高考数学 第五章 第五节 数列的综合应用课件 文 北师大版

则{an}的公比为______．
【解析】设公比为q,则an=a1qn-1，又4S2=S1+3S3， 即4(a1+a1q)=a1+3(a1+a1q+a1q2)，q 解 得13 . 答案：1
3
考向1 等差数列与等比数列的综合
【典例1】（1）已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项
和，且S1,S2,S4成等比数列,则
k2-2k-8=0，解得k1=4,k2=-2（舍去）．
3．已知x>0，y>0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数
列，则 a b 2 的最小值是( )
cd
(A)0
(B)1
(C)2
(D)4
【解析】选D.∵a+b=x+y,cd=xy,
2
∴
ab2 xy2 2 xy
4.
cd
xy
xy
4.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，
【规范解答】（1）选C.设等差数列{an}的公差为d，且d≠0，
∵S1,S2,S4成等比数列，∴S22=S1S4,
(a1
a2)2
a1
4a1 a4
2
,
2a1 d2 2a12a1 3d,
∴d2=2a1d,解得d=2a1或d=0（舍去）,
∴ a2a3a1da12d8a18,
a1
a1
a1
故选C.
（2）①设等差数列的公差为d，根据a1+a2+a3=-3可得a2=1，进而得a1a3=-8， 即(a2-d)(a2+d)=-8， 所以1-d2=-8，解得d=±3． 当d=3时，a1+3=-1，得a1=-4， 此时an=-4+(n-1)×3=3n-7； 当d=-3时，a1-3=-1，得a1=2， 此时an=2+(n-1)×(-3)=-3n+5． ∴{an}的通项公式为an=3n-7或an=-3n+5.

②d=3时，a2=-1，a3=2,a1=-4, 此时a2,a3,a1成等比数列； 当d=-3时，a2=-1,a3=-4,a1=2， 此时a2,a3,a1不是等比数列，故an=3n-7，这个数列的第一、 二两项为负值，从第三项开始为正值． 方法一：当n≤2时，|an|=7-3n，这是一个首项为4，公差为3的等差数列，
列，则{an}的前n项和Sn=( )
(A)n 2 7 n (B) n 2 5 n (C) n 2 3 n (D)n2+n
44
33
24
【解析】选A.设数列{an}的公差为d，则根据题意得
(2+2d)2=2·(2+5d)，解得d 1 或d=0（舍去），所以数列{an}
2
的前n项和 S n2nnn 2 11 2n 4 27 4 n.
确．
（2）正确．根据等比数列各个元素之间的关系知正确．
（3）错误．1
n2
1对n≥2才有意义．
n(n 1)
（4）错误．函数在自变量离散的地方不存在导数，必须先把
函数的定义域拓展到连续的实数区间上才能求导．
答案：（1）√ （2）√ （3）× （4）×
1．设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1,a3,a6成等比数
（2）数列应用题常见模型. ①等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模 型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差. ②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时， 该模型是等比模型，这个固定的数就是公比. ③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固 定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an+1的递推关系，还是 前n项和Sn与前n+1项和Sn+1之间的递推关系.
故S n 4 n n n 2 1 3 3 n 2 2 1 1 2 n ；
当n>2时，|an|=an=3n-7，此时这个数列从第三项起是一个 公
差为3的等差数列，故
Sn=|a1|+|a2|+a3+a4+…+an
= 5 (4 +n 1 )+2 [ 22 + 53 +n … 7 +( 3 n3 -n 72 ) ] 1 1 n 1 0 ．
2.设等差数列{an}的公差d不为0,a1=9d.若ak是a1与a2k的等比中 项，则k=( )
(A)2
(B)4 (C)6 (D)8
【解析】选B.由等差数列{an}且a1=9d，得 ak=a1+(k-1)d=(k+8)d， a2k=a1+(2k-1)d=(2k+8)d. 又∵ak是a1与a2k的等比中项，则有 a2k a1a2k, 即[(k+8)d]2=9d×[(2k+8)d]得
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）. （1）在等差数列{an}中，首项a1、公差d、前n项和Sn、通项an、 项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出 另外两个．( ) （2）在等比数列{an}中，首项a1、公比q、前n项和Sn、通项an、 项数n，这五个元素中只要已知其中的三个，就一定能够求出 另外两个．( )
a
2
a1
a
3
=(
)
(A)4 (B)6 (C)8
(D)10
（2）（2012·湖北高考）已知等差数列{an}前三项的和为 -3，前三项的积为8.
①求等差数列{an}的通项公式； ②若a2，a3，a1成等比数列，求数列{|an|}的前n项和.
【思路点拨】（1）由等比中项的性质列出S22=S1S4,再代入等 差数列的通项公式和前n项和公式，用a1和公差d表示出来，求 出a1和d的关系，进而求出式子的比值. (2)①根据已知条件，列出方程求出首项和公差，根据等差数 列通项公式可得结果． ②根据a2，a3，a1成等比数列确定等差数列的公差，按照项的 符号分段求解数列{|an|}的前n项和.
（3）数列与不等式问题中经常使用放缩的方法，则对n∈N+有
nn11n12 nn11．( )
（4）数列与函数问题中有时会使用导数的方法，证明不等式
2n>n时，可以构造函数f(n)=2n-n（n∈N+），然后对这个函数
求导，研究函数的性质得出所证不等式．( )
【解析】(1)正确．根据等差数列各个元素之间的关系知正
第五节 数列的综合应用
数列的实际应用 (1)解答数列应用题的步骤. ①审题——仔细阅读材料，认真理解题意. ②建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转 化成数学问题，弄清该数列的结构和特征. ③求解——求出该问题的数学解. ④还原——将所求结果还原到原实际问题中.
具体解题步骤用框图表示如下：