1．设 z
1 3i ，求 z
及 Arcz 。
解：由于
z 1，
Arcz
2k , k 0, 1,
。
3
(z 1 z 2)( z 1 z 2) z 1z 1 z 2z 2 (z 1z 2 z 2z 1)
2 z 1z 2 z 1 z 2 3
第一章习题解
答
(一)
2．设 z 1 i , z 3 1 ，试用指数形式表示 1 2 2 z 1z 2 及 z 1
。
z 2
4
i 6i
1 i i 解：由于 z 1
e 3 4 , z 2
3 i 2e
1
2 2
i
i ( )i i
所以 z1z2 e 4i
2e
6i
2e ( 4
6)i
2e 12i
i z 1 e 4 1 e (4 6)i i z 2 2e 6 2
5i 1 1 e 12 。 2 3．解二项方程 z 4 a 4 0,(a 0) 。 2k
i
解： z 4 a 4 (a 4e i )4 ae 4
,k 0,1,2,3
。 4．证明 z 1 2 2
z 1 z 2 z 1 z 2 证明：由于 2 2 z 1 z 2 z
1 2 2 z 2
2 z 1 z 2 2( z 1 所以 z 1 z 2 其几何意义是： z 2 ) 2 2 ，并说明其几何意义。 2 2 Re(z 1 z 2) z 2 2Re(z 1 z 2) z 1 z 2 2( z 1 z 2 )
平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设 z 1， z 2，z 3三点适合条件： z1 z2 z3 0
z 1 z 2 z3 1 。证明 z 1，z 2， z 3是内
接于单位
圆 z 1
的一个正三角形的顶点。 证 由于 z
1
z
2
z3 1
，知 z 1z 2z 3 的三个顶点均在单位圆上。
因为 所以，
z 1z
2 z 1z 2 1
，
所以 z 1 z 2
故
z 1 z 2 3 ，
同理 z1 z3 z2 z3
3
，知 z 1 z 2 z 3 是内接于单位圆 z 1的一个正三角形。
6．下列关系表示点 z 的轨迹的图形是什么？它是不是区域。
1)
z z 1 z z 2 ,(z 1 z 2)
；
解：点
z 的轨迹是 z 1
与z 2
两点连线的中垂线，不是区域。
( 2) z z 4 ； 解：令 z x yi
由
x yi (x 4) yi ，即
x y ( x 4) y ，得 x 2
故点
z 的轨迹是以直线 x 2 为边界的左半平面（包括直线 x 2 ）；不是区域。
解：令 z x yi ， 由 z 1 z 1 ，得 (x 1)2 (x 1)2，即 x 0 ； 故点 z 的轨迹是以虚轴为边界的右半
平面（不包括虚轴） ；是区域。
4) 0 arg( z 1)
, 且 2 Re z 3； 4
解：令 z x yi
故点
z 的轨迹是以直线 x 2,x 3,y 0,y x 1为边界的梯形 （包括直线 x 2,x 3 ； 不包括直线 y 0,
y x 1）；不是区域。 （5） z 2, 且 z- 3 1； 解：点 z 的轨迹是以原点为心， 2为半径，及以 z 3 为心，以 1为半径的两闭圆外部， 是区
域。
6) Im z 1,且 z 2 ； 解：点
z 的轨迹是位于直线 Im z 1 的上方（不包括直线 Im z
1 ），且在以原点 为心，
2 为半径的圆内部分（不包括直线圆弧） ；是区域。
3） z1
z1
由
0 arg(z 1) 4
2 Re z 3
0 arg
，得
y
x1
2x3
0 y x 1 4 ，即
2x3
7) z 2,且0 arg z 4 ；
解：点
z 的轨迹是以正实轴、射线 arg z 及圆弧 z 1为边界的扇形(不包括边界) ， 4
是区域。
i 1
3 1 8)
z
,且 zi
2
2 2
2
解：令 z x yi
1
1 a (A iB) a ( A iB)
令 2 ，则 2 ，上式即为 az a z C 。 反之：将 z x yi,z x yi ，代入 az a z C
得
(a a)x (ia ia ) y c
则有
Ax By C ；即为一般直线方程。
8．证明：
z 平面上的圆周可以写成
Azz z z c 0.
其中 A 、 C 为实数， A 0, 为复数，且 2 AC 。 证明：设圆方程为
由
3 zi
2
1
2
，得
1 2
2
1 1 x
(y )
2 4 2
3 1 x 2
(y )
2
4
故点
z
的轨迹是两个闭圆 2
1 1
2
3 1
x 2
(y 12) 14,x 2 (y 23) 41 的外部，是区域。
7．证明： z 平面上的直线方程可以写成 az az C (a 是非零复常数， C 是实常数)
证 设直角坐标系的平面方程为
Ax By C 将
x Re z ( z z), y
2
11
(A i B)z (A i B)z C
Im z 21i (z z) 代入，得
