习题一答案
1．求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：
（1）
1
32i
+
（2）
(1)(2)
i
i i
--
（3）13
1
i
i i
-
-
（4）821
4
i i i
-+-
解：（1）
132
3213
i z
i
-
==
+
，
因此：
32 Re, Im
1313 z z
==-，
232
arg arctan,
31313
z z z i
==-=+
（2）
3
(1)(2)1310
i i i
z
i i i
-+
===
---
，
因此，
31
Re, Im
1010
z z
=-=，
131
arg arctan,
31010 z z z i
π
==-=--（3）
133335
122
i i i
z i
i i
--
=-=-+=
-
，
因此，
35
Re, Im
32
z z
==-，
535
,arg arctan,
232
i
z z z
+ ==-=
（4）821
41413
z i i i i i i
=-+-=-+-=-+
因此，Re1,Im3
z z
=-=，
arg arctan3,13
z z z i
π
==-=--
2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2
）1-+ （3）(sin cos )r i θθ+
（4）(cos sin )r i θθ- （5）1cos sin (02)i θθθπ-+≤≤
解：（1）2
cos
sin
2
2
i
i
i e π
π
π
=+=
（2
）1-+2
3
222(cos sin )233
i i e πππ=+=
（3）(sin cos )r i θθ+()2
[cos()sin()]22i
r i re
π
θππ
θθ-=-+-=
（4）(cos sin )r i θ
θ-[cos()sin()]i r i re θθθ-=-+-=
（5）2
1cos sin 2sin 2sin cos 222
i i θ
θθ
θθ-+=+ 2
2sin [cos
sin
]2sin 22
22
i
i e
πθ
θπθ
πθ
θ
---=+=
3． 求下列各式的值：
（1
）5)i - （2）100100(1)(1)i i ++-
（3
）(1)(cos sin )
(1)(cos sin )
i i i θθθθ-+-- （4）
23(cos5sin 5)(cos3sin 3)i i ϕϕϕϕ+-
（5
（6
解：（1
）5)i -5[2(cos()sin())]66
i ππ
=-+-
5
552(cos()sin()))66
i i ππ
=-+-=-+
（2）100
100(1)
(1)i i ++-50505051(2)(2)2(2)2i i =+-=-=-
（3
）(1)(cos sin )
(1)(cos sin )
i i i θθθθ-+--
2[cos()sin()](cos sin)
33
)sin()][cos()sin()]
44
i i
i i
ππ
θθ
ππ
θθ
-+-+
=
-+--+-
)sin()](cos2sin2)
1212
i i
ππ
θθ
=-+-+
(2)
12
)sin(2)]
1212
i
i
π
θ
ππ
θθ-
=-+-=
（4）
2
3
(cos5sin5)
(cos3sin3)
i
i
ϕϕ
ϕϕ
+
-
cos10sin10
cos19sin19
cos(9)sin(9)
i
i
i
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
+
==+
-+-
（5
=
11
cos(2)sin(2)
3232
k i k
ππ
ππ
=++
+
1
,0
22
1
,1
22
,2
i k
i k
i k
+=
⎪
⎪
⎪
=-+=
⎨
⎪
-=
⎪
⎪
⎩
（6
=
11
(2)sin(2)]
2424
k i k
ππ
ππ
=+++
8
8
,0
,1
i
i
e k
e k
π
π
=
=
⎪=
⎩
4．
设
12
,
z z i
==-试用三角形式表示
12
z z与1
2
z
z
解：
12
cos sin, 2[cos()sin()]
4466 z i z i
ππππ
=+=-+-，所以
