2020版一轮创新思维文数(人教版A版)课件：第五章第五节数列的综合应用.ppt[文字可编辑]

课时规范练 A 组基础对点练3 * 1. （2018嘉兴调研）已知a n =亦二而（n€ N ），数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,则使 各>0的n 的 最小值为（ ）A . 99B . 100C . 101D . 102、、3解析： 由通项公式得 a 1 + a 100= a 2 + a ?9= a 3+ a 98 =••• = a 50 + a 51 = 0, a 1°1 = 101>0，故选 C. 答案：C2. （2018昆明七校调研）在等比数列｛a n ｝中，S n 是它的前n 项和，若q = 2，且a ?与2a 4的等 差中项为18,则S 5=（ ）A . 62B . - 62 D . - 3262,选 A.答案：A53. 已知等差数列｛a n ｝的各项均为正数，a 1= 1，且a 3, a °+ ?, an 成等比数列•若p -q = 10, 则 ap— aq =（ ）A . 14B . 15C . 16D . 17 5解析：设等差数列｛a n ｝的公差为d ,由题意分析知d>0，因为a 3, a °+ ?, an 成等比数列， 所以 a 4 + 5 2 = a 3an ，即 §+ 3d 2= (1 + 2d) (1 + 10d)，即 44d — 36d — 45 = 0,所以 d =号 15谷土 I 才「、『 3n — 1 3d =— 22舍去，所以 a n = — •所以 a p — aq = ^(p — q)= 15. 答案：B 4.已知数列｛a n ｝满足 a n + 2— a n +1= a n +1 — a n , n €N *，且 a 5 =寸，若函数 f(x)= sin 2x + 2cos^, 记y n = f(an )，则数列｛y n ｝的前9项和为( )A . 0B . — 9C . 9D . 1C . 32解析: 依题意得a 2 + 2a 4= 36, q = 2，则 2a 1 + 16a 1 = 36,解得 a 1 = 2, 因此S 5 = 52X( 1 — 25)_ 1-2 =解析：由已知可得，数列｛a n｝为等差数列，f(x) = sin 2x+ cos x+ 1 ,「. f 2 = 1.■/ f( —x) = sin(2 —2x) + cos(—x) + 1 = —sin 2x—cos x+ 1 ,「. f( —x) + f(x)= 2.•' a i + a g = a 2 + a &=…=2a 5= n 二 f(a” + •••+ f(a 9)= 2 x 4 + 1 = 9,即数列｛y n ｝的前 9 项和为 9. 答案：Ca 2, a 4, a 8成等比数列，则｛a n ｝的前n 项和S n =( ) A . n(n + 1) C n(nJ i)D .n (n—〔)解析：因为a 2, a 4, a 8成等比数列，所以 a ：= a ? a 8,所以 佝+ 6)2=⑻+ 2)(印+ i4),解得 a i = 2.所以 S n = na<| + “ i x 2 = n(n + i).故选 A. 答案：A6.已知｛a n ｝是等差数列，a i = i ,公差d z 0, S n 为其前n 项和，若a i , a ?, 成等比数列,贝U S ；3= ____ .答案：647 •对于数列｛a n ｝，定义数列｛a n +1 — a n ｝为数列｛a n ｝的“差数列”，若a i = 2, ｛a n ｝的“差数列” 的通项公式为2n ，则数列｛ a n ｝的前n 项和S n = ______ .解析：T a n +1 — a n = 2n , .•. a n = (a n — a n -1) + (a n -1 — a n -2) + …+ (a 2— a i )+ a i = 2n 1+ 2n 2+…+ n n + 12 2— 2 n n 2— 2 n +1 22 + 2+ 2 = ---- + 2= 2n — 2 + 2 = 2n /. S n = --------- = 2n 1 — 2.1 —2 1 — 2答案：2n +1 — 2&设S n 为等比数列｛ a n ｝的前n 项和.若a i = 1,且3S ,2S 2, S 3成等差数列，则a * = _______________ . 解析：由 3S i,2S 2, S 3 成等差数列，得 4S 2= 3S i + S 3,即 3S 2 — 3S i = S 3 — S 2,贝U 3a 2= a ?,得公比 q = 3，所以 a n = a i q n 1 = 3n 1. 答案：3n—19. 已知数列｛a n ｝的首项为1, S n 为数列｛a n ｝的前n 项和，S n +i = qS n + 1,其中q>0 , n € N . (1)若a 2, a 3, a 2 + a 3成等差数列，求数列｛a *｝的通项公式；2⑵设双曲线X 2— y2= 1的离心率为e n ,且e 2= 2,求e i + e 2+-+金a n解析：(1)由已知，S n +1 = qS n + 1 , S n + 2= qS n +1 + 1,两式相减得到 a n +2= qa n + i , n 》1. 又由 S 2= qS-i + 1 得到 a 2= qa 1,故 a n +1 = qa n 对所有n > 1都成立.所以数列｛a n ｝是首项为1,公比为q 的等比数列. 从而 a n = q n 1.由 a 2, a 3, a 2+ a 3 成等差数列，可得 2a 3= a ? + a ?+ a 3,5.等差数列｛a n ｝的公差为2,若 B . n(n — 1)解析：因为｛a n ｝为等差数列，且a i , a 2, a 5成等比数列，所以 a i (a i + 4d) = (a i + d)2，解得d所以 a 3= 2a 2，故 q = 2, 所以 a n = 2^1(n € N ).n — 1⑵由⑴可知，a n = q .2 ________________________________ _____________所以双曲线x 2 — y ?= 1的离心率e n= p 1 + a n = p 1 + )由 e 2 =，』1 + q 2= 2 解得 q = , 3.所以 e j + e 2+…+ e 2= (1 +1)+ (1 + q 2)+…+ [1 + q 2(n 1)] =n + [1 + q 2+・・・+ q 2( n _1)]2n q1=n + 1(3n — 1).10. (2018西安质检)已知等差数列｛a n ｝的各项均为正数，a 1= 1,前n 项和为S n ,数列｛b n ｝ 为等比数列，b 1= 1，且b 2S 2 = 6, b 2+足=8.(1)求数列｛a n ｝与｛b n ｝的通项公式；1 1 1 (2)求 §+S 2+…+ s n解析：(1)设等差数列｛a *｝的公差为d , d>0, ｛ b n ｝的公比为q ，则a n = 1 + (n — 1)d , b n = q n 1 依题意有^(2 + d尸6,q + 3 + 3d = 8d = 1 [d =— 3解得〈 ，或$3(舍去).q = 2 lq = 9故 a n = n , b n = 2n 1.1(2)由(1)知 S n = 1 + 2 + …+ n = ?n(n + 1),C" 1 1 1 11=2[(1 —1)+ (2—1+…+(n -不)] =2(1 -丄)n + 1 =2nn + 1.B 组能力提升练31. 设函数 f(x)= (x — 3) + x — 1, ｛a n ｝是公差不为 0 的等差数列，f(a 1)+ f(a 2)+…+ f(a 7)= 14, 则 a i + 82 +…+ a 7=( )A . 0 C . 14D . 21解析：■/ f(x)= (x — 3)3 + x — 11 =2 = S n n(n + 1 )2(1 -1n + 1),=(x—3)3+ (x—3) + 2,而y= x3+ x是单调递增的奇函数，••• f(x)= (x—3)3+ (x—3) + 2是关于点(3,2)成中心对称的增函数.又••• 2n｝是等差数列，f(a i)+ f(a2) + …+ f(a7)= 14= 7x 2,• f(a4)= 2,即(a4 —3)3+ (a4 —3) + 2 = 2,•- a4= 3,• a1+ a2+ …+ a7= 7a4= 21.答案：D—_I o _I o2. 已知等差数列｛a n｝的公差和首项都不等于0，且az®®成等比数列，则9=( )A . 2B . 3C. 5 D . 7解析：T等差数列｛a n｝中，a2, a4, a8成等比数列，• a4= a2a8, •(a1+ 3d)2= (a1+ d)(a1+ 7d), 2•- d = ap ,T d 丰 0, • d = a1,...a1 +a5+a9 =直=3.故选B. a2 + a3 5a1答案：B3. 定义"规范01数列” ｛a n｝如下:｛a n｝共有2m项，其中m项为0,m项为1,且对任意k w 2m, a1, a2,…，a k中0的个数不少于1的个数.若m= 4,则不同的"规范01数列”共有()A . 18 个B . 16个C. 14 个D. 12 个解析：由题意可得a1= 0, a8= 1, a2, a3,…，a7中有3个0、3个1，且满足对任意k< 8, 都有a1, a2,…，a k中0的个数不少于1的个数，利用列举法可得不同的“规范01数列” 有00001111,00010111,00011011,00011101,00100111,00101011,00101101,00110011,00110101,010 00111,01001011,01001101,01010011,01010101，共14 个.答案：C4. 5个数依次组成等比数列，且公比为一2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为()21 2021C •— 10解析：由题意可设这5个数分别为a , — 2a,4a ,— 8a,16a ,故奇数项和与偶数项和的比值为答案：C5.若a , b 是函数f(x)= x 2— px + q(p>0, q>0)的两个不同的零点，且a ,b , — 2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p + q 的值等于 ___________ .解析：依题意有a , b 是方程x 2— px + q = 0的两根，则a + b = p , ab = q ,由p > 0, q>0可知 a > 0, b > 0.由题意可知 ab = (— 2)2= 4= q , a — 2= 2b 或 b — 2 = 2a ,将a — 2 = 2b 代入ab = 4可解得a = 4, b = 1,此时a + b = 5,将b — 2 = 2a 代入ab = 4可解得 a =1, b = 4,此时 a + b = 5，贝U p = 5，故 p + q = 9. 答案：96. ___________________________________ 已知a n = 3n (n € N *),记数列｛a n ｝的前n 项和为T n ,若对任意的n € N *, T n +3 k >3n — 6 恒成立，则实数 k 的取值范围是 .nn +1n +1解析：T n = 3J : =— 3+ \，所以「+ 3 =蔦，则原不等式可以转化为k >1 — 32 2 2 2 32n 一 4 2n 一 4 23* 恒成立，令 f(n) = —3^,当 n = 1 时，f(n)=— 3 当 n = 2 时，f(n)= 0,当 n = 3 时，f(n)2答案：k> —7•为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油 型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车 128辆，混合动力型公交车 400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上 一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入 a 辆.(1) 求经过n 年，该市被更换的公交车总数S(n);(2) 若该市计划7年内完成全部更换，求 a 的最小值.解析：(1)设a n , b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量.3依题意，得｛a n ｝是首项为128，公比为1 + 50% = 3的等比数列，｛b n ｝是首项为400,公差为a 的等差数列.所以｛a n ｝的前n 项和21 ~5a + 4a + 16a _ —2a — 8a — 2121，故选C .227,当n = 4时, f(n)=81， 即f(n)是先增后减, 2 2n = 3时，取得最大值27，所以kA^.nfn — 1 s{b n }的前 n 项和 T n = 400n + 2 —a. 所以经过n 年，该市被更换的公交车总数为T n + ■)— T n = - >0, n 1 n n + 1 n + 3'二数列｛T n ｝单调递增，1 二｛Tn ｝中的最小项为T l = 3.128 x 1 — S n =256 [©-1],⑵若计划7年内完成全部更换，则 S(7) > 10 000, 所以25637—1 + 400 X 7 + 三汽 > 10 000,16即 21a > 3 082,所以 a > 146；16. 又a € N *，所以a 的最小值为147.* 12 1&已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,点(n , S n )(n € N )在函数f(x) = * + 2x 的图象上. (1)求数列｛ a n ｝的通项公式; 1a n a n + 2• 丿的取值范围.(2)设数列「1的前n 项和为T n ,不等式T n >?log a (1 — a)对任意正整数n 恒成立，求实数a1 o 1 1 o 1 解析：(1) •••点(n , S n )在函数 f(x)= ?X 2+ 2x 的图象上，••• S n =討 + -n. 1 2 1当 n 》2 时，S n -1 = ^(n — 1) + 2(n — 1), 两式相减得a n = n.当n = 1时，a 1 = 0 = 2+ *= 1，符合上式, • a n = n(n € N *). 11 1 r1(2)由(1)得矿=击2 = 2 —n + 2 ,• 口=丄+丄+…+1a 1a 3 a 2a 4 a n a n +2丄n + 2 S(n )= S n + T n = 2561 + 400 n +1 2 =21- 丄+ 11n + 1 2 n1 1 1要使不等式T n>§log a(1 —a)对任意正整数n恒成立，只要3>§log a(1 —a)，即log a(1 —a)<log a a.1-1 —a>0, a>0 ,• • 0<a<1，…1 —a>a，…0< a<—,即实数a的取值范围为(0,=21”-。

课时规范练A 组基础对点练1设数列｛a n ｝的前n 项和S n = n 2 + n ,贝V a 4的值为( )A . 4B . 6C . 8D . 10解析： a 4= S 4 — S 3= 20— 12 =8. 答案： C2.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a 1= 1 , 5= 2a n + 1,则S n =()B.P 1 c ®1n — 1A . 2 1D?n -1解析：由已知 Sn = 2an + 1 得S=2(Sn +1 — 5),即 2S n + 1 = 3Sn ,Sn 1 2，而 S 1= a 1= 1，所以 S n S n=3 n — 1,故选 B.答案：B3.已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若S n = 2a n — 4, n € N ,n +1nA . 2B . 2n —1n —2C . 2D . 2则 a n =( )解析：• a n +1 = S n +1 — S n = 2a n +1 — 4 — (2a n — 4)，…a n +1 = 2a n , - a 1 = 2a 〔 一 4,• • a 〔 = 4,・•数列｛ a n ｝是以4为首项，2为公比的等比数列，• a n = 4 2n 1= 2^1，故选A. 答案：A4.在数列｛a n ｝中，a 1 = 1, a n a n -1= a n -1 + (— 1)n(n >2,祇N *），则譽的值是（）A 15 A.花c 15 B.?3c・解析：由已知得 a 2= 1 + (—1)2= 2,• 2a 3= 2+ (—1)3,a 3 = 2 二 |a 4=； + (— 1)4, a 4 = 3,・3a 5 = 3 +(— 1)5，二 a 5= 3,• a 3= l x 3= 3 'a 5 2 2 4.答案：C5. （2018唐山模拟）设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若 a 4= 32，则 a 1 =解析： • S n = 1, a 4 = 32,.255a i 63a i 1…—32，…a i ——33 12'1答案：16.已知数列｛a n ｝的前n 项和S n —2n ,则a 3+ a 4 —解析：当 n 》2 时，a n — 2n -2n -1 — 2n -1,所以 a 3 + a 4— 22+ 23— 12. 答案： 12n + 27.已知数列｛a n ｝中，a i — 1，前n 项和S n — ^~an .3 (1)求 a 2, a 3；⑵求｛a n ｝的通项公式.4解析：(1)由?2— ?a 2 得 3(a 1 + a 2)— 4a 2,解得 a 2— 3a 1 — 3.5由 S 3 — §a 3 得 3(a 1+ a 2+ a 3)— 5a 3, 3解得 a 3 — 2(a 1+ a 2)— 6.于是a 1 — 1, a 2 —討，a 3—务2,…,_ n _ n + 1 %-1—n —2处-2,a n —7亦-1.将以上n 个等式两端分别相乘， 整理得a n —呼1.显然，当n — 1时也满足上式.综上可知，｛a n ｝的通项公式a n — 峯严.&已知数列｛a n ｝的通项公式是a n — n 2+ kn + 4. (1)若k —- 5,则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值;⑵对于n € N *，都有a n +1>a n ,求实数k 的取值范围. 解析：(1)由 n 2- 5n + 4<0，解得 1<n<4. 因为n € N *，所以n — 2,3, 所以数列中有两项是负数，即为a 2, a 3.(2)由题设知 a 1— 1.当n 》2时, 有 a n — S n — S n -1—专a n -宁a n -1,整理得a n —n +1 荷a n_1.因为 a n = n 2— 5n + 4 = n — 2 2 — 4,由二次函数性质，得当 n = 2或n = 3时，a n 有最小值，其最小值为 a 2 = a 3=— 2. ⑵由对于n € N *，都有a n + i >a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式 a *= n 2+ kn + 4,可以看作是关于 n 的二次函数，考虑到 n € N *，所以—号<|,即得k> — 3. 所以实数k 的取值范围为（一3 ,+^）.B 组能力提升练1.已知数列｛a n ｝满足 a i = 15，且 3a n +1 = 3a *— 2•若 a k a k +1<0，则正整数 k =（ ）A . 21B . 22C . 23D . 242 47 2解析：由 3a n +1= 3a n — 2 得 a *+1 = a n — 3,则｛a n ｝是等差数列，又 a 1= 15，二 a n = — — §na k+1<0,「.47— |k •45 — |k <0,••• 45<k<47,••• k = 23.故选 C.答案：Ca n — 1 a n a n a n +1 〒 =h （n > 2），则这个数列的第10项等1 A .210 1 C .1答案：C故选B.答案：B4. （2018临沂联考）观察下列各图，并阅读图形下面的文字，贝U10条直线相交，交点的个数2.如果数列｛a n ｝满足a 1 = 2 , a ?= 1,且 a n + 11 B .29解析：T 二色=an — an +11—』a n—1a n + 1a n—1a n +1並—1,即直+-a ^=2 ,.••」，12a n—1a n + 1 + a n—1a n +1a n,故」'■an 」是等差数列.又•••d = 1 —丄 1a 2 a 1 2'11 1 1a1=1+9x2=5,故a 10=i3.设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,且 a 1= 1, ｛ S n + na n ｝为常数列,则 a n =()1 A ・3n—C _C . n + 1 n + 25 — 2n D . 丁解析：由题意知，S n + na n = 2,当n 》2时,S n -1+ (n — 1)a n -1 =2 , --(n + 1)a n = (n—1)an -1 ,a 2 a 3 a 4从而_ • •a 1 a 2 a 3 a n = 12 a n -1= 34，则 a n =n + 12 2nn + 1 '当n = 1时上式成立'所以a n = nn + 1，最多是（ ）6. ________________________________________________________________ 已知数列｛a n ｝中，a 1= 1，若a n = 2a .-1 + 1(n 》2)，则的值是 ______________________________________解析：T a n = 2a n —1 + 1，— a n + 1 = 2(a n -1+ 1),A . 40B . 45C . 50D . 55解析：设n 条直线的交点个数为 a n （n 》2），则 「a 3— a 2= 2,a — a = 3, a io — a g = 9.累加得 a io — *2= 2+ 3 + …+ 9,a 10 = 1 + 2 + 3 + …+ 9 = 45.答案：B5. 现定义 a n = 5n + 5 n ，其中 n € 秸，5, *, 1:贝U a n 取最小值时，n 的值为 _______________1解析：令5n = t>0,考虑函数y =t +1，易知其在（0,1］上单调递减，在（1,+^）上单调递增， 且当t = 1时，y 的值最小，再考虑函数 t = 5x ,当0<x W 1时，t € （1,5］，则可知a = 5n + 1 n在（0,1］上单调递增，所以当n =1时，a n 取得最小值.答案:丄10a n + 1a n -1+1=2，又a 1= 1,.・. ｛a n + 1｝是以2为首项, 2为公比的等比数列，即a n + 1 = 2X 2n2条直线相交 3条出线相交 4锵直线相交 绘多有1亍套点 域彩冇亨个交点 厳當有方个交点由a n + 2 — a n = 4知，数列｛ a 2n ｝和｛a 2n —l ｝都是公差为4的等差数列，二a 2n = 3+ 4( n — 1) == 2(2 n) —1, a 2n -1= 1 + 4(n — 1) = 2(2n — 1) — 1, — a n = 2n — 1.&已知数列｛a n ｝中，a 1 = 3, a 2 = 5,其前 n 项和 0 满足 S n + S n ~2= 2S n -1+ 2 1(n 》3).(1)求数列｛ a n ｝的通项公式；求最大值.解析：(1)由题意知 S n — S n -1= Sn -1 — Si -2+ 2“ 1(n > 3)，即 a n = a “-1 + 2n 1 (n >3)，二 a n = (a n —a n -1) + …+ (a 3 — a 2) + a 2= 2+ 2+ …+ 2 + 5= 2+ 2+ …+ 2 + 2 + 1 + 2= 2 +1(n > 3),经检验，知n = 1,2时，结论也成立，故a n = 2n + 1.25628- 2n*(2)b n = log 2 = log^2n = log 22= 8 — 2n ，n € N ，a 2n — I 2当 1< n w 3 时，b n = 8 — 2n>0;当 n = 4 时，b n = 8 — 2n = 0; 当 n 》5 时，b n = 8— 2n<0.故n = 3或n = 4时，5有最大值，且最大值为 &= S 4 = 12.1= 2n ,「. a 5 +1 = 25,即卩 a 5= 31.答案：317. 已知数列｛a n ｝的前 n 项和为 S n , a 1= 1, a n * 0, a *a n +1 = 4S n —1(n € N ). （1）证明：a n + 2—an =4；⑵求｛a n ｝的通项公式.解析：（1）证明：T a n a n +1 = 4S n — 1,--an + 1a n + 2 = 4Sn +1—1…an + 1 (a n +2—an ) = 4a n +1,又 an *，…an + 2—an =4・(2)由 a n a n +1= 4Sn — 1, a 1= 1,求得 a ?= 3,⑵若b n = log2562a 2n — 1,n € N *，设数列｛b n ｝的前n 项和为S,当n 为何值时, S n 有最大值？并。

课时规范练A 组基础对点练 1 已知等比数列｛a n ｝满足 a i = 3, a i + a 3+ a 5= 21,则 a 3+ a 5 + a 7=( ) A . 21B . 42C . 63D . 84 解析：设数列｛ a n ｝的公比为q ，则a i (1 + q 2 + q 4)= 21,又a i = 3，所以q 4 + q 2— 6 = 0,所以 q 2= 2(q 2=— 3 舍去)，所以 a 3= 6, a 5= 12, a 7= 24,所以 a 3+ a 5+ a 7 = 42.故选 B. 答案：B 2.等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n •已知S 3 = a 2 + 10a 1, a 5= 9，贝U a 1=( ) 1 C.9 解析：由题知公比q z 1，则S 3= a1 1 — q31 — q 1 =ag + 10a 1,得 q 2= 9,又 a 5= a 1q 4= 9,则 a 1 =-,故选C. 答案：C S 10 3.等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若S 3 = 2, S 6= 18,则忑等于（ ） A . — 3 B . 5 C .— 31 D . 33 解析：设等比数列｛a n ｝的公比为q ，则由已知得q 工1.••• S 3= 2, S 6= 18,1 — q 323 c 百=18,得 q =8， •- q = S =注=1+ q5= 33,故选 D. 答案：D 4.在等比数列｛a n ｝中，a 2a 3a 4= 8, a 7= 8,贝U a 1=()A . 1B . ±C . 2D . ±2解析：因为数列｛a n ｝是等比数列，所以 a 2a 3a 4= a 3= 8，所以 a 3= 2，所以 a 7= a 3q 4= 2q 4= 8, 所以q 2= 2, a 1 =務=1,故选A.q 答案：A 25.设首项为1,公比为2的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则（）B . Si = 3a n—2C. S n= 4 —3a n D . S n = 3 —2a n解析：因为a!= 1，公比q= 2，所以a n= 3 n—1, S n=al J —= 3 1 — | n= 3—2 舟n—1= 33 3 1 —q 3 3—2a n,故选D.答案：D6. (2018郑州质检)已知等比数列｛a n｝的前n项和为S n, 若a5= 2a3a6, S s=—62,则a1的值是________ .a 1 1 25解析：设｛a n｝的公比为q.由a5= 2a3a6得(a1q4)2= 2a1q5 a1q5, - q= 2,二S s= =—62,1 —2a1 = —2.答案：—27.已知等比数列｛a n｝为递增数列，a1 = —2，且3(a n+ a n+2) = 10a n+1,则公比q = ____________ .解析：因为等比数列｛a n｝为递增数列且a1=—2<0，所以0<q<1，将3(a n+ a n +2)= 10a n +1两1边同除以a n可得3(1 + q2)= 10q,即3q2—10q + 3= 0,解得q= 3 或q =-，而0<q<1，所以q313.& 若数列｛a n+1 —a n｝是等比数列，且a1 = 1, a2= 2, a3= 5,贝U a n = ____________解析：■/ a2 —a1 = 1, a3—a2= 3,「. q= 3,a n+ 1 —a n= 3n 6,. n —2 …a n —a1 = a2 —a1 + a3 —a2+ …+ a n-1 —a n-2+ a n—a n-1 = 1 + 3 + …+ 3 =9.已知数列｛a n｝满足a1= 1, a n+1= 3a n+ 1.1(1)证明｛a n+ 2｝是等比数列，并求｛a n｝的通项公式;1 1 1 3⑵证明—+—+•••+—＜：.a1 a2 a n 2、 1 125n —1+ 16 3 1 3又a1 + 2= 2所以｛a n+?是首项为2，公比为3的等比数列. 1 —3n答案: 3n—1+12A . S n= 2a n—1证明：(1)由a n+ 1 = 3a n+ 1 得a n +1 + 2= 3(a n+ 2).1 3n 所以a n +2 = ~2，因此｛a n｝的通项公式为3n— 1 a n= 21 2⑵由⑴知ar尸.因为当n> 1 时，3n— 1 >2X 3n「1,所以1+1 +・・・+丄 < 1+3 +•••+寻=33于是a1 a2 a n 3 3n 1 21 i 1 i ,13所以—+ —+ … + _v二a1 a2 a n 21 n +1 *10. （2018 合肥质检）在数列｛a n｝中，a1 = 2，a n+ 1 = "2^a n, n€ N.a n（1）求证：数列｛匚｝为等比数列；⑵求数列｛a n｝的前n项和S n.解析：（1）证明：由a n+ 1 = a n知西丄=1聖，2n n+1 2 n二｛影是以2为首项、2为公比的等比数列.⑵由⑴知｛阳是首项为2公比为2的等比数列，a n Z1 n n••• J®」an= 01 2 n 小S n=尹歹+…十尹①1 12 n则2S n=歹+歹+…+产，②1 1 1 1 1 n * n+ 2①—②得：2$=2+歹+歹+…+刁―2^ =1 —,.c n + 2--S n = 2—*B组能力提升练1. （2018长春调研）等比数列｛a n｝中，a3= 9，前三项和S3= 27，则公比q的值为（）1A . 1B .—-1 1C. 1 或—2 D . —1 或—2 解析：当公比q = 1时,a i = a 2 = a 3= 9, ••• S 3= 3X 9 = 27.--a i = 27 — 18q , •- a 3= a 1q ,•••(27 — 18q) q 2= 9, •(q — 1)2(2q + 1) = 0,1综上q = 1或q =—》选C. 答案：C2.数列｛a n ｝满足：a n +1=入a — 1（n € N *,入€ R 且 仔0），若数列｛a n — 1｝是等比数列，则 入的 值等于（ ） A . 1 B . — 1 1 C.2D . 222解析：由a n +1 =入n — 1,得a n +1 — 1 =入a — 2 =入a n —）.由于数列｛a n — 1｝是等比数列，所以—入 =1，得）2. 答案：D3=2(当且仅当n = 2m 时取等号), 1 4 3• —I —的最小值是—. m n 2 答案：A14.已知等比数列｛a n ｝满足 a 1 = 4， a 3a 5= 4(a 4— 1)，贝U a 2=( )A . 2B . 1当 q z 1 时，§3 = a i — a 3q• 27 =a i — 9q3.已知正项等比数列｛a n ｝满足:a 3= a 2 + 2a 1，若存在两项1a m, a n ,使得.a m a n = 4a 1，则m +B.4 5••• a 2-2m +n J 16a ?,/• m + n = 6,1 n 「4 m 、1 =65+ m +石》65+2n 4m m n11 1C.2 Dp1解析：设等比数列｛a n｝的公比为q, a1 = 4, a3a5= 4(a4—1)，由题可知q z 1,贝U a1q2x a1q41 1=4(a1q3—1),• 1X q6= 4(1 X q3—1), • q6—16q3+ 64= 0,「. (q3—8)2= 0 ,• q3= 8,A q 1641=2, • a2=亍.故选 C.答案：C5. 等比数列｛a n｝的前n项和为3,若S3+ 3S2= 0，则公比q= ____________ .解析：由S3 + 3S2= 0,得a1 + a2 + a3 + 3(a1 + a2)= 0,即4a1+ 4a2 + a3= 0,即4a1+ 4a1q + ag2=0，即q2+ 4q + 4 = 0,所以q = —2.答案：—26. 设数列｛a n｝(n= 1,2,3,…)的前n项和S n满足S n+ a1 = 2a n,且a1, a2+ 1, a3成等差数列，贝H a1 + a5 = ______ .解析：由已知S n+ a1 = 2a n,有a n = S n —S n-1 = 2a n —2a n-1 (n》2)，即a n = 2a n-1(n》2).从而a2= 2a1, a3= 2a2 = 4a1.又因为a1, a2+ 1, a3成等差数列，即a1 + a3= 2(a2 + 1),所以a1 + 4a1 = 2(2a1+ 1),解得a1 = 2,所以数列｛a n｝是首项为2，公比为2的等比数列，故a n= 2n,贝y a1+ a5= 2+ 25= 34.答案：343 *7. 已知数列｛a n｝的前n项和为S n,且S n = 2a n—1(n€ N).(1)求数列｛ a n｝的通项公式;、r an * + 1 1 1⑵设b n= 2log^- + 1,求 + +…+ .2 b1b2 b2b3 b n-1b n3解析：⑴当n= 1 时，a1= |a1- 1,・.a1= 2,3 当n》2 时，T Si = qa n—1,①3 --S n-1 = 2a n-1 —1(n》2),②3 3①一②得a n= (^a n—1) 一(^a n- 1—1),即a n = 3a n—1 ,二数列｛a n｝是首项为2,公比为3的等比数列，二a n= 2X 3n I⑵由(1)得b n= 2log3^+ 1 = 2n —1,1 1 1 1 1 1 1 111 1 .•.=_+二一+…+= + + …+=加—二+二一_+…+—b1b2 b2b3 b n-1 b n 1 x 3 3 x 5 2n —3 2n—1 2 3 3 5 2n—31 n —12n—1= 2n —1.n+1 *&数列｛a n ｝中，a 1 = 2, a n +1 = a n (n € N ).(1)证明：数列 号是等比数列，并求数列｛a n ｝的通项公式；a n ⑵设b n = 4r|—an ，若数列｛b n ｝的前n 项和是T n ,求证：T n <2.解析:(1)由题设得铝=畀，又和2,所以数列岸是首项为2,公比为2的等比数列, 所以 an = 2X 1 n -1= 22—n ,a n = n 22—n = TF.n 2n2【丨・4n(2)证明：a n 2n 1b n= 4n — a n =, 4n = 2n — 1，4n —刁7因为对任意n € N *，2n — 1> 2n —1, 所以b n W 十. 111 1所以 T n W 1 + 2+ 22+ 23+…+ 2—4的最小值为（） A.|25 十…C."6D .不存在解析：•••正项等比数列｛a n ｝满足：a 3= a 2+ 2a 1, •- a 1q 2= a 1q + 2a 1,即 q 2= q + 2,解得 q =— 1(舍)或 q = 2, •.•存在两项a m , a n ，使得 寸 a m a n = 4a 1, • a m a n = 16a 1, •- (a 1 2”) (a 1 2n —1)= 16a 1,。

A . 5B . 7课时规范练A 组基础对点练31在单调递增的等差数列 ｛a n ｝中，若a 3= 1, a 2a 4= 4，则a i =( )A 1B . 0 1 1 c ・4D.2解析：由题知，a 2+ a 4= 2a 3 = 2,3又T a 2a 4= 4,数列｛a n ｝单调递增，_ 1 _3 …a 2= 2， a 4= 2--a 1 a 2 d 0.答案：B2. 等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若S 8 — S 4= 36, a 6= 2印，则a 1=（ A . — 2 C . 2解析：设等差数列｛a n ｝的公差为d , -S 8 — S 4= 36 , a 6= 2a 4 ,8 X 7、f 4 X 3、 .』&1+ 2 d 厂（4a 1 + 2 d = 36,L .a 1 + 5d = 2a 1 + 6d ,a 1=— 2, 解得 故选A. d = 2.答案：A3.等差数列｛a n ｝中，a 1= 1,a n= 100（n 》3）.若｛a *｝的公差为某一自然数，则n 的所有可能取值为（ ）A . 3,7,9,15,100B . 4,10,12,34,100C . 5,11,16,30,100D . 4,10,13,43,100 解析： 由等差数列的通项公式得，公差d == .又因为d € N , n > 3,所以n — 1可n — 1 n — 1能为3,9,11,33,99, n 的所有可能取值为 4,10,12,34,100，故选B. 答案：B4.设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若a 1 + a 3 + a 5= 3，则S 5=( )公差d = a 4 — a 2 12.D . 11解析：因为｛a n ｝是等差数列，a i + a 5= 2a 3, 即卩 a i + a 3 + a 5= 3a 3= 3,「. a 3= 1, ...S 5= 5 a i ] a 5 = 5a 3= 5,故选 A.答案：A5.若等差数列｛a n ｝的前5项之和S 5= 25,且a 2= 3，则a 7=()A . 12B . 13C . 14D . 15解析：由 S 5= ® 2 4)5，得 25= (3+『)5,解得 a 4= 7,所以 7 = 3 + 2d ，即 d = 2，所以 a 7=a 4+ 3d = 7+ 3X 2 = 13.答案：B6. ___________________________________________________________________________已知等差数列｛a n ｝中，a n * 0，若 n 》2且 a n -1 + a n +1— a 2= 0, S?n -1= 38,则 n 等于 _______________ . 解析：■/｛a n ｝是等差数列，••• 2a n = a n -1 + a n +1,又T a *-1 + a n +1 — a 2 = 0，二 2a n — a * = 0,即a n (2 — a n ) = 0. T a n * 0, • a n = 2. • En -1= (2n — 1)a n = 2(2n — 1) = 38，解得 n = 10.答案：107.中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015,则该数列的首项为 _____________ .解析：设数列首项为a 1，则色_2 ------------- = 1 010,故a 1= 5. 答案：5& (2018河北三市联考)已知S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 5= 5a 4 — 10,求数列｛a n ｝的 公差.解析：由 S 5= 5a 4 —10,得 5a 3= 5a 4— 10,则公差 d = 2.^j n 一 1 * 19.已知数列｛a n ｝满足a 1= 1, a n =+7(n € N , n >2)，数列｛b n ｝满足关系式b n = _(n € 2a n -1 十 I a nN ).(1)求证：数列｛b n ｝为等差数列；⑵求数列｛a n ｝的通项公式.解析：(1)证明：T b n =丄，且a n = 並三-a n 2a n - 1+ 12a n + 1C . 9…b n +1=1 a n +11a n 2a n +1 a n2a n+ 1 a n 丄=2.a n--b n+ 1 — b n =1又；b i = — = 1,「.数列｛b n｝是以1为首项，2为公差的等差数列.a i1 i 1⑵由(1)知数列｛ b n｝的通项公式为b n= 1+ (n—1)X 2= 2n—1，又b n= ~，…a n=b = .a nb n 2n 一I1二数列｛a n｝的通项公式为a n= 2^.B组能力提升练1. 已知数列｛a n｝的首项为3，｛b n｝为等差数列，且b n= a*+1- a n(n€ N)，若b3= —2, b2 =12,则a8=( )A . 0B . —109C.—181 D . 121解析：设等差数列｛b n｝的公差为d，则d= b3—b2=—14,因为a n+ 1 —a n = b n,所以a8—a1 = b1 + b?+…+ b7= 7 b1； b7 = 7[(b2 —d) + (b2+ 5d)]=—112,又a1 = 3，则a&=—109.答案：B2.(2018唐山统考)已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若01= 22,则a3 + a?+ a$=( ) A. 18 B . 12C. 9 D . 6解析：设等差数列｛a n｝的公差为d,由题意得S11= 11 a1J a11 = 11 2a J10d = 22,即a1 + 5d = 2,所以a3 + a7+ a8= a1 + 2d+ a1 + 6d + a1 + 7d= 3(a1 + 5d) = 6，故选D.答案：D3 .已知数列｛a n｝是等差数列，数列｛b n｝是等比数列，公比为q，数列｛ C n｝中，c n= a n b n, S n 是数列｛C n｝的前n项和.若S m= 11 , S2m = 7 , S3m=—201(m为正偶数)，则S4m的值为() A . —1 601 B . —1 801C.—2 001 D . —2 201解析：令A = S m= 11, B= S2m—S m=—4, C= S3m—S2m=—208, 则q m A = (a1b1+ a2b2 + …+ a m b m)q m= aC m +1+ …+ a m b2m.故B —q m•= (a m + 1 —a”b m +1+ …+ (a2m —a m)b2m= md(b m+ 1+ …+ b2m)，其中，d 是数列｛a n｝的公差，q是数列｛b n｝的公比.同理C —q m B = md(b2m+1+ …+ b3m) = md(b m+1 + …+ b2m) q m,故C —q m B = q m(B—q m A).代入已知条件，可得11(q m)2+ 8q m—208 = 0，解得q m= 4 或q m =—11(因m为正偶数，舍去).又S4m—S3m=⑻①+ a?b2+ …+ a m b m)q3m+ 3md(b m+1 + …+ b2m)q2m= 11 X 43+ 3(B —q m A) X 421=11 X 43—3X 12X43=—1 600.故 0m = S 3m 一 1 600 = — 1 801. 答案：Ba 694. （2018长春质检）设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n , a i >0且缶=石，则当S n 取最大值时，n 的值为（） A . 9 B . 10 C . 11D . 12解析：由题意，不妨设 a 6= 9t , a 5= 11t ，则公差d = — 2t ，其中t>0，因此a 10= t , a 11=— t , 即当n = 10时，S n 取得最大值，故选 B. 答案：B5. ____________________________________________________________________ 在等差数列｛a n ｝中，a 9=如2+ 6，则数列｛a *｝的前11项和S 11等于 ______________________________ .解析：Sn = 11 a1：a 11 = 11a 6，设公差为 d ,1 1由 a 9 = 2a 12+ 6 得 a 6+ 3d = 2（a 6 + 6d ）+ 6，解得 a 6= 12,所以 S 11 = 11 x 12= 132.答案：1326. ________________________________________________________________________ 等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,已知S 10 = 0, 05= 25,则nS n 的最小值为 ________________________ .3 232d =*3—由于函数f （x ）=x —在x =晋处取得极小值，又时，7S 7=— 49,故n5的最小值为一49. 答案：—497. 已知数列｛a n ｝满足2a n +1 = a n + a “+2（n € N ），它的前n 项和为S n ,且a 3= 10, &= 72,若1 b n =尹“—30,设数列｛b n ｝的前n 项和为T n ,求T n 的最小值.解析： -2a n + 1 = a n + a n +2,--a n + 1—a n= a n +2一 a n + 1 ,故数列｛a n ｝为等差数列.31 + 2d = 10 ,设数列｛a n ｝的首项为a 1,公差为d ，由a 3= 10, S s = 72得，解得a 1 = 2, d|6a 1 + 15d = 72,=4.故 a n = 4n — 2，贝U b n = ^a n — 30= 2n — 31,解析：由已知得1 S 10 =10a 1+S 15 = 15a 1 + 10x 915X 14d = 252 2 ，解得 a 1 = — 3, d =3 那么 nS n = n a 1 + n 2 n — 1~2~n = 6 时，6&=— 48, n = 7b n W 0, 2n- 31W 0,令i “ 即，.n +i》0, 2 n + 1 —31 > 0,29 ”31解得~2w nW —,T n € N ,.•. n= 15,即数列｛b n｝的前15项均为负值，••• T15最小.T数列｛b n｝的首项是一29,公差为2,...T15 = ®- 29；2X 15― 31 = —225,二数列｛b n｝的前n项和T n的最小值为一225.& (2018 长春模拟)在数列｛a n｝中，a n+1 + a n= 2n-44(n€ N), a1=-23.(1)求a n；⑵设S n为｛a n｝的前n项和，求S n的最小值.解析：(1)当n= 1 时，a2+ a1 =—42, a1 =—23,…a? = —19, 同理得，a3= —21, a4=—17.故a1, a3, a5,…是以a1为首项，2为公差的等差数列，a?, a4, a6,…是以a?为首项，2为公差的等差数列.n —24从而a n=n为偶数.h —21(2)当n为偶数时,S n=⑻+ a2)+ (a3 + a4)+ …+ (a n—1+ a n) = (2X 1 —44) + (2X 3—44)+ …+ [2 (n—1) —44]2=2[1 + 3 + …+ (n —1)] —；44=岁—22n,故当n= 22时，S n取得最小值为—242.当n为奇数时，S n= a1 + (a2 + a3)+ (a4 + a5)+ …+ (a n—1+ a n)=a1+ (2X 2—44) + …+ [2 X(n—1) —44]=a1 + 2[2 + 4 + …+ (n—1)] + 号(—44)=—23+ n +罗-1—22( n—1)=n2- 22n— 32.故当n= 21或n = 23时，S n取得最小值—243.综上所述：当n为偶数时，S n取得最小值为—242;当n为奇数时，S n取最小值为—243.。