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![复变函数论第三版课后习题答案[1]](https://img.taocdn.com/s1/m/03de2b78a26925c52cc5bf62.png)
第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。
解：由于3iz e π-==所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±。
2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。
3．解二项方程440,(0)z a a +=>。
解：12444(),0,1,2,3k ii za e aek πππ+====。
4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
习题1第一章 复数及复变函数1.11222z ==-求|z|，Argz 解：1232122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=zArgz=arctan 212-+2k π=23k ππ+-, ,2,1,0±±=k2．211i z +=,=2z i -3,试用指数形式表示2121z z z z 及解：211i z +=i e 4π==2z i -3i e62π-=所以21z z =i e62π-ie 4πie122π-=21z z ii i ie e e e 125)64(6421212πππππ===+- 3． 解二项方程440z a += )0(>a 解 由440z a +=得44z a =- 那么二次方程的根为1k w a = 〔k=0,1,2,3〕 =24k i ea ππ+⋅〔k=0,1,2,3〕0w =4i ea π⋅=(1+i)23441(1)2i i a w ea ea i πππ+⋅===-+542(1)2i a w ea i π==--743(1)2i a w ea i π==-4 .设1z 、2z 是两个复数，求证：),Re(2||||||212221221z z z z z z -+=-证明：()()2121221z z z z z z --=-()2122212121222112212221Re 2z z z z z z z z z z z z z z z z -+=--+=---=5． 设123z ,z ,z 三点适合条件：1230z z z ++=及1231z z z ===试证明123z ,z ,z 是一个内接于单位圆周1z =的正三角形的顶点。
证明：设111z x iy =+，222z x iy =+，333z x iy =+因为1230z z z ++=∴1230x x x ++=，1230y y y ++= ∴123x x x =--，123y y y =--又因为1231z z z ===∴三点123z ,z ,z 在单位圆周上，且有222222112233x y x y x y +=+=+而()()2222112323x y x x y y +=+=+()()2223231x x y y ∴+++=()232321x x y y ∴+=-同理=+)(22121y y x x ()()131********x x y y x x y y +=+=-可知()()()()()()222222121223231313x x y y x x y y x x y y -+-=-+-=-+-即122313z z z z z z -=-=-123z ,z ,z 是一个内接于单位圆周1z =的正三角形的顶点得证。
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第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。
解：由于3i z e π-==所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=± 。
2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。
3．解二项方程440,(0)z a a +=>。
解：12444(),0,1,2,3k ii z a e aek πππ+====。
4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
习题一1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数π/43513;;(2)(43);711i i e i i i i i-++++++. ①解：i 4πππecos isin 44-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭②解：()()()()35i 17i 35i 1613i 7i 11+7i 17i 2525+-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解：()31i 1335=i i i 1i 222-+-+=-+2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy )(z a a z a -∈+); 333;;;.n z i①解： ∵设z =x +iy 则()()()()()()()22i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-⎡⎤⎡⎤+--+-⎣⎦⎣⎦===+++++++∴()22222Re z a x a y z a x a y ---⎛⎫= ⎪+⎝⎭++, ()222Im z a xy z a x a y -⎛⎫= ⎪+⎝⎭++． ②解： 设z =x +iy∵()()()()()()()()323222222223223i i i 2i i 22i33iz x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++⎡⎤=--+-+⎣⎦=-+-∴()332Re 3z x xy =-,()323Im 3z x y y =-．③解：∵(()(){}33232111313188-+⎡⎤⎡⎤==--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭．④解：∵()()(()2332313131i 8⎡⎤--⋅-⋅+⋅-⎢⎥⎣⎦=⎝⎭()180i 18=+=∴Re 1=⎝⎭, Im 0=⎝⎭． ⑤解： ∵()()1,2i 211i,kn kn k k n k ⎧-=⎪=∈⎨=+-⋅⎪⎩ ． ∴当2n k =时，()()Re i 1kn =-，()Im i 0n =；当21n k =+时，()Re i 0n =，()()Im i 1kn =-．3.求下列复数的模和共轭复数12;3;(2)(32);.2ii i i +-+-++①解：2i -+2i 2i -+=--②解：33-=33-=-③解：()()2i 32i 2i 32i ++=++=．()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+⋅+=-⋅-=-④解：1i 1i 22++==()1i 11i222i ++-⎛⎫== ⎪⎝⎭4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+，则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0∴z =x 为实数．若z =x ，x ∈ ，则z x x ==． ∴z z =．命题成立．5、设z ,w ∈ ，证明： z w z w ++≤证明：∵()()()()2z w z w z w z w z w +=+⋅+=++()()22222Re z z z w w z w wz zw z w w z wz w =⋅+⋅+⋅+⋅=++⋅+=++⋅()2222222z w z wz w z w z w ++⋅=++⋅=+≤∴z w z w ++≤．6、设z ,w ∈ ，证明下列不等式． ()2222Re z w z z w w +=+⋅+ ()2222Re z w z z w w -=-⋅+()22222z w z w z w++-=+并给出最后一个等式的几何解释．证明：()2222Re z w z z w w +=+⋅+在上面第五题的证明已经证明了． 下面证()2222Re z w z z w w -=-⋅+．∵()()()()222z w z w z w z w z w z z w w z w-=-⋅-=--=-⋅-⋅+()222Re z z w w =-⋅+．从而得证．∴()22222z w z w z w++-=+几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．7.将下列复数表示为指数形式或三角形式3352π2π;;1;8π(1);.cos sin 7199i i i i +⎛⎫--++ ⎪+⎝⎭ ①解：()()()()35i 17i 35i 7i 117i 17i +-+=++-3816i 198i e 5025i θ⋅--=== 其中8πarctan 19θ=-． ②解：e i i θ⋅=其中π2θ=．π2e ii =③解：ππi i 1e e -==④解：()28π116ππ3θ-==-.∴()2πi 38π116πe--=⋅⑤解：32π2πcos isin 99⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：∵32π2πcos isin 199⎛⎫+= ⎪⎝⎭．∴322πi π.3i 932π2πcos isin 1e e 99⋅⎛⎫+=⋅= ⎪⎝⎭8.计算：(1)i 的三次根；(2)-1的三次根；(3)的平方根. ⑴i 的三次根．()13ππ2π2πππ22cos sin cosisin 0,1,22233++⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭k k i k∴1ππ1cosisin i 662=+=z ．2551cos πi sin πi 662=+=z3991cos πi sin πi 662=+=-z ⑵-1的三次根()()132π+π2ππcos πisin πcos isin 0,1,233k k k ++=+=∴1ππ1cosisin 332=+=z 2cos πisin π1=+=-z3551cos πi sin π332=+=--z的平方根．解：πi 4e ⎫=⎪⎪⎝⎭)()1π12i 44ππ2π2π44e6cos isin 0,122k k k ⎛⎫++ ⎪=⋅+= ⎪⎝⎭∴π11i 8441ππ6cos isin 6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z911πi 8442996cos πisin π6e 88⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭z ．9.设2πe ,2inz n =≥. 证明：110n z z -+++=证明：∵2πi e nz ⋅= ∴1n z =，即10n z -=．∴()()1110n z z z --+++=又∵n ≥2． ∴z ≠1 从而211+0n z z z -+++=11.设Γ是圆周{:},0,e .i z r r a c r z c α=>=+-令:Im 0z a L z b β⎧-⎫⎛⎫==⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭, 其中e i b β=.求出L β在a 切于圆周Γ的关于β的充分必要条件.解：如图所示．因为L β={z : Im z a b -⎛⎫⎪⎝⎭=0}表示通过点a 且方向与b 同向的直线，要使得直线在a 处与圆相切，则CA ⊥L β．过C 作直线平行L β，则有∠BCD =β，∠ACB =90° 故α-β=90°所以L β在α处切于圆周T 的关于β的充要条件是α-β=90°．12.指出下列各式中点z 所确定的平面图形，并作出草图.(1)arg π;(2);1(3)1|2;(4)Re Im ;(5)Im 1 2.z z z z i z z z z ==-<+<>><且解：(1)、argz =π．表示负实轴．(2)、|z -1|=|z |．表示直线z =12．(3)、1<|z +i|<2解：表示以-i 为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
第一章习题解答（一）1．设z ，求z 及Arcz 。
解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±。
2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。
3．解二项方程440,(0)z a a +=>。
解：12444(),0,1,2,3k ii za e aek πππ+====。
4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
习题一答案1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：（1）132i+（2）(1)(2)i i i --（3）131i i i--（4）8214i i i -+-解：（1）1323213iz i -==+， 因此：32Re , Im 1313z z ==-，（2）3(1)(2)1310i i iz i i i -+===---，因此，31Re , Im 1010z z =-=，（3）133335122i i iz i i i --=-=-+=-， 因此，35Re , Im 32z z ==-，（4）82141413z i i i i i i =-+-=-+-=-+ 因此，Re 1, Im 3z z =-=，2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）1-+（3）(sin cos )r i θθ+（4）(cos sin )r i θθ-（5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤解：（1）2cossin22iii e πππ=+=（2）1-+23222(cos sin )233i i e πππ=+=（3）(sin cos )r i θθ+()2[cos()sin()]22ir i reπθππθθ-=-+-=（4）(cos sin )r i θθ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=（5）21cos sin 2sin 2sin cos 222i i θθθθθ-+=+ 3． 求下列各式的值： （1）5)i -（2）100100(1)(1)i i ++-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-（56解：（1）5)i -5[2(cos()sin())]66i ππ=-+- （2）100100(1)(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-（3）(1)(cos sin )(1)(cos sin )i i i θθθθ-+--（4）23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+- （5=（6=4．设12 ,z z i ==-试用三角形式表示12z z 与12z z 解：12cossin, 2[cos()sin()]4466z i z i ππππ=+=-+-，所以12z z 2[cos()sin()]2(cos sin )46461212i i ππππππ=-+-=+，5． 解下列方程： （1）5()1z i +=（2）440 (0)z a a +=>解：（1）z i +=由此25k iz i e iπ=-=-，(0,1,2,3,4)k=（2）z==11[cos(2)sin(2)]44a k i kππππ=+++，当0,1,2,3k=时，对应的4(1),1),1),)i i i i+-+---6．证明下列各题：（1）设,z x iy=+z x y≤≤+证明：首先，显然有z x y=≤+；其次，因222,x y x y+≥固此有2222()(),x y x y+≥+从而z=≥。
第一章习题解答〔一〕1．设z =z 及Arcz 。
解：由于3i z e π-== 所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±。
2．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解：由于6412,2i i z e z i e ππ-==== 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。
3．解二项方程440,(0)z a a +=>。
解：12444(),0,1,2,3k ii z a e aek πππ+====。
4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
复变函数论第三版课后习题答案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第一章习题解答（一）1．设132i z -=，求z 及Arcz 。
解：由于3132i i z e π--== 所以1z =，2,0,1,3Arcz k k ππ=-+=±L 。
2．设121,312i z z +==-，试用指数形式表示12z z 及12z z 。
解：由于64121,322i i iz e z i e ππ-+===-= 所以()64641212222i i iiz z e eee πππππ--===54()146122611222ii i i z e e e z e πππππ+-===。
3．解二项方程440,(0)z a a +=>。
解：1244444(),0,1,2,3k ii za a e aek πππ+=-===。
4．证明2221212122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。
证明：由于2221212122Re()z z z z z z +=++2221212122Re()z z z z z z -=+-所以2221212122()z z z z z z ++-=+其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。
5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。
证明z 1，z 2，z 3是内接于单位圆1=z 的一个正三角形的顶点。
证 由于1321===z z z ，知321z z z ∆的三个顶点均在单位圆上。
因为33331z z z ==()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-=21212z z z z ++=所以， 12121-=+z z z z ，又)())((122122112121221z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=-()322121=+-=z z z z故 321=-z z ，同理33231=-=-z z z z ，知321z z z ∆是内接于单位圆1=z 的一个正三角形。
6．下列关系表示点z 的轨迹的图形是什么？它是不是区域。
（1） 1212,()z z z z z z -=-≠； 解：点z 的轨迹是1z与2z 两点连线的中垂线，不是区域。
（2）4z z ≤-； 解：令z x yi =+由(4)x yi x yi +≤-+，即2222(4)x y x y +≤-+，得2x ≤ 故点z 的轨迹是以直线2x =为边界的左半平面（包括直线2x =）；不是区域。
（3）111z z -<+ 解：令z x yi =+，由11z z -<+，得22(1)(1)x x -<+，即0x >； 故点z 的轨迹是以虚轴为边界的右半平面（不包括虚轴）；是区域。
（4）0arg(1),2Re 34z z π<-<≤≤且；解：令z x yi =+由0arg(1)42Re 3z z π⎧<-<⎪⎨⎪≤≤⎩，得0arg1423y x x π⎧<<⎪-⎨⎪≤≤⎩，即0123y x x <<-⎧⎨≤≤⎩ 故点z 的轨迹是以直线2,3,0,1x x y y x ====-为边界的梯形（包括直线2,3x x ==；不包括直线0,1y y x ==-）；不是区域。
（5）2,1z z >>且-3； 解：点z 的轨迹是以原点为心，2为半径，及以3z =为心，以1为半径的两闭圆外部，是区域。
（6）Im 1,2z z ><且； 解：点z 的轨迹是位于直线Im 1z =的上方（不包括直线Im 1z =），且在以原点为心，2为半径的圆内部分（不包括直线圆弧）；是区域。
（7）2,0arg 4z z π<<<且；解：点z 的轨迹是以正实轴、射线arg 4z π=及圆弧1z =为边界的扇形（不包括边界），是区域。
（8）131,2222i z z i ->->且 解：令z x yi =+由1223122i z z i ⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，得2211()2431()24x y x y ⎧+->⎪⎪⎨⎪+->⎪⎩ 故点z 的轨迹是两个闭圆221131(),()2424xy x y +-=+-=的外部，是区域。
7．证明：z 平面上的直线方程可以写成C z a z a =+（a 是非零复常数，C 是实常数） 证 设直角坐标系的平面方程为Ax By C +=将11Re (),Im ()22x z z z y z z z i==+==-代入，得C z B A z B A =-+-)i (21)i (21令)i (21B A a +=，则)i (21B A a -=，上式即为C z a z a =+。
反之：将,z x yi z x yi =+=-，代入C z a z a =+ 得()()a a x ia ia y c ++-= 则有Ax By C +=；即为一般直线方程。
8．证明：z 平面上的圆周可以写成0.Azz z z c ββ+++=其中A 、C 为实数，0,A β≠为复数，且2AC β>。
证明：设圆方程为22()0A x y Bx Dy C ++++=其中0,A ≠当224B D AC +>时表实圆；将2211,(),()22x y zz x z z y z z i+==+=-代入，得 11()()022Azz B Di z B Di z c +-+++=即0.Azz z z c ββ+++= 其中11(),()22B Di B Di ββ=+=- 且22211()444B D AC AC β=+>•=；反之：令,z x yi a bi β=+=+代入20()Azz z z c AC βββ+++=>得22()0,A x y Bx Dy C ++++=其中2,2B a B b == 即为圆方程。
10．求下列方程（t 是实参数）给出的曲线。
（1）t zi)1(+=； （2）t b t a z sin i cos +=；（3）t t z i+=； （4）22i t t z +=，解（1）⎩⎨⎧∞<<-∞==⇔+=+=t t y t x t y x z ,)i 1(i 。
即直线x y =。
（2）π20,sin cos sin i cos i ≤<⎩⎨⎧==⇔+=+=t t b y ta x tb t a y x z ，即为椭圆12222=+b y a x ；（3）⎪⎩⎪⎨⎧==⇔+=+=t y t x t t y x z 1i i ，即为双曲线1=xy ； （4）⎪⎩⎪⎨⎧==⇔+=+=22221i i t y t x t t y x z ，即为双曲线1=xy 中位于第一象限中的一支。
11．函数z w 1=将z 平面上的下列曲线变成w 平面上的什么曲线()iv u w iy x z +=+=,？（1）x y =； （2）()1122=+-y x解222211y x yiy x x iy x z w +-+=+==，2222,y x y v y x x u +-=+=，可得 （1）()v y x y y x y y x x u -=+--=+=+=222222是w 平面上一直线；（2）()21211222222=+⇔=+⇔=+-y x x x y x y x ，于是21=u ，是w 平面上一平行与v 轴的直线。
13．试证)arg (arg ππ≤<-z z 在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在z 平面上处处连续。
证 设z z f arg )(=，因为f (0)无定义，所以f (z )在原点z =0处不连续。
当z 0为负实轴上的点时，即)0(000<=x x z ，有 ⎩⎨⎧-=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+→→→→→ππππx y x y z y x x y xx z z arctan lim arctan lim arg lim 00000所以zz z arg lim 0→不存在，即z arg 在负实轴上不连续。
而argz 在z 平面上的其它点处的连续性显然。
14． 设00=≠z z 求证()z f 在原点处不连接。
证 由于()01lim lim lim 42062400=+=+=→→=→x x x x x z f x x xy z()21lim lim 666003=+=→=→y y y z f y yx z( ) ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = , 0, 6 2 3 y x xy z f可知极限()z fz0lim→不存在，故()z f在原点处不连接。
16. 试问函数f(z) = 1/(1 –z )在单位圆| z | < 1内是否连续？是否一致连续？【解】(1) f(z)在单位圆| z | < 1内连续．因为z在X内连续，故f(z) = 1/(1 –z )在X\{1}内连续(连续函数的四则运算)，因此f(z)在单位圆| z | < 1内连续．(2) f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续．令z n= 1 – 1/n，w n= 1 – 1/(n + 1)，n∈N+．则z n, w n都在单位圆| z | < 1内，| z n-w n | → 0，但| f(z n)-f(w n)| = | n - (n + 1) | = 1 > 0，故f(z)在单位圆| z | < 1内不一致连续．[也可以直接用实函数f(x) = 1/(1 –x )在(0, 1)不一致连续来说明，只要把这个实函数看成是f(z)在E = { z∈X | Im(z) = 0, 0 < Re(z) < 1 }上的限制即可．]17. 试证：复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限的充要条件是实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限．【解】(⇒) 若复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限，则∀ε > 0，∃N∈N+，使得∀n > N，有| z n -z0| < ε．此时有| x n -x0| ≤ | z n -z0| < ε；| y n -y0| ≤ | z n -z0| < ε．故实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限．(⇐) 若实数列{x n}及{y n}分别以x0及y0为极限，则∀ε > 0，∃N1∈N+，使得∀n > N1，有| x n -x0| < ε/2；∃N2∈N+，使得∀n > N2，有| y n -y0| < ε/2．令N = max{N1, N2}，则∀n > N，有n > N1且n > N2，故有| z n -z0| = | (x n -x0) + i (y n -y0)| ≤ | x n -x0| + | y n -y0| < ε/2 + ε/2 = ε．所以，复数列z n = x n + i y n以z0 = x0 + i y0为极限．20. 如果复数列{z n}合于lim n→∞z n = z0≠∞，证明lim n→∞ (z1 + z2 + ... + z n)/n = z0．当z0≠∞时，结论是否正确？【解】(1) ∀ε > 0，∃K∈N+，使得∀n > K，有| z n -z0| < ε/2．记M = | z1-z0 | + ... + | z K-z0 |，则当n > K时，有| (z1 + z2 + ... + z n)/n-z0 | = | (z1-z0) + (z2-z0) + ... + (z n-z0) |/n≤ ( | z1-z0 | + | z2-z0 | + ... + | z n-z0 |)/n= ( | z1-z0 | + ... + | z K-z0 |)/n + ( | z K +1-z0 | + ... + | z n-z0 |)/n≤M/n + (n-K)/n · (ε/2) ≤M/n + ε/2．因lim n→∞ (M/n) = 0，故∃L∈N+，使得∀n > L，有M/n < ε/2．令N = max{K, L}，则当n > K时，有| (z1 + z2 + ... + z n)/n-z0 | ≤M/n + ε/2 < ε/2 + ε/2 = ε．所以，lim n→∞ (z1 + z2 + ... + z n)/n = z0．(2) 当z0≠∞时，结论不成立．这可由下面的反例看出．例：z n = (-1)n ·n，n∈N+．显然lim n→∞z n = ∞．但∀k∈N+，有(z1 + z2 + ... + z2k)/(2k) = 1/2，因此数列{(z1 + z2 + ... + z n)/n}不趋向于∞．[这个结论的证明的方法与实数列的情况完全相同，甚至反例都是一样的．]2．如果it ez=，试证明（1）nt z z nn cos 21=+； （2）nt z z n nsin i 21=-解 （1）nt e e e e z z n n sin 21intint int int =+=+=+-（2）nt e e e e z z n n sin i 21int int int int =-=-=--4．设iy x z +=，试证yx z y x +≤≤+2。
