第二章 静电场中的导体和电介质：电容器的电容

D 0 E P 0 r E E
P e 0 E
§2.8 电容器的电容
一.孤立导体的电容
q C V
单位：F（法拉）
C是与导体的尺寸和形状以及周围的电介质有 关,与q，V无关的常数。
1F 10 F 10 PF
6 12
例1 .求半径为R的孤立导体球的电容。
q1:q2: · :qn = C1:C2: · :Cn · · · ·
q qi (V A VB ) C i ,
i 1 i 1
n
n
n q C Ci VA VB i 1
并联电容器的总电容等 于各电容器的电容之和 2. 串联
C Ci
i 1
n
A +
VA +q –q +q –q 。
q dA udq dq C
从开始极板上无电荷直到极板上电量为Q的过 程中，电源作的功为
2 q 1 Q 1Q dq 0 qdq C C 2 C
A dA 0
Q
Q CU
U为极板上电量为Q时两板间的电势差
1 Q2 1 1 2 A CU QU 2 C 2 2
E
0
( r R1 , r R2 )
λ er 2πεr
B A
( R1 r R2 )
2
VA VB
R E dl R Edr
1
λdr R1 2πεr
R2
R2 q R2 λ ln ln 2πε R1 2πεL R1
q 2πεL C V A VB ln( R2 / R1 )
②所求的C = q/VA–VB一定与q和VA–VB无关，仅 由电容器本身的性质决定。
(一)步骤：
(二)举例：
例2 .求极板面积为S，间距为d的平行板电容器 的电容。 d D q [解]: E S B qd VA VB E dl Ed q q A εS
面电荷分布
D dS q0
(S) (S)
en ( D2 D1 ) 0 en ( E2 E1 ) 0
E dl 0
L
P cos Pn ) P dS ρdV en ( P2 P1 ) (S V
q e 2 r 4πεr B R2 q VA VB A E dl R e dr 2 r 1 4 πεr q R2 dr q 1 1 R1 r 2 4πε ( R1 R2 ) 4πε E
BR 2 A R1 O E
n 1 1 C i 1 C i
§2.9 电容器储能 电场的能量密度
一、电容器储能
如果给电容器充电,电容器中就有电场,电场中 储藏的能量等于充电时电源所作的功。这个功是 由电源消耗其它形式的能量来完成的。如果让电 容器放电，则储存在电场中的能量又可以释放出 来。现以平行板电容器为例计算静电场的能量。 设在充电过程的某 C dq dq 一瞬间，电容极板所带 电量的绝对值为q,两极 q q 板间电压为u,则电源把 电荷–dq从正极板搬到负 极板上所做的功：
有面电荷分布情况下高 斯定理的微分形式或电 位移所遵守的边值关系
D2n D1n 0
D的边值关系表明，在电介质的界面上有自 由电荷时，D的法向分量是不连续的。
在界面上无自由电荷的情况下，即
0 =0 时 D2n D1n
而
2 E2n 1 E1n
可见，电介质界面上无自由电荷时，D的法向 分量是连续的。但是不论界面上是否有自由电荷，
在电介质中，为了在方程中避免出现极化电荷， D 引入电位移矢量 。则两个定理可写成：
高斯定理 D dS q0
闭合曲面S内包围的 自由电荷的代数和 电介质中的电场同样遵守环 路定理，因为极化电荷激发 的电场与自由电荷是相同的
环路定理 E dl 0 L
上式表明，在两种电介质的界面上，场强的切 向分量是连续的。这是面电荷分布情况下电场无旋 性的表示式。
在两种电介质界面上无自由电荷的情况下
D2 n D1n
∴
代入
DE
得
2 E2n 1 E1n
E2 n 1 E1n 2
界面上无自由电荷时，界面 上两侧场强的法向分量与两 侧电介质的电容率成反比。
(S)
en1 en
D1 en1S D2 en 2 S en ( D2 D1 )S
en 2 en
底 面1
底 面2
由高斯定理 D dS q0
(S) (S)
∴
en ( D2 D1 )S 0 S 即 en ( D2 D1 ) 0

q q 4πεR1 R2 C q 1 1 V A VB R2 R1 ( ) 4πε R1 R2
两极板间充满电介质 的球形电容器的电容
4πεR1 R2 C R2 R1
4 0 R1 R2 C R2 R1
两极板间为真空的 球形电容器的电容
注意：例3、例4两题的结果与B板是否接地无关。
1 q 解: V 4πε R
q C 4πεR V
二.电容器
若某导体附近有其它导体存在，则该导体的 电势V不仅与它本身所带的电量q有关，而且还 与其它导体的大小、形状和相对位置以及它们周 围的电介质的性质和分布有关。所以，不可能再 用一个恒量来C=q/V来反映V和q之间的关系了。
q C V A VB
上式表明，电容器的电容在数值上等于两极 板上的电势差每升高一个单位所需要的电量。电 容器的电容的单位与孤立电容的单位相同。
电容器的电容是一个只与两导体的尺寸、形 状和相对位置及它们之间的电介质的性质和分布 有关，与q和VA–VB无关的恒量。
电容器电容的计算
①假设两极板分别带电荷 q ，求得两极板间 E ， 进而计算出VA–VB；
B 如图，A是一个导体，B是 q 一个封闭导体壳， A 、B之间 A 充满电介质。若使A带电量q， q 则B的内表面带电量–q，A、 B 之间有电势差VA–VB。如果A上 的电量由q→nq，则B的内表面 的电量由– q→ – nq， 而A、 B之间的电势差也由
VA–VB →n(VA–VB )。这表明A、 B之间的电势差与 导体A所带的电量成正比。由于导体壳的静电屏蔽 作用， A、 B之间的电势差不受B外其它导体及其 带电情况的影响。这种情况下，比值q/ (VA–VB )是 一个与其它导体无关的恒量。因此，电势差与电 量成正比且不受其它导体影响的两个导体组成的 系统称为电容器。每个导体称为电容器的极板。 定义：电容器的电容
(S)
(S)
要从以上两个方程中得到D和E的关系的唯一 解，还必须补充 电介质的性质方程 D E ( ε ε0εr ) 如果已知自由电荷和电介质分布以及每种电介 质的电容率，原则上可以根据以上三个方程唯一确 定矢量场D和E的分布。
二、静电场的边值关系
用静电场方程的积分形式和电介质的性质方 程推导电介质分界面两侧紧靠界面处的D、E的边 值关系。 en2 e n 在电介质内作一闭合圆柱面，其 2 介质2 底面积ΔS为无限小且平行于界面，侧 1 介质1 面积为二级无限小。界面法线单位矢 ΔS e n1 量规定为由介质1指向介质2 。 闭合曲面上的电位移通量为 D dS D dS D dS 二 阶 无 穷 小
E的法向分量是不连续的，因为界面上总是有极 化电荷。 无论是电介质还是真空中的静电场都遵守 环路定理 E dl 0
L
因为极化电荷激发电场的性质与自由电荷 是相同的。所以，两种电介质的界面上场强的
边值关系： en ( E2 E1 ) 0
或
E2 t E1t
三.电容的连接
在电路图中电容器的符号为 1. 并联 A VA 。 +
+q1 –q1 +q2 –q2 +qn –qn
C
等效电容
A 。 VA +
+q
VB 。–
C1
C2
Cn
B
VB。 –
C –q
B
特点：加在各电容器上的电压相等
q1=C1(VA–VB)， q2=C2(VA–VB)，·， qn=Cn(VA–VB) · ·
V是电容器中电场占据的空间体积
1 W 1 2 电场能量密度 we E DE 2 V 2 上式虽然是从平行板电容器中推导出来的，
但可以证明它在各向同性的线性介质中对任何静 电场普遍成立。 在各向同性的线性介质中：
于是
1 1 1 U1 : U 2 : : U n : :: C1 C 2 Cn
n n
q 1 和 V A VB 总电压 VA VB U i q C i 1 i 1 C i
n 1 1 两式比较得： C i 1 C i
串联电容器的总电容的倒数 等于各电容器电容倒数之和
两极板间充满电介质的 圆柱形电容器的电容 两极板间为真空的圆 柱形电容器的电容
2πεL C ln( R2 / R1 )
2 0 L C ln( R2 / R1 )
例4 .求球形电容器的电容。已知R2>R1 解: 设内球面A带电+q,外球面 B
带电–q,则电荷均匀分布在球面上
由高斯定理可求得A、B间的场强
此时电容器中电场储藏的能量We就等于电源 所做的功
1 Q2 1 1 2 We CU QU 2 C 2 2 在平行板电容器中,极板间充满电介质,其电 容率为，如果忽略边缘效用,两极板间的电场是 均匀的,故单位体积内储藏的能量,即能量密度也 应该是均匀的。 εS C , U Ed d 1 1 1 1 2 2 2 We CU E Sd E V DEV 2 2 2 2