题．故答案为：②③④。

专题01集合与常用逻辑用语易错点一：对集合表示方法的理解存在偏差（集合运算问题两种解题方法）方法一：列举法列举法就是通过枚举集合中的所有元素，然后根据集合基本运算的定义求解的方法。

其解题具体步骤如下:第一步定元素：确定已知集合中的所有元素，利用列举法或画数轴写出所有元素或范围；第二步定运算：利用常见不等式或等式解未知集合；第三步：定结果。

方法二：赋值法高考对集合的基本运算的考查以选择题为主,所以我们可以利用特值法解题,即根据选项之间的明显差异,选择一些特殊元素进行检验排除,从而得到正确选项.其解题具体步骤如下:第一步：辨差异:分析各选项,辨别各选项的差异；第二步：定特殊:根据选项的差异,选定一些特殊的元素；第三步：验排除:将特殊的元素代入进行验证，排除干扰项；第四步：定结果:根据排除的结果确定正确的选项。

易错提醒：对集合表示法的理解先观察研究对象（丨前），研究对象是点集还是数集，故要对本质进行剖析，需要明确集合中的代表元素类型及代表元素的含义.若A B ⊆，即A 是B 的子集，所以A B A = ，所以（4）正确；根据元素与集合的关系可知{}∅∈∅正确，也即（5）正确.所以正确的个数是4.故选：A易错点二：忽视（漏）空集导致错误（集合中的含参问题）1.利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围解题时务必注意:由于∅是任意集合的子集,若已知非空集合B,集合A 满足A ⊆B 或A ⊂B,则对集合A 分两种情中的含参问题况讨论:(1)当A=∅时,若集合A 是以不等式为载体的集合,则该不等式无解;(2)当A≠∅时,要利用子集的概念把子集关系转化为两个集合对应区间的端点值的大小关系,从而构造关于参数的不等式(组)求解.2.利用两集合的运算求参数的值或取值范围解决此类问题的步骤一般为:第一步：化简所给集合;第二步：用数轴表示所给集合;第三步：根据集合端点间关系列出不等式(组);(4)解不等式(组);第四步：检验,通过返回代入验证端点是否能够取到.第五步：解决此类问题多利用数形结合的方法,结合数轴或Venn 图进行求解.易错提醒：勿忘空集和集合本身.由于∅是任意集合的子集，是任何集合的真子集，任何集合的本身是该集合的子集，所以在进行列举时千万不要忘记。

第一章集合与常用逻辑用语1.集合(1)集合的含义与表示①了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系．②能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．(2)集合间的基本关系①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．②在具体情境中，了解全集与空集的含义．(3)集合的基本运算①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．③能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．2．常用逻辑用语(1)理解命题的概念．(2)了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．(3)理解必要条件、充分条件与充要条件的含义．(4)了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义．(5)理解全称量词和存在量词的意义．(6)能正确地对含一个量词的命题进行否定．1．1 集合及其运算1．集合的基本概念(1)我们把研究对象统称为________，把一些元素组成的总体叫做________． (2)集合中元素的三个特性：______，______， _______. (3)集合常用的表示方法：________和________． 2．常用数集的符号(1)元素与集合之间存在两种关系：如果a 是集合A 中的元素，就说a ________集合A ，记作________；如果a 不是集合A 中的元素，就说a ________集合A ，记作________．(2)集合与集合之间的关系：⊆A ，B≠12n 有________个．4．两个集合A 与B 之间的运算5.(1)①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；④A∩＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A;②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪＝________；⑤A∪B________B∪A.(3)①∁U(∁U A)＝________；②∁U U＝________；③∁U＝________；④A∩(∁U A)＝____________；⑤A∪(∁U A)＝____________.(4)①A∩B＝A⇔________⇔A∪B＝B；②A∩B＝A∪B⇔____________.(5)记有限集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝____________________________；card＝________________________.自查自纠1．(1)元素集合(2)确定性互异性无序性(3)列举法描述法2．N N*(N＋) Z Q R C3．(1)属于a∈A不属于a∉A(2)A⊆B且B⊆A A⊆B B⊇A A B B A非空集合2n2n-1 2n-24．A∪B A∩B∁U A{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B} {x|x∈U且x∉A}5．(1)①⊆②⊆③A④⑤＝(2)①⊇②⊇③A④A⑤＝(3)①A②③U④⑤U(4)①A⊆B②A＝B(5)card(A)＋card(B)-card(A∩B)card(U)-card(A)-card(B)＋card(A∩B)(2016·北京)已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝( ) A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}解：易知A∩B＝(2，3)．故选C.(2015·陕西)设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lg x≤0}，则M∪N＝( ) A．B．(0，1]C．解：因为M＝{x|x2＝x}＝{0，1}，N＝{x|lg x≤0}＝{x|0＜x≤1}，所以M∪N＝．故选A.(2016·山东)设集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2-1＜0}，则A∪B＝( ) A．(-1，1) B．(0，1)C．(-1，＋∞) D．(0，＋∞)解：易知A＝(0，＋∞)，B＝{x|-1＜x＜1}，所以A∪B＝(-1，＋∞)．故选C.设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x的值为________．解：当x2＝4时，x＝±2，若x＝2，则不满足集合中的元素的互异性，所以x≠2；若x ＝-2，则A＝{1，4，-4}，B＝{1，4}，满足题意．当x2＝2x时，x＝0或2(舍去)，x＝0满足题意，所以x＝0或-2.故填0或-2.已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是________．解：由log2x≤2，得0＜x≤4，即A＝{x|0＜x≤4}，而B＝{x|x＜a}，由于A⊆B，如图所示，则a＞4.故填(4，＋∞)．类型一 集合的概念(1)若集合A ＝{-1，1}，B ＝{0，2}，则集合M ＝{z |z ＝x ＋y ，x ∈A ，y ∈B }中的元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2解：当x ＝-1，y ＝0时，z ＝-1；当x ＝-1，y ＝2时，z ＝1；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝1，y ＝2时，z ＝3.故z 的值为-1，1，3，所以所求集合M ＝{-1，1，3}，共有3个元素．故选C .(2)已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝-32，当m ＝1时，m ＋2＝3，2m 2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m ＝-32时，m ＋2＝12，2m 2＋m ＝3，综上知，m ＝-32.故填-32.【点拨】(1)用描述法表示集合，首先要弄清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合．(2)含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．(1)已知集合S ＝{x |3x ＋a ＝0，a ∈R }，如果1∈S ，那么a 的值为( )A ．-3B ．-1C ．1D ．3解：因为1∈S ，所以3＋a ＝0，a ＝-3.故选A .(2)已知a ∈R ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b ，0}，则a 2 017＋b 2 017＝________.解：由已知得ba＝0及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝-1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝-1，所以a2 017＋b2 017＝-1.故填-1.类型二 集合间的关系已知集合A ＝{x |x 2-3x -10≤0}．(1)若B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m -1}，B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)若B ＝{x |m -6≤x ≤2m -1}，A ＝B ，求实数m 的取值范围； (3)若B ＝{x |m -6≤x ≤2m -1}，A ⊆B ，求实数m 的取值范围． 解：由A ＝{x |x 2-3x -10≤0}，得A ＝{x |-2≤x ≤5}，(1)若B ⊆A ，则①当B ＝，有m ＋1＞2m -1，即m ＜2，此时满足B ⊆A ；②当B ≠，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m -1，m ＋1≥-2，2m -1≤5，解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(-∞，3]．(2)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m -6＝-2，2m -1＝5，解得m ∈，即不存在实数m 使得A ＝B .(3)若A ⊆B ，则⎩⎪⎨⎪⎧2m -1＞m -6，m -6≤-2，2m -1≥5，解得3≤m ≤4.所以m 的取值范围为．【点拨】本例主要考查了集合间的关系，“当B ⊆A 时，B 可能为空集”很容易被忽视，要注意这一“陷阱”．集合A ＝{x |-2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m -1}．(1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)当x ∈Z 时，求A 的非空真子集的个数；(3)当x ∈R 时，若A ∩B ＝，求实数m 的取值范围． 解：(1)①当m ＋1>2m -1，即m <2时，B ＝，满足B ⊆A . ②当m ＋1≤2m -1，即m ≥2时，要使B ⊆A 成立，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥-2，2m -1≤5，可得2≤m ≤3.综上，m 的取值范围是(-∞，3]．(2)当x ∈Z 时，A ＝{-2，-1，0，1，2，3，4，5}， 所以A 的非空真子集个数为28-2＝254. (3)因为x ∈R ，且A ∩B ＝，所以当B ＝时，即m ＋1＞2m -1，得m ＜2，满足条件；当B ≠时，有⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m -1，m ＋1＞5，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m -1，2m -1＜-2， 解得m ＞4.综上，m 的取值范围是(-∞，2)∪(4，＋∞)．类型三 集合的运算(1)已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )等于( ) A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0＜x ＜1}解：易知A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}， 所以∁U (A ∪B )＝{x |0＜x ＜1}．故选D .(2)已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1，2}，则A ∩(∁U B )＝________.解：因为U ＝{1，2，3，4}，∁U (A ∪B )＝{4}，所以A ∪B ＝{1，2，3}．又因为B ＝{1，2}，所以{3}⊆A ⊆{1，2，3}．又∁U B ＝{3，4}，所以A ∩(∁U B )＝{3}．故填{3}．(3)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x -m )(x -2)<0}，且A ∩B ＝(-1，n )，则m ＝________，n ＝________.解：A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |-5<x <1}，由A ∩B ＝(-1，n )，可知m <1，由B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝-1，n ＝1.故填-1，1.【点拨】在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时需注意端点值的取舍．另外要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(1)设集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|⎝ ⎛⎭⎪⎫121-x >1，N ＝{x |-1≤x ≤3}，则N ∩(∁R M )＝( )A ．(1，＋∞)B ．(-∞，-1)C ．D ．(1，3)解：因为M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x|⎝ ⎛⎭⎪⎫121-x >1＝{x |x >1}，则∁R M ＝{x |x ≤1}，且N ＝{x |-1≤x ≤3}，所以N∩(∁R M)＝．故选C.(2)(2015·唐山模拟)集合M＝{2，log3a}，N＝{a，b}，若M∩N＝{1}，则M∪N＝( )A．{0，1，2} B．{0，1，3}C．{0，2，3} D．{1，2，3}解：因为M∩N＝{1}，所以log3a＝1，即a＝3，所以b＝1.所以M＝{2，1}，N＝{3，1}，M∪N＝{1，2，3}．故选D.(3)设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(∁U A)∩B＝，则m的值是________．解：A＝{-2，-1}．由(∁U A)∩B＝，得B⊆A.x2＋(m＋1)x＋m＝(x＋m)(x＋1)，所以当m＝1时，B＝{-1}，合要求，当m≠-1时，B＝{-1，-m}，故只能有m＝2.所以m＝1或2.故填1或2.类型四Venn图及其应用设M，P是两个非空集合，定义M与P的差集为：M-P＝{x|x∈M，且x∉P}，则M-(M-P)等于( )A．P B．M∩P C．M∪P D．M解：作出Venn图．当M∩P≠时，由图知，M-P为图中的阴影部分，则M-(M-P)显然是M∩P.当M∩P＝时，M-(M-P)＝M-M＝{x|x∈M，且x∉M}＝＝M∩P.故选B.【点拨】这是一道信息迁移题，属于应用性开放问题．“M-P”是我们不曾学过的集合运算关系，根据其元素的属性，借助Venn图将问题简单化．已知集合A＝{-1，0，4}，集合B＝{x|x2-2x-3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是________．解：B＝{x|x2-2x-3≤0，x∈N}＝{x|-1≤x≤3，x∈N}＝{0，1，2，3}，图中阴影部分表示的为属于A 且不属于B 的元素构成的集合，该集合为{-1，4}．故填{-1，4}．类型五 和集合有关的创新试题在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为，即＝{5n ＋k |n ∈Z }，k ＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：①2 017∈；②-3∈；③Z ＝∪∪∪∪；④“整数a ，b 属于同一‘类’”的充要条件是“a -b ∈”．其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解：因为2 017＝403×5＋2，所以2 017∈，结论①正确；-3＝-1×5＋2，所以-3∈，-3∉，结论②不正确；整数可以分为五“类”，这五“类”的并集就是整数集，即Z ＝∪∪∪∪，结论③正确；若整数a ，b 属于同一“类”，则a ＝5n ＋k ，b ＝5m ＋k ，a -b ＝5(n -m )＋0∈，反之，若a -b ∈，则a ，b 被5除有相同的余数，故a ，b 属于同一“类”，结论④正确，综上知，①③④正确．故选C .【点拨】(1)以集合语言为背景的新信息题，常见的类型有定义新概念型、定义新运算型及开放型，解决此类信息迁移题的关键是在理解新信息并把它纳入已有的知识体系中，用原来的知识和方法来解决新情境下的问题．(2)正确理解创新定义，分析新定义的表述意义，把新定义所表达的数学本质弄清楚，转化成熟知的数学情境，并能够应用到具体的解题之中，这是解决问题的基础．对任意两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定：(a ，b )＝(c ，d )，当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“○×”为：(a ，b ) ○× (c ，d )＝(ac -bd ，bc ＋ad )；运算“⊕”为：(a ，b ) ⊕(c ，d )＝(a ＋c ，b ＋d )．设p ，q ∈R ，若(1，2) ○× (p ，q )＝(5，0)，则(1，2)⊕(p ，q )＝( ) A ．(0，-4) B ．(0，2) C ．(4，0)D ．(2，0)解：因为(1，2) ○× (p ，q )＝(p -2q ，2p ＋q )＝(5，0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧p -2q ＝5，2p ＋q ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝-2，所以(1，2) ⊕(p ，q )＝(1＋p ，2＋q )＝(2，0)．故选D .1． 首先要弄清构成集合的元素是什么，如是数集还是点集，要明了集合{x |y ＝f (x )}、{y |y ＝f (x )}、{(x ，y )|y ＝f (x )}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数以及在含参的集合运算中，常因忽视互异性，疏于检验而出错．3．数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn 图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这在本质上是数形结合思想的体现和运用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何元素的子集．5．五个关系式A ⊆B ，A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，∁U B ⊆∁U A 以及A ∩(∁U B )＝是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．6．正难则反原则对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论不明确、难以从正面入手的涉及集合的数学问题，在解题时要调整思路，考虑问题的反面，探求已知与未知的关系，化难为易、化隐为显，从而解决问题．例如：已知A ＝{x |x 2＋x ＋a ≤0}，B ＝{x |x 2-x ＋2a -1＜0}，C ＝{x |a ≤x ≤4a -9}，且A ，B ，C 中至少有一个不是空集，求a 的取值范围．这个问题的反面即是三个集合全为空集， 即⎩⎪⎨⎪⎧1-4a ＜0，1-4（2a -1）≤0，a ＞4a -9，解得58≤a ＜3，从而所求a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ＜58或a ≥3.1．(2016·四川)设集合A ＝{x |-2≤x ≤2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解：由题意，A ∩Z ＝{-2，-1，0，1，2}，则元素的个数为5.故选C . 2．设集合M ＝{-1，0，1}，N ＝{x |x 2≤x }，则M ∩N ＝( ) A ．{0}B ．{0，1}C ．{-1，1}D ．{-1，0，1}解：因为N ＝{x |0≤x ≤1}，M ＝{-1，0，1}， 所以M ∩N ＝{0，1}．故选B .3．(2015·浙江)已知集合P ＝{x |x 2-2x ≥0}，Q ＝{x |1<x ≤2}，则(∁R P )∩Q ＝( )A ．C ．(1，2)D ．解：由题意得∁R P ＝(0，2)，所以(∁R P )∩Q ＝(1，2)．故选C .4．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R|1x ＜1，B ＝{x ∈R |2x ＜1}，则( ) A ．A ⊇BB ．A ＝BC ．A ⊆BD ．A ∩B ＝解：易知A ＝{x |x ＞1或x ＜0}，B ＝{x |x ＜0}，所以B ⊆A .故选A .5．设全集U 为整数集，集合A ＝{x ∈N |y ＝7x -x 2-6}，B ＝{x ∈Z |-1<x ≤3}，则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为( )A ．3B ．4C ．7D ．8 解：A ＝{x ∈N |y ＝7x -x 2-6}＝{x ∈N |7x -x 2-6≥0}＝{x ∈N |1≤x ≤6}，由题意知，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{1，2，3}，其真子集有：，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7个．故选C .6．给定集合A ，若对于任意a ，b ∈A ，有a ＋b ∈A ，且a -b ∈A ，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合A ＝{-4，-2，0，2，4}为闭集合；②集合A ＝{n |n ＝3k ，k ∈Z }为闭集合；③若集合A 1，A 2为闭集合，则A 1∪A 2为闭集合．其中正确结论的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：①(-4)＋(-2)＝-6∉A ，不正确；②设n 1，n 2∈A ，n 1＝3k 1，n 2＝3k 2，k 1，k 2∈Z ，则n 1＋n 2∈A ，n 1-n 2∈A ，正确；③令A 1＝{n |n ＝5k ，k ∈Z }，A 2＝{n |n ＝2k ，k ∈Z }，则A 1，A 2为闭集合，但A 1∪A 2不是闭集合，不正确．故选B .7．设集合A ＝{-1，1，3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a 的值为________． 解：由题意得a ＋2＝3，则a ＝1.此时A ＝{-1，1，3}，B ＝{3，5}，A ∩B ＝{3}，满足题意．故填1.8．(2016·天津)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝3x -2，x ∈A }, 则A ∩B ＝________. 解：因为A ＝{1，2，3，4}，所以B ＝{1，4，7，10}，则A ∩B ＝{1，4}．故填{1，4}．9．(2014·天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数．设集合M ＝{0，1，2，…，q -1}，集合A ＝{x |x ＝x 1＋x 2q ＋…＋x n q n -1，x i ∈M ，i ＝1，2，…，n }，当q ＝2，n ＝3时，用列举法表示集合A .解：当q ＝2，n ＝3时，M ＝{0，1}，A ＝{x |x ＝x 1＋2x 2＋4x 3，x i ∈M ，i ＝1，2，3}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．10．设全集是实数集R ，A ＝{x |2x 2-7x ＋3≤0}，B ＝{x |x 2＋a ＜0}．(1)当a ＝-4时，求A ∩B 和A ∪B ；(2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x ≤3， 当a ＝-4时，B ＝{x |-2＜x ＜2}，A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|12≤x ＜2，A ∪B ＝{x |-2＜x ≤3}． (2)∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜12或x ＞3， 当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A ，即A ∩B ＝.①当B ＝，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；②当B ≠，即a ＜0时，B ＝{x |--a ＜x ＜-a }，要使B ⊆∁R A ，只须-a ≤12，解得-14≤a ＜0. 综上可得，实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ≥-14. 11．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2-3x ＋2＝0，a ∈R }．(1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；(3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．解：(1)A 是空集，即方程ax 2-3x ＋2＝0无解，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝（-3）2-8a ＜0， 所以a ＞98， 即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，＋∞. (2)当a ＝0时，A 中只有一个元素23； 当a ≠0时，Δ＝0，得a ＝98，此时方程有两个相等的实数根，A 中只有一个元素43， 所以当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23和43. (3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)的结果，得a ＝0或a ≥98，即a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a|a ＝0或a ≥98.已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2-1＝0，a ∈R ，x∈R }．若A ∪B ＝A ，试求实数a 的取值范围．解：由题意得A ＝{0，-4}，因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，又A 的子集为，{0}，{-4}，{0，-4}．①若B ＝，则Δ<0，即4(a ＋1)2-4(a 2-1)<0，解得a <-1；②若B ＝{0}，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1＝0，2（a ＋1）＝0， 解得a ＝-1； ③若B ＝{-4}，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1＝16，2（a ＋1）＝8， 此时a 不存在； ④若B ＝{0，-4}，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2-1＝0，2（a ＋1）＝4， 解得a ＝1， 综上所述，实数a 的取值范围为(-∞，-1]∪{1}．。

专题01集合与常用逻辑用语1.【2017课标1，理1】已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =<B ．A B =RC ．{|1}AB x x =>D ．AB =∅【答案】A【解析】由31x <可得033x <，则0x <，即{|0}B x x =<，所以{|1}{|0}{|0}A B x x x x x x =<<=<，{|1}{|0}{|1}A B x x x x x x =<<=<，故选A.2.【2017课标II ，理】设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=。

若{}1AB =，则B =（ ）A.{}1,3-B.{}1,0C.{}1,3D.{}1,5 【答案】C【解析】由{}1A B ⋂=得1B ∈，即1x =是方程240x x m -+=的根，所以140,3m m -+==， {}1,3B =，故选C ．3．【2017课标3，理1】已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B4.【2017北京，理1】若集合A ={x |–2<x <1}，B={x |x <–1或x >3}，则A B =（A ）{x |–2<x <–1} （B ）{x |–2<x <3} （C ）{x |–1<x <1} （D ）{x |1<x <3} 【答案】A【解析】利用数轴可知{}21AB x x =-<<-，故选A.5.【2017天津，理1】设集合{1,2,6},{2,4},{|15}A B C x x ===∈-≤≤R ，则()A B C =（A ）{2} （B ）{1,2,4} （C ）{1,2,4,6} （D ）{|15}x x ∈-≤≤R 【答案】B 【解析】(){1246}[15]{124}AB C =-=，，，，，， ,选B.6.【2017天津，理4】设θ∈R ，则“ππ||1212θ-<”是“1sin 2θ<”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】πππ||012126θθ-<⇔<< 1sin 2θ⇒< ，但10,sin 2θθ=<，不满足 ππ||1212θ-<，所以是充分不必要条件，选A. 7.【2017山东，理3】已知命题p:()x x ∀+＞0,ln 1＞0；命题q ：若a ＞b ，则a b 22＞，下列命题为真命题的是（A ） ∧p q （B ）⌝∧p q （C ） ⌝∧p q （D ）⌝⌝∧p q 【答案】B8. 【2016高考浙江理数】命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x >”的否定形式是（ ） A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x < B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，使得2n x < C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x < D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，使得2n x < 【答案】D【解析】∀的否定是∃，∃的否定是∀，2n x ≥的否定是2n x <．故选D ．9.【2016高考山东理数】已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a,b 可能相交，也可能平行,故选A.10.【2016高考天津理数】设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C.易错起源1、集合的关系及运算 例1、(1)已知集合A ＝{x |x －1x ＋2<0}，B ＝{y |y ＝sin n π2，n ∈Z }，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{－1,0,1} C ．{－1,0}D ．{0,1}(2)若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：①X 属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合X ＝{a ，b ，c }，对于下面给出的四个集合τ： ①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}； ②τ＝{∅，{b }，{c }，{b ，c }，{a ，b ，c }}； ③τ＝{∅，{a }，{a ，b }，{a ，c }}；④τ＝{∅，{a ，c }，{b ，c }，{c }，{a ，b ，c }}．其中是集合X 上的一个拓扑的集合τ的所有序号是__________． 答案 (1)C (2)②④ 解析 (1)因为A ＝{x |x －1x ＋2<0}＝{x |－2<x <1}，B ＝{y |y ＝sin n π2，n ∈Z }＝{0，－1,1}，所以A ∩B ＝{－1,0}．(2)①τ＝{∅，{a }，{c }，{a ，b ，c }}，但是{a }∪{c }＝{a ，c }∉τ，所以①错；②④都满足集合X 上的一个拓扑的集合τ的三个条件．所以②④正确；③{a ，b }∪{a ，c }＝{a ，b ，c }∉τ，故③错．所以答案为②④.【变式探究】(1)已知集合A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }，集合B ＝{x |y ＝lg x }，则(∁R A )∩B 为( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．[－1,1] C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)(2)设集合M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.13 B.23 C.112D.512答案 (1)C (2)C解析 (1)因为A ＝{y |y ＝sin x ，x ∈R }＝[－1,1]，B ＝{x |y ＝lg x }＝(0，＋∞)．所以(∁R A )∩B ＝(1，＋∞)． 故答案为C.(2)由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14，⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1. 所以M ∩N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34∩⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，34. 此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112.故选C.【名师点睛】(1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn 图或数轴求解． (2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．【锦囊妙计，战胜自我】1．集合的运算性质及重要结论 (1)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U . (4)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解； (2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解； (3)若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解． 易错起源2、四种命题与充要条件 例2 (1)下列命题：①已知m ，n 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m ⊥α，n ⊂β，则“α⊥β”是“m ∥n ”的必要不充分条件；②不存在x ∈(0,1)，使不等式log 2x <log 3x 成立；③“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真命题． 其中正确的命题序号是________． (2)已知ξ服从正态分布N (1，σ2)，a ∈R ，则“P (ξ>a )＝0.5”是“关于x 的二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x 23的展开式的常数项为3”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分又不必要条件 D ．充要条件 答案 (1)① (2)A(2)由P (ξ>a )＝0.5，知a ＝1.∵二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x 23展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 3(ax )3－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2k ＝a 3－k C k 3x 3－3k，令3－3k ＝0，得k ＝1，∴其常数项为a 2C 13＝3a 2＝3，解得a ＝±1，∴“P (ξ>a )＝0.5”是“关于x 的二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ＋1x23的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选A.【变式探究】(1)下列四个结论中正确的个数是( ) ①“x 2＋x －2>0”是“x >1”的充分不必要条件；②命题：“∀x ∈R，sin x ≤1”的否定是“∃x 0∈R，sin x 0>1”； ③“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为真命题；④若f (x )是R 上的奇函数，则f (log 32)＋f (log 23)＝0. A ．1B ．2C ．3D ．4 (2)已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－1]答案 (1)A (2)A解析 (1)对于①，x 2＋x －2>0⇔x >1或x <－2，故“x 2＋x －2>0”是“x >1”的必要不充分条件，所以①错误；对于③，“若x ＝π4，则tan x ＝1”的逆命题为“若tan x ＝1，则x ＝π4”，∵tan x ＝1推出的是x ＝π4＋k π，k ∈Z.所以③错误．对于④，log 32≠－log 23，所以④错误．②正确．故选A. (2)由3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0， 所以x <－1或x >2，因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2. 【名师点睛】充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q ，且q ⇏p ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题． 【锦囊妙计，战胜自我】1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．2．若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p ，q 互为充要条件． 易错起源3、逻辑联结词、量词例3、(1)已知命题p ：在△ABC 中，“C >B ”是“sin C >sin B ”的充分不必要条件；命题q ：“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件，则下列选项中正确的是( ) A ．p 真q 假 B ．p 假q 真 C ．“p ∧q ”为假D ．“p ∧q ”为真(2)已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，命题q ：“∃x 0∈R，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0”．若命题“(綈p )∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－2或a ＝1 B ．a ≤－2或1≤a ≤2 C ．a >1D ．－2≤a ≤1答案 (1)C (2)C【变式探究】(1)已知命题p ：∃x 0∈R ，使sin x 0＝52；命题q ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin x ，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为真D ．p ∨q 为假(2)若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________．答案 (1)B (2)0解析 (1)由于三角函数y ＝sin x 的有界性：－1≤sin x 0≤1，所以p 假；对于q ，构造函数y ＝x －sin x ，求导得y ′＝1－cos x ，又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以y ′>0，y 为单调递增函数，有y >0恒成立，即∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，x >sin x ，所以q 真．判断可知，B 正确．(2)令f (x )＝tan x ＋1，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上为增函数，故f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝0，∵∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1，故m ≤(tan x ＋1)min ，∴m ≤0，故实数m 的最大值为0. 【名师点睛】(1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算． 【锦囊妙计，战胜自我】1．命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．2．命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )．3．“∀x ∈M ，p (x )”的否定为“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”；“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定为“∀x ∈M ，綈p (x )”．。

专题01集合与常用逻辑用语1．【2022年全国甲卷】设集合={−2,−1,0,1,2},=b0≤<∩=（）A．0,1,2B．{−2,−1,0}C．{0,1}D．{1,2}【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为=−2,−1,0,1,2，=b0≤<∩=0,1,2．故选：A.2．【2022年全国甲卷】设全集={−2,−1,0,1,2,3}，集合={−1,2},=b2−4+3= 0，则∁(∪p=（）A．{1,3}B．{0,3}C．{−2,1}D．{−2,0}【答案】D【解析】【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.【详解】由题意，J{U2−4+3=0}={1,3}，所以∪={−1,1,2,3},所以∁U(∪p={−2,0}.故选：D.3．【2022年全国乙卷】集合=2,4,6,8,10,=−1<<6，则∩=（）A．{2,4}B．{2,4,6}C．{2,4,6,8}D．{2,4,6,8,10}【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出．【详解】因为=2,4,6,8,10，=U−1<<6，所以∩=2,4．故选：A.4．【2022年全国乙卷】设全集={1,2,3,4,5}，集合M满足∁={1,3}，则（）A．2∈B．3∈C．4∉D．5∉【答案】A【分析】先写出集合,然后逐项验证即可【详解】由题知={2,4,5},对比选项知，A 正确,BCD 错误故选:A5．【2022年新高考1卷】若集合={b <4}, ={b3≥1}，则∩=（）A ．{0≤<2}B ．≤<2C ．{3≤<16}D ．≤<16【答案】D 【解析】【分析】求出集合s 后可求∩.【详解】={b0≤<16},={b ≥13}，故∩={U 13≤<16}，故选：D6．【2022年新高考2卷】已知集合={−1,1,2,4},=|−1|≤1，则∩=（）A ．{−1,2}B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{−1,4}【答案】B 【解析】【分析】求出集合后可求∩.【详解】={U0≤≤2}，故∩={1,2}，故选：B.7．【2021年甲卷文科】设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则M N = （）A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9【答案】B 【解析】【分析】求出集合N 后可求M N ⋂.【详解】7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=，8．【2021年甲卷理科】设集合{}104,53M x x N x x ⎧⎫=<<=≤≤⎨⎬⎩⎭，则M N = （）A ．103x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭B ．143x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C ．{}45x x ≤<D ．{}05x x <≤【答案】B 【解析】【分析】根据交集定义运算即可【详解】因为1{|04},{|5}3M x x N x x =<<=≤≤，所以1|43M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭,故选：B.【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.9．【2021年乙卷文科】已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}{}1,2,3,4M N ==，则()U M N ⋃=ð（）A ．{}5B ．{}1,2C ．{}3,4D ．{}1,2,3,4【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.【详解】由题意可得：{}1,2,3,4M N =U ，则(){}5U M N = ð.故选：A.10．【2021年乙卷文科】已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q⌝∧C ．p q∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A 【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于sin 0=0，所以命题p 为真命题；由于x y e =在R 上为增函数，0x ≥，所以||01x e e ≥=，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．11．【2021年乙卷理科】已知集合{}21,S s s n n ==+∈Z ，{}41,T t t n n ==+∈Z ，则S T Ç=（）A ．∅B ．SC ．TD ．Z【答案】C 【解析】【分析】分析可得T S ⊆，由此可得出结论.【详解】任取t T ∈，则()41221t n n =+=⋅+，其中n Z ∈，所以，t S ∈，故T S ⊆，因此，S T T = .故选：C.12．【2021年新高考1卷】设集合{}24A x x =-<<，{}2,3,4,5B =，则A B = （）A ．{}2B ．{}2,3C ．{}3,4D ．{}2,3,4【答案】B 【解析】【分析】利用交集的定义可求A B .【详解】由题设有{}2,3A B ⋂=，故选：B .13．【2021年新高考2卷】设集合{1,2,3,4,5,6},{1,3,6},{2,3,4}U A B ===，则()U A B = ð（）A ．{3}B ．{1,6}C ．{5,6}D ．{1,3}【答案】B 【解析】【分析】根据交集、补集的定义可求()U A B ⋂ð.【详解】由题设可得{}U 1,5,6B =ð，故(){}U 1,6A B ⋂=ð，故选：B.14．【2020年新课标1卷理科】设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（）A ．–4B ．–2C ．2D ．4【答案】B 【解析】【分析】由题意首先求得集合A ,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值.【详解】求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤，求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a-=，解得：2a =-.故选：B.【点睛】本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．【2020年新课标1卷文科】已知集合2{|340},{4,1,3,5}A x x x B =--<=-，则A B = （）A ．{4,1}-B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{1,3}【答案】D 【解析】【分析】首先解一元二次不等式求得集合A ，之后利用交集中元素的特征求得A B ，得到结果.【详解】由2340x x --<解得14x -<<，所以{}|14A x x =-<<，又因为{}4,1,3,5B =-，所以{}1,3A B = ，故选：D.本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.16．【2020年新课标2卷理科】已知集合U ={−2，−1，0，1，2，3}，A ={−1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ⋃=ð（）A ．{−2，3}B ．{−2，2，3}C ．{−2，−1，0，3}D ．{−2，−1，0，2，3}【答案】A 【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得：{}1,0,1,2A B ⋃=-，则(){}U 2,3A B =- ð.故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.17．【2020年新课标2卷文科】已知集合A ={x ||x |<3，x ∈Z }，B ={x ||x |>1，x ∈Z }，则A ∩B =（）A ．∅B ．{–3，–2，2，3）C ．{–2，0，2}D ．{–2，2}【答案】D 【解析】【分析】解绝对值不等式化简集合,A B 的表示，再根据集合交集的定义进行求解即可.【详解】因为{}{}3,2,1,0,1,2A x x x Z =<∈=--，{}{1,1B x x x Z x x =>∈=>或}1,x x Z <-∈，所以{}2,2A B =- .故选：D.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查集合交集的定义，属于基础题.18．【2020年新课标3卷理科】已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．6【解析】【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，A B 中的元素满足8y xx y ≥⎧⎨+=⎩，且*,x y N ∈，由82x y x +=≥，得4x ≤，所以满足8x y +=的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，故A B 中元素的个数为4.故选：C.【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.19．【2020年新课标3卷文科】已知集合{}1235711A =，，，，，，{}315|B x x =<<，则A ∩B 中元素的个数为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】【分析】采用列举法列举出A B 中元素的即可.【详解】由题意，{5,7,11}A B ⋂=，故A B 中元素的个数为3.故选：B 【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.20．【2020年新高考1卷（山东卷）】设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2<x <4}，则A ∪B =（）A ．{x |2<x ≤3}B ．{x |2≤x ≤3}C ．{x |1≤x <4}D ．{x |1<x <4}【答案】C 【解析】【分析】根据集合并集概念求解.【详解】[1,3](2,4)[1,4)A B ==U U【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.21．【2020年新高考2卷（海南卷）】设集合A={2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，则A B =（）A ．{1，3，5，7}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{1，2，3，5，7，8}【答案】C 【解析】【分析】根据集合交集的运算可直接得到结果.【详解】因为A{2，3，5，7}，B ={1，2，3，5，8}，所以{}2,3,5A B = 故选：C 【点睛】本题考查的是集合交集的运算，较简单.22．【2019年新课标1卷理科】已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【答案】C 【解析】【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．23．【2019年新课标1卷理科】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．190cm【答案】B 【解析】【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解．【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则2626105x x y +=+42.07, 5.15x cm y cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ．【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题．24．【2019年新课标1卷文科】已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7【答案】C 【解析】【分析】先求U A ð，再求U B A ð．【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ．【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．25．【2019年新课标2卷理科】设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={x |x -1<0}，则A ∩B =A ．(-∞，1)B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)【答案】A 【解析】【分析】先求出集合A ，再求出交集．【详解】由题意得，{}{}23,1A x x x B x x ==<或，则{}1A B x x ⋂=<．故选A ．【点睛】本题考点为集合的运算，为基础题目．26．【2019年新课标2卷文科】已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B =A ．(–1，+∞)B ．(–∞，2)C ．(–1，2)D ．∅【答案】C 【解析】【分析】本题借助于数轴，根据交集的定义可得．【详解】由题知，(1,2)A B =- ，故选C ．【点睛】本题主要考查交集运算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．易错点是理解集合的概念及交集概念有误，不能借助数轴解题．27．【2019年新课标2卷文科】在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为（）A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙【答案】A 【解析】【分析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A ．【点睛】本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力．题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查．28．【2019年新课标3卷理科】已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B = A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A【解析】先求出集合B 再求出交集.【详解】21,x ≤∴ 11x -≤≤，∴{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1A B =- ，故选A ．【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.29．【2019年新课标3卷文科】记不等式组620x y x y +⎧⎨-≥⎩表示的平面区域为D ，命题:(,),29p x y D x y ∃∈+ ；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+ .给出了四个命题：①p q ∨；②p q ⌝∨；③p q ∧⌝；④p q ⌝∧⌝，这四个命题中，所有真命题的编号是A ．①③B ．①②C ．②③D ．③④【答案】A【解析】【分析】根据题意可画出平面区域再结合命题可判断出真命题.【详解】如图，平面区域D 为阴影部分，由2,6y x x y =⎧⎨+=⎩得2,4x y =⎧⎨=⎩即A （2，4），直线29x y +=与直线212x y +=均过区域D ，则p 真q 假，有p ⌝假q ⌝真，所以①③真②④假．故选A ．【点睛】本题将线性规划和不等式，命题判断综合到一起，解题关键在于充分利用取值验证的方法进行判断．30．【2018年新课标1卷理科】已知集合{}220A x x x =-->，则A =R ðA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥【答案】B【解析】【详解】分析：首先利用一元二次不等式的解法，求出220x x -->的解集，从而求得集合A ，之后根据集合补集中元素的特征，求得结果.详解：解不等式220x x -->得12x x <->或，所以{}|12A x x x =<->或，所以可以求得{}|12R C A x x =-≤≤，故选B.点睛：该题考查的是有关一元二次不等式的解法以及集合的补集的求解问题，在解题的过程中，需要明确一元二次不等式的解集的形式以及补集中元素的特征，从而求得结果.31．【2018年新课标1卷文科】已知集合{}02A =，，{}21012B =--，，，，，则A B = A ．{}02，B ．{}12，C ．{}0D ．{}21012--，，，，【答案】A【解析】【分析】分析：利用集合的交集中元素的特征，结合题中所给的集合中的元素，求得集合A B 中的元素，最后求得结果.【详解】详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得{}0,2A B =I ，故选A.点睛：该题考查的是有关集合的运算的问题，在解题的过程中，需要明确交集中元素的特征，从而求得结果.32．【2018年新课标2卷理科】已知集合(){}223A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（）A ．9B ．8C ．5D ．4【答案】A【解析】【分析】根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.【详解】223x y +≤ 23,x ∴≤x Z∈ 1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-；所以共有9个，故选：A.【点睛】本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.33．【2018年新课标2卷文科】已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B = A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,7【答案】C【解析】【详解】分析：根据集合{1,3,5,7},{2,3,4,5}A B ==可直接求解{3,5}A B = .详解：{1,3,5,7},{2,3,4,5}A B == ,{}3,5A B ∴⋂=,故选C点睛：集合题也是每年高考的必考内容，一般以客观题形式出现，一般解决此类问题时要先将参与运算的集合化为最简形式，如果是“离散型”集合可采用Venn 图法解决，若是“连续型”集合则可借助不等式进行运算.34．【2018年新课标3卷理科】已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B = A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，，【答案】C【解析】【详解】分析：由题意先解出集合A,进而得到结果．详解：由集合A 得x 1≥,所以{}A B 1,2⋂=故答案选C.点睛：本题主要考查交集的运算，属于基础题．35．【2018年新课标3卷文科】已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B = A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}【答案】C【解析】【分析】由题意先解出集合A,进而得到结果．【详解】解：由集合A 得x 1≥,所以{}A B 1,2⋂=故答案选C.【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．36．【2020年新课标2卷理科】设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题，14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力，属于中等题.。