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平面的基本性质（一）平面的基本性质是研究空间图形性质的理论基础，也是以后演绎推理的逻辑依据．平面的基本性质是通过三条公理及其重要推论来刻划的，通过这些内容的教学，使学生初步了解从具体的直观形象到严格的数学表述的方法，使学生的思维从直觉思维上升至分析思维，使学生的观念逐步从平面转向空间．一、素质教育目标（一）知识教学点平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定的．1．公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来刻划平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”，它既是判断直线在平面内，又是检验平面的方法．2．公理2揭示了两个平面相交的主要特征，提供了确定两个平面交线的方法．3．公理3及其三个推论是空间里确定一个平面位置的方法与途径，而确定平面是将空间问题转化为平面问题的重要条件，这个转化使得立体几何的问题得以在确定的平面内充分使用平面几何的知识来解决，是立体几何中解决相当一部分问题的主要的思想方法．4．“有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．5．公理3的三个推论是以公理3为主要的推理论证的依据，是命题间逻辑关系的体现，为使命题的叙述和论证简明、准确，应将其证明过程用数学的符号语言表述．（二）能力训练点1．通过由模型示范到三条公理的文字叙述培养观察能力与空间想象能力．2．通过由公理3导出其三个推论的思考与论证培养逻辑推理能力．3．将三条定理及三个推论用符号语言表述，提高几何语言水平．（三）德育渗透点借助模型和实物来说明三个公理，进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育，通过三条公理及公理3的三个推论的学习，逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点，更由于对三个推论的证明培养言必有据，一丝不苟的学习品质和公理法思想．二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点（1）体现平面基本性质的三条公理及其作用．（3）两条公理及公理3的三个推论中的“有且只有一个”的含义．（3）用图形语言和符号语言表述三条公理及公理3的三个推论．（4）理解用反证法和同一法证明命题的思路，并会证一些简单问题．2．教学难点（1）对“有且只有一个”语句的理解．（2）对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式．（3）确定两相交平面的交线．3．解决办法（1）从实物演示中引导学生观察和实验，阐明公理的条件和结论间的直观形象，加深对“有且只有一个”语句的理解．（2）通过系列设问，帮助学生渐次展开思维和想象，理解公理的实质和作用．三、课时安排2课时．四、学生活动设计准备好两块纸板，一块薄平的泡沫板，四根长15cm左右的小竹针，其中三根一样长，一根稍短．针对三条公理设计不同的活动，对公理1，可作如下示范：把直尺的两端紧按在玻璃黑板上，完全密接；对公理2，可用两块硬纸板进行演示（如图1－9）；对公理3，使用图1－10所示的模型进行演示．五、教学步骤（一）明确目标（1）理解井熟记平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论．（2）掌握这三个公理和三个推论的文字语言、图形语言、符号语言间的互译．（3）理解“有且只有一个”的含义，在此基础上，以公理3为主要依据，推证其三个推论．（4）能够用模型来说明有关平面划分空间的问题．（5）理解并掌握证明命题的常用方法——反证法和同一法．（二）整体感知本课以平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论为主要内容，既有学生熟悉的事实，又有学生初次接触的证明，因此以“设问——实验——归纳”法和讲解法相结合的方式进行教学．首先，对于平面基本性质的三条公理，因为是“公理”，无需证明，教学中以系列设问结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验，从而归纳出三条公理并加以验证．其中公理1应以直线的“直”和“无限延伸”来刻划平面的“平”和“无限延展”；公理2要抓住平面在空间的无限延展特征来讲；公理3应突出已知点的个数和位置，强调“三个点”且“不在同一直线上”．通过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念，加深对“有且只有一个”语句的理解．对于公理3的三个推论的证明，学生是初次接触“存在性”和“唯一性”的证明，应引导学生以公理3为主要的推理依据进行分析，逐渐摆脱对实物模型的依赖，培养推理论证能力，证明过程不仅要进行口头表述，而且教师应进行板书，使学生熟悉证明的书写格式和符号．最后，无论定理还是推论，都要将文字语言转化为图形语言和符号语言，并且做到既不遗漏又不重复且忠于原意．三、教学重点、难点的学习与完成过程A．公理师：立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．请同学们思考下列问题（用幻灯显示）．问题1：直线l上有一个点P在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？问题2：直线l上有两个点P、Q在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？（用竹针穿过纸板演示问题1，用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2，学生思考回答后教师归纳．）这就是公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．这里的条件是什么？结论是什么？生：条件是直线（a）上有两点（A、B）在平面（α）内，结论是：直线（a）在平面（α）内．师：把条件表示为A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把结论表示11）．这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？生：不是，因为平面是无限延展的．师：对，根据公理1，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征．现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（演示图1－9－（1）给学生看）．问：两个平面会不会只有一个公共点？生甲：只有一个公共点．生乙：因为平面是无限延展的，应当有很多公共点．师：生乙答得对，正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点．那么这无数个公共点在什么位置呢？（教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里）．可见，这无数个公共点在一条直线上．这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理2，其条件和结论分别是什么？生：条件是两平面（α、β）有一公共点（A），结论是：它们有且只有一条过这个点的直线．师：条件表示为A∈α，A∈β，结论表示为：α∩β＝a，A∈a，图形表示为图1－9－（2）或图1－12．公理2是判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法．下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）：问题1：经过空间一个已知点A可能有几个平面？问题2：经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？问题3：经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？（教师演示图1－10给学生看，学生思考后回答，教师归纳）．这说明，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，即公理3，其条件、结论分别是什么？生：条件是：不在同一直线上的三点（A、B、C），结论是：过这三点（A、B、C）有且只有一个平面（α）．A∈α，B∈α，C∈α，图形表示为图1－13，公理3是确定平面位置的依据之一．以上三个公理是平面的基本性质．其中公理2和公理3中的“有且只有一个”有两层含义，在数学中，“有一个”是说明“存在”、但不唯一；“只有一个”是说明“唯一”，但不保证图形存在．也就是说，如果有顶多只有一个．因此，在证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证明两个方面——存在性和唯一性．B．推论师：确定一个平面的依据，除公理3外，还有它的三个推论．推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．说出推论1的条件和结论．生：条件是：一条直线和直线外一点，结论是：经过这条直线和这一点有且只有一个平面．求证：经过a和A有且只有一个平面．证明：“存在性”即存在过A、a的平面，在直线a上任取两点B、C．∴A、B、C三点不在同一直线上．∴过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．∴B∈α，C∈α．即过直线a和点A有一个平面α．“唯一性”，假设过直线a和点A还有一个平面β．∴B∈β，C∈β．∴过不共线三点A、B、C有两个平面α、β，这与公理3矛盾．∴假设不成立，即过直线a和点A不可能还有另一个平面β，而只能有一个平面α．这里证明“唯一性”时用了反证法．推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．其条件、结论分别是什么？生：条件是：两条直线相交，结论是：经过这两条直线有且只有一个平面．师（板书）：已知：直线a∩直线b＝A．求证：经过a、b有且只有一个平面．证明：“存在性”．在a、b上分别取不同于点A的点B、C，得不在同一直线上的三点A、B、C，则过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．∵A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，∴平面α是经过相交直线a、b的一个平面．“唯一性”．设过直线a和b还有另一个平面β，则A、B、C三点也一定都在平面β内．∴过不共线三点A、B、C就有两个平面α和β．∴平面α与平面β重合．∴过直线a、b的平面只有一个．这里证明唯一性时，用的是“同一法”．推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．（证明作为思考题）C．练习1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面）A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α．B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．其中命题和叙述方法都正确的是． [ ] 2．下列推断中，错误的是[ ]D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．4．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β的交线．（图1－16）四、总结、扩展本课主要的学习内容是平面的基本性质，有三条公理及公理3的三推论．其中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3及三个推论是确定平面的依据．“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词．“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”．所以证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证两方面——存在性和唯一性．证明的方法是反证法和同一法．五、布置作业1．复习课本有关内容并预习课本例题．2．课本习题（略）．3．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β、γ的交线．4．思考题：（1）三个平面把空间可能分成几部分？（2）如何证明推论3？六、答案练习：1．D，2．C，3．图1－18．作业：3．图1－19．七、板书设计。
9.1 平面的基本性质【教学目标】知识目标：（1）了解平面的概念、平面的基本性质；（2）掌握平面的表示法与画法．能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．【教学重点】平面的表示法与画法．【教学难点】对平面的概念及平面的基本性质的理解．【教学设计】教材通过观察平静的湖面、窗户的玻璃面、黑板面等，引入平面的概念，并介绍了平面的表示法与画法．注意，平面是原始概念，原始概念是不能定义的，教材是用“光滑并且可以无限延展的图形”来描述平面．在教学中要着重指出，平面在空间是可以无限延展的．在讲“通常用平行四边形表示平面”时要向学生指出：(1) 所画的平行四边形表示它所在的整个平面，需要时可以把它延展出去；(2) 有时根据需要也可用其他平面图形，如三角形、多边形、圆、椭圆等表示平面，故加上“通常”两字；(3) 画表示水平平面的平行四边形时，通常把它的锐角画成 45 °，横边画成邻边的2倍．但在实际画图时，也不一定非按上述规定画不可；在画直立的平面时，要使平行四边形的一组对边画成铅垂线；在画其他位置的平面时，只要画成平行四边形就可以了；(4) 画两个相交平面，一定要画出交线；(5) 当用字母表示平面时，通常把表示平面的希腊字母写在平行四边形的锐角内，并且不被其他平面遮住的地方；(6) 在立体几何中，被遮住部分的线段要画成虚线或不画．“确定一个平面”包含两层意思，一是存在性，即“存在一个平面”；二是唯一性，即“只存在一个平面”．故“确定一个平面”也通常说成“有且只有一个平面”.【教学备品】教学课件．【课时安排】2课时．(90分钟)【教学过程】（1）(2)图9−1动脑思考探索新知【新知识】母来命名，如图9−2*巩固知识 典型例题例1 表示出正方体1111ABCD A B C D -（如图9−3）的6个面1． 【说明】如图9−3所示的正方体一般写作正方体1111ABCD A B C D -，也可以简记作正方体1A C .图9−3解 这6个面可以分别表示为：平面AC 、平面11A C 、平面1AB 、平面1BC 、平面1CD 、平面1DA ． 【试一试】请换一种方法表示这6个面．说明强调引领 讲解说明 *运用知识 强化练习图9−5l β=.【说明】本章中的两个平面是指不重合的两个平面，不重合的两条直线．画两个平面相交的图形时，一定要画出它们的交线中被遮住部分的线段，要画成虚线（如图9−7（1）），或者不画（如图9−7（2））. 【试一试】请画出两个相交的平面，并标注字母． 创设情境 兴趣导入【实验】在桌面上只放一颗或两颗尖朝上的图钉，是否能将一块硬纸板架起？如果在桌面上放置三颗尖朝上的图钉，那么结果会怎样？动脑思考 探索新知图9−7图9−6【新知识】由上述实验和大量类似的事实中，归纳出平面的性质3：不在同一条直线上的三个点，可以确定一个平面（如图9−8）． 【说明】“确定一个平面”指的是“存在着一个平面，并且只存在着一个平面”．利用三角架可以将照相机放稳（图9−9），就是性质3的应用．图9−9根据上述性质，可以得出下面的三个结论． 1．直线与这条直线外的一点可以确定一个平面（如图9−10（1））. 2．两条相交直线可以确定一个平面（如图9−10（2））． 3．两条平行直线可以确定一个平面（如图9−10（3））.（3）【试一试】讲解说明引领分析 仔细分析讲解关键词语引领分析αl lα (2)Aα(1)图9−8请用平面的性质说明这三个结论．工人常用两根平行的木条来固定一排物品（如图9−11（1））；营业员用彩带交叉捆扎礼品盒（如图9−11（2）），都是上述结论的应用．（1） （2）图9−11【想一想】如何用两根细绳来检查一把椅子的4条腿的下端是否在同一个平面内？仔细分析讲解关键词语*巩固知识 典型例题例2 在长方体1111ABCD A B C D -（如图9−12）中，画出由A 、C 、1D 三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线．分析 画两个相交平面的交线，关键是找出这两个平面的两个公共点．解 点A 、1D 为平面γ与平面11ADD A 的公共点，点A 、C 为平面γ与平面ABCD 的公共点，点C 、1D 为平面γ与平面11CC D D 的公共点，分别将这三个点两两连接，得到直线11AD AC CD 、、就是为由1A C D 、、三点所确定的平面γ与长方体的表面的交线（如图9−12（2））．图9−12【想一想】说明强调 引领 讲解说明γ【教师教学后记】。
平面的基本性质教案一、教学目标知识与技能：1. 理解平面的基本性质，掌握平面的定义和特征。
2. 学会使用平面几何图形进行推理和证明。
过程与方法：1. 通过观察和操作，培养学生的空间想象力。
2. 运用小组合作、讨论交流等方法，提高学生的合作能力和口头表达能力。
情感态度价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和好奇心。
2. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
二、教学重点与难点重点：1. 平面的定义和特征。
2. 平面几何图形的推理和证明。
难点：1. 理解平面的无限延展性和不可度量性。
2. 掌握平行线的性质和判定。
三、教学准备教师准备：1. 平面的定义和特征的相关教学素材。
2. 平面几何图形的推理和证明的案例。
学生准备：1. 了解一些基本的几何概念。
2. 准备笔记本和文具。
四、教学过程1. 导入：利用现实生活中的实例，如桌面、黑板等，引导学生观察和体验平面的存在。
提出问题：“你们认为平面是什么？”让学生发表自己的观点。
2. 探究：引导学生通过观察和操作平面几何图形，如正方形、长方形等，探讨平面的基本性质。
让学生尝试用自己的语言描述平面的特征，如无限延展性、不可度量性等。
3. 证明：利用反证法，让学生尝试证明平面的基本性质。
例如，证明平面是无限延展的，可以让学生假设平面有边界，通过推理和逻辑分析，得出矛盾的结论，从而证明平面的无限延展性。
4. 应用：给出一些平面几何图形的推理和证明案例，让学生运用所学的平面性质进行分析和解决问题。
如平行线的性质和判定，可以让学生观察和分析实际生活中的实例，如马路上的交通标志等。
五、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 观察生活中的平面实例，拍摄照片或绘制图片，下节课分享。
教学反思：课后对教学效果进行反思，观察学生对平面基本性质的理解程度，以及他们在实际问题中的运用能力。
根据学生的反馈，调整教学方法和策略，以提高教学效果。
六、教学拓展1. 利用多媒体展示平面几何图形的动态变化，如正方形变为长方形的过程，让学生直观地感受平面的性质。
高二数学 9.1平面的基本性质(第二课时)大纲人教版必修●教学目标(一)教学知识点1.平面基本性质的公理3的三个推论.2.平面的基本性质及其推论的作用.3.推论的图形语言、符号语言.4.性质与推论的简单应用.（二）能力训练要求1.掌握公理3的三个推论.2.会用图形语言、符号语言表示推论的文字语言.3.掌握平面的基本性质及其推论的作用.4.初步掌握推论与性质的简单应用.（三）德育渗透目标使学生通过空间想象能力的初步训练,加深对我们所处的三维空间的认识,培养学生的辩证唯物主义世界观.●教学重点平面基本性质公理3的三个推论,在学习中要注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言,并掌握熟记它们.●教学难点三个推论的证明及性质、推论的简单应用.●教学方法指导学生自学法上节课我们学习了平面的基本性质——三个公理,本节课所学的三个推论是在上节课公理的基础上推出的结论,教师给予必要的点拨指导,学生对推论的学习与掌握应该是没有问题的.启发引导学生对推论的证明（也可根据学情让学生模仿证明）,既可让学生尝试探索证明途径,培养学生的逻辑推理能力,又可突出学生的主体参与,使学生体会到参与的乐趣,学会自学的方法,增强自己获取知识的能力.至于公理与推论的简单应用,教师应在方法上予以必不可少的指导.●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］上节课我们学习了平面的基本性质——三个公理,请同学们回忆一下,三个公理的具体内容是什么？［生甲］如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.［师］好！用图形表示是怎样的呢？［生乙］（上讲台在黑板上作图）［师］用符号表示是怎样的呢？［生丙］（板书于黑板上）ααα⊂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫∈∈∈∈l B A l B l A . ［师］很好！l ⊂α就说直线l 在平面α内,也就是说直线l 上的所有的点都在平面α内,请同学们考虑一下,怎样的直线l 我们就说它在平面α外呢？［生丁］不在平面α内的直线l ,我们就说它在平面α外.［生戊］直线l 上没有两点在平面α内,我们就说它在平面α外. ［生己］直线l 上有一个点不在平面α内,我们就说它在平面α外. ［生庚］直线l 上最多有一个点在平面α内,我们就说它在平面α外. ［师］生丁、戊、己、庚谁谈得正确呢？ （学生考虑,然后回答：都正确）［师］刚才四位同学的回答都是正确的！那么同学们谁来谈一下,直线l 在平面α外时,直线与平面的位置关系可能是怎样的？［生辛］直线与平面只有一个公共点或直线与平面没有公共点.［师］好！直线与平面没有公共点或直线与平面只有一个公共点,都叫直线在平面外. （这个讨论,为日后研究直线与平面的位置关系打下伏笔） ［师］再请一位同学来谈一下公理2的内容.［生壬］如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.其图形语言为αβlP用符号表示为P ∈α∩β⇒α∩β=l 且P ∈l .［师］很好！这个公理告诉我们,如果两个平面有一个公共点,那么它们相交于过这个公共点的一条直线.在画两个平面相交时,一定要把它们的交线画出来.再请一位同学来谈一下公理3.［生癸］经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面. 其图形语言为αA BC用符号表示为A 、B 、C 不共线存在唯一的平面α,使得⎪⎩⎪⎨⎧∈∈∈.,,αααC B A［师］公理3实质上是确定平面的条件.从刚才大家的回答来看,对各个公理,大家记忆得很好,但关键还在于理解,要把各个公理的作用弄清楚、弄透彻,正确、合理地运用它去解决具体问题.在平面几何中,我们知道两点确定一条直线,在立体几何中,我们又知道,不在一直线上的三点确定一个平面.后者就是公理3的实质.由公理3,我们还可得到下面的一些推论,请同学们再看课本P6.Ⅱ.指导自学（学生看课本时,教师将三个推论板书写在黑板上）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.［师］对于推论1,可以这样来理解：公理3告诉我们不在同一直线上的三点确定一个平面,由于这三点中的任意两点可确定一条直线,而第三点在这条直线外,所以由公理3这条直线与它外面的一点可确定一个平面.这样理解是可以的,但对于推论的正确性,还是需要进行严格证明的.分析：（1）与平面几何的证明一样,证明立体几何问题的一般步骤是：第一步：根据题意作图,写出已知、求证;第二步：写出证明过程.（2）对于“有且只有”型命题的证明,要从“有”和“只有”两方面证明,即既证明存在性——“有”,又证明唯一性——“只有”.（3）化生疏为熟悉、化未知为已知是我们常用的解（证）题方法.［师］推论1的图形语言是怎样的？请一位同学来黑板上画出.［生］（上黑板画图）［师］请根据推论1的文字语言和图形写出已知和求证.［生］已知：点A∉l.求证：过点A和直线l有且只有一个平面.［师］很好.下面我们一起来作出证明,由刚才的分析,对于这个“有且只有”型的命题,既要证“存在性”,又要证“唯一性”.证明：①存在性.在直线l上任取两点B、C,据题意,A、B、C三点不共线.由公理3,经过A、B、C三点有一个平面α.∵B∈l,C∈l,∴l⊂α（公理1）.又A∈α,∴平面α是经过点A和直线l的平面.②唯一性根据公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面只有一个,所以经过直线l和点A的平面只有一个.由①、②,可知经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.［师］这个推论用符号语言可表示为.［生］A∉l⇒存在唯一的平面α,使得A∈α且l⊂α.［师］上面我们给出了推论1的证明,请同学们仿照,尝试给出推论2、推论3的证明.（同学试证,教师巡视,可让同学将证明过程板书于黑板上）（推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面）已知：直线a、b且a∩b=P.求证：过a、b有且只有一个平面.证法一：①存在性在直线a、b上分别取不同于点P的点A、B,则点A、B、P是不共线的三点（否则与a、b是两条相交直线矛盾）.根据公理3,过A、B、P三点有一个平面α.∵A∈α,P∈α,∴AP⊂α,即a⊂α.同理b⊂α,因此过直线a、b有平面α.②唯一性∵经过直线a、b的平面一定经过点A、B、P,根据公理3,经过不共线的三点A、B、P 的平面只有一个,∴经过a、b的平面只有一个.由①、②,可知经过两条相交直线有且只有一个平面.证法二：①存在性在直线a上取不同于点P的点A,则点A∉直线b.根据推论1,过点A和直线b有一个平面α.∵b⊂α,P∈b,∴P∈α.又A∈α,∴AP⊂α,即a⊂α.∴经过相交直线a、b有平面α.②唯一性∵经过直线a、b的平面一定经过点A和直线b,而A∉b,根据推论1,经过点A和直线b的平面只有一个.∴经过a、b的平面只有一个.由①、②,可知经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面.已知：直线a、b且a∥b.求证：经过a、b有且只有一个平面.证明：①存在性∵a∥b,由平行线的定义,a、b在同一平面内,∴过直线a、b有一个平面α.②唯一性在直线b上任取一点B,则B∉a（否则与a∥b矛盾）,且B、a在过a、b的平面α内.又由推论1,过点B和直线a的平面只有一个,∴过直线a、b的平面只有一个.由①、②,可知经过两条平行直线的平面有且只有一个.［师］推论2与推论3用符号语言可分别表示为什么呢？［生］推论2可表示为a∩b=P⇒存在唯一平面α,使得a⊂α,b⊂α.推论3可表示为a∥b⇒有且只有一个平面α,使得a⊂α,b⊂α.［师］“有且只有一个平面”可以说成“确定一个平面”.比如公理3可以表述为“不在同一直线上的三点确定一个平面”.类似地,公理3的三个推论可以分别叙述为——［生］一条直线与它外面的一点确定一个平面.两条相交直线确定一个平面.两条平行直线确定一个平面.［师］好.由此可以看出公理3及它的三个推论,给出了确定一个平面时经常使用的一些条件,我们要予以准确把握.下面我们来进行有关的练习.Ⅲ.课堂练习课本P8习题9.1 1,2,5.Ⅳ.课时小结本节课,我们学习了公理3的三个推论,这三个推论连同公理3都是确定平面的条件,它们是把平面几何知识应用于立体几何知识的桥梁,为立体几何问题转化为平面几何问题提供了理论依据和具体方法.Ⅴ.课后作业（一）课本P96,7,8.（二）1.预习课本P7例题.2.预习提纲证三线共面的方法是什么？。
【课题】平面的基本性质(3)【教学目标】1、正确运用平面的基本性质及三个推论.2、掌握共面、共线、共点问题的证明方法.3、初步掌握性质与推论的简单应用.【教学重点】共面、共线、共点问题的证明.【教学难点】共面、共线、共点问题的证明.【教学过程】一、复习引入复习三个公理及公理3的三个推论二、例题讲解1、共面问题【例1】如图直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，证明这三条直线共面.证明1：∵AB、AC相交，∵AB、AC确定一个平面，设为α∵B∵AB，C∵AC∵B∵α，C∵α∵BC α因此AB、AC、BC都在平面α内.即AB、AC、BC共面.证明2：∵AB、AC相交∵AB、AC确定一个平面α∵点A、B、C∵α，且不共线∵AB、BC相交∵AB、BC确定一个平面β∵点A、B、C∵β，且不共线根据公理3，经过不共线的三点A、B、C有且只有一个平面，ABCα∵面α与面β重合 ∵AB 、AC 、BC 共面.【注】证明共面问题的方法至少有两种：∵先由某些条件确定一个平面，然后证明其余已知的都在这个平面内. ∵所有已知条件确定若干个平面，然后证明这些平面重合.第一种更为常用，因为证明若干个平面重合，实在不是一件容易的事情. 【例2】 已知一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面. 已知：直线a ∵b ∵c ，直线l ∩a =A ，l ∩b =B ，l ∩c =C. 求证：l 与a 、b 、c 共面.证明：∵a ∵b ，∵a 、b 确定一个平面，设为α 又l ∩a =A ，l ∩b =B ，∵A ∵α，B ∵α 又A ∵l ，B ∵l ，∵AB ⊂α，即l ⊂α 同理b 、c 确定一个平面β，l ⊂β. ∵平面α与β都过两相交直线b 与l . 由推论2，两条相交直线确定一个平面. ∵α与β重合. 故l 与a 、b 、c 共面.【备用例题】【例3】 不共点的四条直线两两相交，求证：这四条直线在同一个平面内. 已知：直线AB 、BC 、CD 、DA 两两相交，且不过同一点.（注意：两两相交的意思是，如果n 条直线两两相交，那么任一条直线与另外（n －1）条直线都相交，都有公共点.）求证：直线AB 、BC 、CD 、DA 共面. 证明：设AB 、CD 相交于M 则AB 、CD 确定一个平面，设为α， ∵A ∵AB ，B ∵AB ，C ∵CD ，D ∵CD ∵A ∵α，B ∵α，C ∵α，D ∵α 由公理1知AD 、BC ⊂α.故AB 、BC 、CD 、DA 四条直线共面.a bcA BCαA B CD MααCAPQBR2、共线问题【例4】 如图，已知∵ABC 的各顶点在平面α外，直线AB 、AC 、BC 分别交平面α于P 、Q 、R ，求证：P 、Q 、R 三点共线.证明：因为P 既在平面α上，又在平面ABC 上，所以P 点在这两个平面的交线上；同理，Q 、R 也在这两个平面的交线上。
外国人学汉语故事两则有一次，约瑟夫觉得枕头很硬，想去商店买个软一点的。
约瑟夫对售货员说：“您好，我要买个针头(枕头)。
”售货员说：“我们的商店不卖针头。
”这下可把约瑟夫弄糊涂了。
约瑟夫明明看见货架上放着一堆枕头，售货员怎么说没有呢？于是约瑟夫慢慢地重复说：“我要买一个针头(枕头)。
”售货员也慢慢地回答：“我们这儿没有针头。
”眼看自己是说不明白了，约瑟夫连忙指着售货员的身后说：“那是什么？”售货员笑了：“哦，那是枕头，不是针头。
”约瑟夫遇到的最尴尬的事情是理发。
有一天，约瑟夫去理发店，告诉理发师：“我要剪半寸。
”理发师说，没问题。
他让约瑟夫坐下，开始理发。
剪头的时候，约瑟夫睡着了。
睡着睡着，有人在约瑟夫肩上拍了一下，原来是理发师。
理发师说：“成了，照照镜子吧。
”约瑟夫一照镜子吓了一跳，原意是剪掉半寸头发，可是理发师给约瑟夫剪了个板寸，头发只有半寸长。
名句有约1．床头屋漏无干处，雨脚如麻未断绝。
(杜甫《茅屋为秋风所破歌》)2．欲把西湖比西子，淡妆浓抹总相宜。
(苏轼《饮湖上初晴后雨》)3．峰回路转，有亭翼然临于泉上者，醉翁亭也。
(欧阳修《醉翁亭记》)4．一水护田将绿绕，两山排闼送青来。
(王安石《书湖阴先生壁》)5．落红不是无情物，化作春泥更护花。
(龚自珍《己亥杂诗》)6．好雨知时节，当春乃发生。
(杜甫《春夜喜雨》)7．接天莲叶无穷碧，映日荷花别样红。
(杨万里《晓出净慈寺送林子方》)8．小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头。
(杨万里《小池》) 9．明月别枝惊鹊，清风半夜鸣蝉。
(辛弃疾《西江月》) ，听取蛙声一片。
(辛弃疾《西江月》)素材积累约翰逊博士的忏悔后，有一天中午十一时，当地人看见这个体态臃肿的老(选自《欧美故事小集》)。
高中数学《平面的基本性质》教案一、教学目标1. 让学生理解并掌握平面的基本性质，包括平面的定义、平面的表示方法、平面的性质等。
2. 培养学生运用平面几何知识解决实际问题的能力。
3. 提高学生的逻辑思维能力和空间想象力。
二、教学内容1. 平面的定义：平面是无限延展、无厚度的二维空间。
2. 平面的表示方法：用字母“α”、“β”等表示平面。
3. 平面的性质：（1）平面上的点与直线的关系：任意一点在平面内，都可以用平面内的直线表示。
（2）平面上的直线与直线的关系：平面内的任意两条直线，要么相交于一点，要么平行。
（3）平面上的直线与点的关系：平面内的任意一点，要么在给定直线上，要么不在给定直线上。
三、教学重点与难点1. 教学重点：平面的定义、表示方法和平面的性质。
2. 教学难点：平面的性质中直线与直线、直线与点的关系的理解和应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过思考和讨论，自主探究平面的基本性质。
2. 利用几何画板或实物模型，直观展示平面的性质，帮助学生建立空间想象。
3. 设计适量练习题，让学生在实践中巩固知识。
五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，如平面地图、桌面等，引出平面的概念。
2. 新课导入：介绍平面的表示方法，讲解平面的性质。
3. 课堂讲解：详细讲解平面的性质，引导学生理解直线与直线、直线与点的关系。
4. 例题讲解：分析并解决典型例题，让学生掌握平面几何的应用。
5. 课堂练习：学生自主完成练习题，巩固所学知识。
6. 总结与拓展：对本节课内容进行总结，提出更高层次的问题，激发学生兴趣。
7. 课后作业：布置适量作业，让学生进一步巩固平面几何知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对平面基本性质的理解程度。
2. 练习题解答：检查学生课后练习题的完成情况，评估其对知识的掌握程度。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，了解其合作能力和解决问题的能力。
七、教学反思1. 反思教学内容：根据学生的反馈，调整教案内容，使之更符合学生的认知水平。
第九章直线、平面、简单几何体一空间直线和平面9.1 平面●课时安排3课时●从容说课立体几何是在初中平面几何的基础上进行的,以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象,以演绎法为研究方法,通过立体几何的教学,使学生的认识水平实现由二维空间向三维空间的转化,发展学生的空间想象能力,提高学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.教学中既借助模型帮助学生克服学习平面图形时产生的思维定势影响,又紧密联系平面几何的知识消除学生的畏惧心理,增强学生学习立体几何的信心,教学时尽量应用生活中的实例加以分析研究,以进一步激发学生学习立体几何的兴趣.本节是在学生对立体几何内容、知识结构及其研究方法等有了一定了解的基础上进行的,通过学习“平面〞，由“平面〞是可以无限延伸的,培养学生的空间想象力；由“平面〞是空间图形的基本元素,培养学生“空间问题平面化〞的观点；由点、直线、平面间的内在联系,培养学生运动变化的观点;由平面的三个基本性质的有关公理,提供了证明共面、共线、共点问题的方法,揭示了立体图形转化为平面图形的重要思想.学生学习的重点是与平面的基本性质有关的公理、推论及其证明思路和解决共面、共线、共点问题的方法;难点是问题的证明过程及其书写格式.因此教学时应从实物演示中引导学生观察实验,搞清公理的条件与结论间的具体关系,且教师要作出示范,严谨规范证明过程格式.第一课时●课题9.1.1 平面〔一〕●教学目标(一)教学知识点1.平面的概念、平面的表示法.2.平面的基本性质.(二)能力训练要求1.了解平面的概念,掌握平面的表示法.2.掌握平面的基本性质及它们的作用.3.会用文字语言、图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系.4.能够画出水平放置的平面的直观图.5.培养学生的空间想象能力.〔三〕德育渗透目标通过本节内容的学习,使学生认识我们所处的世界是一个三维空间,由此培养学生的辩证唯物主义世界观.●教学重点1.平面的概念.“平面〞是教材中只作描述说明,而不定义的最原始的基本概念,应让学生结合实例弄清平面的含义,认真体会平面与平面无大小之分,无厚薄之别,仅有位置上的不同.2.会正确画图表示两相交平面的位置关系.3.平面的基本性质,要注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言,并熟记它们,达到能得心应手运用它们的程度.●教学难点平面基本性质的掌握与运用.●教学方法师生共同讨论法这是立体几何的第一节课,也可叫做立体几何的起始课.要对这一学科的内容作一个大概的介绍,使学生一开始就对这门学科有一个初步的了解,为以后的学习打下思想基础.同时,通过师生的共同讨论,使学生体会到这门学科并不难学,克服畏难情绪,引起学生兴趣.●教具准备1.正方体或长方体模型一个.2.投影片七张.第一张：以下图〔记作9.1.1 A〕第二张：本课时教案第2第三张：本课时教案第3第四张：课本P5图9—4〔记作9.1.1 D〕第五张：课本P6图9—5〔记作9.1.1 E〕第六张：课本P6图9—6〔记作9.1.1 F〕第七张：本课时教案后面的预习内容及提纲〔记作9.1.1 G〕●教学过程Ⅰ.课题导入［生］前面、上面和右面.［师］好.再看这个图形〔以下图〕.［生］长方体.［师］对.也是长方体,那么看见的面是不是和刚才的图一样？［生］不一样.看见的是前面、左面和下面.［师］答得好.这两个图形的区别只是三条虚线不同,但看上去位置却大不一样了.(1)点E 、F 分别在A 1B 1和B 1B 上,直线EF交AB 的延长线于点G . 大家看看,是图〔1〕中的直线EF 交BA 的延长线于点G ,还是图〔2〕中的直线EF 交AB的延长线于点G ？〔生面面相觑〕［生甲］图〔1〕中的直线EF 与BA 的延长线不相交,图〔2〕中的直线EF 与AB 的延长线相交.［师］为什么？ ［生甲］图〔2〕中的EF 与AB 都在长方体的前面内,图〔1〕中的EF 在长方体的上面,AB 在长方体的下面.［师］这位同学回答得很好〔取出实物模型,演示给学生看〕,从这个模型上可以更清楚地看到图〔1〕中的直线EF 与BA 的延长线不相交.〔从模型到图形初步培养学生的空间想象能力〕 ［师］图〔1〕、图〔2〕表示的正方体是一种空间图形,空间图形是立体几何研究的对象.平面图形是空间图形的一部分.立体几何是在平面几何的基础上进行研究的,研究的内容是：空间图形的画法、性质和计算；空间图形的大小、形状和位置关系,以及它们的应用.初中的平面几何是很重视系统学习的,理论严谨、层次分明.到了高中,数学学习更加着重理性要求,立体几何也是如此,同样要用公理、定理、定义等等,把基本内容表达出来,从而表达立体几何的基本概念与方法.空间图形中,最简单的图形就是点、线、面,其中点与线在平面几何中已经研究过,因此在立体几何中先介绍平面.Ⅱ.新课讨论［师］常见的桌面、黑板面、平静的水面、平整的地面等,都给我们以平面的印象.几何里所说的平面,就是从这样的一些物体中抽象出来的,但是,几何里的平面是向四周无限伸展的.1.平面的画法及表示［师］在平面几何中,怎样画直线？哪位同学来黑板上画出一条直线？ 〔一位学生上讲台在黑板上画出一条直线〕［师］这是一条直线吗？〔学生茫然〕这可以表示一条直线.实质上,我们画的只是直线的一部分,而要加以想象——两头无限伸展,才能认为这是一条直线,否那么,只能表示一条线段.我们能否根据直线的画法，想出平面的画法来？［生］画出平面的一部分,加以想象——四周无限扩展. ［师］谁来画一下?〔几位同学踊跃到黑板上画,画出来的有圆形、三角形、四边形、多边形及任意封闭图形〕 ［师］同学们所画的图可以表示平面吗？［生］只要加以想象——四周无限扩展,都可以表示平面. ［师］很好！从大家的画法中,可以看出,平面的一部分,不像直线的一部分是唯一的,大家所画的加以想象,都可以表示平面.当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时,感到它们都很像平行四边形,因此通常我们用画平行四边形来表示平面.当平面是水平放置的时候,通常把平行四边形的锐角画成45°,横边画成邻边的2倍长〔如图〕.D CABα平面通常用一个希腊字母如α、β、γ等来表示,如平面α、平面β、平面γ等,也可以用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示,如平面AC 、平面BD .今后一般用A 、B 、C 、…表示点,a 、b 、c 、…表示线,α、β、γ、…表示平面.几个平面画在一起,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮部分的线段画成(2)图〔1〕表示平面在平面的上面,图〔2〕表示平面在平面的前面.〔再用课本P 4图9—2作说明〕B ［师］平面内有无数个点.,其中每个点都是它的元素.点A 在面α内,记作A ∈α,点B 在平面α外,记作B ∉α.这里的平面是集合,点是元素.2.平面的基本性质［师］平面几何中,直线的基本性质是什么？ ［生］两点确定一条直线.［师］好！照这样推想,平面的基本性质应该是几个点确定一个平面?〔学生不知该怎样做答〕正像平面的画法一样,平面的基本性质要比直线的基本性质复杂些.在生产与生活中,人们经过长期的观察与实践,总结出关于平面的三个基本性质,我们把它们当作公理,作为进一步推理的基础.所谓公理,就是大家公认的道理,就是不必证明而直接承认的真命题,它们是进一步推理的出发点和根据.下面同学们打开课本P 5,请阅读一下平面基本性质的三个公理. 〔学生阅读,教师将三个公理板书于黑板上〕［师］从集合的角度看,公理1就是说,如果一条直线〔点集〕中有两个元素〔点〕属于一个平面〔点集〕,那么这条直线就是这个平面的真子集.直线是由无数个点组成的集合,点P 在直线l 上,记作P ∈l ；点P 在直线l 外,记作P ∉l ；如果直线l 上所有的点都在平面α内,就说直线l 在平面α内,或者说平面α经过直线l ,记作l ⊂α,否那么就说直线l 在平面α外,记作l ⊄α.符号表示为：ααα⊂⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬∈∈∈l B A l B .有一种等价的说法,即“直线l 上所有的点都在平面α内〞,可以说成“直线l 上任一点C 都在α内〞,于是符号表达又可以记作αα∈⇒⎭⎬⎫∈⊂C l C l 任一点.这种换一种说法的符号表示在实际问题中经常用到.公理2是说,两个不重合的平面,只要它们有公共点,这两个平面就是相交的位置关系,交集是一条直线.如果平面α和平面β有一条公共直线l ,就说平面α和平面β相交,交线是l ,记作α∩β=l . 公理2的图形如图〔打出投影片9.1.1 E 〕.符号表示为C ∉直线AB ⇒存在唯一的平面α,使得⎪⎩⎪⎨∈∈.,ααC B .注意：公理中“有且只有一个〞的含义是：“有〞,是说图形存在;“只有一个〞,是说图形唯一;“有且只有一个平面〞的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的,而且只有一个〞,也即不共线的三点确定一个平面.“有且只有一个平面〞也可以说成“确定一个平面〞. 各个公理的作用：公理1的作用有二：一是可以用来判定一条直线是否在平面内,即要判定直线在平面内,只需确定直线上有两个点在平面内即可；二是可以用来判定点在平面内,即如果直线在平面内、点在直线上,那么点在平面内.公理2的作用也有二：一是判定两个平面相交,即如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面相交；二是判定点在直线上,即点假设是某两个平面的公共点,那么该点就在这两个平面的交线上.公理3是确定平面的依据.Ⅲ.课堂练习课本P2练习1,2,4.Ⅳ.课时小结通过本节课的学习,我们明确了立体几何研究的对象是空间图形；它是在平面几何的基础上研究的,主要研究空间图形的大小、形状和位置关系、画法、性质和计算及其应用.首先我们研究了平面的画法和基本性质,一般画平行四边形表示平面；平面的基本性质表示为三个公理,它们分别表示了点、线、面的最基本的关系.我们一定要掌握平面的基本性质,并且能熟练地用文字语言、图形语言、符号语言表示点、线、面及其关系.Ⅴ.课后作业(一)课本P8习题9.1 1,2〔1〕,3,4.(二)1.预习Ｐ6～Ｐ7三个推论及例题.2.预习提纲〔1〕三个推论的文字语言、图形语言、符号语言各是怎样的.〔2〕三个推论能否分别换一种表述方法？假设能,试作表述.〔3〕仿照推论1的证明方法,试证推论2、推论3.●板书设计。
【课题】平面的基本性质(2)【教学目标】1、掌握公理3的三个推论.2、会用图形语言、符号语言表示推论的文字语言.3、掌握平面的基本性质及其推论的作用.4、初步掌握推论与性质的简单应用.【教学重点】平面基本性质公理3的三个推论，在学习中要注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言，并掌握熟记它们.；【教学难点】三个推论的证明及性质、推论的简单应用.【教学过程】一、复习引入1．平面的概念：平面是没有厚薄的，可以无限延伸；2．平面的画法及其表示方法：①在立体几何中，常用平行四边形表示平面。
当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画。
②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC等3．点、线、面的基本位置关系及三种表示方法4、上节课我们学习了平面的基本性质——三个公理，三个公理的具体内容是什么？用图形表示是怎样的？用符号表示是怎样的？二、讲解新课（一）推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面.已知：直线点l ，A∉l.求证：过点A和直线l有且只有一个平面.证明：①存在性在直线l 上任取两点B 、C ；据题意，A 、B 、C 三点不共线， 由公理3，经过A 、B 、C 三点有一个平面α ∵B ∈l ,C ∈l ，∴l ⊂α（公理1）又A ∈α，∴平面α是经过点A 和直线l 的平面②惟一性根据公理3，经过不共线的三点A 、B 、C 的平面只有一个，所以经过直线l 知点A 的平面只有一个.由①、②可知，经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面. 推论1用符号语言可表示为：A ∉l ⇒存在惟一的平面α，使得A ∈α且l ⊂α.如果构成图形的所有点都在同一个平面内，这个图形叫做平面图形，如果构成图形的点不都在同一个平面内，这种图形我们叫做立体图形。
课题：9．1平面的基本性质(一)教学目的：1能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”2理解平面的无限延展性3正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系4初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化教学重点：掌握点-直线-平面间的相互关系，并会用文字-图形-符号语言正确表示的无限延展性教学难点：（1）理解平面的无限延展性;（2）集合概念的符号语言的正确使用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：立体几何课程是初等几何教育的内容之一，是在初中平面几何学习的基础上开设的，以空间图形的性质、画法、计算以及它们的应用为研究对象，以演绎法为研究方法通过立体几何的教学，使学生的认识水平从平面图形延拓至空间图形，完成由二维空间向三维空间的转化，发展学生的空间想象能力，逻辑推理能力和分析问题、解决问题的能力平面的概念和平面的性质是立体几何全部理论的基础形态的数学抽象，在立体几何中是只描述而不定义的原始概念，但平面是把三维空间图形转化为二维平面图形的主要媒介，在立体几何问题平面化的过程中具有重要的桥梁作用“立体几何”作为一门学生刚开始学习的学科，其内容对学生来说基本上是完全陌生的，应以“讲授法’的主，引导学生观察和想象，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，初步培养空间想象力本课是“立体几何”的起始课，应先把这一学科的内容作一大概介绍，包括课本的知识结构，“立体几何”的研究对象，研究方法，学习立体几何的方法和作用等而后引入“平面”概念，以类比的方式，联系直线的无限延伸性去理解平面的无限延展性，突破教学难点行“平面的画法”教学时，不仅要会画水平放置的平面，还应会画直立的平面和相交平面（包括有部分被遮住的相交平面）在用字母表示点、直线、平面三者间的关系时，应指明是借用了集合语句，并用列表法将这些关系归类，以便作为初学者的学生便于比较、记忆和运用9.1节，平面的基本性质共4个知识点：平面的表示法、平面的基本性质、公理的推论、空间图形在平面上的表示方法这一小节是整章的基础通过平面基本性质及其推论的学习使学生对平面的直观认识上升到理性认识形性质的学习，使学生对图形的直观认识上升到理性认识，建立空间图形性质的正确概念，这样才能学好立体几何为了形成学生的空间观念，这一小节通过观察太阳(平行)光线照射物体形成影子的性质来学习直观图的画法先直观地了解平行射影的性质，这样就可正确地指导学生画空间图形这小节教学要求是，掌握平面的基本性质，直观了解空间图形在平面上的表示方法，会用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图和长方体、正方体的直观图教学过程：一、复习引入：在初中，我们主要学习了平面图形的性质平面图形就是由同一平面内的点、线所构成的图形面图形以及我们学过的长方体、圆柱、圆锥等都是空间图形，空间图形就是由空间的点、线、面所构成的图形当我们把研究的范围由平面扩大到空间后，一些平面图形的基本性质，在空间仍然成立如三角形全等、相似的充要条件，平行线的传递性等否仍然成立呢？例如，过直线外一点作直线的垂线是否仅有一条？到两定点距离相等的点的集合是否仅是连结两定点的线段的一条垂直平分线？二、讲解新课：1．平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性一个平面把空间分成两部分，一条直线把平面分成两部分2．平面的画法：通常画平行四边形来表示平面(1)一个平面：水平放置和直立；当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45ο，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）.(2) 直线与平面相交，如图1（2）、（3），：（3）两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）3平面的画法及其表示方法：①在立体几何中，常用平行四边形表示平面角画成45o，横边画成邻边的两倍画两个平面相交时，当一个平面的一部分被另一个平面遮住时，应把被遮住的部分画成虚线或不画②一般用一个希腊字母α、β、γ……来表示，还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面α，平面AC 等4空间图形是由点、线、面组成的空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示a βαB A βB A αβB A ααβa 图 2A （1）AaA a∉点A不在直线a上AαAα∈点A在平面α内AαAα∉点A不在平面α内baA a b A=I直线a、b交于A点aαaα⊂直线a在平面α内aαaα=∅I直线a与平面α无公共点aAαa Aα=I直线a与平面α交于点Alαβ=I平面α、β相交于直线lI于直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言α⊄a（平面α外的直线a）表示α⊄a（平面α外的直线a）表示aα=∅I或a Aα=I三、讲解范例：例1将下列符号语言转化为图形语言：（1）Aα∈，Bβ∈，A l∈，B l∈；（2）aα⊂，bβ⊂，//a c，bc p=I，cαβ=I解：说明：画图的顺序：先画大件（平面），再画小件（点、线）例2将下列文字语言转化为符号语言：（1）点A在平面α内，但不在平面β内；（2）直线a经过平面α外一点M；（3）直线l 在平面α内，又在平面β内（即平面α和β相交于直线l ） 解：（1）A ∈α，A ∉β； （2）M ∈a ，M ∉α；（3）l ∈α，l ∈β（即αI β＝l ） 例3 在平面α内有,,A O B 三点，在平面β内有,,B O C 三点，试画出它们的图形 答案：右图 四、课堂练习：1．判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×” （1）可画一个平面，使它的长为4cm ，宽为2cm ． （ ）（2）一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分．（ ）（3）一个平面的面积为20 cm 2． （ ）（4）经过面内任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面．（ ） 答案：（1）×（2）√（3）×（4）√2．观察（1）、（2）、（3）三个图形，模型说明它们的位置关系有什么不同，并用字母表示各个平面．3．请将以下四图中，看得见的部分用实线描出． (4)(3)(2)(1)4．如图所示，用符号表示以下各概念：①点A 、B 在直线a 上 ；②直线a 在平面内 ；点C 在平面内 ；③点O 不在平面内 ；直线b 不在平面内 ．答案：①,A a B a ∈∈ ②,a C αα⊂∈ ③,O b αα∉⊄ 5．①一条直线与一个平面会有几种位置关系 ．②如图所示，两个平面、，若相交于一点，则会发生什么现象.③几位同学的一次野炊活动，带去一张折叠方桌，不小心弄坏了桌脚，有一生提议可将几根一样长的木棍，在等高处用绳捆扎一下作桌脚（如图所示），问至少要 几根木棍，才可能使桌面稳定？答案： ①3种 ②相交于经过这个点的一条直线 ③至少3根五、小结 ：平面的概念；平面的画法、表示方法及两个平面相交的画法；点、直线、平面间基本关系的文字语言，图形语言和符号语言之间关系的转换六、课后作业：试用集合符号表示下列各语句，并画出图形：（1）点A 在平面α内，但不在平面β内；（2）直线a 经过不属于平面α的点A ，且a 不在平面α内；βαa αC B A O C B A βα(3)(2)(1)（3）平面α与平面β相交于直线l，且l经过点P；（4）直线l经过平面α外一点P，且与平面α相交于点M七、板书设计（略）八、课后记：。
高二数学平面的性质 知识精讲 人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：平面的性质［教学目标］掌握平面的画法及表示，掌握平面的性质及初步应用。
二. 重点、难点［教学重点］平面的性质，即三个公理。
［教学难点］用平面的性质（三个公理）证明共点、共线等问题。
［基本知识］平面的性质：公理1：若直线上有两点在平面内，则直线上所有点都在该平面内。
公理2：若两个平面有一个公共点，则这两个平面存在一条经过该点的交线。
公理3：不共线的三个点，确定一个平面。
推论1：推论2：推论3：【典型例题】例1. 已知∥∥，，，，求证：、、、四条a b c l a M l b N l c P a b c l === 直线在同一平面内。
证明：∵a ∥b ，∴a 、b 确定一个平面α又∵，M a N b ∈⊂∈⊂αα∴、在内M N l αα⇒⊂同理、、共面于b c l β又∵与与确定的平面是同一平面αb lβ与与确定的平面是同一平面b l∴与重合αβ于是a 、b 、c 、l 四条直线共面。
例2. 已知，直线a 、b 、c 相交于P 点，直线d 与a 、b 、c 分别相交于A 、B 、C 三点。
求证：直线a 、b 、c 与直线d 共面。
证明：∵P d ∉∴点与直线确定一个平面P d α又∵，，∴、P A d A P ∈∈⊂∈ααα同理，、，、均在内P B P C α∴、、a b c ⊂⊂⊂ααα即：a 、b 、c 、d 共面。
例3. 已知四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB 、BC 、CD 、DA 所在直线分别与平面α交于点E 、G 、F 、H ，求证：E 、H 、F 、G 共线。
证明：∵AB ∥CD∴AB 与CD 确定一个平面β∵、E AB F CD ∈∈∴，又∵，、在与的交线上E F E F E F l ∈∈∈∈⎫⎬⎪⎭⎪⇒ββαααβ 上的交线与在、同理，可证l H G βα∴E 、H 、F 、G 四点共线。
例4. 如图△ABC 和△A 1B 1C 1不在同一个平面内，如果三直线AA 1、BB 1、CC 1两两相交，求证：三直线AA 1、BB 1、CC 1交于一点。
高中数学的必修二数学平面的基本性质知识点平面的基本性质教学目标1、知识与能力：(1)巩固平面的基本性质即四条公理和三条推论.(2)能使用公理和推论进行解题.2、过程与方法：(1)体验在空间确定一个平面的过程与方法;(2)掌握利用平面的基本性质证明三点共线、三线共点、多线共面的方法。
3、情感态度与价值观：培养学生认真观察的态度，慎密思考的习惯，提高学生的审美能力和空间想象的能力。
教学重点平面的三条基本性质即三条推论.教学难点准确运用三条公理和推论解题.教学过程一、问题情境问题1：空间共点的三条直线能确定几个平面?空间互相平行的三条直线呢?问题2：如何判断桌子的四条腿的底端是否在一个平面内?二、温故知新公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理4(平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.把以上各公理及推论进行对比：三、数学运用基础训练：(1)已知：;求证：直线AD、BD、CD共面.证明：——公理3推论1——公理1同理可证，,直线AD、BD、CD共面【解题反思1】1。
逻辑要严谨2.书写要规范3.证明共面的步骤：(1)确定平面——公理3及其3个推论(2)证线“归”面(线在面内如：)——公理1(3)作出结论。
变式1、如果直线两两相交，那么这三条直线是否共面?(口答)变式2、已知空间不共面的四点，过其中任意三点可以确定一个平面，由这四个点能确定几个平面?变式3、四条线段顺次首尾连接，所得的图形一定是平面图形吗?(口答)(2)已知直线满足：;求证：直线证明：——公理3推论3——公理1直线共面提高训练：已知，求证：四条直线在同一平面内.思路分析：考虑由直线a,b确定一个平面，再证明直线c,l在此平面上，但十分困难。
●备课资料《名师授课录》 思考与练习答案：①向两个方向无限伸长的 ②向四周无限扩展的 ③AB或a④⑤用直线上的两个点表示（用两个大写字母表示）或用一个小写字母表示 ⑥用对角顶点的两个大写字母表示或用一个希腊字母表示 ⑦表示被遮住的线条（看不见的线条）2.请将下面两图中的部分虚线画成实线,使其成为从不同角度观察的正方体答案：（略）3.如何用符号语言表示下列文字语言？（1）点P 在直线l 上 ；（2）点P 在直线l 外 ；（3）点P 在平面α内 ；（4）点Q 在平面α外 ；（5）直线l 在平面α内 ；（6）直线l 在平面α外 ；记作读作 记作读作记作读作记作读作记作读作记作读作（7）平面α和β相交,交线是l ；（8）直线a 和b 相交于点P .答案：（1）P ∈l （2）P ∉l （3）P ∈α （4）Q ∉α （5）l ⊂α （6）l ⊄α （7）α∩β=l （8）a ∩b =P4.（1）两个平面相交,交线是 且所有公共点都在 上,交线上的每一点都是两平面的 .（2）画两平面相交时必须画出它们的 . 答案：（1）两平面的公共直线 交线 公共点 （2）交线6.观察图（1）和图（2）,用模型说明它们的位置有什么不同,并用字母表示平面.a(2)aa答案：略.7.两条直线划分平面有几种不同的划分方法？请画图说明. 答案：有两种不同的划分方法.当l 1∥l 2时,两直线将平面划分成三部分；当l 1与l 2相交时,两直线将平面划分成四部分. 如图：12l l 12l l8.点P 在直线l 上,而直线l 在平面α内,用符号表示为 A.P ⊂l ⊂α B.P ∈l ∈α C.P ⊂l ∈α D.P ∈l ⊂α 答案：D9.下列几种说法中,正确的是 A.四边形一定是平面图形 B.空间三个点确定一个平面 C.桌面是一个平面 D.三角形一定是平面图形 答案：D10.“已知α∩β=l ,若点P ∈α且点P ∈β,则P ∈l ”.用文字语言应叙述为 . 答案：已知平面α与平面β相交于直线l ,如果点P 既在平面α内又在平面β内,那么点P记作读作记作读作在直线l上●备课资料思考与练习一、选择题1.下列命题中,正确命题的个数是①有三个公共点的两个平面重合②梯形的四个顶点在同一平面内③三条互相平行的直线必共面④四条线段顺次首尾连结,构成平面图形A.0B.1C.2D.3答案：B2.下列命题正确的是A.两条直线可以确定一个平面B.一条直线和一个点可以确定一个平面C.空间不同的三点可以确定一个平面D.两条相交直线可以确定一个平面答案：D3.四条直线相交于一点,它们能确定的平面的个数为A.1B.4C.6D.1或4或6答案：D4.空间四点,没有三点共线,可确定平面的个数为A.1B.4C.1或4D.0或1答案：C5.长方体各面上的对角线所确定的平面的个数为A.6B.12C.14D.20答案：D6.在空间中,下列命题错误的是A.圆上三点可确定一个平面B.圆心和圆上两点可确定一个平面C.四条平行直线不能确定五个平面D.空间四点中,若四点不共面,则任意三点不共线答案：B7.在空间,下列命题错误的是A.对角线互相平分的四边形是平行四边形B.两组对边分别平行的四边形是平行四边形C.一组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形答案：D8.空间四点中“三点共线”是“四点共面”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：A9.若给定空间三条直线共面的条件,这四个条件中不正确的是①三条直线两两相交 ②三条直线两两平行 ③三条直线中有两条平行 ④三条直线共点A.②B.②③C.②③④D.①②③④ 答案：D10.空间三个平面两两相交,那么 A.必相交于一点 B.必相交于一条直线 C.必相交于三条平行直线 D.不可能有且只有两条交线 答案：D 二、填空题1.四条平行直线最多能确定 个平面. 答案：62.直线与平面公共点的个数可能为 . 答案：0或1或无穷多3.一条直线和这条直线外不共线的三点能确定的平面的个数为 . 答案：1或3或44.“点P 在直线l 上,点P 不在平面α内,直线l 与平面α相交于点O ”,用符号语言叙述可表示为 .答案：P ∈l ,P ∉α,l ∩α=O5.根据下图,写出图中的元素应满足的条件.αγ(1)c a bA(2)（1）对于图（1）,α∩β= ;β∩γ= ;= ;A α;A β. （2）对于图（2）, =PQ ; =B ; =C ; =A .答案：（1）a b c ∈ ∈ （2）α∩β AB ∩α AC ∩β AB ∩AC三、解答题1.同时过空间四点可以作几个平面?答案：当这四点共线时,同时过这四点可以作无数个平面； 当这四点有且只有三点共线时,同时过这四点可以作一个平面；当这四点分别在两条直线上,且这两条直线平行或相交时,同时过这四点可以作一个平面； 不是上述情况,则不存在同时经过这四个点的平面.2.根据下列条件画出图形：平面α∩平面β=AB ,直线a ⊂α,直线b ⊂β,a ∥AB ,b ∥AB . 答案：αβb aAB3.如图,A ∈α,直线AB 和AC 不在α内,画出AB 和AC 所确定的平面β,并画出直线BC和平面α的交点.答案：4.如图,正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm,M 、N 、P 分别是AB 、A1D 1、BB 1的中点.1（1）画出过M 、N 、P BB 1C 1C 的交线； （2）设过M 、N 、P 三点的平面与解：（1）设M 、N 、P 1MP .设MP ∩A 1B 1=R ,则RN 是α与平面A 1B 1C 1D 1的交线. 设RN ∩B 1C 1=Q .则PQ 是α与平面BB 1C 1C的交线.1R（2）∵正方体的棱长为8 cm, ∴B 1R =BM =4 cm. 在△RA 1N 中,1111RA RB N A Q B =, ∴B 1Q =.344124=⨯ 在Rt △PB 1Q 中, ∵PB 1=4,B 1Q =34, ∴PQ =1034)34(422=+ (cm). 故所求PQ 的长为1034cm. ●备课资料 思考与练习1.已知一条直线与三条平行直线都相交,求证：这四条直线共面. 为了证明过程叙述的方便,先写出已知、求证,用符号语言表示.已知：直线a∥b∥c,直线l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C.求证：l与a、b、c共面.证明：∵a∥b,∴a、b确定一个平面,设为α.又l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α.又A∈l,B∈l,∴AB⊂α,即l⊂α.同理b、c确定一个平面β,l⊂β.∴平面α与β都过两相交直线b与l.由推论2,两条相交直线确定一个平面,∴α与β重合.故l与a、b、c共面.2.不共点的四条直线两两相交,求证：这四条直线在同一个平面内. 已知：直线AB、BC、CD、DA两两相交,且不过同一点.αCDAMB（注：两两相交的意思是,如果n条直线两两相交,那么任一条直线与另外（n-1）条直线都相交,都有公共点）求证：直线AB、BC、CD、DA共面.证明：设AB、CD相交于M,则AB、CD确定一个平面,设为α.∵A∈AB,B∈AB,C∈CD,D∈CD,∴A∈α,B∈α,C∈α,D∈α.由公理1知AD、BC⊂α,故AB、BC、CD、DA四条直线共面.假如根据题目的文字语言,作出的图形如下图,则已知就不能写成AB、BC、CD、DA两两相交,而应写成：AC BDβ已知：直线AB、BD、CD、AD两两相交,且不过同一点.求证：直线AB、BD、CD、AD共面.证明：∵AB∩CD=C,∴AB、CD确定一个平面,设为β.∵A∈AB,D∈CD,B∈AB,∴A∈β,D∈β,B∈β.由公理1知AD⊂β,BD⊂β,∴AB、CD、AD、BD共面.3.已知点E、F、G、H分别是空间四边形AB、AD、CB、CD上的点,且直线EF和HG 交于点M,求证：点B、D、M在同一直线上.AEFD M GB H C证明：连结BD ,则BD =面ABD ∩面CBD . ∵E ∈AB ,F ∈AD ,∴EF ⊂面ABD . 又M ∈EF ,∴M ∈面ABD . ① 同理可证HG ⊂面CBD ,M ∈面BCD . ② 由①和②可得M ∈面ABD ∩面BCD =BD . 故点B 、D 、M 在同一直线上.4.如图,AB ∩α=P ,CD ∩α=P ,点A 、D 与点B 、C 分别在面α的两侧,AC ∩α=Q ,BD ∩α=R.求证：P 、Q 、R 三点共线. 证明：∵AB ∩α=P , CD ∩α=P , ∴AB ∩CD =P .∴AB 、CD 可确定一个平面,设为β. ∵A ∈AB ,C ∈CD ,B ∈AB ,D ∈CD , ∴A ∈β,C ∈β,B ∈β,D ∈β.∴AC ⊂β,BD ⊂β,平面α、β相交. ∵AB ∩α=P ,AC ∩α=Q ,BD ∩α=R ,∴P 、Q 、R 三点是平面α与平面β的公共点. ∴P 、Q 、R 都在α与β的交线上. 故P 、Q 、R 三点共线.5.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,A 1C 与面DBC 1交于O 点.AC 、BD 交于点M ,求证：C 1、O 、M 三点共线.1证明：∵C 1、O 、M ∈面BDC 1,又C 1、O 、M ∈面A 1ACC 1,由公理2,知点C 1、O 、M 在平面BDC 1与平面A 1ACC 1的交线上, ∴C 1、O 、M 三点共线.6.三个平面两两相交于三条直线,若这三条直线不平行,求证：这三条直线交于一点.αβγ111A AB BC C 已知：平面α、β、γ两两相交,α∩β=CC 1,β∩γ=AA 1,α∩γ=BB 1,且AA 1、BB 1、CC 1不平行. 求证：AA 1、BB 1、CC 1相交于一点. 证明：∵AA 1⊂γ,BB 1⊂γ,AA 1BB 1, ∴AA 1与BB 1相交.设AA 1∩BB 1=P , ① 则P ∈AA 1⊂β,P ∈BB 1⊂α. ∴P ∈α∩β=CC 1. ② 由①、②,得AA 1、BB 1、CC 1相交于一点P . 7.已知：a ⊂α,b ⊂α,a ∩b =A ,P ∈b ,PQ ∥a ,αA PQa b 求证：PQ ⊂α.证明：∵PQ ∥a ,∴PQ 、a 确定一个平面,设为β.∴P ∈β,a ⊂β,P ∉a . 又P ∈α,a ⊂α,P ∉a ,由推论1知过P 、a 有且只有一个平面, ∴α、β重合.∴PQ ⊂α.8.如图,在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,点M 、N 分别是AA 1、D 1C 1的中点,过D 、M 、N 三点的平面与正方体的下底面相交于直线l ,（1）画出l 的位置；（2）设l ∩A 1B 1=P ,求PB 1的长.1Q 解：（1）平面DMN 与平面AD 1则平面DMN 与平面A 1C 1QN 即为所求作的直线l .（2）设QN ∩A 1B 1=P ,∵△MA 1Q ≌△MAD ,∴A 1Q =AD =a =A 1D 1.∴A 1是QD 1的中点. 又A 1P ∥D 1N ,∴A 1P =21D 1N =41C 1D 1=41a . ∴PB 1=A 1B 1-A 1P =a -41a =43a .。
