第五章 第五节 数列的综合应用

第五节 数列的综合应用预习设计 基础备考知识梳理1．等差、等比交汇，考查数列的综合问题2．以递推关系为背景，考查数列的通项与前n 项和3．数列与函数、不等式交汇，考查数列的综合应用4．以实际问题为背景，考查数列的应用(1)解答数列应用题的步骤：①审题——仔细阅读材料，认真理解题意．②建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么．③求解——求出该问题的数学解，④还原——将所求结果还原到原实际问题中．(2)数列应用题常见模型：①等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差．②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列，这个固定的数就是公比．(3)与银行利率相关的几类模型：①银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和=y ，属于等差模型，②银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和=y ，属于等比模型．③产值模型：原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，对于时间x 的总产值=y(4)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，是随项的变化而变化时，应考虑是 n a 与1+πa 的递推关系，还是前n 项和n s 与1+n s 之间的递推关系．(5)分期付款模型；设贷款总额为a ，年利率为r ，等额还款数为b ，分n 期还完，则=b典题热身1．已知等差数列}{n a 的公差,0=/d 它的第1，第5，第17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是( )4.A 3.B 2.c 21.D 答案：B2．已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且曲线322+-=x x y 的顶点是(b ，c)，则ad 等于( ) 3.A 2.B 1.c 2.-D答案：B3．数列}{n a 的通项公式是关于x 的不等式)(2⋅∈<-N n nx x x 的解集中的整数个数，则数列}{,l a 的前n 项和=n s ( )2.n A )1(.+n n B 2)1(.+n n c )2)(1.(++n n D 答案：C4．某种产品三次调价，单价由原来的每克512元降到216元，则这种产品平均每次降价的百分率为 答案：25%5．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的71是较少的两份之和，最小的一份的量为 答案：35课堂设计 方法备考题型一 等差、等比数列的综合应用【例1】已知各项均为正数的数列}{n a 前n 项和为,n s 首项为,1a 且n n S a ,,2成等差数列．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若,,log 2nn n n n a bc a b ==求数列}{n c 的前n 项和⋅n T 题型二 数列与函数的综合应用【例2】已知,0(log )(>=a x x f u 且),1=/a 设),(),(21a f a f ))((,*∈⋅⋅N n a f n 是首项为4，公差为2的等差数列．(1)若a 为常数，求证：}{n a 是等比数列；(2)若}{),(n n n n b a f a b =的前n 项和是,n s 当2=a 时，求⋅n s题型三 数列在实际问题中的应用【例3】某市2008年共有1万辆燃油型公交车，有关部划于2009年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交年的投入比上一年增加50%，试问：(1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公交车？(2)到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交量的?31)48.0~3lg ,30.0~2lg ,82.2~657(lg 题型四 数列与函数、不等式的综合问题【例4】已知点)31,1(是函数)1,0()(=/>=a a a x f x 且的图像上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为 ,)(c n f -数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n s 满足+=--n n n s s s 1).2(|1≥-n s n(1)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；(2)若数列}1{1+n n b b 的前n 项和为,n T 问：满足20091000>n T 的最小正整数n 是多少？ 技法巧点(1)深刻理解等差（比）数列的性质，熟悉它们的推导过程是解题的关键，两类数列性质既有相似之处，又有区别，要在应用中加强记忆，同时，用好性质也会降低解题的运算量，从而减少差错．(2)在等差数列与等比数列中，经常要根据条件列方程（组）求解．在解方程（组）时，仔细体会两种情形中解方程（组）的方法的不同之处．(3)数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角函数、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度，解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解 题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等．(4)在现实生活中，人口的增长、产量的增加、成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题等，都可以利用数列来解决，因此要会在实际问题中抽象出数学模型，并用它解决实际问题．失误防范1．等比数列的前n 项和公式要分两种情况：公比等于1和公比不等于1．最容易忽视公比等于1的情况，要注意这方面的练习，2．解决数列的应用问题必须准确计算项数，例如与“年数”有关的问题，必须确定起算的年份，而且应准确定义n a 是表示“第n 年”还是“n 年后”，随堂反馈1．等差数列}{n a 的前n 项和为,52,18,139-=-=s s s n 等比数列}{n b 中，,,7755a b a b ==则15b 的值为( )64.A 64.-B 128.c 128.-D2．某工厂总产值月平均增长率为p ，则年平均增长率为( )P A . P B 12. 12)1.(P c + 1)1.(12-+P D答案：D3．（2011．兰州模拟）根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量n s （万件）近似地满足关系式),12,,2,1)(5ln 2(902 =--=n n n s n 按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 ( )A ．5、6月B ．6、7月C ．7、8月D ．8、9月、答案：C4．（2011．济南模拟）已知数列}{n a 是首项为41=a 的等比数列，且3512,,4a a a -成等差数列，则其公比q 等于( )1.A 1.-B 11.-或C2.D答案：C5．设x ，y 为正数，且y a a x ,,,21成等差数列，y b b x ,,,21成等比数列，则21221)(b b a a +的最小值是 答案：4高效作业 技能备考一、选择题1．各项都是正数的等比数列}{n a 中，132,21,a a a 成等差数列，则4354a a a a ++的值为( ) 215.-A 215.+B 251.-c 215215.+-或D 答案：B2．（2011．黄冈模拟）据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是 ( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟答案：C3．数列}{,l a 中，*),.(73N n n a n ∈-=数列}{n b 满足,311=b ,2271≥=-n b b n n （且*),N n ∈若n k n b a log +为常数，则满足条件的k 值( )A ．唯一存在，且为31 B ．唯一存在，且为3 C ．存在，且不唯一 D ．不一定存在 答案：B4．（2011．抚顺模拟）已知数列}{n a 满足.11=+-+n n a a ,.2≥n 点0是平面上不在L 上的任意一点，L 上有不重合的三点A 、B 、C ，又知,20092a a =+则=2010s （ ) 1004.A 2010.B 2009.c 1005.D答案：D5．抛物线1)12()(22++-+=x n x n n y 与x 轴交点分别为*),(,N n B A n n ∈以||n n B A 表示该两点的距离，则+||11B A ||||2010201022B A B A ++ 的值是( ) 20102009.A 20112010.B 20122011.c 20132012.D 答案：B6．(2011．舟山一模)已知数列}{},{n n b a 满足,11=a 且1,+n n a a 是函数n n x b x x f 2)(2+-=的两个零点，则10b 等于 ( )24.A 32.B 48.c 64.D答案：D二、填空题7．已知等比数列}{n a 中，,132=>a a 则使不等式+-)1(11a a +-)1(22a a +-)1(33a a 0)1(≥-+nn a a 成立的最大自然数n 是 答案：58．已知函数,tan sin )(x x x f +=项数为27的等差数列}{n a 满足),2,2(ππ-∈n a 且公差,0=/d 若 +++...)()(21a f a f ,0)(27=a f 则当=k 时，.0)(=k a f答案：149．(2011．银川模拟)在各项均为正数的数列}{n a 中，n s 为前n 项和，1221)1(++++=n n n n a a a n na 且,3π=a 则=4tan S 答案：3三、解答题10.（2011．湖南高考）某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75℅(1)求第n 年初M 的价值n 。

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课时提升作业(三十四)一、选择题1.等差数列{a n }的公差为3，若a 2,a 4,a 8成等比数列，则a 4=( ) (A)8 (B)10 (C)12 (D)162.等差数列｛a n ｝的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )(A)90 (B)100 (C)145 (D)1903.(2013·济南模拟)某火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km,以后每秒钟通过的路程增加2 km,在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间为( )(A)10秒钟 (B)13秒钟 (C)15秒钟 (D)20秒钟4.(2013·石家庄模拟)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小一份为( ) (A)53(B)103(C)56 (D)1165.(2013·海淀模拟)已知数列{a n }满足：a 1=1,a n >0,22n 1n a a +-=1(n ∈N *)，那么使a n <5成立的n 的最大值为( )(A)4 (B)5 (C)24 (D)25 6.(2013·合肥模拟)已知数列{a n }为等差数列，公差为d,若1110a a ＜-1，且它的前n项和S n有最大值，则使得S n＜0的n的最小值为( )(A)11 (B)19 (C)20 (D)217.在1到104之间所有形如2n和3n(n∈N*)的数，它们各自之和的差的绝对值为(lg 2≈0.301 0)( )(A)1 631 (B)6 542 (C)15 340 (D)17 4248.(能力挑战题)甲、乙两间工厂的月产值在2012年元月份时相同,甲以后每个月比前一个月增加相同的产值.乙以后每个月比前一个月增加产值的百分比相同.到2012年11月份发现两间工厂的月产值又相同.比较甲、乙两间工厂2012年6月份的月产值大小，则有( )(A)甲的产值小于乙的产值 (B)甲的产值等于乙的产值(C)甲的产值大于乙的产值 (D)不能确定二、填空题9.(2013·温州模拟)设曲线y=x n(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为a n,则数列{n a}的前n项和S n等于___________.n110.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.11.(2013·山东师大附中模拟)已知S n是等差数列{a n}的前n项和，S10＞0并且S11=0，若S n≤S k对n∈N*恒成立，则正整数k构成的集合为_______.12.(能力挑战题)数列{a n}的前n项和记为S n，a1=t，点(S n,a n+1)在直线y=2x+1上，n∈N*，若数列{a n}是等比数列，则实数t=__________.三、解答题13.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,S 3,S 2成等差数列， (1)求{a n }的公比q. (2)若a 1-a 3＝3，求S n .14.(2012·安徽高考)设函数f(x)=x 2+sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为{x n }.(1)求数列{x n }的通项公式.(2)设{x n }的前n 项和为S n ，求sin S n .15.(2013·宁波模拟)在等差数列{a n }中，a 1=3，其前n 项和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，b 1=1，公比为q ，且b 2+S 2=12，q=22S b . (1)求a n 与b n . (2)证明：12n 111123S S S 3≤+++<….答案解析1.【解析】选C.令首项为a ，根据条件有(a+9)2=(a+3)〃(a+21)⇒a=3， a 4=3+3〓3=12.故选C.2.【解析】选B.设公差为d ，则(1+d)2=1〃(1+4d). ∵d ≠0，解得d ＝2，∴S 10＝100.3.【解析】选C.设每一秒钟通过的路程依次为a 1,a 2,a 3,…,a n ，则数列{a n }是首项a 1=2,公差d=2的等差数列，由求和公式有1n(n 1)dna 2402-+=,即2n+n(n-1)=240,解得n=15.4.【解析】选A.设五个人所分得的面包为a-2d,a-d,a,a+d,a+2d(其中d ＞0)，则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100,∴a=20. 由17(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d,得3a+3d=7(2a-3d)， ∴24d=11a,∴d=556， 所以，最小的一份为a-2d=20-110563=. 5.【解析】选C.由a 1=1,a n >0,22n 1n a a +-=1(n ∈N *)可得2n a n =,即n a =,要使a n <5，则n<25,故选C.6.【思路点拨】解答本题首先要搞清条件“1110a a ＜-1”及“S n 有最大值”如何使用，从而列出关于a 1,d 的不等式组，求出1a d的取值范围，进而求出使得S n ＜0的n 的最小值，或者根据等比数列的性质求解.【解析】选C.方法一：由题意知d ＜0,a 10＞0,a 11＜0,a 10+a 11＜0,由111a 9d 0,a 10d 0,2a 19d 0,d 0,+⎧⎪+⎪⎨+⎪⎪⎩＞＜＜＜得1a 1992d --＜＜.∵()2n 11n n 1d dS na d n (a )n 222-=+=+-, 由S n =0得n=0或n=1-12a d. ∵12a 19120d-＜＜, ∴S n ＜0的解集为{*12a n N |n 1d∈-＞}, 故使得S n ＜0的n 的最小值为20.方法二：由题意知d ＜0,a 10＞0,a 11＜0,a 10+a 11＜0,由a 10＞0知S 19＞0,由a 11＜0知S 21＜0, 由a 10+a 11＜0知S 20＜0,故选C. 7.【解析】选B.由2n <104，得44n lg20.301 0<≈≈13.29，故数列{2n }在1到104之间的项共有13项，它们的和1312(21)S 16 38221-==-；同理数列{3n }在1到104之间的项共有8项，它们的和823(31)S 9 84031-==-， ∴|S 1-S 2|=6 542.8.【解析】选C .设甲各个月份的产值构成数列{a n }，乙各个月份的产值构成数列{b n }，则数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列，且a 1=b 1,a 11=b 11，故a 6=1116a a b 2+≥===，由于在等差数列{a n }中的公差不等于0，故a 1≠a 11，上面的等号不能成立，故a 6>b 6，即6月份甲的产值大于乙的产值. 9.【解析】∵y ′=nx n-1-(n+1)x n ,∴y ′|x=2=n 〃2n-1-(n+1)〃2n =-n 〃2n-1-2n , ∴切线方程为y+2n =(-n 〃2n-1-2n )(x-2), 令x=0得y=(n+1)〃2n ，即a n =(n+1)〃2n , ∴n n a 2n 1=+,∴S n =2n+1-2. 答案:2n+1-210.【解析】设开始纯酒精体积与总溶液体积之比为1，操作一次后纯酒精体积与总溶液体积之比11a 2=，设操作n 次后，纯酒精体积与总溶液体积之比为a n ,则a n+1=a n 〃12, ∴n 1n n n 1111a a q (),()2210-==∴<，得n ≥4. 答案:4【方法技巧】建模解数列问题对于数列在日常经济生活中的应用问题，首先分析题意，将文字语言转化为数学语言，找出相关量之间的关系，然后构建数学模型，将实际问题抽象成数学问题，明确是等差数列问题、等比数列问题，是求和还是求项，还是其他数学问题，最后通过建立的关系求出相关量.11.【解析】在等差数列{a n }中，由S 10＞0,S 11=0得，()110101105610a a S 0a a 0a a 0,2+=⇒+⇒+＞＞＞ ()11111111611a a S 0a a 2a 0,2+==⇒+==故可知，等差数列{a n }是递减数列且a 6=0, 所以S 5=S 6≥S n ,即k=5或6. 答案:{5，6}12.【思路点拨】得出关于a n+1,S n 的式子，降低一个角标再得一个关于a n ,S n-1的式子，两个式子相减后得出a n+1,a n 的关系，可得数列{a n }中，a 2,a 3,a 4,…为等比数列，只要21a a 等于上面数列的公比即可. 【解析】由题意得a n+1=2S n +1, a n =2S n-1+1(n ≥2),两式相减得a n+1-a n =2a n ，即a n+1=3a n (n ≥2), 所以当n ≥2时，{a n }是等比数列， 要使n ≥1时，{a n }是等比数列，则只需21a 2t 1a t+==3，从而t=1. 答案:113.【解析】(1)依题意有a 1+(a 1+a 1q)=2(a 1+a 1q+a 1q 2),由于a 1≠0，故2q 2+q=0. 又q ≠0，从而q=-12. (2)由已知可得a 1-a 1(-12)2=3, 故a 1=4,从而n n n 14[1()]812S [1()]1321()2--==----. 14.【思路点拨】(1)根据导数，x n 的左侧导函数小于0，x n 的右侧导函数大于0，求出极小值点.(2)由(1)求出{x n }的前n 项和为S n ，再代入sin S n 求解. 【解析】(1)f(x)=x 2+sin x,令f'(x)=12+cos x=0,得x=2k π〒23π(k ∈Z), f'(x)>0⇒2k π-23π<x<2k π+23π(k ∈Z), f'(x)<0⇒2k π+23π<x<2k π+43π(k ∈Z),当x=2k π-23π(k ∈Z)时，f(x)取极小值,x n =2n π-23π(n ∈N *).(2)由(1)得：x n =2n π-23π,S n =x 1+x 2+x 3+…+x n =2π(1+2+3+…+n)-2n 3π=n(n+1)π-2n 3π.当n=3k(k ∈N *)时，sin S n =sin(-2k π)=0, 当n=3k-1(k ∈N *)时，sin S n =sin 23π=2, 当n=3k-2(k ∈N *)时，sin S n=sin43π=.所以**n *0,n 3k,k N ,sin S n 3k 1,k N ,n 3k 2,k N .⎧⎪=∈==-∈⎪⎪=-∈⎪⎩15.【解析】(1)设{a n }的公差为d ，因为2222b S 12,S q ,b +=⎧⎪⎨=⎪⎩所以q 6d 12,6d q ,q ++=⎧⎪+⎨=⎪⎩ 解得q=3或q=-4(舍)，d=3. 故a n =3+3(n-1)=3n ，b n =3n-1. (2)因为n n(33n)S 2+=， 所以()n 12211()S n 33n 3n n 1==-++. 故12n111S S S +++… =2111111121[(1)()()()](1)322334n n 13n 1-+-+-+⋯+-=-++.因为n ≥1，所以110n 12<≤+，于是11112n 1≤-<+， 所以1212(1)33n 13≤-<+. 即12n 111123S S S 3≤++⋯+<. 关闭Word 文档返回原板块。

第三章 第五节 数列的综合应用数列，则a m ＋cn 等于 ( )A.4B.3C.2D.1解析：由题意得b 2＝ac ,2m ＝a ＋b ,2n ＝b ＋c ，则a m ＋c n ＝an ＋cmmn＝2222b c a b a c a b b c +++++＝22ab ac ac bcab ac b bc ++++++＝2. 答案：C2.数列{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有( ) A.a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B.a 3＋a 9≥b 4＋b 10 C.a 3＋a 9≠b 4＋b 10D.a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小不确定解析：∵a3＋a 9≥＝2a 6＝2b 7＝b 4＋b 10，当且仅当a 3＝a 9时， 不等式取等号. 答案：B3.(文)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a 2＝3，S 6＝36. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }是等比数列且满足b 1＋b 2＝3，b 4＋b 5＝24.设数列{a n ·b n }的前n 项 和为T n ，求T n .解：(1)∵数列{a n }是等差数列， ∴S 6＝3(a 1＋a 6)＝3(a 2＋a 5)＝36.∵a 2＝3，∴a 5＝9，∴3d ＝a 5－a 2＝6，∴d ＝2， 又∵a 1＝a 2－d ＝1，∴a n ＝2n －1.(2)由等比数列{b n }满足b 1＋b 2＝3，b 4＋b 5＝24，得4512b b b b ++＝q 3＝8，∴q ＝2，∵b 1＋b 2＝3，∴b 1＋b 1q ＝3，∴b 1＝1，b n ＝2n －1， ∴a n ·b n ＝(2n －1)·2n －1.∴T n ＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －3)·2n －2＋(2n －1)·2n －1，则2T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，两式相减得(1－2)T n ＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋2·2n －2＋2·2n －1－(2n －1)·2n ，即－T n ＝1＋2(21＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n＝1＋2(2n －2)－(2n －1)·2n ＝(3－2n )·2n －3， ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3.(理)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，数列{a n ＋S n }是公差为2的等差数列. (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列{a n －2}为等比数列； (3)求数列{na n }的前n 项和T n .解：(1)∵数列{a n ＋S n }是公差为2的等差数列， ∴(a n ＋1＋S n ＋1)－(a n ＋S n )＝2，即a n ＋1＝22n a +. ∵a 1＝1，∴a 2＝32，a 3＝74.(2)证明：由题意得a 1－2＝－1，又∵122n n a a +--＝2222n n a a +--＝12，∴{a n －2}是首项为－1，公比为12的等比数列.(3)由(2)得a n －2＝－(12)n －1，∴na n ＝2n －n ·(12)n －1，∴T n ＝(2－1)＋(4－2·12)＋[6－3·(12)2]＋…＋[2n －n ·(12)n －1]，＝(2＋4＋6＋…＋2n )－[1＋2·12＋3·(12)2＋…＋n ·(12)n －1]，设A n ＝1＋2·12＋3·(12)2＋…＋n ·(12)n －1，①∴12A n ＝12＋2·(12)2＋3·(12)3＋…＋n ·(12)n ，②①－②得12A n ＝1＋12＋(12)2＋…＋(12)n －1－n ·(12)n ，∴12A n ＝11()2112n--－n ·(12)n ，∴A n ＝4－(n ＋2)·(12)n －1， ∴T n ＝(22)2n n +＋(n ＋2)·(12)n －1－4＝(n ＋2)·(12)n －1＋n (n ＋1)－4.4.若数列{a n }满足1n na a +-＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列.已知 数列{1x n}为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝ .解析：由题意，若{a n }为调和数列，则{1a n }为等差数列，所以{1x n }为调和数列，则可得数列{x n }为等差数列，由等差数列的性质可知，x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝ x 2＋x 19＝…＝20010＝20.答案：205.(2010·安庆模拟)某市2009年11月份曾发生流感，据统计，11月1日该市新的流 感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人， 由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染 者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30日内感染该病 毒的患者总共8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一 天的新患者人数.解：设第n 天新患者人数最多，于是，前n 天每天新感染者的总人数构成一个首项为 20，公差为50的等差数列，前n 天流感病毒感染者总人数S n ＝20n ＋n (n －1)2×50＝25n 2－5n (1≤n ≤30，n ∈N)，后30－n 天每天新增流感病毒感染者构成一个首项为20＋(n －1)×50－30＝50n －60，公差为30，项数为30－n 的等差数列，而后30－n 天的流感 病毒感染者总人数T n ＝(30－n )(50n －60)＋(30)(29)2n n --×(－30)＝－65n 2＋2445n －14850，依题设构建方程有，S n ＋T n ＝8670， ∴25n 2－5n ＋(－65n 2＋2445n －14850)＝8670，化简，n 2－61n ＋588＝0，∴n ＝12或n ＝49(舍)，第12天的新的患者人数为20＋ (12－1)·50＝570人.故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，新患者人数为570人.6.2个， 现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( ) A.6秒钟 B.7秒钟 C.8秒钟 D.9秒钟解析：设至少需要n 秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n －1≥100，∴1212n --≥100，∴n ≥7. 答案：B7.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元， 第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名 恰好资金分完，则此科研单位共拿出 万元资金进行奖励.解析：设第10名到第1名得的奖金数分别是a 1，a 2，…，a 10，则a n ＝12S n ＋1，则a 1＝2，a n －a n －1＝12a n ，即a n ＝2a n －1，因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S 10＝2(1－210)1－2＝2046.答案：20468.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，若1<S k <9(k ∈N *)，则k 的值为 .解析：∵S n ＝23a n －13，∴S 1＝23a 1－13＝a 1，a 1＝－1.a n ＝S n －S n －1(n >1)，即a n ＝(23a n －13)－(23a n －1－13)＝23a n －23a n －1，整理得：a na n －1＝－2，∴{a n }是首项为－1，公比为－2的等 比数列，S k ＝a 1(1－q k )1－q ＝(－2)k －13，∵1<S k <9，∴1<(－2)k －13<9，即4<(－2)k <28，仅当k ＝4时不等式成立. 答案：49.(2010·徐州模拟)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝2－2S n ；数列{a n }为等差数列， 且a 5＝14，a 7＝20. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n ·b n (n ＝1,2,3…)，T n 为数列{c n }的前n 项和，求证：T n <72.解：(1)由b n ＝2－2S n ，令n ＝1，则b 1＝2－2S 1，又S 1＝b 1，所以b 1＝23b 2＝2－2(b 1＋b 2)，则b 2＝29当n ≥2时，由b n ＝2－2S n ，可得b n －b n －1＝－2(S n －S n －1)＝－2b n 即b n b n －1＝13所以{b n }是以b 1＝23为首项，13为公比的等比数列，于是b n ＝2·13n .(2)数列{a n }为等差数列，公差d ＝12(a 7－a 5)＝3，可得a n ＝3n －1从而c n ＝a n ·b n ＝2(3n －1)·13n∴T n ＝2[2·13＋5·132＋8·133＋…＋(3n －1)·13n ]，13T n ＝2[2·132＋5·133＋…＋(3n －4)·13n ＋(3n －1)·13n ＋1] ∴23T n ＝2[3·13＋3·132＋3·133＋…＋3·13n －13－(3n －1)·13n ＋1] 从而T n ＝72－72·13n －n 3n －1<72.10.(文)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N). (1)试判断数列{1a n}是否为等差数列；(2)设{b n }满足b n ＝1a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ，对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围. 解：(1)∵a 1≠0，∴a n ≠0， ∴由已知可得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，故数列{1a n}是等差数列.(2)由(1)的结论可得b n ＝1＋(n －1)×3，所以b n ＝3n －2， ∴S n ＝n (1＋3n －2)2＝n (3n －1)2.(3)将a n ＝1b n ＝13n －2代入λa n ＋1a n ＋1≥λ并整理得λ(1－13n －2)≤3n ＋1，∴λ≤(3n ＋1)(3n －2)3n －3，原命题等价于该式对任意n ≥2的整数恒成立.设C n ＝(3n ＋1)(3n －2)3n －3，则C n ＋1－C n ＝(3n ＋1)(3n －4)3n (n －1)>0，故C n ＋1>C n ，∴C n 的最小值为C 2＝283，∴λ的取值范围是(－∞，283].(理)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112上.数列{b n }满足b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，b 3＝11，且其前9项和为153. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝3(2a n －11)(2b n －1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值. 解：(1)由已知得S n n ＝12n ＋112，∴S n ＝12n 2＋112n .当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112(n －1)＝n ＋5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式. ∴a n ＝n ＋5.由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)知{b n }是等差数列， 由{b n }的前9项和为153，可得9(b 1＋b 9)2＝9b 5＝153，得b 5＝17，又b 3＝11，∴{b n }的公差d ＝b 5－b 32＝3，b 3＝b 1＋2d ，∴b 1＝5，∴b n ＝3n ＋2. (2)c n ＝3(2n －1)(6n ＋3)＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1). ∵n 增大，T n 增大，∴{T n}是递增数列.∴T n≥T1＝1 3.T n＞k57对一切n∈N *都成立，只要T1＝13＞k57，∴k＜19，则k max＝18.。

《数列综合应用举例》教案章节一：数列的概念与性质1.1 数列的定义1.2 数列的性质1.3 数列的通项公式1.4 等差数列与等比数列章节二：数列的求和2.1 等差数列求和2.2 等比数列求和2.3 数列的错位相减法2.4 数列的分组求和章节三：数列的极限3.1 数列极限的定义3.2 数列极限的性质3.3 数列极限的运算3.4 无穷小与无穷大章节四：数列的收敛性与发散性4.1 数列的收敛性4.2 数列的发散性4.3 数列收敛性的判断方法4.4 数列发散性的判断方法章节五：数列的应用5.1 数列在数学分析中的应用5.2 数列在概率论中的应用5.3 数列在数论中的应用5.4 数列在其他领域的应用《数列综合应用举例》教案（续）章节六：等差数列的应用6.1 等差数列在数学分析中的应用6.2 等差数列在物理中的应用6.3 等差数列在经济学中的应用6.4 等差数列在其他领域的应用章节七：等比数列的应用7.1 等比数列在数学分析中的应用7.2 等比数列在生物学中的应用7.3 等比数列在金融学中的应用7.4 等比数列在其他领域的应用章节八：数列的插值与逼近8.1 数列插值的概念与方法8.2 数列逼近的概念与方法8.3 等差数列与等比数列的插值与逼近8.4 数列插值与逼近在其他领域的应用章节九：数列的级数展开9.1 数列级数的概念9.2 数列级数的收敛性与发散性9.3 数列级数展开的方法9.4 数列级数展开在数学分析中的应用章节十：数列的应用实例分析10.1 数列在数学建模中的应用10.2 数列在信号处理中的应用10.3 数列在数据分析中的应用10.4 数列在其他学科中的应用实例分析《数列综合应用举例》教案（续）章节十一：数列与函数的关系11.1 数列与函数的定义11.2 数列与函数的性质11.3 数列与函数的转化11.4 数列与函数在数学分析中的应用章节十二：数列的线性表征12.1 数列的线性表征方法12.2 数列的线性表征性质12.3 数列的线性表征应用12.4 数列的线性表征在其他领域的应用章节十三：数列的矩阵表示13.1 数列矩阵表示的概念13.2 数列矩阵表示的性质13.3 数列矩阵表示的运算13.4 数列矩阵表示在数学分析中的应用章节十四：数列的变换与映射14.1 数列变换的概念与方法14.2 数列映射的概念与方法14.3 等差数列与等比数列的变换与映射14.4 数列变换与映射在其他领域的应用章节十五：数列研究的现代方法15.1 数列研究的现代方法概述15.2 数列研究的计算机方法15.3 数列研究的随机方法15.4 数列研究的其他现代方法重点和难点解析本教案《数列综合应用举例》涵盖了数列的基本概念、性质、求和、极限、收敛性与发散性，以及数列在各个领域的应用。

第6课时 数列的综合应用1. 在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }的前n 项和，若S n 取得最大值，则n ＝________． 答案：9解析：设公差d ，由题设知3(a 1＋3d)＝7(a 1＋6d)，所以d ＝－433a 1<0.解不等式a n >0，即a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－433a 1>0，所以n<374，则n ≤9，当n ≤9时，a n >0，同理可得n ≥10，a n <0.故当n ＝9时，S n 取得最大值．2. 已知数列{a n }满足a 1＝43，2－a n ＋1＝12a n ＋6(n ∈N *)，则i ＝1n 1a i ＝________．答案：2·3n －n －24解析：条件化为1a n ＋1＝3a n ＋12，即1a n ＋1＋14＝3⎝⎛⎭⎫1a n ＋14，所以1a n ＝3n －1－14，故∑i ＝1n 1a i ＝1－3n 1－3－n 4＝2×3n －2－n 4.3. 已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝________．答案：3＋22解析：∵ a 1，12a 3，2a 2成等差数列，∴ 2×12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2，设等比数列{a n }的公比为q 且q ＞0，则a 3＝a 1q 2，a 2＝a 1q ，∴ a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴ q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋2或1－2(舍)，a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 9（1＋q ）a 7（1＋q ）＝q 2＝(2＋1)2＝3＋2 2.4. 已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________． 答案：16 解析：因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.5. 现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝__________．答案：16解析：设每节竹竿的长度对应的数列为{a n }，公差为d ，(d ＞0)．由题意知a 1＝10，a n ＋a n －1＋a n －2＝114，a 26＝a 1a n .由a n ＋a n －1＋a n －2＝114，得3a n －1＝114，解得a n －1＝38，所以(a 1＋5d)2＝a 1(a n －1＋d)，即(10＋5d)2＝10(38＋d)，解得d ＝2，所以a n －1＝a 1＋(n －2)d ＝38，即10＋2(n －2)＝38，解得n ＝16.6. (2014·扬州期末)设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，则S n ＋10a n的最小值是__________．答案：21解析：由题设知S n ＝⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＋d 2n 2，又S n 为等差数列，从而a 1＝d 2，从而a n ＝a 1＋(n －1)d ＝d ⎝⎛⎭⎫n －12，S n ＝d2n 2，∴ S n ＋10a n ＝d 2（n ＋10）2d ⎝⎛⎭⎫n －12＝（n ＋10）22⎝⎛⎭⎫n －12＝（n ＋10）22n －1.令2n －1＝t(t ≥1)，原式＝⎝⎛⎭⎫t ＋12＋102t ＝14·⎝⎛⎭⎫t ＋212t ＋42，从而当t ＝21时，即n ＝11时，原式取到最小值21.7. (2014·南京学情调研)已知{a n }是等差数列，其前n 项的和为S n, {b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30.(1) 求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2) 记c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q.由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d.由条件a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝21，8＋6d ＋2q 3＝30， 解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.所以a n ＝n ＋1，b n ＝2n ，n ∈N *.(2) 由题意知，c n ＝(n ＋1)×2n .记T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n .则T n ＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n ×2n －1 ＋(n ＋1)×2n ，2 T n ＝2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ＋(n ＋1)2n ＋1，所以－T n ＝2×2＋(22＋23＋…＋2n )－(n ＋1)×2n ＋1, 即T n ＝n·2n ＋1，n ∈N *. 8. 已知{a n }为等差数列，且a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12. (1) 求{a n }的通项公式；(2) 记{a n }的前n 项和为S n ，若a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，求正整数k 的值． 解：(1) 设数列{a n }的公差为d ，由题意知 ⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝8，2a 1＋4d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n.(2) 由(1)可得S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （2＋2n ）2＝n(n ＋1)．因为a 1，a k ，S k ＋2成等比数列，所以a 2k ＝a 1S k ＋2.从而(2k)2＝2(k ＋2)(k ＋3)，即k 2－5k －6＝0， 解得k ＝6或k ＝－1(舍去)，因此k ＝6.9. 设数列{a n }是首项为4，公差为1的等差数列，S n 为数列{b n }的前n 项和，且S n ＝n 2＋2n. (1) 求{a n }及{b n }的通项公式a n 和b n ；(2) 若f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为正奇数，b n ，n 为正偶数，是否存在k ∈N *使f(k ＋27)＝4f(k)成立？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.解：(1) a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4＋n －1＝n ＋3. 当n ＝1时，b 1＝S 1＝3.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －(n －1)2－2(n －1)＝2n ＋1. 当n ＝1时上式也成立，∴ b n ＝2n ＋1(n ∈N *)． ∴ a n ＝n ＋3，b n ＝2n ＋1.(2) 假设符合条件的k(k ∈N *)存在，由于f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＋3，n 为正奇数，2n ＋1，n 为正偶数，∴ 当k 为正奇数时，k ＋27为正偶数．由f(k ＋27)＝4f(k)，得2(k ＋27)＋1＝4(k ＋3)．∴ 2k ＝43，k ＝432.(舍)当k 为正偶数时，k ＋27为正奇数，由f(k ＋27)＝4f(k)，得(k ＋27)＋3＝4(2k ＋1)．∴ 7k ＝26，∴ k ＝267.(舍)因此，符合条件的正整数k 不存在．10. 已知数列{a n }为等比数列，S n 是其前n 项的和，若S k ＋1，S k ＋3，S k ＋2(k ∈N *)成等差数列． (1) 求证：a k ＋1，a k ＋3，a k ＋2也成等差数列；(2) 试比较S 2k ＋1＋S 2k ＋2与2S 2k ＋3的大小．(1) 证明：∵ S k ＋1，S k ＋3，S k ＋2(n ∈N *)成等差数列， ∴ S k ＋1＋S k ＋2＝2S k ＋3，∴ (S k ＋3－S k ＋2)＋(S k ＋3－S k ＋1)＝0，即a k ＋3＋(a k ＋3＋a k ＋2)＝0，2a k ＋3＋a k ＋2＝0，∴ q ＝－12.∴ 2a k ＋3－(a k ＋1＋a k ＋2)＝a k ＋1(2q 2－q －1)＝0， ∴ a k ＋1，a k ＋3，a k ＋2成等差数列．(2) 解：(解法1)∵ S 2k ＋1＋S 2k ＋2≥（S k ＋1＋S k ＋2）22＝（2S k ＋3）22＝2S 2k ＋3， 又S k ＋2－S k ＋1＝a k ＋2≠0，S k ＋2≠S k ＋1，∴ S 2k ＋1＋S 2k ＋2>2S 2k ＋3.(解法2)S 2k ＋1＋S 2k ＋2－2S 2k ＋3＝a 21（1－q k ＋1）2（1－q ）2＋a 21（1－q k ＋2）2（1－q ）2－2a 21（1－q k ＋3）2（1－q ）2＝a 21（1－q ）2[(1－2q k ＋1＋q 2k ＋2)＋(1－2q k ＋2＋q 2k ＋4)－2(1－2q k ＋3＋q 2k ＋6)] ＝a 21（1－q ）2[2q k ＋1(2q 2－q －1)＋q 2k ＋2(1＋q 2－2q 4)] ＝a 21（1－q ）2q 2k ＋2(1＋q 2－2q 4)，(*)∵ q ＝－12，∴ 1＋q 2－2q 4＝1＋⎝⎛⎭⎫－122－2×⎝⎛⎭⎫－124＝98>0， ∴ 由(*)可知，S 2k ＋1＋S 2k ＋2＞2S 2k ＋3.11. 已知常数λ≥0，设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 1＝1，S n ＋1＝a n ＋1a nS n ＋(λ·3n ＋1)a n ＋1(n ∈N *)．(1) 若λ＝0，求数列{a n }的通项公式；(2) 若a n ＋1＜12a n 对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1) λ＝0时，S n ＋1＝a n ＋1a n S n ＋a n ＋1.又a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴ S n ＝a n ＋1a n S n.∵ a n ＞0，∴ S n ＞0.∴ a n ＋1＝a n . ∵ a 1＝1，∴ a n ＝1.(2) ∵ S n ＋1＝a n ＋1a n S n ＋(λ·3n ＋1)a n ＋1，a n ＞0，∴ S n ＋1a n ＋1－S na n＝λ·3n ＋1.则S 2a 2－S 1a 1＝λ·3＋1，S 3a 3－S 2a 2＝λ·32＋1，…，S n a n －S n －1a n －1＝λ·3n －1＋1(n ≥2)． 相加，得S n a n－1＝λ·(3＋32＋…＋3n －1)＋n －1.则S n ＝⎝⎛⎭⎫λ·3n －32＋n ·a n (n ≥2)． 上式对n ＝1也成立，∴ S n ＝⎝⎛⎭⎫λ·3n －32＋n ·a n (n ∈N *)． ① ∴ S n ＋1＝⎝⎛⎭⎫λ·3n ＋1－32＋n ＋1·a n ＋1(n ∈N *)． ②②－①，得a n ＋1＝(λ·3n ＋1－32＋n ＋1)·a n ＋1－(λ·3n －32＋n)·a n ，即(λ·3n ＋1－32＋n)·a n ＋1＝(λ·3n －32＋n)·a n .∵ λ≥0，∴ λ·3n －32＋n ＞0，λ·3n ＋1－32＋n ＞0.∵ a n ＋1＜12a n 对一切n ∈N *恒成立，∴ λ·3n －32＋n ＜12(λ·3n ＋1－32＋n)对一切n ∈N *恒成立．即λ＞2n3n ＋3对一切n ∈N *恒成立．记b n ＝2n 3n ＋3，则b n －b n ＋1＝2n3n ＋3－2n ＋23n ＋1＋3＝（4n －2）3n －6（3n ＋3）（3n ＋1＋3）. 当n ＝1时，b n －b n ＋1＝0； 当n ≥2时，b n －b n ＋1＞0；∴ b 1＝b 2＝13是一切b n 中的最大项．综上所述，λ的取值范围是λ＞13.。