9.1平面的基本性质

课题：9．1平面的基本性质(一)教学目标：知识目标：（1）了解平面的概念，掌握平面的画法及表示法（2）掌握平面的基本性质及它们的作用能力目标：（3）会用文字语言、图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系（4）能够画出水平放置的平面的直观图（5）培养学生的空间想象能力情感目标：（6）渗透数学来源于实践又服务于实践的辩证观点（7）在数学学习活动中获得成功的体验，建立自信心教学重点与难点重点：（1）平面的概念。

“平面”是教材中只作描述说明，而不定义的最原始的基本概念，应让学生结合实例弄清平面的含义，认真体会平面与平面无大小之分，无厚薄之别，仅有位置上的不同。

（2）会正确画图表示两相交平面的位置关系（3）会用文字语言、图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系，并熟记它们，达到能得心应手运用他们的程度。

难点：（1）理解平面的无限延展性；（2）集合概念的符号语言的正确使用。

授课类型：新授课课时安排：1课时教学方法与教学手段：讲授法多媒体辅助教学教学过程一、创设情景导入新课：首先来讨论一个问题：“给你6根火柴棒能拼出四个三角形吗？”现在老师这里有6根火柴棒，想来尝试的同学请举手。

好，**同学请上来（可以不用把六根火柴棒放在同一个平面里考虑）做得非常好，大家看下，这是什么图形，这不是平面图形，是立体几何图形，大家想一下就知道这个问题在平面中是解决不了的，解决这个问题就需要运用立体几何知识。

那么今天我们就来学习与立体几何有关的知识，（立体几何章节中的第一节）——平面的基本性质二、讲解新课：平面的画法：首先让学生观察光滑的桌面、平静的湖面，象这些桌面、平静的湖面都给我们以平面的形象师：生活中还有哪些留给我们平面的形象呢？生：黑板、地面、镜面、海平面师：对，象这些镜面、桌面、黑板面、地面、海平面等都给我们以平面的印象那平面具有什么特点？生：平坦、光滑师：对，那还具什么特点？生：、、、、同学们有没发现镜面、桌面、地面、海平面，逐渐增大，但还是平面，说明平面还具有“无限延展”的特点下面我们来归纳总结下平面的特点（看PPT）（平面具有“平”、“无限延展”、“无厚薄”的特点。

授课日期授课班级授课课时 2 授课形式新授授课章节名称平面的基本性质使用教学器材准备多媒体、PPT、教学视频等教学目标1．在观察、实验与思辨的基础上掌握平面的三个基本性质及推论．2．学会用集合语言描述空间中点、线、面之间的关系．3．培养学生在文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化的能力．教学重点平面的三个基本性质．教学难点理解平面的三个基本性质及其推论．更新、补充、删节内容无课外作业习题：2,3教学后记板书设计或授课提纲一、探究；二、平面及其表示；三、平面的基本性质；四、例题分析；五、小结；六、作业；课堂教学安排组织教学：3′复习回顾：7′新课讲解：35′一、探究公路、平静的海面、教室的黑板都给我们以平面的形象．你还能从生活中举出类似平面的物体吗？二、平面及其表示1．平面几何里所说的“平面”就是从桌面等物体中抽象出来的，但是，几何里的平面是无限延展的．2．平面的表示方法常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上来表示平面，如平面α、平面β等；也可以用代表平面的四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称．基本性质 1 如果一条直线上有两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．练习一在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并明理由：（1）直线AC1在平面CC1B1B内；（2）直线BC1在平面CC1B1B内．三、平面的基本性质平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点在平面内和点在平面外都可以用元素与集合的属于、不属于来表示．基本性质1可表示为：如果A∈α，B∈α，那么直线AB ⊂α．利用这个性质，可以判断一条直线是否在一个平面内．∙B∙Aα课堂教学安排课堂练习：35′课堂小结：10′作业布置基本性质 2 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．基本性质 3 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论 1 经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．四、例题分析：例1：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O 是AC 的中点．判断下列命题是否正确，并说明理由：(1) 由点A，O，C可以确定一个平面；(2) 由A，C1，B1确定的平面是平面ADC1B1；(3) 由A，C1，B1确定的平面与由A，D，C1确定的平面是同一个平面．例2：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列命题是否正确，并明理由：（1）直线AC1在平面CC1B1B内；（2）直线BC1在平面CC1B1B内．五、小结：六、作业：习题：2,3αβ∙a。

平面的基本性质一、知识梳理 一）平面1．特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） ，平面是抽象出来的，只能描述，如平静的湖面，不能定义.一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分.2．表示：一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如：平面α，平面AC 等.3．画法：通常画平行四边形来表示平面(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）.(2)直线与平面相交，如图1（2）、（3），：（3）两个相交平面：画两个相交平面时，先定位，后交线，邻边依次添，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）.4.点、线、面的基本位置关系如下表所示：b A =a βαB AβBAαβBAααβa图 2A（1aαa α⊂ 直线a 在平面α内. aα a α=∅ 直线a 与平面α无公共点. aAα a A α=直线a 与平面α交于点A .l αβ=平面α、β相交于直线l .点可看成元素，直线和平面可看成集合，符号“∈”只能用于点与直线，点与平面的关系，“⊂”和“ ”的符号只能用于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言. 例1、将下列符号语言转化为图形语言：（1）A α∈，B β∈，A l ∈，B l ∈； （2）a α⊂，b β⊂，//a c ，b c p =，c αβ=.说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）. 例2、将下列文字语言转化为符号语言： （1）点A 在平面α内，但不在平面β内； （2）直线a 经过平面α外一点M ；（3）直线l 在平面α内，又在平面β内.（即平面α和β相交于直线l .）例3、在平面α内有,,A O B 三点，在平面β内有,,B O C 三点，试画出它们的图形.二）三条公理人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理． 公理1如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.BA α应用： ①判定直线在平面内；②判定点在平面内.模式：a A A a αα⊂⎧⇒∈⎨∈⎩．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上.指出:今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线). 公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.应用：①确定平面；②证明两个平面重合.实例:(1)门:两个合页,一把锁；(2)摄像机的三角支架；(3)自行车的撑脚. 例4、判断下列命题是否正确。

高中数学《平面的基本性质》教案章节一：平面的概念1.1 教学目标让学生理解平面的基本概念，包括平面的定义和表示方法。

让学生掌握平面的性质，如平面的无限延展性和平面的包含关系。

1.2 教学内容平面定义：平面是无限延展的、无厚度的二维空间。

平面表示方法：用希腊字母“π”表示平面。

平面性质：平面的无限延展性，平面内任意两点可以确定一条直线。

1.3 教学步骤引入平面的概念，引导学生思考日常生活中的平面例子。

讲解平面的定义和表示方法，通过图形和实例进行说明。

引导学生理解平面的性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。

章节二：平面的基本性质2.1 教学目标让学生掌握平面的基本性质，包括平面的连续性、平行的性质和平面的包含关系。

2.2 教学内容平面连续性：平面上的任意两点都可以用一条直线连接。

平面平行性质：同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。

平面包含关系：一条直线可以包含在平面内，也可以不包含在平面内。

2.3 教学步骤回顾平面的概念和表示方法，引导学生思考平面的性质。

讲解平面的连续性，通过图形和实例进行说明。

讲解平面的平行性质，通过实际操作和几何证明来加深理解。

讲解平面的包含关系，通过实际操作和几何证明来加深理解。

章节三：平面的画法3.1 教学目标让学生掌握平面的画法，包括平面在坐标系中的表示和平面的方程。

3.2 教学内容平面在坐标系中的表示：平面可以用方程表示，如Ax + By + C = 0。

平面方程的求法：通过已知的平面上的点和平面的法向量来求解平面方程。

3.3 教学步骤引导学生回顾平面的概念和性质，引出平面的画法。

讲解平面在坐标系中的表示方法，通过图形和实例进行说明。

讲解平面方程的求法，通过实际操作和几何证明来加深理解。

章节四：平面与直线的关系4.1 教学目标让学生掌握平面与直线的关系，包括平面与直线的相交和平行。

4.2 教学内容平面与直线的相交：平面与直线相交时，交点称为直线在平面上的投影。

平面与直线的平行：平面与直线平行时，直线上的任意点都不在平面内。

课题：9．1平面的基本性质(三)教学目的：1.理解公理三的三个推论.2.进一步掌握“点线共面”的证明方法3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平．4．通过公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力．教学重点：用反证法和同一法证明命题的思路．教学难点：对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式．授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性2．平面的画法及其表示方法：①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成45 ，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面AC等3．空间图形是由点、线、面组成的4 平面的基本性质公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 应用：是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线推理模式：A l A ααββ∈⎫⇒=⎬∈⎭且A l ∈且l 唯一如图示： 应用：①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理2揭示了两个平面相交的主要特征，是判定两平面相交的依据，提供了确定两个平面交线的方法．公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面推理模式：,, A B C 不共线⇒存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈ 应用：①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内，则称这个图形为平面图形，否则称为空间图形二、讲解新课：推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.已知：直线l ，点A 是直线l 外一点.求证：过点A 和直线l 有且只有一个平面证明：（存在性）：在直线l 上任取两点B 、C ，∵A l ∉，∴,,A B C 不共线．由公理3，经过不共线的三点,,A B C 可确定一个平面α，∵点,B C 在平面α内，根据公理1，∴l α⊂，即平面α是经过直线l 和点A 的平面.（唯一性）：∵,B C l ∈，l α⊂，A α∈，∴点,,A B C α∈，由公理3，经过不共线的三点,,A B C 的平面只有一个，所以，经过l 和点A 的平面只有一个推理模式：A a ∉⇒存在唯一的平面α，使得A α∈，l α⊂推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面已知：直线P b a = .求证：过直线a 和直线b 有且只有一个平面证明：（存在性）：在直线a 上任取两点A ，直线b 上B ，∵P b a = ，∴,,A B P 不共线．由公理3，经过不共线的三点,,A B P 可确定一个平面α，∵点,,A B P 在平面α内，根据公理1，∴,a b α⊂，即平面α是经过直线a 和直线b 的平面.（唯一性）：∵P b a = ，,A a B b ∈∈，,a b α⊂，∴点,,A B P α∈，由公理3，经过不共线的三点,,A B P 的平面只有一个，所以，经过直线a 和直线b 的平面只有一个推理模式：P b a = ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α⊂推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面已知：直线//a b .求证：过直线a 和直线b 有且只有一个平面证明：（存在性）：∵//a b ∴由平行线的定义，直线a 和直线b 在同一个平面α内，即平面α是经过直线a 和直线b 的平面.（唯一性）：取,A C a ∈，B b ∈，∵,,//a b a b α⊂ ∴点A,B,C 不共线且,,A B C α∈，由公理3，经过不共线的三点,,A B C 的平面只有一个，所以，经过直线a 和直线b 的平面只有一个推理模式：//a b ⇒存在唯一的平面α，使得,a b α⊂三、讲解范例：例1 两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内已知：直线,,AB BC CA 两两相交，交点分别为,,A B 求证：直线,,AB BC CA 共面证法一：∵直线AB AC A = ，∴直线AB 和AC 可确定平面α，∵B AB ∈，C AC ∈，∴B α∈，C α∈，∴BC α⊂，即,,AB BC CA α⊂即直线,,AB BC CA 共面证法二：因为A ∉直线BC 上，所以过点A 和直线BC 确定平面α．（推论1）因为A ∈α， B ∈BC ，所以B ∈α．故AB α，同理AC α，所以AB ，AC ，BC 共面．证法三：因为A ，B ，C 三点不在一条直线上，所以过A ，B ，C 三点可以确定平面α． 因为A ∈α，B ∈α，所以AB α．同理BC α，AC α，所以AB ，BC ，CA 三直线共面．问题：在这题中“且不过同一点”这几个字能不能省略，为什么？例2 在正方体1111ABCD A B C D -中，①1AA 与1CC 是否在同一平面内？②点1,,B C D 是否在同一平面内？③画出平面1AC 与平面1BC D 的交线，平面1ACD 与平面1BDC 的交线 解：①在正方体1111ABCD A B C D -中，∵11//AA CC ，∴由推论3可知，1AA 与1CC 可确定平面1AC ，∴1AA 与1CC 在同一平面内②∵点1,,B C D 不共线，由公理3可知，点1,,B C D 可确定平面1BC D ， ∴点1,,B C D 在同一平面内③∵AC BD O = ，11D C DC E = ，∴点O ∈平面1AC ，O ∈平面1BCD ， 又1C ∈平面1AC ，1C ∈平面1BCD ，∴平面1AC 平面1BC D 1OC =， 同理平面1ACD 平面1BDC OE =．例3 若l αβ= ，,A B α∈，c β∈，试画出平面ABC 与平面,αβ的交线解：（1）若D l AB = 时，如图（1）；（2）若l AB //时，如图（2）四、课堂练习：1．选择题1C（1）下列图形中不一定是平面图形的是 （ ） （A ）三角形 （B ）菱形 （C ）梯形 （D ）四边相等的四边形（2）空间四条直线，其中每两条都相交，最多可以确定平面的个数是（ ） （A ）一个 （B ）四个 （C ）六个 （D ）八个（3）空间四点中，无三点共线是四点共面的 （ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要（4）若a ⊂ α，b ⊂ β，α∩β=c ，a ∩b =M ，则 （ ） （A ）M ∈c （B ）M ∉c （C ）M ∈α （D ）M ∈β答案：⑴ D ⑵ C ⑶ D ⑷ A2．已知直线a //b //c ，直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，求证：a 、b 、c 、d 四线共面.证明：因为a //b ，由推论3，存在平面α，使得,a b αα⊂⊂又因为直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C ，由公理1，d α⊂下面用反证法证明直线c α⊂：假设c α⊄，则c C α= ,在平面α内过点C 作c b ' ，因为b //c ，则c c ' ，此与c c C '= 矛盾.故直线c α⊂.综上述，a 、b 、c 、d 四线共面.3．求证：一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点.证明：（用反证法）假设一个平面和不在这个平面内的一条直线有2个公共点，则由公理1，这条直线上的每一个点都在这个平面内，此与条件矛盾.所以一个平面和不在这个平面内的一条直线最多只有一个公共点.五、小结 ：公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。