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下面利用微元法建立方程： 在任一时刻 t，任取一小段弦 ( x, x x), 它弧长为
s
假设在弧段运动方向，即ou轴方向上存 在外力作用。 设在时刻 t，x 点处的外力密度为 F ( x, t ), 其方向垂直于 x 轴 。 则小弦段
现在研究弧段在时刻 t 时的受力情况。它 所受的力有弦内部的张力T，其方向沿弦的 切线方向。
点的运动方向垂直于最初的平衡位置. “微小的”是指弦 上各点的位移与弦的长度相比很小, 弦的纵向伸长可以 忽略不计
• 弦振动方程
取弦的平衡位置为ox 轴，运动平面为 xou
• 考虑一根拉紧的长为l 的弦，线密度 , 以弦的平衡位置
.
o
u
P Q
Q
在时刻 t ，弦线在 x 点的位移为 u(x, t)
和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利也研究了数 学物理方面的问题，提出了解弹性系振动问题的一般 方法，对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格 朗日也讨论了一阶偏微分方程，丰富了这门学科的内容。 偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪，那时候，数 学物理问题的研究繁荣起来了，许多数学家都对数学 物理问题的解决做出了贡献。这里应该提一提法国数 学家傅立叶，他年轻的时候就是一个出色的数学学者。
拟线性PDE: 在非线性方程中, 如果关于未知
(1) 是二维的，(2), (3), (4) 都是一维的。
1. 我们称通过给定周线而具有最小面积的曲面为极小曲 面，它们满足二阶拟线性方程： 2. 1895年由荷兰数学家科特韦格(Korteweg)和德弗里斯 (de Vries)在水波研究中共同发现的KDV方程：
叠加原理
• 设 ui (i
1,2,3,) 满足方程 Lui f i (i 1, 2,3,), ci (i 1, 2,3,) 为常数，而级数
u ciui
i 1
3. 两个非齐次方程的解的线性组合，为一个新的非齐 次方程的解，新方程的自由项为原方程自由项的同 样组合。即：若 L u1 = f1 ， L u2 = f2， 则：L (au1+ bu2)= af1 + bf2.
若弦不受外力作用，即 F 0 则上面方程变为
2u 2u a 2 2 (2) 2 t x
2u 2u T 2 ( x, t ) F ( x, t ) 2 ( x, t ) (1) x t
自由项：方程中与未知函数无关的项。
或
其中 f x, t F x, t / 表示单位质量所受的力。
u ( x, t ) x u sin tg ( x x, t ) x sin tg
21
22
所以 T T . u 2u ( x, t ) u T ( x x, t ) ( x, t ) F ( x, t ) x x, x t 2 x 两端除以 x, 再令 x 0 可得 于是有
在从事热流动的研究中，写出了《热的解析理论》， 在文章中他提出了三维空间的热方程，也就是一种偏 微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很 大的。
四.偏微分方程的发展
现在偏微分方程相关理论及其方法已经应用到各个 自然科学，工程技术领域和社会科学领域中。 由于其特殊的地位，偏微分方程现在是数学领域中最 活跃，最核心的领域之一。与偏微分方程研究相关的 菲尔兹奖获得者中，就有十位左右的数学家。 千禧年大奖难题，又称世界七大数学难题，其中之一 就是纳维叶－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性 与光滑性。
x ( x , x ,, x )
偏微分方程反映了变量u和多个自变量x之间的相约 关系,物理学、力学、工程技术等自然科学，经济学、 人口学等社会科学中很多重要变量关于时间、空间 及其他因素的变化规律常常通过偏微分方程来描述。
三.偏微分方程的起源
微积分方程这门学科产生于十八世纪，欧拉在他的 著作中最早提出了弦振动的二阶方程，随后不久， 法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中 提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多 大注意。
23 24
2u T 2u F 2u a2 2 f , 2 2 t x x
•方程(1)为非齐次方程，方程(2)为齐次方程。 •方程(1), (2) 称为弦振动方程，或一维波动方程。
4
·均匀薄膜的横向振动 ·总结： 建立数学物理方程是一个辩证分析的过程。 由于客观事物的复杂性，要求对所研究的对象 能够抓住事物发展的主要因素，摈弃次要因素， 使问题得到适度的简化。 在上面的推导过程中，我们作了一些假设。 我们假设了弦是完全柔软的，张力才会沿着弦 的切线方向；又假定了弦的横振动是很小的， 所以才可用 sin 代替 tg . 并且弦的纵向伸长 可以忽略不计， 不然由于各点张力的不同， 张力T 就会依赖于 u (x, t), 得到的方程将不是 设有一绷紧的柔软且有弹性的均匀薄膜，静 止平衡时薄膜的平面为 oxy 平面，薄膜上各 点在任意时刻 t 的横向位移是 u (x, y, t)。 由于薄膜是均匀的，柔软且有弹性，所以 薄膜上各点的张力为常数 T。在薄膜上任 取一微元，其原来的静止位置在 先看 x 和 x x 这两边。
i , j 1
偏微分方程也可用偏微分算符来表示.
半线性PDE的一般形式：
| | m
ut uu x u xxx 0
utt u xx u 3 0
a
n
ij
n 2u u bi cu f xi x j i 1 xi
a ( x) D u b( x, u, Du, D
u ) D u b( x, u , Du , D m 1u ) 0,
10
拟线性PDE主部：在拟线性PDE中, 由最高阶偏导数 组成的那一部分。 半线性PDE：在拟线性PDE中, 如果主部的系数是常 数或者是自变量的已知函数。例如
叠加原理
下面我们以二阶偏微分方程 偏微分方程的为例来说明叠加原理. 一般含n个自变量的二阶线性偏微分方程可写为以下形式
拟线性PDE的一般形式：
| | m m 1
函数的所有最高阶偏导数是线性的. 例如：
2 2 (1 u y )u xx 2ux u y u xy (1 ux )u yy 0
a ( x, u, Du, D
1
ut uu x u xxx 0
其中 D
9
, D k u ( D u :| | k ). n x1 x n
1 tg 2 x 1 sin 2 x x,
x u
2
2
u 1 x x
2
( x, x x) 上所受的外力近似为： F ( x, t ) x.
在 ox 轴方向上，弧段所受力的总和为
其中倾斜角
很小。
1
未知函数
u u mu , , , , m1 m 2 ) 0， x1 xn x1 x2 x n mn
1746年，达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成 的曲线的研究》中，提议证明无穷多种和正弦曲线不同 的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了 偏微分方程这门学科。
主部
f 0.
(ut ) 2 (u x ) 2 u 2
ut u x sin u
非线性PDE 非线性PDE
否则称为非齐次的．
7 8
PDE维数：是指方程中出现的空间坐标的个数。 例如： 在上一页的例子中
如果方程中不出现时间 t, 则称方程为定常的, 否则称为非定常的. 例如： 在上一页的例子中 (1) 是定常的， (2), (3), (4)都是非定常的。
19
T cos T cos 0.
20
在ou轴方向上，弧段所受力的总和为 弧段在时刻 t 沿ou 轴方向的加速度近似为 其质量为 x, 所以由Newton第二定律知
T sin T sin F ( x, t )x T sin T sin F ( x, t )x
i i
• 波动方程 • 扩散方程
– 均匀弦的微小横振动方程 – 推广 – 一维热传导方程 – 推广
小结：
叠加原理使得以后在使用分离变量法时能够将 分离变量法得到的线性无关的解叠加在一起, 然后去构造原问题的解.
• 稳定场方程
16
• 弦的特点：均匀柔软的一根弹性细线。 • 振动特性：微小的、横向振动：在一个平面内弦上各
二.偏微分方程的介绍
数理方程的基本概念
一. 偏微分方程的基本概念
偏微分方程：凡含有多元未知函数及未知函数关于自变量 的偏导数的等式。 自变量 1 2 n 偏微分方程的一般形式:
m m1 m 2 m n F ( x1 , , x n , u ,
u ( x) u ( x1 , x2 ,, xn )
PDE的 分类
线性PDE 非线性PDE
完全非线性PDE
6
1
PDE中所含未知函数及其各阶导数出现 线性PDE： 的最高次数为一次的。例如：
i , j 1
(1). (2). (3). (4).
a
n
ij
( x1 , , xn )
n 2u u b j ( x1 , , xn ) c ( x1 , , xn )u f ( x1 ,, xn ), xi x j j 1 x j
1
引入以下算符
m 1
其中 D
, D k u ( D u :| | k ). n x1 xnຫໍສະໝຸດ 11u ) 0,
L
i , j 1
a
n
ij
n 2 bi c xi x j i 1 xi
则上述方程可以写成下面的形式
