数理方程第一部分前言数学物理方程的研究对象是描述各种自然现象的微分方程、积分方程、函数方程等等。
通常，《数学物理方程》教材中所研究的内容，着重是偏微分方程的三类曲型方程的定解问题。
它产生于如振动和波动、流体流动、电磁场、弹性、热传导、粒子扩散等实际问题。
当前，数学技术已成为高科技的重要部分，数学建模、数值计算已越来越发挥重要作用，正在成为广大数学工作者特别是应用数学工作者和计算数学工作者广阔的用武之地，而数学物理方程是一门重要的基础课，是进一步学习现代数学知识的准备，是利用数学知识为经济建设服务的桥梁。
数理方程教材中主要讨论基本理论和求解这些问题的一些方法和技巧。
本讲义是根据课程设置需要及本课程特点而编写的。
由于理论内容涉及到的高等数学知识比较多且深，推导过程长，常使初学者难以掌握主要过程和整体思路，所以本讲义将重点放在这两个内容上。
对于较深入（主要是理论证明方面）的知识或例题将在课堂补充讲解。
另外，一些相对简单的推导过程留给读者（读者也可通过查阅参考书得到这些结果），一些繁琐而不重要的内容给予说明。
这样，一方面可以使解决问题的过程变得精悍，减少读者的学习负担，另一方面，可以使读者通过这些推导练习加深对理论内容的理解，起到由点到面，循序渐近的作用，增强学好这门课的信心。
由于准备仓促，遗漏及错误之处在所难免，在此作者表示歉意，并请读者指正。
主要参考书1.复旦大学数学系主编《数学物理方程》，人民教育出版社；(数学系本科生用书)2.戴嘉尊《数学物理方程》，东南大学出版社；(数学系本科生用书)3.华南理工大学研究生处《数学物理方法》，华南理工大学出版社(工科硕士研究生用书)4.杨秀雯等《数学物理方程与特殊函数》，天津大学出版社(工科硕士研究生用书)第一章典型方程和定解问题§1.1 一些典型方程的推导1.1.1 波动方程的推导例1.1.1 弦的波动方程。
解(1)假设长为l且均匀柔软的弦，两端固定,其上作用一外力，作微小横振动.(2)建立数学模型如图. 设时刻弦上处振幅为具有二阶边连续偏导数=(,),,在弦上t x u u x t取微段MM'.由弦均匀设线密度为ρ，由弦柔软知张力沿弦的切线方向，由弦作微小横振动可设),(,00t x f 度为设弦上横向连续外力密≈'≈αα───在时刻t 弦上点x处单位长度上的作用力大小，设微段的重心处横坐标为ξ,并),(0t f ξ以近似微段上各点处的力密度，则(如图)①水平方向合力： 取,0cos cos T T T T ≈'⇒=-''αα'=T T ②铅垂方向合力： 由牛顿第二定律得 .),(sin sin 0s t f T T ∆⋅+-''ξαα.),(),(,, (1.1.1)),(),(),( ),,~,,,0( 0,),( ),(),(),( ),(),()],(),([ ),(),()tan (tan ),(),()sin (sin ),(),(sin sin 0222222211010000单位质量上的横向力与弦的材料及张力有关其中或连续时当得并令故两边同除之间位于--=--=+∂∂=∂∂+''=''''''∆∆→→→∆→∆∆∆+''⋅∆≈∆+∆''''⋅∆≈∆+'-∆+'''⋅∆≈∆+-'''⋅∆≈∆+-'''⋅∆≈∆+-''ρρξξξξρξξξρξξρξααξρξααξρξααt x f t x f Ta f xu a t u t x f t x u a t x u u u x s x x x x x x x x t u s s t f x t u T t u s s t f t x u t x x u T t u s s t f T t u s s t f T t u s s t f T T xx tt tt xx tt xx tt x x tttttt称(1.1.1)为一维波动方程.当0≠f 时称为非齐次方程；当f =0时称为齐次方程.据题意给出弦上点所满足的偏微分方程及其它条件一并给出的定解问题：).<(0 )()0,(),()0,()0( 0),(,0),0()0 ,<(0 (I) 2⎪⎩⎪⎨⎧<=='=>==><+''=''l x t x u x x u t t l u t u t l x f u a u t xx tt ψϕ(3)求解(参§3.1)；(4)检验(§9.1).(5)改善假设，重新推导方程.特别地，当弦的两端拉紧且弦只受重力作用时，,0g f ρ-=方程为g u a u xxtt-''='' 2,,g u g u tttt >>''''即远大于重力加速度因弦上的加速度故可忽略g ，而有 (1.1.2) 22222xua t u ∂∂=∂∂ .(2) ?1sin sin tan tan lim ?)tan (tan )sin (sin (1) : ., : 00推导上面的方程按单调减少且凸的微段吗换为上面为何能将问题进行推导的理以等价无穷小的手段这里是利用牛顿第二定程也可用其它方法推导方注=-'-'-'-'→'→αααααααααα 例1.1.1’ 弹性直杆的纵向振动问题(题3). 例1.1.1” 锥体杆的纵向振动（复旦P11）例 1.1.2 薄膜的振动问题(天大P133) 例1.1.3 三维波动问题（南京P6）1.1.2 热传导方程的推导1．梯度与方向导数: 设u u x y z l ==(,,),(cos ,cos ,cos ),具一阶连续偏导数0αβγ 则u 的梯度和u 沿)(0l l 或方向的方向导数分别为.)grad (gradu cos cos cos ),,,(=gradu 0l u l zuy u x u l u z u y u x u =⋅=++= γ∂∂β∂∂α∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂2．高斯公式:⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑Ω∑∑Ω--=++=++=∑++=++=++通量故有的外法线向量为其中dS n udS z u y u x u v z u y u x u n dS R Q P Rdxdy Qdzdx Pdydz v z R y Q x P ∂∂γ∂∂β∂∂α∂∂∂∂∂∂∂∂γβαγβα∂∂∂∂∂∂)cos cos cos ()d ( ).cos ,cos ,(cos )cos cos cos ()d (22222203．热传导：热量总是从温度高的地方流向温度低的地方；4．热传导学中的傅里埃（Fourier ）实验定律：这实际上是将热量故应取负值相反而热量流向与温度增加即沿外法向故高且靠近曲面的点处温度向内有热量由体外流经曲面当物体内部温度低时例如产生的的方向相反而即取得最大值的方向流向和温度梯度的正向其中负号是由于热流的即三者成正比的法线方向的方向导数沿曲面及物体温度以曲面面积与时间的热量内流过一个无穷小面积物体在无限短的时间段(,,,0grad ,,,,.grad ),( ,,, n n n u nuu ludSdtnuk dQ n udS u dS dt dQ dS dt >⋅=-=∂∂∂∂∂∂∂∂).,, 过程如下面的推导进行计算也可只按热量值的相等按向量来运算例1.1.4 三维热传导方程的推导 解（1）假设：.,0生热量单位时间单位体积上产热源强度性假设物体均匀且各向同--f (2)建立数学模型：.,,.n S S其外法线方向为分片光滑的边界为区域假设物体对应的有界闭如图Ω设时刻t 物体上点M x y z u u x y z t u (,,)(,,,),.处的温度为且具有二阶连续偏导数由物体均匀可设密度=ρ为常数,由各向同性可设比热系数为常数c ──单位质量温度升高一个单位所需热量.则.,,(1.1.3) )( ),,,()(),,,( ,],,[),,,(,)],,,()([),,,( ,),,,( ],[)3(),,,(= ),,,(]),,,(),,,([ ],[)2( )( ],[)1( 0222222220222222210 0222222 021 2221 222222 2121212121212121ρρ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ρ∂∂∂∂∂∂ρρρρ∂∂∂∂∂∂∂∂c f f c ka f zu y u x u a t u t z y x f zuy u x u k t z y x u c t t t z y x f u dvdt t z y x f z uy u x u k dvdt t z y x u c Q Q Q dvdtt z y x f Q t t dvdt t z y x u c dvdt t z y x u c dv t z y x u t z y x u c Q t t dvdt z uy u x u k dt dS n u k Q S t t t t tt t t t t t t t t t t t t t t S ==+++=+++='Ω+++='+==''=⋅-⋅=++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩΩΩΩΩ其中即得的任意性连续及的二阶偏导数连续由假设即故由能量守恒定律有上物体内部产生的热量在时间区间需的热量上物体内部温度升高所在时间区间流入的总热量上通过在时间区间源入升源升入(1.1.4) )( ,0 ;,0 .(1.1.3) 2222222zu y u x u a t u f f ∂∂∂∂∂∂∂∂++==≠称齐次波动方程时当称为非齐次波动方程时当为三维波动方程称例 1.1.5 二维热传导方程的推导──请详细给出推导过程通过侧面流入热量为一方面则处温度为板上时刻的边界正向为域初始时刻温度分布为热量单位时间单位面积产生热源强度面上下底面绝热同性设平面薄板均匀且各向解, :),,(.),,(,)(,,: 0t M u M t D y x f Γ--ϕ)( ,),,()( )],,(),,([ , )()(])[=)cos sin ())cos()2cos(()cos cos ()cos cos ( 222220222212222221212121212121212121212121f yu x u a t u dt d t y x f dtt d y ux u k dt d t u c dtd t uc dtd t u c d t y x u t y x u c Q dtd y ux u k dt dy x u dx y u k dt dx y u dy x u k dtds y uds x u k dt ds y u ds x u k dtds y uds x u k dsdt y u x u k dsdt n u k Q t t Dt t D t t Dt t DDt t Dt t Dt t t tt t t t t t t t t t ++=++===⋅-⋅=+=+-=--=-+-=+=+==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΓΓΓΓΓΓΓ∂∂∂∂∂∂σσ∂∂∂∂σ∂∂ρσ∂∂ρσ∂∂ρσρσ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ϕ∂∂ϕ∂∂ϕπ∂∂πϕ∂∂β∂∂α∂∂β∂∂α∂∂∂∂从而有故由能量守恒得内部升温需要的热量为另一方面升入例 1.1.6 一维热传导方程的推导──请详细给出推导过程,),( )],(),([ , = , ).(,)(),(,,, 2220002200001202202200000212121212121212121212121f x u a t u dt dx t x f dt dx xukS dt dx t u c dtdx tuc dx dt t u c dx t x u t x u c Q dt dx x ukS dt dx x u kS dt x u x u kS dt xuxukS Sdt nunu k Sdt nu kSdt nu kQ x f q t t l t t l t t l t t l lt t l t t l t t l x t t lx x t t lx x t t lx t t x t t lx +=+===⋅-⋅===⎥⎦⎤-⎢⎣⎡⎥⎦⎤-⎢⎣⎡=⎥⎦⎤+⎢⎣⎡=+=--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰========∂∂∂∂∂∂∂∂ρ∂∂ρ∂∂ρρ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ϕ从而有故由能量守恒得内部升温需热量为另一方面通过两端面流入热量为一方面则为初始时刻杆上温度分布热量单位时间单位长度产生热源强度线入的热量即单位时间单位面积流流入另一端有恒定热流一端温度为零侧面绝热设杆均匀各向同性升入状态下二维或三维的动态稳恒方程拉普拉斯位势方程二维或三维的方程泊松热传导方程波动方程归结为则可将以上推导的方程或或表示算子如果用小结 0 (Laplace) )( (Poisson) ,)Laplace ( : 2222222222222222222=∇=∇+∇=+∇=+++∇u f u fu tufu t uzy x y x x ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 这就是本书所研究的主要方程类型.弦振动方程描述波的传播现象，它具有对时间是可逆的性质；热传导方程反映了热的传导，物质的扩散是不可逆现象；而拉普拉斯方程描述平衡的状态，定常的状态.这三种方程所描述的自然现象的本质十分不同，因而这三种方程的性质也十分不同.最后,我们指同前面讨论的三种情形虽然是相互排斥的，但并不包括二阶线性方程的所有情形.§1.2 初始条件与边界条件初始条件： 用以说明初始状态的条件.一般地，波动问题的初始条件有两个,即开始时的位移)(0M u t t ϕ==与开始时的速度 ,),(0件有一个而热传导问题的初始条M u t t t ψ='=即开始时体内各点温度).(0M u t t ϕ==边界条件： 用以说明边界上的约束情况的条件.1. 第一类边界条件如弦的振动问题中,当x =0端固定时，有u x ==00.又如杆上的热传导问题中,当x =0端温度分布为)()(0t f u t f x ==时有. 一般地，用S 表示一维的某端点或二维区域的边界线或三维区域的边界面，则有, ),(S P t P f u S∈=称为第一类边界条件. 2. 第二类边界条件如弦的振动问题中,当x =l 端自由时，有∂∂unx l==0.又如杆上的热传导问题中,当x =l 端与外界处于绝热状态时有∂∂unx l==0，而当端面有热流f t 0()流入时，有∂∂u nf t x l==().一般地，有,),(S P t P f nu S∈=∂∂称为第二类边界条件. 3. 第三类边界条件如弦的两端垂直固定在弹性支承上:.0)( 0 ,),( ,0),0,( ),()( :,0 02222000=-∂∂=-∂∂∂∂→∆>∂∂∆=-+∂∂∆====+=∆+=x x x x xx ku x uT uk x uT x t u x u x t u x u k x uT x x 或得有界由令故取为负值而弹性体恢复力向下为则此微段上的受力情况端取一微段在ξξρ.0)( 0 ,),( ,0)0,( ),()()( :),0](,[ 022220=+∂∂=-∂∂-∂∂→∆<∂∂∆-=-+∂∂-<∆∆+====-=∆+=x lx lx l x xl x ku x uT uk x uT x t u x u xt u x u k xuT x l x l l x 或得有界由令而弹性体恢复力向上为则此微段上的受力情况端取一微段在ξξρ如果在热传导过程中，物体Ω的内部和周围介质通过边界S 有热量交换，以u 1表示和物体接触的介质的温度,这时利用另一个热传导实验定律：从一介质流入另一介质的热量和两个介质的温度差成正比，即,)(11dSdt u u k dQ -=得S 上流速（单位时间单位面积通过的热量）为Su u k dSdt dQ)(11-=(*)其中k 1是两介质间的热交换系数.在物体内部任取一个无限贴近于边界S 的闭曲面Γ，由于在Γ内侧热量不能积累，所以在Γ上的热量流速应等于边界S 上的热量流速，而在Γ上由于热量dQ k u n dSdt dQ dSdt=-∂∂,得流速为=-k u n ∂∂Γ，假设内部温度低，则速度方向均向内，故有),/( )(111S k k u u n u u u k n u kS SS 的极限为Γ==⎪⎭⎫⎝⎛+⇒-=-Γσσσ∂∂∂∂一般地，有∂∂σu n u f P t P S+⎛⎝ ⎫⎭⎪=∈(,) S.称为第三类边界条件.对于以上的三类边界条件，当f =0称为是齐次边界条件，否则称为非齐次边界条件. 注意：第三类边界条件形式不能简单地视为第一类、第二类两类边界条件的和使用.§1.3 定解问题的提法解（古典解）: 如果一个函数具有偏微分方程中所需要的各阶连续偏导数，并且代入 该方程能使它成为恒等式，则此函数称为该方程的解（古典解）.定解条件： 初始条件与边界条件都称为定解条件。
